高考总复习仿真优创卷(15)-【精英1号】2026年高考数学金牌卷

做一 →精英1号金牌卷 高考总复习仿真优创卷（十五） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.已知集合A={x|-9<x3<9},B={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4},则(RA)∩B= ( A.{-1,0,1} B.{-4,-3,3,4} C.{-3,-2,0,1,2,3》 D.{-4,-3,-2,2,3,4} 2.若a为实数且(2+十ai)(a一2i)=一4i,则a= A.-1 B.0 C D.2 3.在Rt△ABC中，两直角边AB=6,AC=4,点E,F分别是AB,AC的中点，则(BF+CE) ·BC A.-10 B.-20 C.10 D.20 4.E知⑤9<co8a号sn8+a= 5,则cos2a= () 63 A.丽 B.、63 -65 c号 D器 5.如果某一轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么此圆柱的外接球表面积等于( A.2π B.3π C.4π D.8π 6.已知奇函数fx)=a十b·a(a>0,a≠1)在[-1，上的最大值为，则a=( A.3 B.2 C或3 D.2或2 7.设f(x)=sinπx是[0,1]上的函数，且定义f1(x)=f(x),…,fn(x)=f(nx),n∈N",则 满足|fn(x)=x,x∈[0,1]的x的个数是 () A.2n-1 B.2n C.2" D.2n2 8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.用他的名字定义 的函数称为高斯函数f(x)=[x],其中[x]表示不超过x的最大整数.若g(x)=log2(4+ 1),则 1000 1000 1000 [g(1)]·[g(2)] [g(3)]·[g(4)] [g(5)]·[g(6)] 十 1000 g(2024)]·[g(2025)万」 ( A.249 B.250 C.996 D.1000 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列命题中，正确的是 () A.已知随机变量X服从正态分布N(1,o2),若P(X≤0)=0.2，则P(X<2)=0.8 B.“a<11”是“3x∈R,x2-2x十a<0”的充分不必要条件 C.用X表示n次独立重复试验中事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率， 2 若E(X)=50,D(X)=30,则p=5 D.一组数据x1x2,…,x10的平均值为27，则x1十1，x2十1，…，x10十1的平均值为28 -57 國倒 精英1号金牌卷《口 10.已知曲线2：x2+y2=|x十|y,点P(a,b)在曲线2上，则下列结论正确的是() A.曲线2有4条对称轴 B.|a+b+3的最小值是√2 C.曲线Ω围成的图形面积为π十2 D2的故大值是1 11.正方体ABCD-A1B,C1D1的棱长为1，点E,F分别为B1C1,C1D1的中点，点P在正方 体表面上运动，且PA=x(0<x<√3)，记点P的轨迹长度为f(x),则下列结论正确的是 () A-受 B. C,若PA/平面BEF,且点P∈平面A,C,则x的最小值为22】 D.若BP-BE+B4∈R,则f)=3y3十后 2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 设双曲线C:。=1(a>0,b>0)的左，右焦点分别为点P,、P,过点F,作倾斜角为 45”的直线交双曲线C于A,B两点，若AB=80,则此双曲线的离心率为 18.直线y=x十1是曲线f()=x+-∈R)的切线，则e的值是 14.由1,2,3，…，1000这1000个正整数构成集合A,先从集合A中随机取一个数a,取出 后把“放同集合A,然后再从集合A中随机取出一个数6，则号>的概率为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15.(I3分)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知acos C叶c=b (1)求cosA的值； (2)求sin(2A-)的值。 58 数学一 →精英1号金牌卷 6.15分)已知P(0,3)为椭圆C:2大 =1(>b>0)上一个定点，点A,B为椭圆上两个 美于原点对称的动点，如果直线PA和直线PB的斜率乘积为号 (1)求C的离心率； (2)若直线I交椭圆C于C.D两点，直线PC和直线PD的斜率之积为-，且△CDP的 面积为，求直线CD的方程. 17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，底面ABC是边长为2的等边三角形， PA=PC=√2. (1)若PB=√2，求三棱锥P-ABC的外接球的表面积； C 2)若异面直线PC和AB所成角的余弦值为2，点F是线段PB(不含端 点)上的一个动点，平面ACF与平面PBC的夹角为a,求cosa的取值范围. 59 型乳 精英1号金牌卷《口 18.(17分)设a,b∈R,若函数f(x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a一x)=2b,则 函数f(x)的图象关于点(a,b)对称；反之，若函数f(x)的图象关于点(a,b)对称，则函数 (x)定义域内的任意一个x都满足f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g)=5x十3 x+1 (1)证明：函数g(x)的图象关于点（一1,5）对称； (2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称，当x∈[0,1]时，h(x)=x2-m.x十m十1.若对 任意的x,∈[0,2]，总存在∈[一号，1]，使得(x)=g,)成立求实数m的取值 范围。 19.(17分)已知Am:a1a2,…,an(n≥3)为有穷整数数列，若Am满足：a;+1一a,∈{p,q}(i 1,2,…,n-1),其中p,q是两个给定的不同非零整数，且a1=an=0,则称Am具有性 质T. (1)若p=一1，q=2,那么是否存在具有性质T的A？若存在，写出一个这样的A5;若不 存在，请说明理由； (2)若p=一1，q=2,且A1o具有性质T,求证：a1,a2,…,ag中必有两项相同； (3)若p十q=1,求证：存在正整数k,使得对任意具有性质T的A6,都有a1,a2,…,a。-1 中任意两项均不相同. 60数学 M,的元素为九位自然数时，有10种情况， M,的元素为十位自然数时，有6种情况， M)的元素为十一位自然数时，有3种情况， M,的元素为十二位自然数时，有1种情况， 总共3+6+10+13+15+16+15+13+10+6+3+ 1=111, 即Mz)的最小值为111.…17分 高考总复习仿真优创卷（十五) 1.【答案】B 【解析】因为A={x|-9<x3<9},B={-4,-3,-2, -1,0,1,2,3,4},且注意到2<<3， 从而(CA)∩B={-4,一3,3,4}.故选B. 2.【答案】B 【解析】由(2十ai)(a-2i)=2a-4i+ai+2a=-4i,得 a2i十4a=0,则a(ai十4)=0，因为a为实数，所以a=0. 故选B. 3.【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0,0),B(6, 0),C(0,4),则E(3,0),F(0,2), yA A B BF=(-6,2),CE=(3,-4),BC=(-6,4), 则(BF+CE)·BC=[(-6,2)+(3,-4)]×(-6,4)= (-3,-2)×(-6,4)=18-8=10. 故选C 4.【答案D 【解析因为受<B<e<经，所以一兰<g。<0, R<a+B<受， 12 X cos (B-a)=13,sin (B+a)-- 3 5 所以sin(B-a)=-√1-cos(B-a)= 13 casg+a)=--smg+。=-合： 所以cos2a=cos[(3十a)-(B-a)] =cos (B+a)cos (B-a)+sin (B+a)sin (B-a) -()×器+()×(》 、33 65 故选D. 5.【答案】D 【解析】先计算出圆柱的母线长和底面半径，再计算体积得 到答案.设圆柱的母线长为(，底面半径为r,由题意得 1l=2x, 年得 2πrl=4π， 则外接球半径R=√2，所以S外接球=4πR2=8π。 故选D 精英1号金牌卷《口 6.【答案C 【解析】因为f(x)是奇函数，所以f(一x)=一f(x),所以 f(-x)+f(x)=0,即a2+b·a2十a十b·a-x=0, 则(b十1)(a十ax)=0,解得b=-1, 经检验b=-1符合题意，所以f(x)=a-a, 当a>1时，0<1<1， a 则函数y=a在[-11门上单调递增y=0=(侣）厂在 [-1,1]上单调递减， 所以f(x)=a'-a在[-1,1]上单调递增 所以f)=)=a-a1=整理得3-a一3=0. 解得a=3或a=一子（合去)，所以u=3: 当0a<1时，子>1， 则函数y=a在[-1,1门上单调递减，y=a=(日）)广在 [-1,1]上单调递增， 所以f(x)=a-ax在[-1,1]上单调递减， 所以f(x)=f(-1)=a1-a三8，整理得3a2+80 3=0, 解得a=3或a=-3(舍去)，所以a=3, 综上a=或 故选C. 7.【答案】B 【解析】当n=1时，lf1(x)川=|f(x)|=|sinπxl, 则f1(x)与y=x在[0,1]上的图象如下图， y y=x i(x) 0 1 X 由图象可知，满足f1(x)=x的x的个数为2个； 当n=2时，f2(x)|=|sin2πx|,则f2(x)与y=x在 [0,1]上的图象如下图， 木y 1-- x f5x) 0.5 0.5 x 此时满足f2(x)=x的x的个数为4个： 当n=3时，|f3(x)=|sin3πx|,则f3(x)与y=x在 [0,1]上的图象如下图， →精英1号金牌卷 0.5 0.5 则f3(x)的图象在x∈[0,1]时，经历3次由0上升到1， 再由1降回到0， 此时满足f3(x)=x的x的个数为6个： 以此类推，f(x)的图象在x∈[0,1]时，经历n次由0上 升到1，再由1降回到0， ∴.满足|fn(x)川=x的x的个数为2×n=2n个. 故选B. 8.【答案】A 【解析】因为4<4十1<2×4， 所以1og:4F<log2(4+1)<1og2(2×4), 即2x<log:(4F+1)<2x+1, 所以[g(n)]=[log2(4”+1)]=2n, 故gmn+na20n-(日） 1000 1000 1000 1000 所以[g·g(2万十g3·Lg() 1000 1000 十…十 [g(2024)]·[g(2025)] 1=250 [g(5)]·[g(6)] [1-2）+(合3)+…+(0220】- 1 2501一2025) ,所以原式=249， 故选A. 9.【答案】ACD 【解析】对于A,随机变量X服从正态分布V(1,σ2)， P(X≤0)=0.2， ∴.P(0≤X≤1)=0.5-0.2=0.3， ∴.P(1≤X≤2)=P(0≤X1)=0.3. ∴.P(X<2)=0.5十0.3=0.8，故A正确： 对于B,3x∈R,x2-2x十a<0, .△=4-4a>0,∴.a<1, ∴.“a<11”是“彐x∈R,x2一2x十a<0”的必要不充分条 件，故B错误； 对于C,随机变量服从二项分布B(n,p),E(X)=50, D(X)=30, 六b=50mp1-p）=30,解得p=名，故C正确： 对于D,若数据x1,x2,…,x10的平均值为27， 则十1十十1十…十x+1 100 x十x:十…十x6十100_+x,十+x十1=28， 100 100 故D正确. 故选ACD 10.【答案】ACD 【解析】当x>0,y>0时，原方程化为x2十y2=x十y, 即(c-)》广+(-)）=子所以商线是以圆心为 数学一 (分，号）半径为号的圆在第一象限的部分 又由于x2+y=|x十|y图象关于x,y轴对称，所以 曲线2如图所示： -3 对于A,由图可知该曲线2的四条对称轴分别是x轴，y 轴，y=x,y=一x,故A正确； 对于B,a十b十3|表示曲线2上的点P到直线：x十y十 3=0的距离的2倍，如图，显然当P(a,b)为(-1，-1) 时距离最小，最小距离=一1-1十3 ② 2 所以a+h+的最小值=厅× =1,故B错误； 对于C,曲线Ω围成的图形为四个直径为√2的半圆和一 个边长为√2的正方形，故面积为4× 2 -+(W2)2= π十2，故C正确： 对于D.设长=。名表示点(2,0)与点P确定的直线的 斜率，设该直线方程为y=k(x一2)，结合图象，当x>0, <0即2十y=一y则圆心为（分，-）半径为 ?的圆在第四象限的部分与直线相切时，该切线的斜率 3 ，1 是k的最大值，则由d=r得 √/1+k 2 解得k=1或k=一7（舍），则k的最大值为1，故D正 确.故选ACD 11.【答案】ABD 【解析】对于A,f(1)等于以A为 球心，1为半径的球与正方体表 面的交线总长，所以f(1)= 9 ，故A正确： D 对于B,f(√2)相当于以A为球 心w2为半径的球与正方体表面A B 的交线总长，由于√2>1，所以球 A与过A的三个正方体表面没有交线，与另外三个面的 交线长为3×号×V-经放B正确： 对于C,如图，取AD1的中点为H,AB,的中点为I, 连接EF,BE,BF,HI,AH,AI,可知EF∥HI,AH∥ 倒 BE,因为EFC平面EFB,HI D 平面EFB,所以HI∥平面 EFB,同理可得AH∥平面A EFB,又AH∩HI=H,AH HIC平面AHI,所以平面AHI ∥平面EFB,则当P∈平面AHI 时，PA∥平面EFB,又P∈平 面A,C1, 所以点P轨迹是线段HI,则当AP⊥HI时，AP最小 此时 Ap=V1:+=3 4三4即x的最小值为故C错 误； 对于D,因为BP=AB龙十B市 D (a∈R),所以P与点B,E,F 共面，从而P的轨迹为平面 BEF与正方体表面的交线，连接 BD,则EF∥BD,故B,D,E,F 四点共面，画出交线如图，所以 P的轨迹为等腰梯形EFDB(如 国.放锐造总长了)=反+号 +2×9-395 故D正确，故选ABD, 12.【答案】号 【解析】由AB|=AF|十|BF2=80, 得|AB|= b2 a-cos4行+ 62 a+ccos 455 =80, 6 因为a=4,b=c2-16,解得c=6,所以e=合= 3 故答案为2 13.【答案】-1 【解析】设切点的横坐标为x,了(x)=1一马一。 x2 则有f(x)=十1 -alnro=xo+1→lnxo-x。+1=0, 令A)=mr-x+IPM()= -1=0→x=1, 则h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， 又因为h(1)=0,所以x。=1→a=-1. 故答案为一1. 14.【答案66 【解析】由题可知，A={x∈N*|1≤x≤1000，且a,b ∈A, 要使得分>3，即a>3b,则有： 当a=1时，b=1或2，有2种取法： 当a=2时，b的取值增加3,4,5，有2十3种取法： 精英1号金牌卷口 当a=3时，b的取值增加6,7,8，有2十2×3种取法： … 当a=333时，b有2十332×3种取法； 当334≤a≤1000时，b都有1000种取法， 故P(合>》 2+(2+3)+(2+2×3)+.+(2+332×3)+667×1000 1000 333×(2+166×3)+667×10001667 1000 2000 放客案为站阙 15.【答案1K1)号 (2)42+7 18 1 【解析】K1)因为acos C-+3c=b,由正弦定理得 sin AcosC+3sinC=sinB,…2分 sin B=sin (A+C)=sin Acos C+cos Asin C, 所以号sinC=sin Ccos A,…4分 1 因为sinC≠0，所以cosA=3…6分 (2)由(1)得cosA= 1 ,所以sinA=√个-cosA= 22 3 …………………8分 所以sin2A=2 sin Acos A=4yE 9 -cos 2A=2 cos2A-1= 9 ……10分 所以m2A-营)-血2A2A=名×1g 9 9×(-日187 18 所以如2A-学-26 …………………13分 18 16.【答案1)号 (2)直线CD的方程是y=x-1或y=-x-1. b=3, 【解析】(1)由题意得 3 kPA·kPB= 4: b2=9, 解得 …………3分 a2=12, 所以e= h-- …6分 y (2)由1)知C:12+9=1,直线PC和直线PD的斜率 之积为-号则直线CD过点(0，-1)，设直线(CD的方 程为y=kx一1…8分 联立2十9=1，消去y得(3十4)x2-8x-32=0, y=kx-1, →精英1号金牌卷 8k x1十x2= 4k2+3' -32 x1x=4k2+3 |CDl=√+1√/x,+x2)-4x1c -_83+1√3k+2 4k2+3 ……………10分 4 设点P到直线CD的距离为d,则d= …… 1+k ……………………………12分 S△PD= 83√R+1√/3k+2 4 2 4k2十3 /R2+1 9而 解得k=1或k=一1…14分 综上，直线1的方程为y=x-1或y=-x-1…15分 1【s案1a620) 【解析】(1)当PB=√2时，PA,PB,PC两两垂直，可将其 补成正方体，正方体的对角线即为外接球的直径.所以三 棱锥P-一ABC的外接球直径为2R=√2×√3=√6，… …………………………3分 两边平方得4R2=6,所以S=4πR=6元.……6分 (2)如图，取AC的中点为O,由题意得OP=1,OB=√， 设∠POB=0,OC=a,OB=b,Op=c. P ǒ1 6 B 则a·b=0,a·c=0,b·c=√3cos0,因为直线PC和 AB所成角的余欧值为气。 所以号 =|cos〈P式，AB)1= PC·AB PCIABI PC.AB 22 得P元.AB=士1.…8分 X PC=a-c,AB=b+a,PC.AB=(a-c)(b+a)= a·b十a2-c·b-c·a=1-3cos0=±1， 2√5 解得os0=0或cos0=3>1(舍去).所以cos0=0, 此时OB与OP所成的角为90 以OA,O,O币分别为x,y,之轴正方向，建立如图所示 空间直角坐标系， 则A(1,0,0),B(0,√3,0)，C(-1,0,0),P(0,0,1), 设F(x,y之)，………9分 数学一 因为F∈PB,所以设P苹=tP(t∈(0,1)， Pi=(0W3,-1),PF=(xy,2-1), 所以(x,y,x-1)=t(0W3,-1) x=0, 所以y=5t,得F(0,3t,1-t),…10分 x=1-t, 因为AC=(-2,0,0),O京=(0，√3t,1-t),设平面ACF 的法向量m=(x。,y0,x。), AC·m=-2x。=0, 市·m=5++(1-0,=0.取m=0,1-， 则{ t), 又PC=(-1,0,-1),Pi=(0W3,-1) 同理可求得平面PBC的一个法向量为n=(一√3,1， 5).…………12分 因为平面ACF与平面PBC的夹角为a, 所以cosa=mm m·n 11-t-3t /(1-t)2+3t2·√7 √716t2-8t+1 7N4t-2t+1 设x=4-24e0,10xe[-子，2： 则16-8t+1-4红+1 4t2-2t+1x+1 记fx)=4红-4-3 x+1 e[子2显然fx) 在xe[-,2)上单调遥增。 所以f)=f(-）=0当x→2时x)3,所以 即平面ACF与平面PBC的夹角的余弦值范围是 [) …………………15分 18.【答案】(1)证明见解析 (2)[-1,3] 【解标)证明：g)=者x∈(-o,-1DU (-1,十∞)， 小g(-2-x)=5z+7 x+1 ……2分 g)+g(?)-要青+-10，…94分 即对任意的x∈(-∞，一1)U(-1,十∞)，都有g(x)十 g(-2-x)=10成立. 函数g(x)的图象关于点（一1,5）对称.…6分 2解，：g)-者-5-异，易知gx)在 2 x+1 [-子1]上单调递增。 g)在e[号1时的值这为-1…8分 记函数y=h(x),x∈[0,2]的值域为A. 若对任意的02小，返存在：[子1小： 使得h(x1)=g(x2)成立，则A二[-1,4].…9分 型 .当x∈[0,1]时，h(x)=x2-mx十m+1, ∴.h(1)=2,即函数h(x)的图象过对称中心(1,2).… ………10分 ①当%<0，即m<0时，函数h(x)在[0,1]上单调递增， 由对称性知，h(x)在[1,2]上单调递增， .函数h(x)在[0,2]上单调递增. 易知h(0)=m十1，又h(0)十h(2)=4,∴h(2)=3-m, 则A=[+1,3-m]. -1m+1, 由A二[-1,4]，得4≥3-m,解得-1≤≤0.…. m0, ………12分 ②当0<号<1，即0<m<2时，两数4(x)在(0，受]上 单调递减，在（受，1）上单调递增。 由对称性知A(x)在(1,2受]上单潤递增，在 (2-2,2)上单调递减. 函数A)在(0，受]上单调递减，在（受，2-受]上单 调递增，在(2-空，2)上单调递减。 .结合对称性知A=[h(2),h(0)]或A= a(受)a(2-受)门 .0m<2,∴.h(0)=m+1∈(1,3). 又h(0)+h(2)=4,.h(2)=3-m∈(1,3). 易知A(份)=-+m+1E1,2, 又h(受)+h(2-受)=4， h(2-2)e(2.3). .当0<m<2时，A二[-1,4幻恒成立.…14分 ③当%>≥1，即m≥2时，函数A(x)在[0,1门上单调递减。 由对称性知h(x)在[1,2]上单调递减. .函数h(x)在[0,2]上单调递减. 易知h(0)=m+1,又h(0)十h(2)=4, ∴.h(2)=3-m,则A=[3-,m十1]。 -1≤3-m, 由A二[-1,4幻，得4≥m十1，解得2≤m≤3. m≥2， ………………16分 综上可知，实数m的取值范围为[一1,3].…17分 19.【答案】(1)不存在，理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】(1)解：不存在具有性质T的A,理由如下：… ………2分 120 精英1号金牌卷《口 设A5:a1,a2,a3,a4,a 由于a1=a5=0,a+1-a:∈{-1,2}(i=1,2,3,4)， 设a2一a1,a3-a2,a4-a3,a;一a4中有m个-1， (4-m)个2， 则有(a2-a1)十(a3-a2)十(a,-a)十(a5-a1)= a后一01=0，…………4分 所以（一1）×m十2(4一m)=0,解得m=氵，与m为整数 矛盾， 所以不存在具有性质T的A·…6分 (2)证明：设|a1,a2,aal,…,a1o|中的最大值为M, 则存在ag,使得ag=M或as=一M, 若存在as,使ag=M,下证ag,a+1,…,a1。可以取遍0 到M之间所有的整数，……7分 假设存在正整数m(n<M)使得ak,a+1,…,a1o中各项 均不为， 令集合B={ila,>m,设io是集合B中元素的最大值， 则有a。>m>a。+1, 这与a+1-a:∈{-1,2}(i=1,2,…,n-1)矛盾， 所以akas+1,…,ao可以取遍0到M之间所有的整数， …………………9分 若M=1,则a1,a2,a,…,a的取值只能为0，士1中 的数， 此时a1,a2,a3,…,ag中必有两项相同；……10分 若M=2,则a1,a2,a3,…,a,的取值只能为0，±1，士2 中的数， 此时a1,a2a3,…,a,中必有两项相同；…11分 若M≥3，则a1a2,a3…,a6中一定有异于0和M的正 整数， 再由as,a+1,…,a1o可以取遍0到M之间所有的整数， 所以a1,a2,a3,…,a身中必有两项相同.……12分 当as=一M,同理可证a1,a2,…,ak可以取遍一M到0 之间所有的整数， 从而a1,a2,a3,…,a,中必有两项相同.…13分 (3)证明：不妨设p<0<g,当ag-a1,a3-a2,…, a一a-1中恰有g个p,一p个q, 由于(a2-a1)十(ag-a2)十…十(at-ag-1)=ak-a1=0, 所以取k=q一p十1，此时A具有性质T,…14分 下证：a1,a2,…,ak-1中任意两项均不相同， 若存在i,j(1≤i<j≤k-1)使得a,=a, 令a,=u1p十v19,a,=u2p十v29, 则有0≤u1≤u2≤q,0≤V1≤V2≤一p, 令s=u2一u1,t=v2一U1,则有ps十qt=0且0≤s≤q, 0≤t≤一p, 由于p十q=1,则有s=g(s一t), 若s=t,则有s=0,即2=1， 当a:=a,时，有v2=v1,从而i=j,矛盾； 若s≠t,则有s=q且s=t十1， 因此有2=q,1=0,w2=9-1,v1=0, 此时a;=a1,a,=am,矛盾.…l6分 综上所述，存在正整数k,使得对任意具有性质T的A, 都有a1,a2,…,ag-1中任意两项均不相同.…17分