精品解析：四川省南充市阆中东风中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

四川省阆中东风中学校2025-2026学年度上期高中三年级9月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可. 【详解】由题意可得：，则. 故选：A. 2. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对A，举反例即可判断；对B，根据判别式即可判断；对C，解出一元二次不等式，再根据充分不必要条件的判定即可判断；对D，举反例即可判断. 【详解】对A，当时，，故A错误； 对B，方程的根的判别式，此方程没有实数解，故B错误： 对C，或， 成立，但不成立，是的充分不必要条件，故C正确； 对D，举例，但，故D错误. 故选：C. 3. 已知函数的一个极值点为1，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的导函数，由题意可得，可得，再根据基本不等式可求的最大值. 【详解】函数，， 函数的一个极值点为1，可得，即，得， 所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为. 故选：D 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 5. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求得的值，再由可求得结果. 【详解】设等比数列的公比为，则， ， 因此，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题． 6. 若将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角函数图象平移变换法则，得出变换后的函数解析式，再求出函数图象的一个对称中心． 【详解】将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得的图象， 再向右平移个单位，得的图象, 令，，解得，； 时，得函数图象的一个对称中心为，． 故选：A 7. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合三角形两边之和大于第三边的相关性质得的最小值为，，结合基本不等式即可求得最值. 【详解】由题意得，故，如图所示， 而到渐近线的距离， 则， 当且仅当M，，N三点共线时两个等号同时成立， 所以的最小值为，所以，即， 当且仅当时，等号成立，又，故， 所以， 即面积的最大值为32. 故选：B 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件构造函数，再判断函数的奇偶性和单调性，将不等式转化为，结合函数的性质，即可求解不等式. 【详解】设，， 所以函数是定义在上的偶函数， 由条件可知，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 不等式， 即， 即， 所以，即，得， 解得：. 故选：C 二、多选题：（本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若为第四象限角，，则 B. 函数的定义域是，则的取值范围是 C. 已知角的终边在直线上，则 D. 若奇函数的图象关于直线对称且，则. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系计算判断A，根据定义域是，列出不等式恒成立判断B，应用诱导公式计算判断C，应用奇偶性结合对称轴计算判断D. 【详解】对于A：因为，， 所以，为第四象限角，， 得出，则，A选项正确； 对于B：因为函数的定义域是，所以恒成立， 则当时，不等式恒成立；当不是0时，，所以， 则的取值范围是，B 选项错误； 对于C：角的终边在直线上，， 则，C选项正确； 对于D：因为是奇函数且关于直线对称， 所以，所以， 所以的周期为，，则，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 【答案】AD 【解析】 【分析】当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以， 显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C错误； 令， 所以的前30项和为： ，故D正确. 故选：AD. 11. 不动点理论的研究兴起于20世纪初.设连续函数的定义域为，如果存在，使得，那么我们称为该函数的一个不动点.在数学中被称为布劳威尔不动点定理，是拓扑学里一个非常重要的定理.随着数学的不断发展，布劳威尔不动点定理得以推广，又新定义；若满足，则称为的次不动点.下列结论正确的是（ ） A. 对于函数，存在不动点，但不存在次不动点 B. 对于函数，既存在不动点，也存在次不动点 C. 函数的不动点和次不动点的个数都是2个 D. 函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，则的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】A根据解析式分析函数性质，数形结合判断；B应用特殊值判断；C应用导数研究零点个数判断；D根据指对数、二次函数的性质判断函数的区间单调性，数形结合列不等式求参数范围. 【详解】A：由的定义域为， 在上单调递增，对应值域为，此时，易知恒成立， 在上单调递增，对应值域为R， 所以、的大致图象如下， 由图知，有一个解，有两个解， 所以的不动点、次不动点均存在，A错； B：对于，显然，即函数过原点，而也均过原点， 所以存在的根，即的不动点、次不动点均存在，B对； C：令且定义域为， 显然、都是的根，即存在两个次不动点， 令且定义域为， 所以在上单调递增，且， 所以使得，故时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 时，，且，，故， 所以在、上各有一个零点，即有两个根，故存在两个不动点，C对； D：由，令，则，且，即， 对于，其开口向上且对称轴为， 故在上单调递增， 此时在上单调递增，则， 在上单调递增，值域为， 在上单调递减，值域为， 要使与在上均有交点，则，可得，D对. 故选：BCD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，已知，，则________. 【答案】60 【解析】 【分析】根据等差数列片段和的性质即可求解. 【详解】由于成等差数列，所以成等差数列，故，故， 故答案为：60 13. 已知，为锐角，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由求出，再利用正切的二倍角公式求出，由可求得结果. 【详解】因为，为锐角，所以． 因为， 所以． 因为． 因为，所以． 因此 ． 故答案为： 14. 若函数恒有2个零点，则的取值范围________. 【答案】 【解析】 【分析】将函数零点问题，转化为方程根的问题，特别是参数容易分离时，转化为，运用数形结合的思想即可解决问题． 【详解】由题意可得=0有两个实数根， 分离参数得，令 ， 由可得， 由可得， 所以在递增，递减， ，当时，，当时，， . 所以 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用诱导公式和二倍角公式化简，结合正弦函数单调性求解可得； （2）求出的范围，结合正弦函数性质求解即可. 【小问1详解】 ， 由得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 当时，，所以， 所以，即函数在区间上的值域为. 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 17. 近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，商品和快递都满意的交易次数为80次. （1）根据已知条件完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断是否有充分的理由认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”? 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 80 对商品不满意 合计 200 （2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望. 附：，， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表如下： 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 80 60 140 对商品不满意 40 20 60 合计 120 80 200 没有充分的理由认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”，理由见解析； （2）分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）将列联表补充完整，并计算出卡方，与6.635比较后得到结论； （2）求出，从而写出相应的的可能取值和对应的概率，得到分布列，利用二项分布求期望公式得到期望. 【小问1详解】 网购者对商品的满意人数为，对快递的满意人数为， 列联表如下： 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 80 60 140 对商品不满意 40 20 60 合计 120 80 200 ， 根据小概率值的独立性检验，没有充分的理由认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”； 【小问2详解】 每次购物时，对商品和快递都满意的概率为， 所以， 故，， ，， 所以的分布列如下： 0 1 2 3 数学期望为. 18. 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，求两直线斜率的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的定义及椭圆的几何性质，结合椭圆过点的坐标代入方程计算即可得； （2）通过联立直线与椭圆方程，可得两交点横坐标有关韦达定理，然后再表示出、，结合韦达定理计算即可. 【小问1详解】 由题意可知，解得， 故椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 设，， 联立，消去得， ，解得， ，， 则、， ， 故两直线斜率. 19. 已知函数f（x）＝ax＋x2－xlna（a＞0，a≠1）． （1）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； （2）若函数y＝|f（x）－t|－1有三个零点，求t的值； （3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f（x1）－f（x2）|≥e－1，试求a的取值范围． 【答案】（1）证明： 由于，故当时，，所以， 故函数在上单调递增． （2）t＝2； （3）∪[e，＋∞) 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，因为，且在R上单调递增， 故有唯一解． 所以的变化情况如下表所示： x 0 － 0 ＋ 递减 极小值 递增 又函数有三个零点，所以方程有三个根， 而，所以，解得． 【小问3详解】 因为存在，使得， 所以当时，． 由（2）知，在上递减，在上递增， 所以当时，． 而， 记，因为（当时取等号）， 所以在上单调递增． 而，故当时，；当时，．即当时，； 当时，． ①当时，由； ②当时，由． 综上可知，所求的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省阆中东风中学校2025-2026学年度上期高中三年级9月月考数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项符合题目要求） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的是（ ） A. ， B. ， C. “”是“”的充分且不必要条件 D. 若，则 3. 已知函数的一个极值点为1，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 5. 设是等比数列，且，，则（ ） A. 12 B. 24 C. 30 D. 32 6. 若将函数的图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移个单位，则所得函数图象的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则当取最小值16时，面积的最大值为（ ） A. 16 B. 32 C. 36 D. 64 8. 设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若为第四象限角，，则 B. 函数的定义域是，则的取值范围是 C. 已知角的终边在直线上，则 D. 若奇函数的图象关于直线对称且，则. 10. 已知数列满足，则（ ） A. B. 的前n项和为 C. 的前100项和为100 D. 的前30项和为357 11. 不动点理论的研究兴起于20世纪初.设连续函数的定义域为，如果存在，使得，那么我们称为该函数的一个不动点.在数学中被称为布劳威尔不动点定理，是拓扑学里一个非常重要的定理.随着数学的不断发展，布劳威尔不动点定理得以推广，又新定义；若满足，则称为的次不动点.下列结论正确的是（ ） A. 对于函数，存在不动点，但不存在次不动点 B. 对于函数，既存在不动点，也存在次不动点 C. 函数的不动点和次不动点的个数都是2个 D. 函数在上仅有一个不动点和一个次不动点，则的取值范围是 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 在等差数列中，已知，，则________. 13. 已知，为锐角，，，则________. 14. 若函数恒有2个零点，则的取值范围________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）求函数在区间上的值域. 16. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 近年电子商务蓬勃发展，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统.从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，商品和快递都满意的交易次数为80次. （1）根据已知条件完成下面的列联表，根据小概率值的独立性检验，判断是否有充分的理由认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”? 对快递满意 对快递不满意 合计 对商品满意 80 对商品不满意 合计 200 （2）若将频率视为概率，某人在该网购平台上进行的3次购物中，设对商品和快递都满意的次数为随机变量，求的分布列和数学期望. 附：，， 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 18. 已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是等腰直角三角形的三个顶点，且椭圆过，直线：与椭圆交于、. （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线、的斜率分别为、，求两直线斜率的值. 19. 已知函数f（x）＝ax＋x2－xlna（a＞0，a≠1）． （1）当a＞1时，求证：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增； （2）若函数y＝|f（x）－t|－1有三个零点，求t的值； （3）若存在x1，x2∈[－1，1]，使得|f（x1）－f（x2）|≥e－1，试求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $