专题10.2 立方根（高效培优讲义）数学华东师大版2024八年级上册

专题10.2 立方根 1.理解立方根概念、性质，会用表示，能求立方根. 能力：培养归纳、类比与合作能力. 情感：感受数学价值，养成严谨思维. 二、教学重难点 重点：立方根概念、性质、求法及符号表示. 难点：辨析平方根与立方根，理解负数立方根，灵活用性质. 知识点1 立方根 1.立方根的概念 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根.也就是说如果，那么叫做的立方根.如：因为，所以是的立方根；因为，所以是的立方根；因为，所以是的立方根. 2.立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是0. 3.立方根的表示 一个数的立方根，记作，读作“三次根号”.其中，是被开方数，是根指数. 提示 (1)任何数的立方根只有一个，符号与原数相同. (2)，（即互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数）. (3)即，也有根指数“”，只不过省略，没写出来. (4)熟记一位数的立方：，，，，，，，，. 求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）0.216； （4）． 解：（1）， 的立方根为，即； ， 的立方根为，即； （3）， 的立方根为0.6，即； （4）的立方根为． 知识点2 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 提示 (1)开立方与立方互为逆运算，我们可以用立方运算来检验开立方的结果是否正确.如检验是不是的立方根，因为，所以是的立方根. (2)利用计算器可以求一个数的立方根，计算器的型号不同，其按键顺序也不尽相同，在使用时要按具体的使用说明书进行操作，结果要按要求取近似值. 平方根与立方根的联系与区别 联系：①都与相应的乘方是互逆关系，开平方与平方是互逆关系，开立方与立方是互逆关系. ②的平方根和立方根都是它本身. 区别：①用符号表示平方根时，根指数可省略，即（其中）可以写成；而用符号表示立方根时，根指数不能省略. ②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有. ③一个正数的平方根有个，而立方根只有个. 开立方，结果是　　 A． B．5 C． D． 解：开立方，结果是．故选：． 根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出　 　；　 　． 解：由题意得，，， ， ， 故答案为：，． 题型1 立方根概念理解 例1（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】求一个数的算术平方根、平方根概念理解、立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题主要是考查了平方根，算术平方根和立方根的概念，熟练地掌握概念是解题的关键． 根据平方根、算术平方根和立方根的定义进行判断即可． 【详解】解：①非负数有平方根，原说法错误； ②2是的立方根，原说法错误； ③，原说法错误； ④的立方根是，原说法错误； ⑤算术平方根不可能是负数，正确； 所以不正确的有4个． 故选：C 2．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 【答案】D 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根、已知一个数的立方根，求这个数 【分析】本题考查了立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题利用立方根的性质对选项逐一判断，即可求解． 【详解】解：A．的立方根是，故选项正确； B．的立方根是，故选项正确； C．0的立方根是0，故选项正确； D．∵，∴的立方根等于5，故选项错误． 故选：D 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）以下说法正确的选项是（   ） A．的平方根是4 B．1的平方根是1 C．的平方根是 D．是的立方根 【答案】D 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根、立方根概念理解、求一个数的立方根 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的相关概念，熟练掌握这几个概念是解题的关键．根据平方根、算术平方根、立方根的概念逐一判断选项即可． 【详解】解：A．的平方根是，选项错误，不符合题意； B．1的平方根是，选项错误，不符合题意； C．没有平方根，选项错误，不符合题意； D．是的立方根，正确，符合题意； 故选：D． 题型2 求一个数的立方根 例2（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题关键； （1）先求，再根据平方根定义得，解方程即可； （2）利用立方根定义求得，然后解方程． 【详解】（1）解：， ， ， 即或， 解得或． （2）， ， 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了立方根，平方根，化简二次根式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先化简立方根，平方根，二次根式，然后计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】解：原式 6．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）分别计算算术平方根、立方根，有理数乘方，化简绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算算术平方根、立方根，有理数乘方，化简绝对值，再进行加减计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型3 已知一个数的立方根求这个数 例3已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 【答案】 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部分的有关计算 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，平方根，估算无理数的大小等知识点，能求出、、的值是解此题的关键． 根据算术平方根和立方根定义得出，，求出、的值，再估算出的大小，求出的值，计算的值，最后根据平方根的定义求出即可． 【详解】解：的算术平方根是，的立方根是4， ，， 解得，， ∵， ∴， 是的整数部分， ， ， 的平方根是． 8．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）已知和是一个数的两个不相等的平方根，实数的立方根是，求的值． 【答案】 【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了平方根，立方根的含义，因式分解，掌握这些知识是解题的关键；由正数的两个平方根互为相反数得，可求得a的值；由实数的立方根是，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵和是某正数的两个不相等的平方根， ∴， 解得：， ∵实数的立方根是， ∴， ∴ ． 9．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了平方根，立方根的概念，熟练掌握平方根与立方根的概念是解决本题的关键． （1）根据平方根与立方根的概念可求解a与b的值，再由的大小范围即可求解c的值； （2）先求出的值，再根据平方根的概念即可求解． 【详解】（1）解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，∴， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴， 综上； （2）解：∵， ∴， ∵5的平方根为， ∴的平方根为． 题型4 与立方根有关的规律探索 例4观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】此题考查了立方根，解题的关键是根据图表找到规律，即如果一个数扩大1000倍，它的立方根扩大10倍，如果一个数缩小1000倍，它的立方根缩小10倍． 根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：根据图表中的规律得， ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 12．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 【答案】(1)5 (2)①两；②8；③， (3) 【知识点】立方根概念理解、求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索 【分析】本题考查求一个数的立方根，根据已知内容进行类比探究是解答问题的关键． （）根据的个位数字即可判断； （）根据题干提供的思路和方法，进行推理验证得出答案； （）根据（）的方法、步骤，类推出相应的结果即可． 【详解】（1）解：∵，个位数字为， ∴个位数字为， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴， ∴可以确定是两位数， 故答案为：两； ②由的个位上的数是，，个位数字为， ∴的个位上的数是， 故答案为：； ③∵，，， ∴， ∴可以确定的十位上的数是， ∴ 故答案为：． （3）解：，， 的个位上的数是6，只有个位数字是6的数的立方的个位数字是6， 的个位数字是6． 如果划去17576后面的三位576得到数17，而，，， ， ，即的十位数字是2． ． 题型5 立方根的实际应用 例5（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 【答案】(1)3 (2)蜘蛛爬行的最短路径为 (3)竹签的最大长度为 【知识点】立方根的实际应用、用勾股定理解三角形、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】本题主要考查了一个数的立方根，勾股定理等知识点，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据求一个数的立方根即可得到答案； （2）因为是正方体所以把链接的两个面铺平即可找到最短路径，根据勾股定理求出答案即可； （3）根据题意找到最长的长度，运用两次勾股定理求出答案即可； 【详解】（1）解： ∵ ∴正方体的变成为3， 故答案为：3； （2）解：如图所示，线段AB为蜘蛛爬行的最短路线． 在中， ， ∴蜘蛛爬行的最短路成为 （3）解：在中， ， 在中， ，， 所以竹签的最大长度为 14．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． 若把正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为 ，这个数的绝对值是 ． 【答案】 / / 【知识点】求一个数的绝对值、立方根的实际应用、实数与数轴、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了立方根，实数的运算，实数与数轴，勾股定理等．求出大正方体的棱长，进而求出小正方体棱长即可；用勾股定理求出边长，根据求出的边长结合数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：，则小正方体的棱长为， 由勾股定理得， ∵，点表示的数为 1 ， ∴点表示的数为． ∵， ∴这个数的绝对值是． 故答案为：． 15．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】立方根的实际应用 【分析】本题考查了立方根的应用，熟练掌握正方形的体积公式是解题的关键． 根据题意，计算出每一个小正方体的体积，直接开立方即可得到每个小正方体的棱长． 【详解】解：由条件可知：每一个小正方体的体积为， 则每个小正方体的棱长为， 故选：A． 题型6 算术平方根和立方根的综合应用 例6已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【知识点】求一个数的立方根、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查了算术平方根，立方根的定义，熟知算术平方根和立方根的定义是解题的关键． 先根据立方根和算术平方根的定义求出x，y的值，进而求出A、B的值，然后代入求立方根即可． 【详解】解：∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， 解得， ∴，， ∴， ∴的立方根为． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 【答案】(1)， (2) 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、算术平方根和立方根的综合应用 【分析】本题主要考查算术平方根、立方根、平方根，熟练掌握算术平方根、立方根、平方根的定义是解决本题的关键． （1）根据算术平方根、立方根的定义解决此题； （2）根据平方根的定义解决此题． 【详解】（1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4 ∴，． ∴，； （2）解：由（1）得，，， ∴ ， ∴的平方根为：． 18．（24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 【答案】 【知识点】算术平方根和立方根的综合应用、代入消元法 【分析】本题考查算术平方根，立方根，解二元一次方程，熟练掌握算术平方根，立方根，解二元一次方程的方法是解题的关键． 由题意得，解方程组得，得出，即可求解． 【详解】解： 由题意得 ， 解得， ∴， ∴， ∴的立方根为：． 一、单选题 1．一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 二、填空题 2． ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，配方法的应用，和的立方公式，设，，则可得到，，根据和的立方公式得到，进而推出，则设，则，则可推出，据此可得答案． 【详解】解：设，， ∴，， ∴ 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：4． 3．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 【答案】0或﹣1或﹣ 【分析】将原方程变形得到＝2x+1，根据一个数的立方根等于它本身得到这个数是0或1或-1，由此化成一元一次方程，解方程即可得到答案. 【详解】∵﹣2x﹣1＝0， ∴＝2x+1， ∴2x+1＝1或2x+1＝﹣1或2x+1＝0， 解得x＝0或x＝﹣1或x＝﹣． 故答案为：0或﹣1或﹣． 【点睛】此题考查立方根的性质，解一元一次方程，由立方根的性质得到方程是解题的关键. 4．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）；（2）是无理数；（3）方程不是二元一次方程；（4）不等式组的解集是．其中正确的是 （填序号）． 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据题中所给定义运算，依次将新定义的运算化为一般运算，再进一步分析即可． 【详解】解：（1），故（1）正确； （2）是有理数，故（2）错误； （3）方程得是二元二次方程，故（3）正确； （4）不等式组等价于，解得 ，故（4）正确． 故答案为：（1）（3）（4）． 【点睛】本题考查新定义的实数运算，立方根，二元一次方程的定义，解一元一次不等式组．能理解题中新的定义，并根据题中的定义将给定运算化为一般运算是解决此题的关键． 三、解答题 5．已知，，求代数式的值. 【答案】-5 【分析】根据平方根的定义，以及立方根的定义即可求得，的值，然后代入所求的代数式化简求值即可． 【详解】解：， ， 则或， 又，即． 则． ， ， ． 则， ， ， ， 【点睛】本题考查了平方根、立方根的定义，正确对根式化简是关键． 6．已知是a＋3b的算术平方根，是1－a2的立方根，求A＋B的立方根． 【答案】A＋B的立方根是1 【分析】根据算术平方根和立方根的意义，可列方程组，然后求解即可得到a、b的值，然后代入求解即可. 【详解】解：由题意得:， 解得：， ∴， ， ∴． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 立方根 1.理解立方根概念、性质，会用表示，能求立方根. 能力：培养归纳、类比与合作能力. 情感：感受数学价值，养成严谨思维. 二、教学重难点 重点：立方根概念、性质、求法及符号表示. 难点：辨析平方根与立方根，理解负数立方根，灵活用性质. 知识点1 立方根 1.立方根的概念 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根.也就是说如果，那么叫做的立方根.如：因为，所以是的立方根；因为，所以是的立方根；因为，所以是的立方根. 2.立方根的性质 正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是0. 3.立方根的表示 一个数的立方根，记作，读作“三次根号”.其中，是被开方数，是根指数. 提示 (1)任何数的立方根只有一个，符号与原数相同. (2)，（即互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数）. (3)即，也有根指数“”，只不过省略，没写出来. (4)熟记一位数的立方：，，，，，，，，. 求下列各数的立方根： （1）； （2）； （3）0.216； （4）． 解： 知识点2 开立方 求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 提示 (1)开立方与立方互为逆运算，我们可以用立方运算来检验开立方的结果是否正确.如检验是不是的立方根，因为，所以是的立方根. (2)利用计算器可以求一个数的立方根，计算器的型号不同，其按键顺序也不尽相同，在使用时要按具体的使用说明书进行操作，结果要按要求取近似值. 平方根与立方根的联系与区别 联系：①都与相应的乘方是互逆关系，开平方与平方是互逆关系，开立方与立方是互逆关系. ②的平方根和立方根都是它本身. 区别：①用符号表示平方根时，根指数可省略，即（其中）可以写成；而用符号表示立方根时，根指数不能省略. ②平方根只有非负数才有，而立方根任何数都有. ③一个正数的平方根有个，而立方根只有个. 开立方，结果是　　 A． B．5 C． D． 解： 根据图中呈现的开立方运算关系，可以得出　 　；　 　． 解： 题型1 立方根概念理解 例1（25-26八年级上·河南新乡·期末）下列说法：①任何数都有平方根；②是的立方根；③；④的立方根是4；⑤算术平方根不可能是负数．其中不正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．下列说法中，不正确的是（   ） A．的立方根是 B．的立方根是 C．0的立方根是0 D．的立方根是 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）以下说法正确的选项是（   ） A．的平方根是4 B．1的平方根是1 C．的平方根是 D．是的立方根 题型2 求一个数的立方根 例2（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）求下列各式中的x的值． (1)； (2)． 5．（25-26八年级上·上海·阶段练习）计算：． 6．（25-26八年级上·四川内江·阶段练习）计算： (1) (2) 题型3 已知一个数的立方根求这个数 例3已知的算术平方根是3，的立方根是4，是的整数部分，求的平方根． 8．（25-26八年级上·上海金山·阶段练习）已知和是一个数的两个不相等的平方根，实数的立方根是，求的值． 9．已知的平方根是，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 题型4 与立方根有关的规律探索 例4观察下表规律． a 8 8000 8000000 2 20 200 利用规律解答，若，，则 ． 11．（24-25七年级下·四川德阳·期中）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 12．我国著名数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54872的立方根．华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥妙，你知道他是怎样迅速准确地计算出结果的吗？下面是王老师的探究过程，请补充完整： (1)口算并填空：个位数字为______． (2)求． ①由，，可以确定是______位数； ②由54872的个位上的数是2，可以确定的个位上的数是______； ③如果划去54872后面的三位872得到数54，而，，可以确定的十位上的数是______，由此求得______． (3)已知17576是整数的立方，请用类似的方法求出的值．［过程可按题中的步骤写］ 题型5 立方根的实际应用 例5（25-26八年级上·广东揭阳·阶段练习）如图所示，一个体积为的正方体容器内，A点位置上有一只蜘蛛，B点上有一只蚊子． (1)正方体的边长为 cm； (2)求蜘蛛到蚊子的最短路线长度． (3)若要在该正方体容器内放置一根竹签，求竹签的最长长度． 14．（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）魔方又叫鲁比克方块，与华容道、独立钻石棋一同被称为智力游戏界的三大不可思议．如图（1）是一个4阶魔方，由四层完全相同的64个小正方体组成，体积为． 若把正方形放在数轴上，如图（2），使得点A与表示1的点重合，那么点D在数轴上表示的数为 ，这个数的绝对值是 ． 15．（24-25八年级上·山西晋城·期中）如图，该几何体由8个形状大小完全相同的小正方体组成．已知该几何体的体积约为（方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为（　　） A． B． C． D． 题型6 算术平方根和立方根的综合应用 例6已知是的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 17．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知的立方根是3，的算术平方根是4．求： (1)x，y的值； (2)的平方根． 18． （24-25八年级上·河南周口·期中）已知是 的算术平方根，是的立方根，试求的立方根． 一、单选题 1．一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 2． ． 3．已知﹣2x﹣1＝0，则x＝ ． 4．定义运算，下列给出了关于这种运算的几个结论：（1）；（2）是无理数；（3）方程不是二元一次方程；（4）不等式组的解集是．其中正确的是 （填序号）． 三、解答题 5．已知，，求代数式的值. 6．已知是a＋3b的算术平方根，是1－a2的立方根，求A＋B的立方根． 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $