4.1.3 独立性与条件概率的关系-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

(1)由全概率公式，得P(B)=∑P(4:)P(B4,)= 3.5% (2)由贝叶斯公式（或条件概率定义），得 P(A IB)=P(A B)=P(A)P(BA)_18 P(B)P(B)35 变式训练4解：设事件A表示取到的产品为正品，B, B2,B分别表示产品由甲、乙、丙厂生产.则2=BU B2UB,且B1,B2,B,两两互斥，由已知P(B)=0.2 P(B2)=0.3,P(B3)=0.5,P(AIB1)=0.95,P(AIB2)=0.9, P(AIB3)=0.8. (D由全概率公式，得P4)-∑P(EPAIB)-02x 0.95+0.3×0.9+0.5×0.8=0.86. (2)由贝叶斯公式，得P(B,M)=P(BP(AIB) P(A) 0.2x0.95=g,PBM)EPBP4B-0.3x0.927 0.86 P(A) 0.8686 P(B,4)=PB)P4IB,)=0.5x0.84020 P(A) 0.868643 对以上3个概率作比较，可知这件产品由丙厂生产 的可能性最大 数学文化 例D【解析】根据“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜 “布”，而“布”又胜“石头”，可得每局比赛中小华胜 小明、小华与小明和局和小华输给小明的概率都为号 小华获胜有三种情况： ①小华连胜三局，概率为P(3”=7 ②小华前三局中两胜另一局不胜，第三局小华胜，概 率为P-c}号兮)号 ③小华前四局中两胜，另两局不胜，第五局小华胜， 颗率为P-c到号号月号景 :小华获胜的斑率是LP+P号-导放 选D 4.1.3独立性与条件概率的关系 要点精析 例1AC【解析】把一枚硬币掷两次，对于每次而言是 相互独立的，其结果不受先后次序的影响，故选项A中 参考答案。 A,B事件是相互独立事件；选项B中是不放回地摸球， 显然A事件与B事件不相互独立；对于C,A事件为出 现1,3,5点，P4)=7,在事件B发生的条件下事件A 发生的概率P(4B)==P4),事件A,B相互独立： 选项D中两事件是互斥事件，不是相互独立事件.故选 AC. 变式训练1A【解析】事件A:是否发生对事件A2的发 生没有影响，故A,与A2是相互独立事件. 例2解：记事件A表示“进人商场的一位顾客购买甲 种商品”，则P(A)=0.5:记事件B表示“进入商场的一 位顾客购买乙种商品”，则P(B)=0.6;记事件C表示 “进入商场的一位顾客，甲、乙两种商品都购买”；记事 件D表示“进入商场的一位顾客只购买甲种商品” (1)易知C=AB,则 P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5x0.6=0.3. (2)易知D=AB,则 P(D)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5x0.4=0.2. 变式训练2解：令事件A,B,C分别表示A,B,C 三个公司的研究机构在一定时期内成功开发出新软件， 依题意，可知事件A,B,C相互独立，且P(4)=行， PrB)4,PC)3 1 (1)他们都开发出新软件，即事件A,B,C同时发 生，PaBC-R)PRC)写×子×写0 (2)只有A公司开发出新软件，即事件A,B,C 同时发生，P=P4PBPC=写×x号0 例3解：(1)设事件C为“一天中甲学生午餐和晚餐 都选择A餐厅就餐”，事件D为“乙学生午餐和晚餐都 选择B餐厅就餐”，100天中甲学生午餐和晚餐都选择 A餐厅就餐的天数为30，乙学生午餐和晚餐都选择B 餐厅就餐的天数为40. PC)=30-0.3,PD)=40-0.4 100 100 (2)由题知P(NM)>P(NMM),即PM>PN P(M)P(M) P(N)-P(NM,即P(NM)>P(N)P(M),即P(NM)- 1-P(M) P(N)P(NM)>P(N)P(M)-P(N)P(NM).P(NM)P(N)> 41 高中数学选择性必修第二册人教B版 PPw.即.即PN>PM. 变式训练3解：用A,B,C分别表示这三列火车正点 到达的事件，则P(A)=0.8,P(B)=0.8,P(C)=0.9, ∴P(A)=0.2,P(B)=0.2,P(C)=0.1. (1)由题意，得A,B,C之间互相独立，恰好 有两列正点到达的概率为P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) =P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)+P(A)P(B)P(C)=0.2x 0.8×0.9+0.8×0.2×0.9+0.8×0.8×0.1=0.352 (2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P,=1- P(ABC)=1-P(A)P(B)P(C)=1-0.2x0.2x0.1=0.996. 数学文化 例B【解析】先求连续两球，甲、乙各赢一个的概率， 不妨设甲先发球，此时可能是甲赢乙赢或者乙赢甲赢， 两球各藏一个的概率为m×号+1-，×7，若 p2=0.5,设打了2n个球，则两人不能结束比赛的概率为 (分广，则两人能在两球后结束比赛的概率为1-（分卜， 与p1无关，∴.命题①错误； 设打了2个球，则两人能在两球后结束比赛的概 率为1-分人，与：无关，命题②错误 不妨设甲先发球，第二球分出胜负，即两球要么 是甲赢，要么是乙赢，∴.第二球分出胜负的概率为 PP2+(1-P1)(1-P2)=1-P1-P2+2印P2,在第二球没有分出胜 负的情况下进而第四球分出胜负的概率是条件概率， 第二球没有分出胜负，说明前两球各赢一个球，其概 率为p1(1-p2)+(1-p1)p2=p1+p2-2pP2,在第二球没有分 出胜负的情况下进而第四球分出胜负的概率为 [p+pr2ppl[pp+l上2p）】=1-p1-p+2pp2,.第 Pr+p2-2p P2 二球分出胜负的概率与在第二球没有分出胜负的情况下 进而第四球分出胜负的概率相同，.命题③正确： 不妨设甲先发球，第二球分出胜负的概率为 Pp+(1-p1)(1-p2)=1-p1-p2+2pp2,在第2n球没有分 出胜负的概率为 [pm(1-p2)+(1-pup2][pp+(1-p)(1-P2)] [p(1-p2)+(1-p1p2]z =1-p1P+2印P2,∴.第二球分出胜负的概率与在第2n 球没有分出胜负的情况下进而第(2+2)球分出胜负的 42 概率相同，命题④正确.故选B. >n4.2随机变量 4.2.1随机变量及其与事件的联系 要点精析 例1解：(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能 为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量， 也是离散型随机变量： (2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为 0,1,2,3,…,是随机变化的，因此是随机变量，也 是离散型随机变量. (3)2025年5月1日到6月1日期间，所查酒驾的 人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随 机变量，也是离散型随机变量. (4)由于果汁的容量在498~502mL之间波动，是 随机变量，但不是离散型随机变量 变式训练1解：(1)只要取出一张，便有一个号码， 因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机 变量的定义 (2)从10个球中取3个球，所得的结果有以下几 种：3个白球、2个白球和1个黑球、1个白球和2个黑 球、3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随 机变量的定义 (3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取 (0,30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机 变量. (4)实际测量值与规定值之间的差值无法一一列 出，不是离散型随机变量. 例2(1)0.7【解析】专可能取值为0,1，当=0时， 表明该射手在本次射击中没有击中目标；当飞=1时，表 明该射手在本次射击中击中目标.这两个事件是对立的， ∴.P(5=1)=1-P(=0)=0.7. (2)解：X的可能取值为0,1000,3000,6000. X=0,表示第一关就没有通过；X=1000,表示第一关通 过，而第二关没有通过；X=3000,表示第一、第二关 通过，而第三关没有通过：X=6000,表示三关都通过. 变式训练2解：(1)X可能取的值为0,1,2,3. (2)X=1表示的事件为“第一次取得次品，第二次 取得正品”·4.1.3独立性与 学习目标 1.结合条件概率理獬相互独立事件的充 要条件，会对事件的独立性进行判断： 2.会求相互独立事件同时发生的概率. 3.能运用互斥事件的概率加法公式及独 立事件的乘法公式解题， 要点精析 川要点1相互独立事件的判断 事件A与B独立的充要条件：当P(B)> 0时，A与B独立的充要条件是P(AB)= P(A).事实上，“A与B独立”也经常被说 成“A与B互不影响” 思考“A与B独立的充要条件是 P(AB)=P(A)”,与“A与B独立的充要条 件是P(AB)=P(A)P(B)”矛盾吗？ 例1（多选题)下列事件中，A,B是 相互独立事件的是() A.一枚硬币掷两次，A=“第一次为正 面”，B=“第二次为反面” B.袋中有2个白球，2个黑球，不放回 地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二 次摸到白球” C.掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”， B=“出现点数为3或4” D.掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数” B=“出现点数为偶数” 反思感悟 (1)两个事件是否相互独立的判断方法： 第四章概率与统计。 条件概率的关系 ①意义法：由事件本身的性质直接判 定两个事件发生是否相互影响 ②充要条件法：事件A,B相互独立 的充要条件是P(AB)=P(A). (2)互斥事件与相互独立事件的区别： 互斥事件不可能同时发生，而相互独立事 件以能够同时发生为前提。 B变式训练① 一个不透明的口袋中有黑、白两种颜 色的球，这些球除颜色外完全相同，从中 进行有放回地摸球，用A,表示第一次摸得 白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2 是() A.相互独立事件B.不相互独立事件 C.互斥事件 D.对立事件 川要点2相互独立事件同时发生的概率： 例2设进入某商场的每一位顾客购买 甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概 率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品 相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独 立的.求： (1)进入商场的一位顾客，甲、乙两种 商品都购买的概率 (2)进入商场的一位顾客只购买甲种商 品的概率. 学(37 N 高中数学选择性必修第二册人教B版 反思感悟 求相互独立事件同时发生的概率的关 注点 (1)条件：各个事件是相互独立的， 而且它们同时发生。 (2)公式：P(AA2…A)=P(A)P(A2)… P(A:). B变式训练2 近些年人工智能软件受到广泛关注，各 互联网公司都在加紧研发软件.如果A,B, C三个公司的研究机构在一定的时期内能 开发出新软件的概率分别是上，1,1 54’3 (1)求三个公司都开发出新软件的概率 (2)求只有A公司开发出新软件的概率， 38)学 川要点3相互独立事件概率的综合问题？ 例3某大学有A,B两个餐厅为学生 提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位学生每天 午餐和晚餐都在学校就餐，近100天选择餐 厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况 (午餐、晚餐) (A,A)(A,B)(B,A)(B,B) 甲 30天 20天 40天 10天 乙 20天 25天 15天 40天 假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率 估计概率。 (1)分别估计一天中甲午餐和晚餐都选 择A餐厅就餐的概率，乙午餐和晚餐都选择 B餐厅就餐的概率. (2)假设M表示事件“A餐厅推出优惠 套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就 餐”，P(M)>0,一般来说在推出优惠套餐的 情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出 优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要 大，证明：P(MIN)>P(MN). 反思感悟 相互独立事件概率的综合问题的解题 策略： (1)正难则反：灵活应用对立事件的 概率关系(P(A)+P(A)=1简化问题，是求 解概率问题最常用的方法】 (2)化繁为简：将复杂事件的概率转 化为简单事件的概率，即寻找所求事件与 已知事件之间的关系.“所求事件”分几 类（考虑加法公式转化为互斥事件）还是 分几步组成（考虑乘法公式转化为相互独 立事件) B变式训练③ 张老师准备乘火车从济南到北京去开 会，若当天从济南到北京的三列火车正点到 达的概率分别为0.8,0.8,0.9，假设这三列 火车之间是否正点到达互不影响. (1)求这三列火车恰好有两列正点到达 的概率。 (2)求这三列火车至少有一列正点到达 的概率。 第四章概率与统计。 数学文化 例甲、乙两人进行乒乓球比赛，两人 打到10平，之后的比赛要每球交替发球权 且要一人净胜两球才能取胜.已知甲发球甲 获胜的概率为P1,乙发球甲获胜的概率为 P2,则下列命题正确的个数为（) ①若P2=0.5,两人能在两球后结束比赛 的概率与P1有关； ②若p1=0.5,两人能在两球后结束比赛 的概率与P2有关； ③第二球分出胜负的概率与在第二球没 有分出胜负的情况下进而第四球分出胜负的 概率相同； ④第二球分出胜负的概率与在第2n球 没有分出胜负的情况下进而第(2n+2)球分 出胜负的概率相同 A.1 B.2 C.3 D.4 学(39