专题 3.2 不等式的基本性质（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册（浙教版 2024）

专题 3.2 不等式的基本性质 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 新知识引入1： 1 知识点（一）不等式的基本性质（1） 2 新知识引入2： 2 知识点（二）不等式的基本性质（2） 2 【题型1】利用不等式的基本性质（2）判断或证明 2 知识点（三）不等式的基本性质（3） 2 【题型2】利用不等式的基本性质（3）判断或证明 3 【题型3】利用不等式的性质综合判断 3 【题型4】利用不等式的性质比较大小 3 【题型5】将不等式化为“”或“”的形式 4 【题型6】不等式的传递性综合应用 4 【题型7】利用不等式的性质综合求值证明 5 二. 同步练习​ 5 【基础巩固（14题）】 5 【能力提升（12题）】 7 【中考真题（8题）】 8 一．知识梳理与题型分类精析 新知识引入1： 【情景问题】不等关系在生活中广泛存在.如图小宇身高米，小航身高米，小泽身高米，如下图 我们知道，我们可以得出什么结论？ 知识点（一）不等式的基本性质（1） 不等式的基本性质1：，，这个性质也叫作不等式的传递性。 新知识引入2： 【情景问题】不等关系在生活中广泛存在.如图男同学高度是米，女同学高度是米，台阶高度是米，下图是两位同学分别站在地面、台阶上的情形.两人的对话，我们可以得出什么结论？ “我比你高”表示为,“你比我高”表示什么含义呢？ 知识点（二）不等式的基本性质（2） 不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到不等式仍成立。 ，； ，。 【题型1】利用不等式的基本性质（2）判断或证明 【例题1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）若，则 ．（选填“”“”或“”） 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如果，那么 1．（填“”，“ ”，或“”）． 【变式2】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为 “”或“”的形式．； 知识点（三）不等式的基本性质（3） 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到不等式仍成立。不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 ，； ，； 【题型2】利用不等式的基本性质（3）判断或证明 【例题2】（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： （1）________； （2）________． 【题型3】利用不等式的性质综合判断 【例题3】（25-26八年级上·重庆·开学考试）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是 ． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型4】利用不等式的性质比较大小 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： （1）________； （2）________． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）试比较下列各式的大小． （1）与； （2）与． 【题型5】将不等式化为“”或“”的形式 【例题5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式： （1）； （2）； （3）． 【变式1】（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． （1）； （2）． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解关于的不等式． （1）（为常数）． （2）． 【题型6】不等式的传递性综合应用 【例题6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知． （1）比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； （2）若，，，求与的大小关系． 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） （1）已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） （2）请你尝试证明：若，则． （3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【题型7】利用不等式的性质综合求值证明 【例题7】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【变式1】（2023·贵州遵义·一模）假设分式的值为，求的取值范围． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， （1）比较与的大小； （2）若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 二. 同步练习​ 【基础巩固（14题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，那么（    ） A． B． C． D．无法判断 2．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知，则下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则一定有，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，是实数，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子变形正确的是（  ） A．由 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 二、填空题 7．（24-25七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）若，那么 （填“”“”或“”）． 8．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值 ． 10．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如果，那么与的大小关系为： ． 11．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）若且，则的取值范围是 ． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则 7．（填“”或“”） 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，比较与大小，并说明理由． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南许昌·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 3．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知三个有理数，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ． 7．（24-25七年级下·广东广州·期末）关于，的方程组，用含的式子表示 ，若，令，则的取值范围是 ． 8．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知三个正整数a，b，c，满足，且，则 ． 9．（24-25七年级下·福建莆田·期末）已知实数，满足，且，若，则的最大值为 ． 三、解答题 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三个正整数a，b，c满足，且，求a，b，c． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． （1）利用不等式的基本性质证明； （2）若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【中考真题（8题）】 一、单选题 1．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 4．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 5．（2024·四川攀枝花·中考真题）P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（） A． B． C． D． 二、填空题 6．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 7．（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 三、解答题 8．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.2 不等式的基本性质 目录 一．知识梳理与题型分类精析 1 新知识引入1： 1 知识点（一）不等式的基本性质（1） 2 新知识引入2： 2 知识点（二）不等式的基本性质（2） 2 【题型1】利用不等式的基本性质（2）判断或证明 2 知识点（三）不等式的基本性质（3） 3 【题型2】利用不等式的基本性质（3）判断或证明 3 【题型3】利用不等式的性质综合判断 5 【题型4】利用不等式的性质比较大小 6 【题型5】将不等式化为“”或“”的形式 8 【题型6】不等式的传递性综合应用 10 【题型7】利用不等式的性质综合求值证明 13 二. 同步练习​ 15 【基础巩固（14题）】 15 【能力提升（12题）】 20 【中考真题（8题）】 28 一．知识梳理与题型分类精析 新知识引入1： 【情景问题】不等关系在生活中广泛存在.如图小宇身高米，小航身高米，小泽身高米，如下图 我们知道，我们可以得出什么结论？ 解析： 知识点（一）不等式的基本性质（1） 不等式的基本性质1：，，这个性质也叫作不等式的传递性。 新知识引入2： 【情景问题】不等关系在生活中广泛存在.如图男同学高度是米，女同学高度是米，台阶高度是米，下图是两位同学分别站在地面、台阶上的情形.两人的对话，我们可以得出什么结论？ “我比你高”表示为,“你比我高”表示什么含义呢？ 解答： 知识点（二）不等式的基本性质（2） 不等式的基本性质2：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到不等式仍成立。 ，； ，。 【题型1】利用不等式的基本性质（2）判断或证明 【例题1】（24-25八年级下·河南驻马店·阶段练习）若，则 ．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质解答本题的关键． 根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即可解答． 解：因为， 两边同时减去3，可得． 故答案：． 【变式1】（24-25七年级下·黑龙江七台河·期末）如果，那么 1．（填“”，“ ”，或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是不等式的性质，熟知不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变是解答此题的关键．直接根据不等式的基本性质即可得出结论． 解：， ，即． 故答案为：． 【变式2】（24-25七年级下·广西桂林·阶段练习）根据不等式的基本性质，请将下列不等式化为 “”或“”的形式．； 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质“性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；先两边同减去，再两边同加上3，由此即可得； 解：， ，即， ，即． 知识点（三）不等式的基本性质（3） 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得到不等式仍成立。不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 ，； ，； 【题型2】利用不等式的基本性质（3）判断或证明 【例题2】（25-26八年级上·广东惠州·开学考试）已知，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质，对每个选项逐一进行分析判断即可． 解：A、在不等式的两边同时减去8，不等式仍成立，即，故本选项错误，不符合题意； B、在不等式的两边同时乘以再加1，不等号方向改变，即，故本选项错误，不符合题意； C、在不等式的两边同时除以，不等式仍成立，即，故本选项正确，符合题意； D、在不等式的两边同时乘以，不等号方向改变，即，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 【变式1】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ． 【答案】（答案不唯一，只需即可） 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 解：由，一定有， ∴， ∴的整数值可以为， 故答案为：．（答案不唯一，只需即可） 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： （1）________； （2）________． 【答案】（1），依据不等式的性质1以及不等式的性质2；（2），依据不等式的性质1以及不等式的性质3 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质为解题关键． （1）根据不等式的性质2以及不等式的性质1求出结果即可； （2）根据不等式的性质3以及不等式的性质1求出结果即可． 解：（1）解：， （依据是不等式的性质2）， （依据是不等式的性质1）， 故答案为：，依据不等式的性质1以及不等式的性质2； （2）， （依据是不等式的性质3）， （依据是不等式的性质1）， 即． 故答案为：，依据不等式的性质1以及不等式的性质3． 【题型3】利用不等式的性质综合判断 【例题3】（25-26八年级上·重庆·开学考试）若，则下列不等式中一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，逐一进行判断即可． 解：A、若，则，原不等式不成立； B、若，不能得到，比如，但是，原不等式不一定成立； C、若，则，故，原不等式成立； D、若，则，故原不等式不一定成立； 故选：C． 【变式1】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）对于实数a，b，c，有下列5个说法：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，，则，．其中说法一定正确的序号是 ． 【答案】②④⑤ 【分析】本题考查不等式的性质，不等式的性质运用时注意：必须是加上，减去或乘以或除以同一个数或式子；不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．熟练掌握其性质是解题的关键． 利用不等式的性质进行逐项分析，即可判断作答． 解：若,当时，,则①错误， 若，那么，那么,则②正确， 若,当，时，那么，则③错误， 若，那么 ∵，两边同时除以得，则④正确， 若，，则， 整理得，由得， 那么，故异号， 那么，．则⑤正确， 故答案为：②④⑤． 【变式2】（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列不等式变形不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，利用不等式的性质逐项判断即可． 解：A、若，两边同时加上c得，则A不符合题意； B、若，两边同时乘以得，则B不符合题意； C、若，两边同时乘以3得，则C不符合题意； D、若，当时，，则D符合题意； 故选：D． 【题型4】利用不等式的性质比较大小 【例题4】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： （1）________； （2）________． 【答案】（1），依据不等式的性质1以及不等式的性质2；（2），依据不等式的性质1以及不等式的性质3 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质为解题关键． （1）根据不等式的性质2以及不等式的性质1求出结果即可； （2）根据不等式的性质3以及不等式的性质1求出结果即可． 解：（1）解：， （依据是不等式的性质2）， （依据是不等式的性质1）， 故答案为：，依据不等式的性质1以及不等式的性质2； （2）， （依据是不等式的性质3）， （依据是不等式的性质1）， 即． 故答案为：，依据不等式的性质1以及不等式的性质3． 【变式1】（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，用“”或“”填空，并说明依据： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】（1），依据是不等式性质1；（2），依据是不等式性质2；（3），依据是不等式性质3；（4），依据是不等式性质1 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式性质为解题关键． （1）依据是不等式性质1求出结果即可； （2）依据是不等式性质2求出结果即可； （3）依据是不等式性质3求出结果即可； （4）依据是不等式性质1求出结果即可． 解：（1）解：， （依据是不等式性质1）； （2）， （依据是不等式性质2）； （3）， （依据是不等式性质3）； （4）， ，即（依据是不等式性质1）． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）试比较下列各式的大小． （1）与； （2）与． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，灵活巧妙的运用性质是解题的关键． （1）运用不等式的性质1即可求解； （2）运用作差法即可求解． 解：（1）解：， ， 即； （2）， ． 【题型5】将不等式化为“”或“”的形式 【例题5】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）将下列不等式化成“”或“”的形式： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查不等式的性质，掌握性质是解决问题的关键． （1）不等式两边同时减去即可, （2）不等式两边同时乘即可, （3）不等式两边同时减去，整理后不等式两边同时除以4即可． 解：（1）解：不等式两边同时减去，解得； （2）不等式两边同时乘， 得， 整理得：； （3）不等式两边同时减去， 得， 整理得， 不等式两边同时除以4，得． 【变式1】（24-25八年级下·广东河源·阶段练习）根据不等式的性质，把下列不等式化成“”或“”或“”或“”的形式． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． （1）根据不等式的性质两边都加上即可求解； （2）把不等式化为：，再进一步利用不等式的性质即可求解． 解：（1）解：∵， ∴， ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 【变式2】（25-26七年级上·全国·课后作业）解关于的不等式． （1）（为常数）． （2）． 【答案】（1）时，解集为全体实数；时，解集为或；（2）当时，；当时，不等式无解；当时， 【分析】本题考查了不等式的基本性质，能根据参数的取值范围进行分类讨论是解题的关键． （1）分类讨论：当时，当时，即可求解； （2）分类讨论：当时，当时， 当时，即可求解． 解：（1）解：， 当时，即，解集为全体实数； 当时，即，解集为或． （2）解：移项得：． 当时，即：， ； 当时，即：， 不成立， 原不等式无解； 当时，即：， ． 【题型6】不等式的传递性综合应用 【例题6】（24-25七年级下·福建泉州·期末）阅读材料，解决下列问题． 材料：已知实数、满足，求证：． 证明：且，均为正  （已知） ，（不等式的两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变） （不等式的传递性） 即， 解决问题（要求：采用推理方式解决下列问题，可以不写各步骤的依据） （1）若，求证：； （2）已知有理数，，满足：，，．试求的最小值． 【答案】（1）见分析；（2） 【分析】本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题． （2）由条件可得，而，进一步可得，结合可得答案． 解：（1）证明：， ， ， ； （2）解：，， ， 即， 又， ， ， ， ， 的最小值是． 【变式1】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知． （1）比较大小：①_____；②_____．（填“”、“”或“”）； （2）若，，，求与的大小关系． 【答案】（1）；；（2） 【分析】（1）运用不等式的性质进行计算求解； （2）运用不等式的性质和作差法进行比较、求解． 此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 解：（1）解：①∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， 即， 故答案为：，； （2）解：由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴ ， ∴． 【变式2】（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） （1）已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） （2）请你尝试证明：若，则． （3）命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】（1），；（2）见分析；（3）见分析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 解：（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 【题型7】利用不等式的性质综合求值证明 【例题7】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知都是有理数，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查不等式的性质，等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．利用不等式的基本性质证明即可． 解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 【变式1】（2023·贵州遵义·一模）假设分式的值为，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简，不等式的性质等知识，原式变形为，然后利用不等式的性质求解即可． 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围． 【变式2】（24-25七年级下·福建泉州·期末）已知：a、b、m、n四个数中，， （1）比较与的大小； （2）若a、b、m、n都是正数，利用不等式的基本性质说明： 【答案】（1）；（2）详见分析 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． （1）利用不等式的性质即可求得答案； （2）利用不等式的性质易得，，然后利用不等式的传递性即可证得结论． 解：（1）解：， 两边同时乘以得； （2）解：，m是正数， ， ，b是正数， ， 二. 同步练习​ 【基础巩固（14题）】 一、单选题 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）如果，那么（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】A 【分析】本题考查了因数和积的大小关系（分数乘法）：一个正数（0除外）乘一个大于1的数，积大于原来的数；一个正数（0除外）乘一个小于1的数，积小于原来的数；一个数乘1，积还是原数．据此即可解题． 解：如果，那么． 故选：A． 2．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）已知，则下列式子中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式性质的应用，注意：①不等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，不等号的方向不变，②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质判断即可． 解：根据不等式的三个基本性质逐项分析判断如下： A、由条件可知，正确，故本选项不符合题意； B、由条件可知，正确，故本选项不符合题意； C、由条件可知，正确，故本选项不符合题意； D、∵， ∴，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 3．（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知，则一定有，“□”中应填的符号是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质求解即可． 解：∵， ∴， ∴． ∴“□”中应填的符号是“＜”． 故选：B 4．（24-25七年级下·四川乐山·期末）已知三个数、、满足，则下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．注意：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质对各选项分析判断后利用排除法求解． 解：A：由，两边同时减，根据不等式的性质，不等号方向不变，即，因此A错误； B：由，根据不等式的性质，当时，两边乘以负数，不等号方向改变，即，因此，B错误； C：当时，，则，则错误，因此，C错误； D：由得，，则，因此，D正确． 故选D． 5．（24-25八年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，是实数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的性质：①不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐项分析即可． 解：A、∵，∴，故选项A不正确，不符合题意； B、，若，则，故选项B不正确，不符合题意； C、∵，当,时，，故选项C不正确，不符合题意； D、∵，两边同时乘以再同时加上，得，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）下列式子变形正确的是（  ） A．由 B．由，得 C．由 ，得 D．由，得 【答案】C 【分析】此题考查了等式的性质和不等式的性质．根据等式的性质和不等式的性质，等式的性质对各选项进行判断即可． 解：A. 由，故该选项不正确，不符合题意；     B. 由，得，故该选项不正确，不符合题意； C. 由 ，得，故该选项正确，符合题意； D. 由，得 ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题 7．（24-25七年级下·内蒙古通辽·阶段练习）若，那么 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，再进一步解答即可． 解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）比较大小，用“”或“”填空；若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的运算性质，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 根据不等式的性质分析出即可解答． 解：由得， 可知，当不等式两边同时除以一个负数时，不等号的方向发生改变， ∴， 即， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）关于x的一元一次不等式的解集是．写出一个满足条件的m的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的性质3解答即可．解不等式要依据不等式的性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变． 解：∵关于x的一元一次不等式的解集是． ∴， ∴满足条件的m值可以是. 故答案为：（答案不唯一）． 10．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如果，那么与的大小关系为： ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质； 根据不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 解：如果，那么与的大小关系为：， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川德阳·阶段练习）若且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质；移项后根据可得，然后可得答案． 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，x和5分别表示天平上两边的砝码的质量，则 7．（填“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式两边同时加上或者减去一个数，不等号的方向不变 ，据此即可作答． 解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）若，比较与大小，并说明理由． 【答案】，理由见分析 【分析】本题主要考查了不等式的性质，正确理解不等式的性质是解题的关键．运用不等式的性质即可求解． 解：， （不等式性质3）， （不等式性质2）． 14．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读下面的分解因式的过程： ． 利用上述分解因式的方法证明： 如果a，b，c是的三条边的长，那么． 【答案】见分析 【分析】本题考查了因式分解的应用，三角形的三边关系以及不等式的性质，掌握因式分解是解本题的关键． 先对进行因式分解，得到，再利用三角形的三边关系判定其正负性即可． 解： 根据三角形三边关系： ，即； ，即； 所以：． 【能力提升（12题）】 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南许昌·开学考试）下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键．根据等式的性质对各选项进行判断即可． 解：A．若，设，，则，故选项错误； B．若，设，，则，故选项错误； C．若，设，则，，当，时，，故选项错误； D．若，则，成立，故选项正确． 故选：D． 2．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）实数与在数轴上的位置如图所示，若，则取值可能为（　　） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了利用数轴比较实数大小，不等式的性质，掌握不等式的性质是解题关键．由数轴可知，，再根据不等式两边同时乘以一个不为0的正数，不等式方向不变，即可得到答案． 解：由数轴可知，， 若，则， 即取值可能为1， 故选：D． 3．（2025·浙江·一模）若，则，的值可能是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题是考查了分式性质，不等式与数的取值范围，解题关键在于依据、的正负性和取值范围，分析的取值情况，判断是否满足． 解：A、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； B、当，时，，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； C、当，时，，则， 不可能大于，故选项不符合题意； D、当，时，取，，， 存在满足的情况，故选项符合题意， 故选：D． 4．（24-25七年级下·上海金山·期末）下列有关不等式的解法中，错误的是（   ） A．，两边同加2，得 B．，两边同减6，得 C．，两边同乘，得 D．，两边同除以，得 【答案】C 【分析】本题考查不等式的基本性质． 根据不等式的基本性质逐一判断即可. 解：选项A：解不等式，两边同加2，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项B：解不等式，两边同减6，得．此操作符合不等式性质（加减同一数不改变不等号方向），正确，不符合题意． 选项C：解不等式，两边同乘时，未改变不等号方向，错误．正确解法应为，符合题意． 选项D：解不等式，两边同除以时改变不等号方向，得，正确，不符合题意． 综上，错误的解法是C． 故选：C. 5．（24-25七年级下·福建泉州·期中）已知三个有理数，满足，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的应用，加减消元法，利用加减法求出与的关系，再代入求出的符号即可求解，正确计算是解题的关键． 解：由得，， ∵， ∴②①，得， ∴， 把代入，得， ∴， ∵， ∴， 即， ∴，， 故选：． 二、填空题 6．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）已知，则一定有，写出一个符合条件的的整数值： ． 【答案】（答案不唯一，只需即可） 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的两边同时乘以一个负数，不等号的方向改变，即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 解：由，一定有， ∴， ∴的整数值可以为， 故答案为：．（答案不唯一，只需即可） 7．（24-25七年级下·广东广州·期末）关于，的方程组，用含的式子表示 ，若，令，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的变形以及不等式的性质．解题关键在于通过方程组中方程相减得到即关于的表达式，再利用的取值范围，结合不等式性质求出的取值范围． 先通过方程组中两个方程相减得出关于的表达式，再结合的取值范围来确定的取值范围． 解：， 得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 两边同时除以，得到， ， ， ， ∴， ∴， ∴， 的取值范围是． 故答案为：，． 8．（24-25七年级下·山东日照·阶段练习）已知三个正整数a，b，c，满足，且，则 ． 【答案】36 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．先由，且，，为正整数得，则，，由此可得，则，进而可得，同理得，则，结合可得，进而再求出的值即可． 解：，且，，为正整数， ， ， 又， ，， ，， 即：， ， 将代入，得：， 同理：，则， ， ， 将代入，得：， 综上所述：，，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·福建莆田·期末）已知实数，满足，且，若，则的最大值为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了解二元一次方程，一元一次不等式，解题的关键是把b当做一个已知数求解，用a表示b． 根据题意，可得，则，由，推导出，即可解答． 解：由得 ， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 则的最大值为13． 故答案为：13. 三、解答题 10．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知三个正整数a，b，c满足，且，求a，b，c． 【答案】，，． 【分析】此题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解答此题的关键．先由，且，，为正整数得，则，，由此可得，则，进而可得，同理得，则，结合可得，进而再求出的值即可． 解：，且，，为正整数， ， ， 又， ，， ，， 即：， ， 将代入，得：， 同理：，则， ， ， 将代入，得：， 综上所述：，， 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）已知实数a，b满足． （1）利用不等式的基本性质证明； （2）若存在实数c，m，使得，且． ①求证：； ②当a，b，c，m均为整数时，求a，b，c的值． 【答案】（1）见分析；（2）①见分析；②，，． 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，则，据此可证明结论； （2）①同理可得，则，则可证明，则，据此可证明结论；②根据①可得或，则或或，再讨论a、m的值求解即可． 解：（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②∵a，m均为整数，且，，， ∴或， ∴或或， 当时， ∵， ∴，即，不符合题意； 当时， ∵， ∴，即， ∵，且c、b都是整数， ∴， ∴，故此种情况不成立； 当时， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，，． 【中考真题（8题）】 一、单选题 1．（2024·上海·中考真题）如果，那么下列正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 解：A．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； B．两边都加上，不等号的方向不改变，故错误，不符合题意； C．两边同时乘上大于零的数，不等号的方向不改变，故正确，符合题意； D．两边同时乘上小于零的数，不等号的方向改变，故错误，不符合题意； 故选：C． 2．（2024·江苏苏州·中考真题）若，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变． 直接利用不等式的性质逐一判断即可． 解：， A、，故错误，该选项不合题意； B、，故错误，该选项不合题意； C、无法得出，故错误，该选项不合题意； D、，故正确，该选项符合题意； 故选：D． 3．（2025·山东济南·中考真题）已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的基本性质，掌握三个性质是解决本题的关键．不等式的基本性质：基本性质1，不等式两边同时加上或减去同一个整式，不等号的方向不变；基本性质2，不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；基本性质3，不等式两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质即可得出答案． 解：A、，则，选项错误，不符合题意； B、，则，选项错误，不符合题意； C、，则，选项错误，不符合题意； D、，则，即，选项正确，符合题意， 故选：D． 4．（2025·广西·中考真题）有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水，，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．根据不等式的性质，在两边同时加上相同的正数，不等式方向不变，即可求解． 解：∵初始时，两杯水的质量分别为克和克， ∴加入克水后，两杯水的质量变为克和克， ∵， ∴， 故选：A 5．（2024·四川攀枝花·中考真题）P、Q、R、S四人的体重分别为p、q、r、s，他们去公园玩跷跷板，如下面示意图所示，则四人体重的大小关系为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，由题意得：，通过不等式的性质求解即可，掌握不等式的性质是解题的关键． 解：由题意得：， 由③得：④， 把④代入②中得： ， 由③得：， 故选：A． 二、填空题 6．（2024·江苏无锡·中考真题）命题“若，则”是 命题．（填“真”或“假”） 【答案】假 【分析】本题主要考查了真假命题的判断以及不等式的性质，根据，可得出，进而可判断出若，则是假命题． 解：∵ ∴， ∴若，则是假命题， 故答案为：假． 7．（2025·江苏常州·中考真题）若则 0．（填、或）． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式两边都加上或减去同一个数或同一个式子，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．根据不等式的性质，即可解答． 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 8．（2025·福建·中考真题）阅读材料，回答问题． 主题 两个正数的积与商的位数探究 提出问题 小明是一位爱思考的小学生．一次，在完成多位数的乘法时，他根据算式“”，猜想：m位的正整数与n位的正整数的乘积是一个位的正整数． 分析探究 问题1  小明的猜想是否正确？若正确，请给予证明；否则，请举出反例 推广延伸 小明的猜想激发了初中生小华的探究热情．为了使问题的研究推广到有理数的乘法，进而迁移到对除法的研究，小华将数的“位数”与“数字”的概念进行推广，规定：如果一个正数用科学记数法表示为，则称这个数的位数是，数字是a． 借此，小华研究了两个数乘积的位数问题，提出并证明了以下命题． 命题：若正数A，B，C的位数分别为m，n，p，数字分别为a，b，c，且，则必有且，或且．并且，当且时，；当且时，． 证明：依题意知，A，B，C用科学记数法可分别表示为，其中a，b，c均为正数． 由，得， 即．（*） 当且时，“，所以，又，所以．由（*）知，，所以； 当且时，，所以所以， 与（*）矛盾，不合题意； 当且时， ① ； 当且时， ② ． 综上所述，命题成立． 拓展迁移 问题2  若正数A，B的位数分别为m，n，那么的位数是多少？证明你的结论． （1）解决问题1； （2）请把①②所缺的证明过程补充完整； （3）解决问题2． 【答案】（1）小明的猜想不正确，反例：；（2）见分析；（3）当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是；当A的数字小于B的数字时，的位数是 【分析】（1）举反例即可； （2）①当且时，可得，得，不合题意； ②当且时，可得，可得，得，即得． （3）设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则．当时，必有，，即；当时，必有，，即． 解：（1）解：小明的猜想不正确． 反例：． （2）证明：①，所以，所以，与（*）矛盾，不合题意； ②，所以，又，所以， 由（*）知，所以． （3）解：当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是． 证明如下： 由已知，A，B的位数分别为m，n， 设，A，B，C的数字分别为a，b，c，C的位数为x，则． 由小华的命题知，当时，必有， 此时，，所以； 当时，必有， 此时，，所以． 综上所述，当A的数字大于或等于B的数字时，的位数是； 当A的数字小于B的数字时，的位数是， 【点拨】本小题考查判断命题的真假，科学记数法，整数指数幂，幂的运算，不等式的基本性质，代数推理等基础知识，熟练掌握是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $