精品解析：贵州省贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年高二上学期9月月考数学试卷

贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 9月月考 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线和三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最少 B. 成绩不低于80分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的极差为50 D. 50名学生成绩的平均分小于中位数 6. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 7. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程来表示 B. 经过定点的直线都可以用方程来表示 C. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式 D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 10. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则______． 13. 中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 14. 三棱锥中，，，，直线BD与AC所成的角为，则该三棱锥的体积为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： （1）直线过点，并且直线与直线垂直； （2）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 16. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 17. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. （1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 18. 如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点. （1）求证：平面平面； （2）若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； （3）若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值. 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市观山湖区第一高级中学2025-2026学年度第一学期 9月月考 高二数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知为虚数单位，若，则复数在复平面内对应的点位于 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可. 【详解】因为，所以 即，所以复数在复平面内对应的点的坐标为， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 2. 已知向量，，且与互相垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由向量线性关系的坐标运算及垂直的坐标表示列方程求参数即可. 【详解】由题设，， 又与互相垂直，则，解得. 故选：C 3. 已知直线和三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间直线与平面、平面与平面位置关系的定义、定理，逐一判断选项即可得解. 【详解】选项A，若，则或相交，所以A错误； 选项B，若，，则或相交，所以B错误； 选项C，若，，则或相交，所以C错误； 选项D，如图所示，，在面内过点作交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知，则， 同理，在面内过点作交线的垂线，由面面垂直的性质定理可知，则，又， 所以，所以D正确. 故选：D. 4. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式对目标式合理变形，得到，再结合得到，进而利用同角三角函数的基本关系求出，最后得到即可. 【详解】由题意结合诱导公式得， 因为，所以，则， 因为，所以， 解得（负根舍去），可得，故B正确. 故选：B 5. 某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（ ） A. 成绩在上的人数最少 B. 成绩不低于80分的学生所占比例为 C. 50名学生成绩的极差为50 D. 50名学生成绩的平均分小于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，再结合各组频率及统计的相关概念逐项判断. 【详解】设这一组的频率为，则由各组频率之和为1， 得，解得， 各组频率依次为：， 对于A，这一组频率最小，即成绩在上的人数最少，A正确； 对于B，成绩不低于80分的学生频率为，成绩不低于80分的学生所占比例为，B正确； 对于C，极差为数据中最大值与最小值的差，而50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是，则极差小于等于，但不一定等于50，C错误； 对于D，根据频率分布直方图，得50名学生成绩的平均数是 ，而50名学生成绩的中位数为80， 因此50名学生成绩的平均分小于中位数，D正确. 故选：C 6. 无论为何值，直线过定点（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简直线分是否有两部分，再求交点得出定点. 【详解】由得：， 由得 ∴直线恒过定点. 故选：A. 7. 向量旋转具有反映点与点之间特殊对应关系的特征，在电子信息传导方面有重要应用.平面向量旋转公式在中学数学中用于求旋转相关点的轨迹方程具有明显优势，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点.已知平面内点，点，把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量旋转的定义求得旋转后向量坐标，结合点坐标可得点的坐标. 【详解】由题意可知，把点绕点逆时针方向旋转，得到点， 则， 又，所以， 所以点的坐标为. 故选：D. 8. 已知实数满足，则的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由的几何意义表示斜率即可求解. 【详解】表示函数图象上的点与的连线的斜率， 结合图象可知， 斜率分别过与相切时取最大值和最小值， 由和可求斜率， 设过斜率为的直线与图象相切， 与联立可得： ， 由，可得或（舍去） 结合图象可知： 所以的范围是. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的部分得分，有选错的得0分. 9. 下列说法中不正确的是（ ） A. 经过定点的直线都可以用方程来表示 B. 经过定点的直线都可以用方程来表示 C. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成截距式 D. 不与坐标轴重合或平行的直线其方程一定可以写成两点式 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据直线方程五种形式的限制条件解决即可. 【详解】对于A，点斜式方程适用斜率存在的直线，故A错误； 对于B，斜截式方程适用斜率存在的直线，故B错误； 对于C，截距式方程适用不与坐标轴重合或平行且不过原点的直线，故C错误； 对于D，两点式方程适用不与坐标轴重合或平行的直线，故D正确； 故选：ABC 10. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，直线的方向向量为，直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. 与为相交直线或异面直线 D. 在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据空间向量之间的关系逐项判断线线、线面、面面关系即可. 【详解】因为平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则，即，则或，故A不正确； 又平面的一个法向量为，所以，即 ，所以，故B正确； 由直线的方向向量为，所以不存在实数使得，故与为相交直线或异面直线，故C正确； 在向量上的投影向量为，故D不正确. 故选：BC. 11. 已知正方体的棱长为2，为上一动点，为棱的中点，则（ ） A. 四面体的体积为定值 B. 存在点，使平面 C. 二面角的正切值为 D. 当为的中点时，四面体的外接球表面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项利用等体积法进行转化即可判断；B选项找到点的位置再进行证明；C选项作出二面角的平面角进行求解；D选项利用直接法找到外接球的球心位置进行求解即可. 【详解】对于A选项，在正方体中，，，， ，四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面， 为上一动点，， 正方体的棱长为2， ， 四面体的体积为定值，故A正确； 对于B选项，当为中点时，平面，证明如下： 取的中点，的中点，连接， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面， 平面，平面，， 分别为中点，， 平面，平面，平面，， 分别为中点，， 在正方形中，，， ，平面，平面， 平面，， ，平面，平面， 即存在点，使平面，故B正确； 对于C选项，过作于点，过作于点， 在直角三角形中，，，， ，， 在中，，，， ，， ，， ，点与重合， 是二面角的平面角， ，故C错误； 对于D选项，取的中点，连接， 在直角三角形中，， 又由B选项中可知， 平面，平面， ， ，，，为四面体的外接球的球心， 外接球半径为，外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分 12. 已知直线的倾斜角为，直线，若直线过点，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据平行直线的斜率的关系列方程，从而求得的值. 【详解】因为直线的倾斜角为，所以． 又直线，则，解得． 故答案为： 13. 中，角，，所对的边分别为，，，，，，则角的对边____________. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得到，再结合余弦定理即可求解. 【详解】在中，因为，所以根据正弦定理有， 又，则，， 由， 得. 故答案为： 14. 三棱锥中，，，，直线BD与AC所成的角为，则该三棱锥的体积为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】根据和的数量积求出的长，可知平面，即可求出三棱锥的体积. 【详解】依题可知，△，△均为直角三角形，其中，， 则在△中，，即， 在△中，，即， 所以 ， 所以，， 所以，， 又因为，平面，且，，， 所以平面， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知两条直线，求分别满足下列条件的的值： （1）直线过点，并且直线与直线垂直； （2）直线与直线平行，并且坐标原点到的距离相等． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，，解方程组可得答案； （2）由题意得，再结合点到直线的距离公式列方程可求得结果. 【小问1详解】 因为过点，所以， 又因为，所以， 所以， 所以或； 【小问2详解】 因为且的斜率为， 所以的斜率也存在，，即， 故和的方程可分别表示为， 因为原点到与的距离相等， 所以，解得或， 因此或 16. 已知锐角三角形的内角的对边分别为，，，. （1）求A； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据结合三角恒等变换分析运算； （2）利用正弦定理进行边化角，再利用三角恒等变换结合正弦函数分析运算. 【小问1详解】 ∵，即， 由于，则，即， 两边同乘以可得：， 则，且，解得. 【小问2详解】 由题意及正弦定理，得，， 则 ， 由（1）可知，且为锐角三角形， 则，解得， 则，所以， 故的取值范围是. 17. 甲、乙、丙三人分别独立解一道题，甲做对的概率是，三人都做对的概率是，三人都做错的概率是. （1）分别求乙、丙两人各自做对这道题的概率； （2）求甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率. 【答案】（1）乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为或乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为. （2） 【解析】 【分析】（1）设出乙、丙两人各自做对这道题的概率，用这两个概率表示题目条件，求出结果； （2）甲、乙、丙三人中恰有一人做对题目，分三种情况计算概率，再相加即可. 【小问1详解】 设甲、乙、丙做对这道题分别为事件A、B、C，则， 由题意得，， ∴， ∴或， ∴乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为或乙做对这道题的概率为，丙做对这道题的概率为. 【小问2详解】 设甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题为事件D， 则 ， ∴甲、乙、丙中恰有一个人做对这道题的概率为. 18. 如图，是圆柱的两条母线，，是圆的直径，，且是母线上的动点. （1）求证：平面平面； （2）若是线段的中点，求直线与所成角的余弦值； （3）若四面体的体积为，圆柱的体积为，求的值. 【答案】（1）证明：由题意平面，又平面， ， 又，平面， 平面平面， 平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可得平面，得，结合条件，可证平面，由面面垂直的判定定理得证； （2）连接，易得为所求角，求出，得解； （3）易知平面，可得到平面的距离等于点到平面的距离，则，运算得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，因为，所以为所求角， 依题意，，所以， 又为正方形的边的中点，所以， 故. 所以. 所以直线与所成角的余弦值为. 【小问3详解】 平面平面 平面， 到平面的距离等于点到平面的距离， ， . 19. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点在线段上且满足，点在线段上且满足. （1）证明：； （2）若，求的值； （3）若存在，使直线与平面所成角为，求的取值范围. 【答案】（1）证明：∵平面，平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴， 又∵，，平面，∴平面， ∵平面，∴. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理得，再根据线面垂直的判定定理得平面，进而利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，进而根据线面垂直的性质定理得，根据与相似得，利用勾股定理得及，即可求解. （3）建立如图空间直角坐标系，设，，则，求出平面的法向量，利用线面角的向量公式列方程求得，设，由题意在上有零点，利用判别式法求得，即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，又，，平面， ∴平面，∵平面，∴， 由（1）可知，在中，，∴. 则与相似，则， 在中，，，∴， ∴.∴. 【小问3详解】 以为原点，以，所在直线分别为轴，轴， 以过点垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系. ∵，，∴， 不妨设，，，，∵， ∴即，由知，（*） 于是，，，， 设，则，， 由可得， ∴，，，， 设平面的一个法向量为， 于是，所以， 令，得，，故可取， 因， ∴，结合化简得， 设，， ∵要存在，使与平面所成角为，∴在上有零点. ∵结合（*）知函数图象的对称轴，故， 又， ∴只需满足，解得， ∴AB的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $