第四章 专题微课 离散型随机变量及其分布列 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

第四章 专题微课 离散型随机变量及其分布列 [课时跟踪检测] 1.某一供电网络有n个用电单位,每个单位在一天中用电的机会都是p,则供电网络中一天平均用电单位的个数是 (　　) A.np(1-p) B.np C.n D.p(1-p) 解析:选B　∵用电单位的个数X~B(n,p), ∴E(X)=np. 2.若随机变量X的分布列如下表所示,则E(X)等于 (　　) X 0 1 2 3 4 5 P 2x 3x 7x 2x 3x x A. B. C. D. 解析:选C　因为2x+3x+7x+2x+3x+x=18x=1,所以x=,因此E(X)=0×2x+1×3x+2×7x+3×2x+4×3x+5×x=40x=40×=. 3.某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查,随机抽查的200个机械元件情况如表所示: 使用时 间/天 10~20 21~30 31~40 41~50 51~60 个数 10 40 80 50 20 若以频率视为概率,现从该批次机械元件中随机抽取3个,则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由题表可知元件使用寿命在30天以上的概率为=,则所求概率为××+=. 4.已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 则D(X)的值为 (　　) A. B. C. D.1 解析:选B　由分布列的性质,知+m+=1,∴m=.∴E(X)=0×+1×+2×=1,D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 5.已知X是离散型随机变量,P(X=x1)=,P(X=x2)=,且x1<x2,若E(X)=,D(X)=,则x1+x2的值为 (　　) A. B. C.3 D. 解析:选C　∵E(X)=x1+x2=,∴x2=4-2x1.又D(X)=×+×=,x1<x2,∴x1=1,x2=2,∴x1+x2=3. 6.已知随机变量ξ的分布列如下表,若D(ξ-1)=,则E(ξ-1)= (　　) ξ -1 0 1 P a c A. B.- C.-或- D.或- 解析:选C　由题意得,a+c=,a∈,E(ξ)=-2a+.若D(ξ-1)=,则D(ξ)=,所以a++=,整理得,12a2-8a+1=0,解得a=或a=.所以E(ξ)=-2a+=-或,E(ξ-1)=E(ξ)-1=-或-. 7.小王到某公司面试,一共要回答3道题,每道题答对得2分,答错倒扣1分,设他每道题答对的概率均为p(0<p<1),且每道题答对与否相互独立,记小王答完3道题的总得分为X,则当E(X)+D(X)取得最大值时,p= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　 设答对题的个数为Y,由已知可得Y~B(3,p), 所以E(Y)=3p,D(Y)=3p(1-p),因为每道题答对得2分,答错倒扣1分,X为小王答完3道题的总得分,所以X=2Y-(3-Y)=3Y-3, 所以E(X)=3E(Y)-3=9p-3, D(X)=9D(Y)=9×3p(1-p)=27p(1-p), 所以E(X)+D(X)=-27p2+36p-3=-27+9.又0<p<1,所以当p=时,E(X)+D(X)取最大值,最大值为9. 8.[多选]某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10 100),其中A的各位数中ak(k=1,2,3,4,5)出现0的概率为,出现1的概率为,记X=a1+a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时 (　　) A.X服从超几何分布 B.P(X=1)= C.X的均值E(X)= D.X的方差D(X)= 解析:选BCD　由二进制数A的特点知,每一个数位上的数字只能填0,1,且每个数位上的数字互不影响,故X的可能取值有0,1,2,3,4,5,且X的取值表示1出现的次数,由二项分布的定义,可得X~B,故A错误;P(X=1)==,故B正确;因为X~B,所以E(X)=5×=,D(X)=5××=,故C、D正确.故选BCD. 9.(5分)李明参加某大会的青年志愿者选拔,在已知备选的10道题中,李明能答对其中的6道,规定考试从备选题中随机地抽出3题进行测试,至少答对2题才能入选.则李明入选的概率为　　　　.  解析:设所选3题中李明能答对的题数为X,则X服从参数为N=10,M=6,n=3的超几何分布,且P(X=k)=(k=0,1,2,3),故所求概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=+=. 答案: 10.(5分)某校为了增强学生对传统文化的继承和发扬,组织了一场《诗词大会》 PK赛(共4局),A,B两队各由4名选手组成,每局两队各派一名选手PK,除第三局胜者得2分外,其余各胜者均得1分,每局的负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为,且各局比赛结果相互独立,比赛结束时A队的得分高于B队得分的概率为　　　　.  解析:比赛结束时A队的得分高于B队得分的情况有三种, 第一种:A队全胜,概率为=. 第二种:A队三胜一负,概率为××=, 第三种:A队胜第三局,另外三局一胜二负,概率为×××=.所以比赛结束时A队的得分高于B队得分的概率为++=. 答案: 11.(5分)五一临近,某火车站有三个安检入口,每个安检入口每天通过的旅客人数超过1 100的概率不低于0.2,假设三个安检入口均能正常工作,则这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最小为　　　.  解析:由题意可知旅客人数X超过1 100人的概率不低于0.2,即P(X>1 100)≥0.2,所以这三个安检入口每天至少有两个超过1 100人的概率最小为P=×0.22×(1-0.2)+×0.23×(1-0.2)0=0.104. 答案:0.104 12.(15分)某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将100个样本数据按[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成6组,并整理得到如下频率分布直方图. (1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值;(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(5分) (2)以样本频率估计概率,若竞赛成绩不低于60分,则被认定为成绩合格,低于60分说明成绩不合格.从参加知识竞赛的市民中随机抽取5人,用X表示成绩合格的人数,求X的分布列及均值.(10分) 解:(1)由频率分布直方图可知,100份样本数据的平均值为 =(35×0.005+45×0.010+55×0.010+65×0.020+75×0.032+85×0.023)×10=68.3. (2)竞赛成绩不低于60分的频率为(0.020+0.032+0.023)×10=0.75=,低于60分的频率为(0.005+0.010+0.010)×10=0.25=. 由题意可知X~B, P(X=0)==, P(X=1)=××=, P(X=2)=×==, P(X=3)=×==, P(X=4)=×=, P(X=5)==, 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P EX=5×=. 13.(15分)2023年冬,甲型流感病毒来势汹汹.某科研小组经过研究发现,患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异.在某地的两类人群中各随机抽取20人的该项医学指标作为样本,得到如右栏所示的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图: 利用该指标制定一个检测标准,需要确定临界值a,将该指标小于a的人判定为阳性,大于或等于a的人判定为阴性.此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率,记为p(a);误诊率是将未患病者判定为阳性的概率,记为q(a).假设数据在组内均匀分布,用频率估计概率. (1)当临界值a=20时,求漏诊率p(a)和误诊率q(a);(4分) (2)从指标在区间[20,25]样本中随机抽取2人,记随机变量X为未患病者的人数,求X的分布列和均值;(5分) (3)在该地患病者占全部人口的5%的情况下,记f(a)为该地诊断结果不符合真实情况的概率.当a∈[20,25]时,直接写出使得f(a)取最小值时a的值.(6分) 解:(1)由频率分布直方图可知p(20)=0.02×5=0.1,q(20)=0.01×5=0.05. (2)样本中患病者在区间[20,25]的人数是20×0.02×5=2,未患病者在区间[20,25]的人数是20×0.03×5=3,总人数为5. 由题意知X可能的取值为0,1,2. 则P(X=0)==,P(X=1)==, P(X=2)==. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. (3)由题意得,f(a)=q(a)×95%+p(a)×5%, 当a∈[20,25]时,令a=t+20(t=0,1,2,3,4,5), 则q(a)=5×, p(a)=5×, 所以f(a)=g(t)=5××95%+5××5%,则关于t的一次函数的系数为5(0.03×19%-0.02×1%)>0,故g(t)单调递增.所以当t=0,即a=20时,f(a)取最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $