第三章 排列、组合与二项式定理 章末复习课-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

第三章章 要点精析 川要点1两个计数原理 1.分类加法计数原理和分步乘法计数原 理是本章内容的学习基础，在进行计数过程 中，常因分类不明导致增（漏）解，因此在 解题中既要保证类与类的互斥性，又要关注 总数的完备性 2.掌握两个计数原理，提升逻辑推理和 数学运算素养 例1(1)现有16张不同的卡片，其 中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从 中任取3张，要求这3张卡片不能是同一颜 色，且绿色卡片至多1张，则不同的取法种 数为() A.484 B.472 C.252 D.232 (2)车间有11名工人，其中5名男工 是钳工，4名女工是车工，另外两名老师傅 既能当车工又能当钳工，现在要在这11名 工人里选派4名钳工、4名车工修理一台机 床，则有多少种选派方法？ 第三章排列、组合与二项式定理 末复习课 反思感悟 应用两个计数原理计数的四个步骤： (1)明确完成的这件事是什么. (2)思考如何完成这件事」 (3)判断它属于分类还是分步，是先 分类后分步，还是先分步后分类 (4)选择计数原理进行计算 B变式训练① 从1,2,3,4,5,6这6个数字中， 任取3个数字组成无重复数字的三位数，其 中，若有1和3时，3必须排在1的前面； 若只有1和3中的一个时，它应排在其他数 字的前面.这样不同的三位数共有 个.（用数字作答） 川要点2排列与组合的综合应用 1.排列、组合是两类特殊的计数求解方 式，在计数原理求解中起着举足轻重的作 用，解决排列与组合的综合问题要树立先选 后排.特殊元素（特殊位置）优先的原则. 2.明确排列和组合的运算，重点提升数 学建模及数学运算的素养， 例2在高三(1)班元旦晚会上，有6 个演唱节目，4个舞蹈节目. (1)当要求4个舞蹈节日排在一起时， 有多少种不同的节目安排顺序？ (2)当要求每2个舞蹈节目之间至少安 排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安 排顺序？ 学 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 (3)若已定好节目单，后来情况有变， 需加上诗朗诵和快板2个节目，但不能改变 原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目 演出顺序？ 反思感悟 解决排列、组合综合问题要注意以下 几点： (1)首先要分清该问题是排列问题还 是组合问题 (2)对于含有多个限制条件的复杂问 题，应认真分析每个限制条件，再考虑是 分类还是分步，分类时要不重不漏，分步 时要步步相接 (3)对于含有“至多”“至少”的问 题，常采用间接法，此时要考虑全面，排 除干净 28)学 B变式训练2 6个女生（其中有1个领唱）和2个男 生分成两排表演。 (1)若每排4人，共有多少种不同的排法？ (2)领唱站在前排，男生站在后排，每 排4人，有多少种不同的排法？ 川要点3二项式定理及其应用 1.二项式定理有比较广泛的应用，可用 于代数式的化简、变形、证明整除、近似计 算、证明不等式等，其原理可以用于三项式 相应展开式项的系数求解. 2.二项式原理所体现的是一种数学运算 素养。 例3若（2x+V3)4=+比+a22+x3+ a44,则(a+2+a4)2-(a+a)2的值为（） A.-1 B.0 C.1 D.2 反思感悟 “赋值法”在二项展开式中的应用： (1)观察：先观察二项展开式左右两 边式子的结构特征 (2)赋值：结合待求和上述特征，对 变量x赋值，常见的赋值有x=-1,x=0,x=1 等，具体视情况而定 (3)解方程：赋值后结合待求建立方 程（组），求解即可. B变式训练3 若(x2+1)(x-3)9=a+4(x-2)+(x-2)2+ a3(x-2)3+…+a1(x-2)1,则a+2++…+a1的 值为 例4已知在Vx-、 2 x的展开式 中，第5项的系数与第3项的系数之比是 56:3. (1)求展开式中的所有有理项 (2)求展开式中系数的绝对值最大的项. (3)求n+9C2+81C+…+9Cm的值. 第三章排列、组合与二项式定理 反思感悟 二项式特定项的求解策略： (1)确定二项式中的有关元素：一般 是根据已知条件，列出等式，从而解得所 要求的二项式中的有关元素. (2)确定二项展开式中的常数项：先 写出其通项公式，令未知数的指数为0，从 而确定项数，然后代入通项公式，即可确 定常数项， (3)求二项展开式中条件项的系数： 先写出其通项公式，再由条件确定项数， 然后代入通项公式求出此项的系数」 (4)确定二项展开式中的系数最大或 最小项：利用二项式系数的性质」 B变式训练④ 已知(Vx-Vx)的展开式中所有项 的二项式系数之和为1024. (1)求展开式的所有有理项（指数为 整数) (2)求(1-x)3+(1-x)4+…+(1-x)”的展 开式中x2项的系数. 学(29变式训练3解：(2-2x-3)0=+a1(x-1)+☑2(x-1)2+… +a(x-1)0,令x-1=t,展开式化为(2-4)0-tat+ad2+… +axd (1)a=C8(-4)9=-4×10. (2)令t=l,得a+a+a+…+=30,令t=-1,得a at2-…+02=30，∴.a+a+a+…+ag-0. (3)由(2)得a+a2+a4+…+a20=310 例3解：令=1，则二项式各项系数的和为f1)=(1+3 4",又展开式中各项的二项式系数之和为2.由题意， 知4-2=992..(2"）2-2-992=0，.(2"+31)(2-32)=0， .2=-31(舍去)或2=32，∴n=5. (1),7=5为奇数，∴.展开式中二项式系数最大的项 为中间的两项，它们分别为T,=C(x子)3.(3x22=905, T=C(x子)尸.(3x2)-270x号 (2)展开式的通项公式为T+1=C·3x号，假 设T+项系数最大，则有 C3≥C13, C3≥C1.3, 5 (5-6)13≥ 51 6-k)1(k-1)！' 5！ 51 5-)≥(4ki4+×3. 3≥1 勿 k6-k' 1 、3 之.heN,k=4, 5-k≥中： 展开式中系数最大的项为1-Cx号(34-405等 变式训练4解：：V:是)广的展开式的通项公式是 TC(V是)(-2C学0≤≤，keN). 7=-2C,-2c=9 .n2-5n-24=0,解得n=8或n=-3(舍去). (④)令x=1,则V-是广(1-21，即所求各项 系数的和为1. (2)展开式的通项公式为I=(-2)Cx学(0≤k≤ 8,kN).令80-多，解得=1.展开武中含 的项为T2=I+=(-2)'Cx之=-16x之 (3)展开式的第k项、第(k+1)项、第(k+2)项的 参考答案。 系数的绝对值分别为C12,C2,C+2.若第(k+1) 1C2≤C2, 项的系数绝对值最大，则有 C2≥C2H, 解得5≤k≤6， 故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项，即 T=-1792x号，T=1792 例4(1)解：20210-(8×252+5)0 其展开式中除末项为5”外，其余的各项均含有8 这个因数，∴20210除以8的余数与5o除以8的余数相 同.又50=255=(3×8+1)5，其展开式中除末项为1外， 其余的各项均含有8这个因数，.50除以8的余数为1， 即20210除以8的余数也为1. (2)证明：322-8n-9=(8+1)y-8n-9 =C418ml+Cwt18+…+Cmt1-8n-9 =C%+18m+C+18+…+C%82+(n+1)×8+1-8n-9 =C218m+C+18"+…+Cm82 上式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被 64整除. 变式训练5(1)证明：原式=46+5n-4=4(5+1)+5n- 4=4(Cg.5"+C1.5-+C2·5-2+…+Cg)+5n-4 =4(C0·5+C%·5-+…+CW-2.52+Cw-1·51)+4C%+5n-4 =4(C·5"+C·5-+…+Cg-2.52)+20n+4+5n-4 =4(C.5n+C5+…+Ca2.5)+25n. 以上各项均为25的整数倍，故22.3"+5n-4能被25 整除 (2)解：0.9986=(1-0.002)6=1+C6(-0.002)+C· (-0.002)2+…+C(-0.002)6 由题意，知TC号(-0.002)2-15x0.0022=0.00006<0.001, 且第3项以后（包括第3项）的项的绝对值都远小 于0.001，故0.9986=(1-0.002)6≈1-6×0.002=0.988. 数学文化 例ABC【解析】由组合数的互补性质，可得C=C:, 故A正确；由组合数的性质，可得C+C=C1,故B 正确；由二项式系数和的性质，可得C+C+C+…+C= 2,故C正确；115=(10+1)5=10+5×104+10×10+10×10+ 5x10+1=161051,故D错误.故选ABC. >“第三章章末复习课 要点精析 例1(1)B【解析】根据题意，不考虑特殊情况，共 37 高中数学选择性必修第二册人教B版 有C。种取法，其中每一种卡片各取3张，有4C种取 法，取2张绿色卡片有CC,种取法，故所求的取法共有 Ci6-4C-CC2=472种.故选B. (2)解：方法一：设A,B代表两名老师傅. A,B都不在内的选派方法有CC=5种， A,B都在内且当钳工的选派方法有CCC=10种， A,B都在内且当车工的选派方法有CCC=30种， A,B都在内且一人当钳工、一人当车工的选派方 法有ACC=80种， A,B有一人在内且当钳工的选派方法有CCC= 20种. A,B有一人在内且当车工的选派方法有C2CC= 40种， ..共有CgC4+C2CC4+CCgC+ACC+CCC4+ CCC=185种选派方法 方法二：5名男钳工有4名被选上的方法有CC4+ CCC2+CCGC=75种， 5名男钳工有3名被选上的方法有CCC4+CCA= 100种， 5名男钳工有2名被选上的方法有CCC=10种， .共有75+100+10=185种选派方法. 方法三：4名女车工都被选上的方法有CC+CCC侧 +C1CC=35种， 4名女车工有3名被选上的方法有CCC+CCA3 120种， 4名女车工有2名被选上的方法有CCC=30种， ..共有35+120+30=185种选派方法 变式训练160【解析】1与3是特殊元素，以此为分 类标准进行分类」 分三类： ①没有数字1和3时，满足条件的三位数有A个； ②只有1和3中的一个时，满足条件的三位数有 2A个； ③同时有1和3时，把3排在1的前面，再从其余 4个数字中选1个数字插入3个空中的1个即可，满足 条件的三位数有CC个 ..满足条件的三位数共有A+2A+CC=60个. 例2解：(1)第一步先将4个舞蹈节目捆绑起来，看 成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A?=5040种 方法；第二步再松绑，给4个舞蹈节目排序，有A=24 38 种方法」 根据分步乘法计数原理，一共有5040x24=120960 种安排顺序. (2)第一步将6个演唱节目排成一列（如图中的 “☐”)，一共有A8=720种方法. x☐x□x☐x☐×☐x☐x 第二步再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目 中间（即图中“×”的位置），这样相当于7个“×”选4 个来排，一共有A=840种方法. 根据分步乘法计数原理，一共有720×840=604800 种安排顺序， (3)若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A 种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节 目演出的顺序有会号=A=132种 变式训练2解：(1)要完成这件事分三步. 第一步，从8人中选4人站在前排，另4人站在后 排，共有CC种不同的排法； 第二步，前排4人进行全排列，有A种不同的 排法； 第三步，后排4人进行全排列，有A:种不同的 排法 由分步乘法计数原理知，有CC4A4A:=40320种不 同的排法. (2)思路与(1)相同，有CAA=5760种不同的 排法 例3C【解析】在(2x+V3)-a+ar+ax2+a+ac中， 令x=1,得(2+V3)A-ao+a+a+a+a4; 令x=-1,得(-2+V3)Aa-a+-a+a4. 两式相乘，得(2+V3)(-2+V3)4=(a+a+++ a4)(ag-a1+a2-a+a4). .(ao+a+a4)2-(a+a)2=(-4+3)=1.故选C. 变式训练35【解析】令x=2,得a,=(2+1)(2-3)=-5, 令x=3,则a+a+a2++…+am=(32+1)(3-3)9=0, .∴.ata2++…+am=-a0=5. 例4解：(1)由C(-2)4:C(-2)2=56:3,解得n=10 (负值合去).遥项公式为C(V子 (-2Cx等，当5-5k为整数时，k可取0,6，于是有 6 理项为T1=x5和T=13440. 参考答案。 (2)设第(k+1)项系数的绝对值最大，则 -C6+9C692℃+9℃++9C81 9 C24≥C62-1, 解得 3 =(1+9)0-1_100-1 C2≥C82 又ke{1,2,3,…,9}, k≥19 9 9 变式训练4解：(1)由题意，得2-1024，n=10,. k=7.当k=7时，Ts=-15360x言，又当k=0时，T= 展开式的通项公式为T=C6(V无)0(-V无)=(-1)C: x,当k=10时，11=(-2)x号=1024e号，系数的 学=-1ca片k=-0,1,,10),令5名eZ. 绝对值最大的项为Tg=-15360x云. 得k=0,6..有理项为T=C9x=x5,T=Cx=210x4 (3)原式=10+9C+81Ci+…+90-C8 (2)C+C1=C1,.C1=C1-C,x2项的系数为 =9C+92C+9Ci+…+910C18 C+C+…+C=(C8-C)+(C-C)+…+(Ci-Ci)=Ci-C= 9 164 第四章 概率与统计 >"4.1条件概率与事件的独立性 P)号-古 变式训练2解：设A=“在班内任选1名学生，该学生 4.1.1条件概率 属于第一小组”，B=“在班内任选1名学生，该学生是团员”. 要点精析 )Pa)8 例1(I)【解析】(1)：事件A所包含的基本事 件有（正，正），（正，反），事件A∩B所包含的基本 (2)P(B)=1点=3 40-8 事件有（正，正）.PA)子，P4nB)=4P)= 3)ranB)奇0 (4)方法一：P(AB)=PAnB)-10_4 P(A) P(B) 315 4 8 (2)解：将甲抽到数字a,乙抽到数字b,记作(a, 方法二：PAIB)=n(AnB2=4 n(B)15 b),甲抽到奇数的情形有(1,2)，(1,3)，(1,4)， (1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,4), 例2 400 0【解析】从这靴产品中随意取一件，则 (3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3), (5,4),(5,6),共15个样本点.在这15个样本点 这件产品恰好是次品的展半是0品 中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1,2)， 方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产 (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,4), :品恰好是次品的概率是点=」 50020 (3,5),(3,6),(5,6),共9个样本点，.所求概 方法二：设事件A=“取出的产品是甲厂生产的”， 率r品 事件B=“取出的产品为甲厂的次品”，则P(4)50 变式训练1解：甲抽到的数大于4的情形有(5,1)， (5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), P1nB)=0,∴这件产品恰好是甲厂生产的次品的 (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),: 概率是P(BM)=PAnB)=1 (6,6),共12个样本点，其中甲、乙抽到的两数之和 P(A)20 等于7的情形有(5,2)，(6,1)，共2个样本点.： 变式训练3子【解析】设“甲、乙二人相邻”为事件 39