3.1.3 第2课时 组合数的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册学习手册（人教B版）

N 高中数学选择性必修第二册人教B版 对应A个排列，即A=CA.类比可知，从n个不同元 素中选出m个元素的排列数A”与组合数Cm间的等量 关系为A=CmA. 变式训练2解：先将元素按照一定顺序排好，然后按 顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来，如图所示 b cde de 变式训练2答图 由此可得所有的组合：ab,ac,ad,ae,bc,bd, be,cd,ce,de,共有l0种. 例3解：（1)3c-2C=3x503-2-148 (0≤38-n≤3n, (2). .9.5≤n≤10.5.n∈Nt, 0≤3n≤21+n, .n=10, .:.C38-"+C别+n=C8+C39=C30+C31=466. 例4证明：mCm=m n! ml(n-m)! n-(-1)！ =(m-1(-m} (n-1)！ ·m-1)0n-m刀 =n.Cw-1 例5(1)ABCD【解析】由C>C,得 4(n4r6n-6'm2-9m-10k0,-1K10, n! n! n≥6 n≥6. n≥6 又n∈N,.该不等式的解集为{6,7,8,9}· 故选ABCD. 2解：gd 51 61 =Zx-mmL，即m(5-my_m(6-m(5-m是 10x71 51 6x51 7ml(7=m6)5-mL,l-6-2m-⑦-m6-m,即 10x7×6x51 6 60 m2-23m+42-0,解得m=2或m=21.0≤m≤5，m∈N, .m=2,.∴.Cg+Cm-C8+C8=C9=84. 变式训练3(1)解：C器+C-Cm+C=100x99+ 2 200=4950+200=5150. 2证明：C n！ (n-1-m)！m!(n-m)！ =C0. 34 数学文化 例1A【解析】(1)金、木、水、火、土彼此之间存 在相生相克的关系.从5类元素中任选2类元素，基本 事件总数=C号=10,2类元素相生包含的基本事件有5 个，则2类元索相生的概率为上品宁放证A 例2解：(1)方法一：可作出三角形C8+CC+CC =116个. 方法二：可作三角形C。-C:=116个，其中以C为 顶点的三角形有C+CC+C=36个. (2)可作出四边形C+CC6+C6C=360个. 第2课时组合数的应用 要点精析 例1(1)45(2)2(3)90【解析】(1)从10 名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个 不同元素中取出2个元素的组合数，即C=A品=10x9 A32x1 =45. (2)可把问题分成两类情况： 第一类，选出的2名是男教师有C种方法；第二 类，选出的2名是女教师有C种方法.根据分类加法计 数原理，共有cC袋+会-8+2-1546-21种不 同的选法 (3)从6名男教师中选2名的选法有C种，从4名 女教师中选2名的选法有C:种，根据分步乘法计数原 理，共有不同的迹法CxC=是×公是-袋× 90种. 变式训练1解：(1)从口袋内的8个球中取出3个 球，取法种数是C=8x7x5=56. 3×2×1 (2)从口袋内取出3个球，其中有1个是黑球，于 是还贸从7个白球中再取出2个，取法种数是C 21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从 7个白球中取出3个球，取法种数是C-7x6x5-35. 3x2x1 例2解：(1)Ci-Ci=825种. (2)至多有2名女生当选含有三类：有2名女生当 选；只有1名女生当选；没有女生当选，共有CC+ CC+C=966种选法 (3)分两类：第一类女队长当选，有C2=495种 选法；第二类女队长没当选，有C!C+CC+CC+C= 295种选法..·.共有495+295=790种选法. 变式训练2A【解析】由分类加法计数原理，知两类 配餐的搭配方法之和即为所求，∴每天不同午餐的搭配 方法共有CC+C!C=210种.故选A. 例3解：(1)先从6本书中选2本给甲，有C种方 法：再从其余的4本中选2本给乙，有C种方法：最后 从余下的2本书中选2本给丙，有C种方法，所以分给 甲、乙、丙3人，每人2本，共有CCC=90种方法. (2)分给甲、乙、丙3人，每人2本，有CCC种 方法，这个过程可以分两步完成：第一步，分为三份， 每份2本，设有x种方法；第二步，再将这三份分给 甲、乙、丙3名同学，有A种方法.根据分步乘法计数 原理，可得CCC=xA,x=CCC=15.因此分为三 A 份，每份2本，一共有15种方法. 例4解：(1)这是“不平均分组”问题，一共有 CCC=60种方法. (2)在(1)的基础上再进行全排列，.一共有 CCCA=360种方法. 例5解：可以分为三类情况：①“2,2,2型”，有 C8CC号=90种方法；②“1,2,3型”，有CCCA=360 种方法；③“1,1,4型”，有C6A=90种方法，.一共 有90+360+90=540种方法， 变式训练3解：(1)每个小球都可能放入4个盒子中 的任何一个，将小球一个一个放入盒子，共有4×4×4× 4=44=256种放法， (2)这是全排列问题，共有A=24种放法 (3)方法一：先将4个小球分为3组，有CCC A 种方法，再将3组小球投入4个盒子中的3个盒子，有 A种投放方法，故共有CCCA=144种放法. A 方法二：先取4个球中的2个“捆”在一起，有C 种选法，把它与其他2个球共3个元素分别放人4个盒 子中的3个盒子，有A种投放方法，..共有CA=144 种放法. (4)1个球的编号与盒子编号相同的选法有C种， 当1个球与1个盒子的编号相同时，用局部列举法可知 参考答案。 其余3个球的投人方法有2种，故共有2C=8种放法. (5)先从4个盒子中选出3个盒子，再从3个盒子 中选出1个盒子放入2个球，余下2个盒子各放1个， 由于球是相同的即没有顺序，·.属于组合问题，故共有 CC=12种放法. (6)(隔板法)先将编号为1,2,3,4的4个盒 子分别放人0,1,2,3个球，再把剩下的14个球分成 4组，即在O○○○O○O○○○○O○这14个球中 间的13个空中放人三块隔板，共有C=286种放法，如 OO10O00O1OOO1○OO0,即编号为1,2,3,4 的盒子分别放入2,6,5,7个球. 数学文化 例1解：(1)C=20x19=190. 2×1 ②)由器-员解得4 (3)22=4096;1+2+22+22+…+2-21-1. (4)Cm+C81+…+Cm-2=Cmt-1 证明如下：左边=Cm+C网-1+…+Cm+k-2=Cm+1+C阳 +…+C02==Cmh-2+Cm1=C阳1=右边 1 1 例2cC+C.CH-C.C 【解析】类比观察，得 莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数亡，而相邻两 项之和是上一行的两者相拱之数，故类比式子C:+C= CH,有cCc.Ci+cC m3.2二项式定理与杨辉三角 第1课时二项式定理 要点精析 M1解：D方法-：3V+左广-C3V covvcv) 广c2广-814108+54+是+ 方法：BV广岩广4r [1+C3+C(3x)P+C(3x)4C(3)=2(+12x+544 108x+81x)=+12+54+108x+812. 35N 高中数学选择性必修第二册人教B版 第2课时 组合数的应用 学习目标 变式训练1 1.能应用组合知识解决有关组合的简单 一个口袋内装有大小相同的7个白球和 实际问题 1个黑球 2.能解决有限制条件的组合问题」 (1)从口袋内取出3个小球，共有多少 种取法？ 要点精析 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有 川要点1简单的组合问题 1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含 例1有10名教师，其中6名男教师， 黑球，有多少种取法？ 4名女教师。 (1)现要从中选2名教师去参加会议， 有 种不同的选法 (2)选出2名男教师或2名女教师参加 会议，有 种不同的选法 (3)现要从中选出男、女教师各2名去： 参加会议，有 种不同的选法 反思感悟 (1)解简单的组合应用题时，首先要 判断它是不是组合问题，组合问题与排列 问题的根本区别在于排列问题与取出元素 之间的顺序有关，而组合问题与取出元素 的顺序无关。 (2)把一个实际问题转化为组合问题， 体现了数学抽象的核心素养. 16)学 第三章排列、组合与二项式定理。 川要点2有限制条件的组合问题 变式训练2 例2课外活动小组共13人，其中男生 某食堂每天中午准备4种不同的荤菜， 8人，女生5人，并且男生、女生各有一名：7种不同的蔬菜，用餐者可以按下述方法之 队长，现从中选5人主持某项活动，依下列：一 搭配午餐：(1)任选两种荤菜、两种蔬 条件各有多少种选法？ 菜和白米饭；(2)任选一种荤菜、两种蔬 (1)至少有一名队长当选 菜和蛋炒饭.则每天不同午餐的搭配方法共 (2)至多有两名女生当选 有() (3)既要有队长，又要有女生当选， A.210种 B.420种 C.56种 D.22种 川要点3分组、分配问题 例3(1)6本不同的书，分给甲、 乙、丙3人，每人2本，有多少种方法？ (2)6本不同的书，分为三份，每份2 本，有多少种方法？ 反思感悟 有限制条件的抽（选）取问题，主要 有两类： (1)“含”与“不含”问题，其解法 常用直接分步法，即“含”的先取出， “不含”的可把所指元素去掉再取，分步 计数 (2)“至多”“至少”问题，其解法 常有两种：一是直接分类法，但要注意分 类要不重不漏；二是间接法，注意找准对 立面，确保不重不漏！ 学(17 高中数学选择性必修第二册人教B版 例4(1)6本不同的书，分为3份， ③完全非均匀分组，这种分组不考虑 一份1本，一份2本，一份3本，有多少种 重复现象 方法？ (2)分配问题属于“排列”问题，分 (2)6本不同的书，分给甲、乙、丙3 配问题可以按要求逐个分配，也可以分组 人，一人1本，一人2本，一人3本，有多 后再分配。 少种不同的方法？ B变式训练3 将4个编号为1,2,3,4的小球放入4 个编号为1,2,3,4的盒子中. (1)有多少种放法？ (2)每盒至多1个球，有多少种放法？ (3)恰好有1个空盒，有多少种放法？ (4)每个盒内放1个球，并且恰好有1 个球的编号与盒子的编号相同，有多少种 放法？ 例56本不同的书，分给甲、乙、丙3 (5)把4个不同的小球换成4个相同的 人，每人至少1本，有多少种不同的方法？ 小球，恰有一个空盒，有多少种放法？ (6)把4个不同的小球换成20个相同 的小球，要求每个盒内的球数不少于它的编 号数，有多少种放法？ 反思感悟 “分组”与“分配”问题的解法： (1)分组问题属于“组合”问题，常 见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均 相等； ②部分均匀分组，应注意不要重复， 有n组均匀，最后必须除以n!; 18)学 第三章排列、组合与二项式定理。 例2在我国南宋数学家杨辉所著的 数学文化 《详解九章算法》一书中，用如图1所示的 例1杨辉是中国南宋末年的一位杰出 三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直 的数学家、数学教育家，杨辉三角是杨辉的： 到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡 一大重要研究成果，它的许多性质与组合数 的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年 的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的 来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以 规律.如图是一个11阶杨辉三角： 有些书上称这是“中国三角形”(Chinese 第0行 …第1斜列 triangle),如图1.17世纪德国数学家莱布尼 第1行 …………………………第2斜列 第2行 ……第3斜列 茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图2.在杨 第3行 月…第4斜列 第4行 ……第5斜列 辉三角中相邻两行满足关系式：C+C+=C, 第5行 …第6斜列 第6行 16152056 1…第7斜列 第7行 721353621 1…………第8斜列 其中n是行数，r∈N.请类比上式，在莱 第8行 82860 第9行 193684126 6月小…第10斜列 布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 第10行入10451202625220204561…第11斜列 第11行158 16砧330462462330655511…第12斜列 11阶杨辉三角 11 图3-1-5 121 1331 (1)求第20行中从左到右的第3个数 14641 15101051 (2)若第n行中从左到右第13与第14 CgC…C。…CgCa 个数的比为号，求n的值 图1 (3)写出第12行所有数的和，写出n 阶（包括0阶）杨辉三角中的所有数的和. 3 (4)在第3斜列中，前5个数依次为 11 41212 4 1,3,6,10,15;第4斜列中，第5个数 ,20,0,05 5 1 为35，我们发现1+3+6+10+15=35，事实上， 6306060306 一般地有这样的结论：第m斜列中（从右上 1 C.A.C CC CC C1C1 CC 到左下)前k个数之和，一定等于第m+1斜 图2 列中第k个数.试用含有m,k(m,k∈N) 图3-1-6 的数学式子表示上述结论，并证明. 学 19