4.1.3 独立性与条件概率的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步练习（人教B版）

高中数学选择性必修第二册人教B版 B2,B,分别表示取到的产品由甲厂、乙厂、丙厂生产. 由已知，得P(B1)=0.2,P(B2)=0.3,P(B)=0.5, P(AIB)=0.95,P(AIB2)=0.9,P(AIB3)=0.8. (1)由全概率公式，得 P4)=∑P(B,)PAIB,)=02×0.95+0.3x0.9+0.5×0.8= 0.86. (2)由贝叶斯公式，得 PBM)=PB)P4IB2_0,2x095≈0.221. P(A) 0.86 P(B4)=PB,)PAB_0,3x09≈0.314， P(A) 0.86 PB4)=PB,)PAB,=05x0.8≈0.465. P(A) 0.86 则P(B,A)>P(B,M)>P(B,M),故这件产品由丙厂生 产的可能性最大 提升练习 15.?号【解析】若奖品在3号箱里，则主持人 只能打开2,4号箱，放PB1由题得PA,PA, P(4,)-PA,)=4.若奖品在1号箱里，则主持人可打开 2,3,4号箱，故PB1,)=了；若奖品在2号箱里，则 主持人打开2号箱的概率为0，故P(BA2)=0;若奖品 在3号箱里，则主持人只能打开2,4号箱，故P(B,4) =分；若奖品在4号箱里，则主持人只能打开2,3号 箱，故P(BM:)?由全概率公式，可得PB)=∑PA,) Pra4)子×兮0宁+号）3 16.()胎(2)石【解析】设事件A为“第一 次未摸到白球”，事件B为“第二次未摸到白球”，事件 C为“第三次摸到白球”，则事件“第三次才摸到白球” 为ABC. ()由题知PA)=号，PBA)=号，PCMB)=, 则P4BC)-PGAR)P(BA)RA)5×号×号货 (2)由题知PA)=专，PBMA)=号，PGMB)=子， 则RHC-PCABA)子×号-名 74 4.1.3独立性与条件概率的关系 效果评价 1.C【解析】P(BM)+P(B)=P(BIA)+1-P(B)=1, PBA)=PB),即P4B-PB,则PAB)=PA)PB),. P(A) 事件A与事件B相互独立.故选C 2.A【解析】事件A与事件B相互独立，P(AB) ).()(B)=1- P(A) P)号放选A 3.D【解析】甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内 独立复原魔方的概率为0.7×(1-0.6)×(1-0.5)+(1-0.7)× 0.6×(1-0.5)+(1-0.7)×(1-0.6)×0.5+(1-0.7)×(1-0.6)×(1- 0.5)=0.35.故选D. 4.C【解析】若甲只投中1次，则他获胜的概率为 2x宁×1-号×1-号一务：若甲投中2次，则他获鞋 的概率为分)×[1-号+x兮×兮']多故甲最 后获胜的概率为号+号分放选C 5.D【解析】·.甲、乙、丙三人被该公司录取的概 率分别是石，子，弓，且三人的录取结果相互之间没 有影响，他们三人都没有被录取的概率为1-石)× (-}×-号)音，放他们三人中至少有一人被录取 的概率为1音品放选D 6.A【解析】由已知，可得青蛙按逆时针方向跳一 次的概率为号，按顺时针方向跳一次的概率为号，则青 蛙按逆时针方向跳三次落在A荷叶上的概率A一=号×子× 号-多，方蛙按限时针方向跳三次落在A药叶上的概率 P~号×兮×分分成青维跳三次之后落在A街叶上的 概率P+受+分行枝选A 7.A【解析】记事件A为“在某次通电后M,N有 且只有一个需要更换”，事件B为“M需要更换”，则 P(A)=0.3×(1-0.2)+(1-0.3)×0.2=0.38,P(AB)=0.3×(1- 02)-024.则=0-8器-号放迹A 8.BD【解析】由已知，得试验的样本空间有CA= 36个样本点，事件A含有的样本点个数为A+CA=12, 则PA)品行，同理PB)PC=了，事件AB含有 的样本点个数为A2,则PAB)云，事件AC含有 的样本点个数为CCC5,则PAC)-名对于A,PMB) 裙日Pa.即率作4与公不数立，放A不正 确：对于B,P4=8音PA).即事作A与 C不強立，放B正确：对于C,P)右放 C不正确：对于D,Pa品放D正疏故 选BD 9.ABD【解析】对于A,由P(B)=P(BA),得P(B) =PAB,即P(AB)=PA)P(B),A,B相互独立，故 P(A)' A正确；对于B,由P(BM)=PBA),PBA) P(A) PBA,得PBA-PBA,又PAB+PAB=P(B, P(A) P(A)P(A) P(BA)P(E)-P(BA) .P(BA)-P(A)P(BA)=P(A)P(B) P(A) 1-P(A) -P(A)P(BA),即P(BA)=P(A)P(B),B,A相互独立， A,B相互独立，故B正确；对于C,由P(A)+P(B) =P(A UB),P(A UB)=P(A)+P(B)-P(AB),P(AB)= 0,又0<P4)<1,0<P(B)<1,P(A)P(B)≠0，故P(AB) ≠P(A)P(B),所以事件A,B不相互独立，故C错误； 对于D,由P(AB)+P(AB)=P(BIA),得P(B)=P(BA), 又Pai)-,PMB-PMPB,M,B湘互 独立，故D正确.故选ABD. 10.子子【解析】由PAB)-PaB,得PM)P P(A)P(B).设P(A)=x(0<x<1),P(B)=y(0<y<1), (B)(= 1-)1-)号·可得 x(1-y)=(1-x)y, 参考答案。 23 A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A), PMB)-PM)=号 山.③④（解析】由题意，可得P4)-是子，P代） 号号.AB)-各子，1错误：PrB4)- P(A) 专改2：P=官居·放n P(B) 2 确：P1)-4B)=子，事件A与事件B相互独立， 故④正确.故填③④. 2积【解桥】最后乙队获胜，则在利下的三局比 赛中乙队赢一局即可.若第三局乙队获胜，则其概率P= 1子：若第三局乙队负，第因局乙队胜，则其概率 P子×：若第三、第四局乙队负，第五局乙队 性，则其概幸=寻×子×分-品极经后乙队获睡的新 幸P2a-169-器 13.解：(1)设事件A为“甲晋级”，事件B为 “乙晋级”，事件C为“甲、乙两人同时晋级”， 则RC=AB=APrB)-号X宁-号 (2)设事件D为“甲、乙两人中至少有一人晋级”. 由题知事件A,B独立，则A,B也独立， pPi)-Pri)P西)写号石，则 PD)=l-PD)=1-PAB)=1-1= 66 4.解：选择①，由P(AB)=,得P(4B)=I PAB)高M与B相互独立，PA)-P4B)高 选择2，PB)=品P4B)=I-PB)=则 -品又=7品 P(BM)=号，P(BA)=3,则4=子 P(A) 3 75 高中数学选择性必修第二册人教B版 a易 P(B)-10 P(BIA)=P(AB) 选择③，P(AB)=P4B=7, P(A) ,Pi=号PB),又PA)-2PB,PA)+面=L, P) 提升练习 15.D【解析】由题意，可得P(M,)-P(M,)=了有放 回地抽取卡片两次包含的样本点个数为5×5=25，两次抽 取卡片的字母相邻包含的样本点有(A,B),(B,C), (C,D),(D,E),(B,A),(C,B),(D,C), (E,D),共8个，两次抽取卡片的字母不相邻包含的样 本点有25-8=17个，则PM),PM)号显然M 与M4为对立事件，C错误；对于A,M2与M4同时发生 包含的样本点有(A,E),(B,E),(C,E),共3 个，则P以M云≠行×号-PMP,M:与M 不相互独立，A错误；对于B,M与M同时发生包含 的样本点有(B,C),(B,A),共2个，则P(MM)= 系产行×会P代M)P,M与M不相互独立，B错 误；对于D,M1与M2同时发生包含的样本点有(B, E,共1个，则PM方5×写P)P.M 与M2相互独立，D正确.故选D. 16.【解析】若重复操作两次后，B盒中恰有7 个球，则两次取球均为乙胜.若第一次取球甲取到黑球， 乙承到白球，其货*为宁×号行，第一次取球后A盒 中有2个黑球和3个白球，B盒中有4个黑球和2个白 球，第二次取到异色球的概率为号×后+号×音是。此 时B盒中拾有7个球的概率为写×芳：若第一次取 球甲取到白球，乙取到温球，其概率为×号品·第 一次取球后A盒中有3个黑球和2个白球，B盒中有3 个黑球和3个白球，第二次取到异色球的概率为？×2+ 56 76 号×名-，此时B盒中恰有7个球的概率为品×号 B盒中恰有7个球的概率为芳+品忍 7520300 "阶段性练习卷（三） 1.C【解析】设事件A为“下雨”，事件B为 “刮风”，由题意知P心4)青PrB)=号4B)=0 PBM)=PHB=0-&故选C P(A)48 15 2.C【解析】设事件A为“第一次取到新球”，事件 B为“第二次取到新球”，则n(A)=CC,n(AB)=CC. PBM)=n4B-CS-点故选C =n(4)-CC=9 3.B【解析】设事件A:任取的一件是合格品，事 件B:任取的一件是一等品，P(A)=1-P(A)=96%, PB)-75%,PB-B)-aP)-0x高- 0.72.故选B 4.A【解析】以A1,A2,A,分别表示取得的这盒X 光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光 片为次品，P4,)高，P4:)品PA品，P1,归 0.PB,5PB,0 则由全概率公式，所求概率为 P(B)=P(A)P(BIA)+P(A2)P(BIA2)+P(A3)P(BIA3)= 高×0+高×站+品×0-0.故选A 5.A【解析】以A:表示“一批产品中有i件次品”， i0,1,2,3,4,B表示“通过检验”，则由题意，得 4o)=0.1,P(B4o)=1,P4=0.2,P(BA1)=C 0.9,P(A2)=0.4. P=是-0，Ki)d2,NB号- 0.727,P(44)=0.1, P)器-0652由全钱*公式.得 P(B)=∑P4,)PB4,)=0.1x1+0.2x0.9+0.4x0.809+ =0 0.2×0.727+0.1×0.652≈0.814.故选A.4.1.3独立性与 效果评价 1.已知P(A)>0,P(BA)+P(B)=1,则 事件A与事件B() A.互斥 B.对立 C.独立 D.以上均不正确 2.已知事件A与事件B相互独立， P(B)=5,则PBM)=（ A号 B.3 4 c D. 3.若甲、乙、丙三人在10分钟之内独 立复原魔方的概率分别为0.7,0.6,0.5，则 甲、乙、丙至多有一人在10分钟之内独立 复原魔方的概率为() A.0.26 B.0.29 C.0.32 D.0.35 4.投壶是从先秦延续至清末的中国传统 礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛 行.现有甲、乙两人进行投壶游戏，且甲、 乙每次投壶投中的概率分别为？，了，每 人每次投壶相互独立.若约定甲投壶2次， 乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获 胜的概率为（) A号 B. 27 C.3 D.10 7 5.已知甲、乙、丙三人去参加某公司面 第四章概率与统计。 条件概率的关系 试，他们被该公司录取的概率分别是 6 4,了，且三人的录取结果相互之间没有 影响，则他们三人中至少有一人被录取的概 率为() A克 B亮 c高 D 6.如图所示，荷花池中有 一只青蛙在成品字形的三片荷 叶上跳来跳去（每次跳跃时， 第6题图 均从一片荷叶跳到另一片荷叶)，而且按逆 时针方向跳的概率是按顺时针方向跳的概率 的两倍.假设现在青蛙在A荷叶上，则跳三 次之后青蛙落在A荷叶上的概率是() A号 B子 c D. 7.在某电路上有M,N两个独立工作的 元件，每次通电后，需要更换M元件的概 率为0.3，需要更换N元件的概率为0.2，则 在某次通电后M,N有且只有一个需要更换 的条件下，M需要更换的概率是() A号 B.15 19 c D.2 5 8.(多选题)将甲、乙、丙、丁4名医 生随机派往①②③三个村庄进行义诊活动， 每个村庄至少派1名医生，记事件A为“医 练(33 高中数学选择性必修第二册人教B版 生甲派往①村庄”，事件B为“医生乙派往 ①村庄”，事件C为“医生乙派往②村庄”， 则() A.事件A与B独立 B.事件A与C不独立 C.P D.P(C) 9.(多选题)已知A,B分别为随机事 件A,B的对立事件，满足0<P(A)<1,0< P(B)<1,则下列叙述可以说明事件A,B相 互独立的是() A.P(B)=P(BIA) B.P(BIA)=P(BIA) C.P(A)+P(B)=P(A UB) D.P(AB)+P(A B)=P(BIA) 10.设事件A和B相互独立，且A和B 都不发生的概率为)，A发生B不发生的概 率和B发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率P(A)= ,在事件B发生 的条件下，事件A发生的概率P(AB)= 11.口袋中有9个白球，其中6个正品 和3个次品，6个黑球，其中4个正品和2 个次品.现从口袋中随机取出1个球，记事 件A为“取出的球为白球”，事件B为“取 出的球为正品”，则下列说法正确的有 ·(填序号) ①PAB)=号：②PBM)=号：③PAIB) 弓：④事件A与事件B相互独立. 3 34)练 12.排球比赛的规则是5局3胜制，在 某次排球比赛中，甲队在每局比赛中获胜的 概率均为子，若前2局结束后乙队以2：0领 先，则最后乙队获胜的概率是 13.某校举行消防知识竞赛.在初赛中， 已知甲同学晋级的概率为号，乙同学晋级的 概率为)，甲、乙两人是否晋级互不影响。 (1)求甲、乙两人同时晋级的概率， (2)求甲、乙两人中至少有一人晋级的 概率. 14.在0A与B相互独立：②PB)=, P(BM)=子：③P(BM)=4,PA)=2P(B) 这三个条件中任选一个，补充在下列问题 中，并求解问题：已知P(B)=品， ,求P(A). 第四章概率与统计。 提升练习 15.有5张完全相同的卡片，分别写有 字母A,B,C,D,E,从中任取一张，看 后再放回，再任取一张.设M,为“第一次抽 取的卡片的字母为B”,M2为“第二次抽取 的卡片的字母为E”,M为“两次抽取卡片 的字母相邻”，M4为“两次抽取卡片的字母 不相邻”，则() A.M2与M4相互独立 B.M1与M3相互独立 C.M3与M4相互独立 D.M,与M2相互独立 16.有A,B两个盒子，其中A盒装有 3个黑球和3个白球，B盒装有3个黑球和 2个白球，这些球除颜色外完全相同.甲从 A盒、乙从B盒各随机取出1个球，若2个 球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放 入A盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取 出的2个球全部放入B盒中.按上述方法重 复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率 是 练（35