高考总复习仿真优创卷(12)-【精英1号】2026年高考数学金牌卷

做一 →精英1号金牌卷 高考总复习仿真优创卷（十二） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.知集合A={x|x一2≤0}，B={x0≤x≤4}，则集合AUB= A.[0,2] B.[2,4] C.(-∞，0] D.(-∞，4] 2 2.已知复数=1千则1 A.2 B.√2 C.1 n号 3.已知向量a=(2,3),b=(x,6),则“x>一9”是“a和b的夹角是锐角”的 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 .已知a为锐角，sina十吾）=c0(佰-小，则g=…（ A音 R没 c n管 5.如图，塔顶可以看成一个正四棱锥，其侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的一个侧面 与底面的面积之比为………( ) e昏 D. a.x-2,x2, 6.若函数f(x)= x2-2a心2在R上单调递增，则实数Q的取值范围是…（ A.(0,1 B.(0,1) C.(0,2] D.(0,2) 7.已知函数f(x)=sin2x+君）十2sin2x+)l,x∈[0,2x]的图象与直线y=1的交点个 数是 A.4 B.5 C.6 D.7 8.欧拉函数o()(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n且与n互质的正整数的个数，例 如(4)=2.已知bn= p(3n∈N,T,是数列(b,)的前n项和，若T,<M恒成立，则 2n M的最小值为……（) A.2 B.1 D是 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.已知X心N(2,9),则……( A.E(X)=2 B.D(X)=3 C.P(X≥8)>P(X≤-1) D.P(X≤-1)+P(X≤5)=1 45 型乳 精英1号金牌卷《口 10.已知f(x)=ax一lnx,g(x)=e一ax,下列命题正确的有 A.若g(x)有大于零的极值点，则a>1 B.当a>0时，f(x)的极大值点为 C.若a=2时，g(x)在（一1，b)上单调递减，则一1<b≤ln2 D.当a=1时，f(x)与g(x)有相同的最小值 11.我国某知名公司启用了具备“超椭圆”数学之美的全新L0g0.据了解，新L0g0将原本方正 的橙色边框换成了圆角边框，这种由方到圆的弧度变化，为公司融入了东方哲学的思想，赋 予了品牌生命的律动感，而设计师的灵感来源于数学中的曲线C:x”+|y”=1,则下列 说法正确的有…( ) A.对任意的∈R,曲线C总关于原点成中心对称 B.当n>0时，曲线C总过四个整点（横、纵坐标都为整数的点） C.当n=一1时，曲线C上点到原点距离的最小值为2√2 D.当0<n<1时，曲线C围成图形的面积可以为2 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 2.已知双曲线C名一Q>0.6>0)一条渐近线与直线2x一4y+2=0垂直，则该双 线的离心率为 13.直线y=ax-e与曲线C:y=xlnx相切，则a= 14.已知一正五棱锥，其顶点与各侧棱中点合计11个点，从这11个点中任选4个点，这4个点 不共面的概率为 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤） 15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acos B+bcos A)=c. (1)求C; 2若=7，△ABC的面积为35，求△AC的周长. 46 数」 →精英1号金牌卷 6:15分已知椭圆E:大 京=1(a>b>0)的左，右焦点分别为点F,F,点A为椭圆E 上的一动点，△AF1F2面积的最大值为2√2，且点A到点F2的最短距离为2. (1)求椭圆E的标准方程； (2)过点F2作斜率为(0<k<2√6)的直线l,交椭圆E于M,N两点，交抛物线C:y= 4x于P,Q两点，且3MN|+|PQ=35,求直线L的方程. 17.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，∠ABC=,A0=C0,PA=PB=PC. (1)证明：OP⊥平面ABC: (2)若PA=√2AB=√2BC,点E是棱BC上的一点且2BE=EC,求二面角C-PA-E的 大小 國 精英1号金牌卷《口 18.(17分)已知函数f(x)=lnx+ax+1,a∈R. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<2时，证明，<e. 19.(17分)对于任意正整数n,进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一 个奇数，记这个奇数为an;若n为奇数，则对3n十1不断地除以2，直到得出一个奇数，记这 个奇数为an·若am=1,则称正整数n为“理想数”. (1)求20以内的质数“理想数”； (2)已知am=m一9，求m的值； (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{bm},记{bn}的前n项和为 S证明S.<m∈N) -48→精英1号金牌卷 所以h(x)在(0，xo)上单调递减，在(xo,十∞)上单调递 增， ……………13分 所以当x=x。时，h(x)有极小值也是最小值h(x)m h(x)=lno-a,+(0<<1). 又因为-a.x8十x。-1=0,得-ax8=1-xo, 2 所以h(xo)=lnx。十 -1(0<x。<1), 令p(x)=1nx+2 -1(0<x<1),则p(x)=1 2-一2<0在x∈(0,1)上恒成立， x 所以p(x)在(0,1)上单调递减，所以p(x)>p(1)=0,即 h(x0)>0,………………16分 所以即证h(x)mn>0,所以可证f(x)>0.…17分 方法2：若a<0,ax2<0(x>0),… …9分 令p(x)=xlnx十1，则p'(x)=lnx十1，…10分 当x∈(0，。)时，p'(x)<0,p(x)单调递减： 当x∈（日，+∞）时，p'(x)>0,p(x)单调递增， 所以px)≥p()=1->0, 所以p(x)=xnx十1>ax2,……16分 所以f(x)=xlnx-ax2十1>0.…17分 19.【答案】(1)1 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【解析】(1)解：由题意知f(x)=alnx-x十1， .f(x）=2-1(x>0),…1分 ①当a≤0时，f'(x)<0,f(x)在(0，十∞)单调递减，不 存在最大值. ②当a>0时，由f'(x)=0得x=a, 当x∈(0，a)时，f'(x)>0: 当x∈(a,十∞)时，f'(x)<0, .函数y=f(x)的增区间为(0，a),减区间为(a,十∞). ………3分 ∴.f(x)mx=f(a)=alna-a+1=0,令e(a)=alna a十1，求导得'(a)=lna, 当a∈(0,1)时，9'(a)<0,函数p(a)递减， 当a∈(1，十o∞)时，g(a)>0,函数g(a)递增， 因此g(a)mn=g(1)=0,∴.a=1. ………5分 (2)证明：由(1)知，lnx-x十1≤0，即lnx≤x-1, 当n>1时，+)<1+是）-1=是< n(1+)+m(1+)+…+n(1+） (-号)+（合专）++(n马）=1-0<1 “(1+)(1+)(1+)(1+)<c.…10分 数学一 (3)证明：.h(x)=f(x)十g(x)=alnx-x十 h'(x)=a-1- 1-二x+ax-l ………11分 “函数h(x)存在两个极值点x1,x2”等价于 “方程'()=g一-1-二=二x十ax二1=0有两个不 x 相等的正实数根”， 「A=a2-4>0, 故x1x2=1, 解得a>2.…………13分 x1十xg=a>0, 1 h(x)-h(x2) alnx二十，-alnx2+x2x x1一x2 x1一x2 a(Inx-In x2)+(x2-x)+ x2一x1 xII2 x1一x2 _a(In+-In x:)2 x1一xg 要证hx）-h(x）-a+2<0,即证nx-1n<1. x1-x2 x1-x2 “x1x2=1,不妨令0<x<1<x2,故x1=<1, lnx1一nx21得2lnx2x2千<0，令g(x)= 由 x1一xg 2-x+2D. (x)-T 1-x2+2x-1=-(x=1)<0在 -1- x2 (1,十0∞)恒成立，…………16分 所以函数o(x)在(1，十∞)上单调递减，故9(x)<g(1)=0. h)-h(z2) x1一x2 -a十2<0成立.…17分 高考总复习仿真优创卷（十二) L.【答案D 【解析】集合A={x|x一2≤0}={x|x≤2}，B={x|0≤ x≤4}，所以AUB=(-∞，4]. 故选D. 2.【答案B 【标1=名”21 2 故|x=|1一i=√2. 故选B. 3.【答案】B 【解析】a和b的夹角是锐角，则a·b>0且a和b不同向 共线， 故2x十18>0且3x-2×6≠0， 解得x>-9且x≠4， 由x>一9推不出x>一9且x≠4，故充分性不成立， 由x>一9且x≠4推得出x>一9，故必要性成立， 所以x>一9是a和b的夹角是锐角的必要不充分条件： 故选B. 4.【答案C 國乳 【解析】因为sin(a+)=cos(行-a), 所以sin acos至十cos asin5=cos石cosa十sin石sina, 6 6 即sina(cos若-sin)=(cos若-sin若）cosa, 易知cos石-sin若≠0，所以sina=cosa,则ana=1, 又e为饶角，所以。=平 故选C. 5.【答案】D 【解析】塔顶是正四棱锥P-ABCD,如图，PO是正四棱锥 的高，设底面边长为a,则底面积为S,=a,A0=。 a,又 因为∠PA0=45,所以PA=厄×号a=a,则△PAB是 正三角形，面积为S:=尽。，所以令-尽 S2√3 故选D 6.【答案】A 【解析】当x≤2时，f(x)单调递增，则a>0; 当x>2时，f(x)单调递增，则a≤2. 当x=2时，f(x)=2a-2≤22-2a·2,得a≤1. 因此0<a≤1. 故选A. 7.【答案】C 【解析】令=2x十若，则原问题等价于y=snt十2引sint, 4[后管]的图象与直线y=1的交点个数 y y=sin 2sinf y=l 0名 25 故选C 8.【答案D 【解析】因为3为质数，在不超过3”的正整数中，所有能被 3整除的正整数的个数为3”， (3")=3”-3-1=2×3"-1(n∈N), 所以9(3+1)=3+1-3”=2X3"(n∈N), 则b,=2m 2n n p(3"+1)2X3=3 所以T,=b1十b2十b十…十b-1十b., =付+号++++ 3"可十3m 10 精英1号金牌卷←口 n 3 3”千3+’ 7 33+ -(传)门 1-3 3+ =21-()广门-”=-(3）广(3+号) 所以工.=子-（信）广（受+）<是 因为6，=是>0，所以T,在n∈N内单调递增。 所以T.<M恒成立，所以M≥4： 3 所以M的最小值为是 故选D. 9.【答案】AD 【解析】由XN(,2)可得E(X)=u=2,D(X)=。2= 9,故A正确，B错误； 对于C,利用正态曲线的对称性可知，P(X≤4一σ)= P(X≥以十σ)， 且P(X≥+o)>P(X≥H十2o),则P(X≥H+2G)< P(X≤4一σ)， 所以P(X≥8)<P(X≤-1)，故C错误； 对于D,利用正态曲线的对称性可知，P(X≤以一。)= P(X≥十σ)， 可得P(X≤u十G)十P(X≤H-G)=P(X≤十o)十 P(X≥μ十o)=1, 所以P(X≤-1)十P(X≤5)=1，故D正确. 故选AD. 10.【答案】ACD 【解析】对于A,g'(x)=e一a,g(x)有大于零的极值 点，∴.g'(x)=e一a=0在(0，十o)上有解，即a=e在 (0,十∞)上有解，又e>1,∴a>1,故A正确. 对于B,当a>0时，f(x)=a-1=a-1,当x∈ (0,)时，了(x)<0,f(x)单调递减，当x∈ (日，+)时，fx)>0,f)单剥递增fx)的极小 值点为x=。,故B销误， 对于C,若a=2,则g(x)=e-2x,g'(x)=e-2,由 g'(x)<0,得x<ln2,∴g(x)的单调递减区间为(-oo, ln2],∴.(-1，b)二(-oo,ln2],∴.-1<b≤ln2,故C 正确. 对于D,当a=1时，f(x)=x-lnx,g(x)=e-x,由切 线放缩得lnxx-1(当且仅当x=1时取等号)，e≥x 十1（当且仅当x=0时取等号），.f(x)=x-lnx≥1，g (x)=e一x≥1，f(x)与g(x)有相同的最小值.故D 正确， 故选ACD. →精英1号金牌卷 11.【答案】ABC 【解析】对于A,在曲线C:z+|yP=1上任取一点P(xo, y),则P(x。,y)关于(0,0)的对称点为Q(-x0,-y), 将Q(-xo,一yo)代入曲线C:x"十y"=1,则|士xo+ |士yo=|x。"十|y。1"=1,即Q也在曲线C上，故曲 线C关于原点成中心对称，故A正确； 对于B,当n>0时，取x=0,y=士1；取y=0,x=士1， 曲线C总过四个整点(0，士1)和（士1,0）.故B正确； 对于C,当n=-1时，曲线C:立十文=1， 1 y=1+心=1-页<1y>1, 结合对称性，做出y=1十图象如下： -5-4-32-0 12345 --2- -3 可知第一象限内点(2,2)到原点距离最近，最近距离为 2√2，故C正确； 对于D,当0<n<1时，x≤1，y|≤1，从而|x|十|y< |x|"+|y”=1, 0 曲线C围成的图形在正方形|x|十|y=1的内部，面积 小于正方形x+|y=1的面积2，故D错误. 故选ABC. 12.【答案】5 【解析】直线2x一4y十2=0的斜率为子，由题可知双曲 线其中一条渐近线的斜率为一2， 所以名=2，双曲线离心家e=√1+哥 b2 =√个+4=5. a 故答案为V5 13.【答案】2 【解析】设切点坐标为(t,tlnt),由于y'=lnx+1, 所以切线的斜率为k=lnt十1， 所以曲线在(t,tnt)处的切线方程为y=(Int十1)(x一t)十 tlnt,即y=(lnt+1)x-t, 所以t=e,a=lnt十1=lne+1=2, 10 國一 故答案为2. 4【答案 【解析】从11个点中取4个点的取法为C=330种， 只要求出共面的就可以了，共面的分四种情况： ①四个点都在正五棱锥的某一个面上，每个面5个点，有 C种，6个面共有6C=30种情况， ②四个点在两条侧棱上且不在侧面内的情况有 2CC=25种， ③四个点均在各侧棱的中点时的情况有C=5种， ④其中两点所在直线与另两点所在直线平行，且这4个 点也不在四面体的某一个面上有10种， H “E ----D 因此取4个不共面的点的不同取法共有330一30一25 5-10=260种， 所以这4个点不共面的概序为器一器 故答案为号 15.【答案1C=香 (2)△ABC的周长为5+√7 【解析】(1)由已知及正弦定理得2cosC(sin Acos B+ sin Bcos A)=sinC,……2分 2cos Csin(A+B)=sin C, 又sin(A+B)=sin(π-C)=sinC, 故2 sin Ccos C=sinC,………2分 而sinC≠0， 所以cosC=1 ，所以C= 3…6分 (2尼知7binC-品5又C-号，所以6-6. ………8分 由已知及余弦定理得a2+b2-2 abcos C=7,…10分 故a2+十b2=13,从而(a十b)2=a2+b2十2ab=13+12= 25,……………12分 得a十b=5,所以△ABC的周长为5十/7.……13分 16【信案后+若 (2)4x-3√6y-4=0 bc=2√2， 【解析】(1)由题意可得a一c=2, ……………3分 a2=b2+c2, 解得a=3,b=22, 则椭圆E的标准方程为号十苦-1，……5分 國净 (2)由(1)可知F2(1,0),设直线l的方程为x=my十1， 联立y=4, 整理得y2-4my-4=0, x=y+1, 则yp十ya=4,从而xp十xa=m(yp十ya)+2=4m2+2, 故|PQ|=xp十xQ十2=4m2+4, ………8分 x2,y9 联立9+8=1·整理得(8m2+9)y2+16my-64=0, x=my十1， 16m 64 则yM十yN=一 m2+g'yMyx=- 8m2+9 故|MN|=√m+I·|yM-yN|=√m2+I· 6 √n+yv)=4yN=68m+g.11分 18 因为3MN|+1PQ|=35,所以18- +4m2+4=35, 8m2+9 整理得32m-68m2-135=0,即(4m2+5)(8m2-27) 0,解得m=22 81 ………………13分 因为0C<26,所以m>所以m-3 6 4 则直线1的方程为4x-3√6y一4=0.…15分 17.【答案】(1)证明见解析 2)若 【解析】1)证明：连接OB,因为PA=PC,AO=CO,所以 OP⊥AC,……2分 因为∠ABC=号，A0=C0,所以B0=A0, 因为PA=PB,所以△PAO≌△PBO,则∠POA= ∠POB,所以OP⊥OB,……2分 因为OB∩AC=O,且OB,ACC平面ABC,所以OP⊥ 平面ABC.…………………6分 (2)解：由题设AB=BC,又因为O为AC的中点，所以 OB⊥AC, 由(1)，可得OB,OC,OP两两垂直， 以O为坐标原点，OB,OC,OP所在直线分别为x,y,之 轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设OA=1,因为PA=√2AB=√2BC,由题意 易得AC=√EAB, 所以△PAC为正三角形，可得P(0,0,W3),A(0,-1, 0),C(0,1,0), 因为2BE=C,所以E(号，了），所以A市=(0,1， ),A它=（学，专0）小，…9分 精英1号金牌卷口 C E B x 设平面PAE的法向量为n=(x,y,之)， n·Ap=y+3x=0, n·A-2,+4 则 3x十3y=0. 令z=1,则y=-3,x=23,所以n=(23,-√3,1). 又由平面PAC的一个法向量为a=(1,0,0),…12分 设二面角C-PA-E的平面角为9，且0为锐角， 所以cos0=jcos(a,n)1=n·a=128-=E |nla1×421 可得9=音 即二面角C-PA-E的大小为后， ……15分 18.【答案】(1)答案见解析(2)证明见解析 【解析】(1)解：函数f(x)=lnx十ax十1，a∈R的定义域 为0十o),且f)=+a.2分 当a≥0时.Vr∈(0，十o(x)=+a>0恒成立， 所以f(x)在区间(0，十∞)上单调递增；…4分 当a<0时，冷)=+a+-0, x 解得x=一1 …5分 当xe(0,-)时，f(x)>0,x)在区间(0，-)上 单调递增， 当x∈（，+∞)时，了(x)<0,f(x)在区间 (。,十∞)上单调递减.综上所述，当a≥0时，x) 在区间(0，十∞)上单调递增； 当a<0时，f(x)在区间(0，-工）上单调递增，在区间 (人仁子十e)上单调递减。…8分 (2)证明：当a≤2时，因为x>0,所以要证f≤c,只 x 要证明血十2x+≤c心即可，…10分 即要证lnx十2x十1≤xe2,等价于e2+r≥lnx十2x十 1(米).…………11分 令g(x)=e-x-1,则g'(x)=e2-1, 在区间(-∞，0)上，g'(x)<0,g(x)单调递减； 在区间(0，十∞)上，g'(x)>0,g(x)单调递增，…13分 所以g(x)≥g(0)=e°-0-1=0，所以e≥x十1（当且 6 →精英1号金牌卷 仅当x=0时等号成立)， 所以()成立，当且仅当2x十nx=0时，等号成立.… …15分 又h(x)=2x十lnx在(0，十oo)上单调递增， h(日)=名-1<0,1D=2>0. e 所以存在x∈（日，1），使得2x十ln=0成立。 综上所述，原不等式成立，……17分 19.【答案】(1)2和5为两个质数“理想数” (2)m的值为12或18 (3)证明见解析 【解析】(1)解：20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19， 2 =1，故a=1,所以2为“理想数”： 3×3+1=10,而2 .10 =5,故3不是“理想数”： 3×5+1=16,而2 16 =1,故5是“理想数”； 3×7+1=22,而 .22 =11,故7不是“理想数”： 3×11+1=34,而)=17，故11不是“理想数” 3×13+1=40,而 =5,故13不是“理想数”； 3×17+1=52,而4 =13,故17不是“理想数”； 58 3×19十1=58，而)=29，故19不是“理想数”： .2和5为两个质数“理想数”；…4分 (2)解：由题设可知am=m一9必为奇数，m必为偶数， ………………5分 ∴存在正整数P,使得公=m一9，即m一2。号 9 十9.… ………………………7分 9 “201Z.且2”-1≥1， .2°-1=1或2°-1=3或2°-1=9，解得p=1或p=2, ……………9分 9 9 六m=2十9=18或m=2-十9=12， 即m的值为12或18.……………10分 (3)证明：显然偶数“理想数”必为形如2(k∈N)的整数， 下面探究奇数“理想数”，不妨设置如下区间：(2°，22门， (22,2],(2,2],…,(22-2,22], 若奇数m>1,不妨设m∈(2-2,2跳]， 若m为理想数”，则3m十1-1(s∈N°，且>2， 2 即m=22(∈N,且>2. 3 ①当s=2(1∈N,且>1)时，m=421 3 3+1）-1Z…12分 3 ②当s=2:十1(t∈N)时，m=2X-1 3 2×(3+1)'-14Z 3 10 数学一 m=4 3(∈N,且>1. 又24<，1<24，即3X4-1<-1≤3×4， 3 易知t=k为上述不等式的唯一整数解， 区间(24,24]存在唯一的奇数“理想数“m=」 3 (k∈N”,且k>1),………14分 显然1为奇数“理想数”，所有的奇数“理想数”为m= 1(k∈N· 3 3 二所有的奇数“理想数”的倒数为二k∈N),… ………15分 3 31..3 “-不=44X- ∴.Sn=b1+b2+…+bm<b1十b2+…+bn十b+1+…< (++++++分+…<× 1 1一2 (+++…1+x-, =3 1一4 7 即S.<（n∈N).…17分 高考总复习仿真优创卷（十三） 1.【答案】A 【解析】由题意得，A=(0,2],B=(0,4],所以AUB=B. 故选A. 2.【答案】A 3=号+号1=1故选A 43 5 3.【答案】B 【解析】由a⊥b得a=(1,2),所以a-b=(-1,3),所以 |a-b1=√/10.故选B. 4.【答案】B 【解析如(a+管）-sina=弓s+ 2 cos a-sin a= 1 os(2a+号)=2co(a+）-1=2×(号)°-1- -故选以 5.【答案】A 【解析】设正四棱锥P-ABCD P 的内切球的半径为R,H为 底面中心， 4 由体积为45π=3πR得 R=√3，连接PH,PH⊥平面 H ABCD, B 球心O在PH上，OH=R, 取CD的中点F,连接HF,PF.