专题04 圆锥曲线（期中真题汇编，福建专用）高二数学上学期人教A版

专题04 圆锥曲线 4大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点04 直线与圆锥曲线综合问题 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于两点，直线过椭圆的左焦点和上顶点．若以为直径的圆与相切，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)焦点坐标为，，并且经过点的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（   ） A．5 B．6 C．4 D．12 6．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（     ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．外接圆的面积为 7．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知椭圆的焦距为6，则的值是（   ） A．5 B．32 C．5或77 D．32或50 8．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 二、多选题 10．(24-25高二上·福建泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟·期中)设，是椭圆的两个焦点，（）是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的周长为 B．的最大值为36 C．满足的点P有两个 D．直线与圆相交 11．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，过倾斜角为的直线交椭圆于、两点，的周长为，则下列说法正确的是 （     ） A． B．当时， C．的最大值为 D．面积最大值为 12．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．的周长为 B．的最大值为36 C．满足的点P有两个 D．直线与圆相交 三、填空题 13．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”C：的两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 . 14．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 15．(24-25高二上·福建泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟·期中)已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点且，则的大小为 ． 16．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ． 17．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)平面内点满足，其中、，且，则的面积为 . 18．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的大小为 . 19．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与交于两点，以为直径的圆经过点，若，则的离心率为 . 四、解答题 20．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为.过椭圆C的右焦点的直线与椭圆C交于A，两点． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由； (3)设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数取值范围． 21．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 22．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 23．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程. 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知双曲线，若双曲线上不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 9．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)双曲线的焦距为（   ） A．3 B．6 C． D． 11．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（    ）    A． B．24 C．32 D． 13．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 15．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知曲线E：，则下列选项正确的有（   ） A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线 16．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 17．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（    ） A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线 C．离心率为 D．渐近线方程为 18．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 三、填空题 19．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为 ． 20．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其在第一象限内的焦点横坐标是 . 四、解答题 21．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，），求的取值范围. 22．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建三明六校·期中)如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．(23-24高二上·福建厦门双十中学·期中)已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知， 是抛物线上异于坐标原点的两个动点， 且以为直径的圆过点， 则（ ） A．直线的斜率为 B．直线过定点 C．存在最小值且最小值为 D．的外心轨迹为抛物线 三、填空题 7．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则 . 四、解答题 8．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且在y轴上的截距为的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积. 9．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)分别写出满足下列要求的曲线方程 (1)两个焦点坐标分别为，且经过的椭圆方程； (2)两个焦点坐标分别为，渐近线方程为的双曲线方程； (3)对称轴为轴，焦点到准线的距离为2的抛物线方程. 10．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点. （i）求证：点在定直线上； （ii）若的面积为6，求点的坐标. 地 城 考点04 一、单选题 1．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 3．(22-23高二上·福建厦门双十中学·期中)如图，已知直线l与抛物线交于两点，且 ， 交于点D，点D的坐标为，则l方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在P使得 B．椭圆C的弦MN被点平分，则 C．，则的面积为9 D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 5．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（    ） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 6．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．若，则的面积为3 D．若，则 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)椭圆，，为其左右焦点，为椭圆上一动点．则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．使得为直角三角形的顶点共有个 D．内切圆半径的最大值为 三、填空题 8．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 9．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 （用含b的式子表示），若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为 10．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 11．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 四、解答题 12．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 13．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 14．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，， ①若，求证：直线和直线的斜率之和为定值； ②若，求四边形周长的取值范围. 15．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 16．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. (1)求的轨迹方程； (2)若恰为弦的中点，求直线的方程. 17．(24-25高二上·福建三明六校·期中)如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 18．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. (1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； (2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； (3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 19．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知是椭圆的右焦点，是上一点. (1)求的方程； (2)记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值. 20．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为． (1)求椭圆E的方程． (2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆锥曲线 4大高频考点概览 考点01 椭圆 考点02 双曲线 考点03 抛物线 考点04 直线与圆锥曲线综合问题 地 城 考点01 椭圆 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)过椭圆的右焦点作轴的垂线，交椭圆于两点，直线过椭圆的左焦点和上顶点．若以为直径的圆与相切，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线过的左焦点和上顶点写出直线的方程，再根据过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点，得到以为直径的圆的圆心和半径，然后再根据为直径的圆与相切，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】由题意得：左焦点上顶点， 所以直线l的方程为，即， 因为过椭圆的右焦点的直线与轴垂直，交于A，B两点， 所以以为直径的圆的圆心为右焦点，半径为， 因为以为直径的圆与相切，所以圆心到直线的距离等于半径， 即，即， 所以， 所以， 故选：C 2．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，利用椭圆方程的标准形式，即可求解. 【详解】由，即， 由题有，所以， 故选：A. 3．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)椭圆的长轴长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，即可求得该椭圆的长轴长. 【详解】在椭圆中，，，故该椭圆的长轴长为. 故选：B. 4．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)焦点坐标为，，并且经过点的椭圆方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知焦点坐标，得到. 然后将点代入椭圆方程，结合求出和的值，从而确定椭圆方程. 【详解】因为焦点坐标为，所以，根据，得.   将点代入椭圆方程，所以，即. 将代入中，得到. 设，则方程变为. 解得或（，舍去）. 所以，则. 故椭圆方程为：. 故选：A. 5．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)椭圆上一点P到左焦点的距离为6，则P到右焦点的距离为（   ） A．5 B．6 C．4 D．12 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义求解即得. 【详解】由，则，所以， 根据椭圆的定义，点到右焦点的距离为. 故选：C. 6．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知点P是椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若，则下列说法正确的是（     ） A．的面积为 B．若点M是椭圆上一动点，则的最大值为9 C．点P的纵坐标为 D．外接圆的面积为 【答案】D 【分析】对A，根据椭圆定义和余弦定理求出，即可求的面积；对B，根据椭圆的有界性可得；对C，根据的面积建立关系求解；对D，利用正弦定理求出外接圆半径即可得出. 【详解】椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，则，， 对A，根据椭圆定义可得， 则①， 在中，由余弦定理得 ②， 由①②可得， 所以的面积为，故A错误； 对B，设，则，， ， 则当时，取得最大值为5，故B错误； 对C，由A知的面积为， 则，解得，故C错误； 对D，设外接圆的半径为r， 由正弦定理，得，所以， 所以外接圆的面积，故D正确. 故选：D. 7．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知椭圆的焦距为6，则的值是（   ） A．5 B．32 C．5或77 D．32或50 【答案】D 【分析】分情况讨论焦点位置，分别计算可得的值. 【详解】根据椭圆方程可知当焦点在轴上时，可得，解得； 当焦点在轴上时，可得，解得； 综上可知，的值是32或50. 故选：D 8．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与椭圆交于，两点，若且，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可求得，，，，因此分别为右顶点和左顶点，从而可求离心率. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 又因为，所以，所以， 又，所以，， ，所以， 所以椭圆的离心率为. 故选：D. 9．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形，若该椭圆恰好平分的另两边则椭圆的离心率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等边三角形的性质和椭圆的定义，即可求解. 【详解】如图，与椭圆交于点，连结， 由题意可知，的边长为，点是的中点， 所以，，   ，所以. 故选：B 二、多选题 10．(24-25高二上·福建泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟·期中)设，是椭圆的两个焦点，（）是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（    ） A．的周长为 B．的最大值为36 C．满足的点P有两个 D．直线与圆相交 【答案】ABD 【分析】利用椭圆定义可得选项A正确；根据椭圆定义结合基本不等式可得选项B正确；根据椭圆与圆有四个交点可得选项C错误；根据圆心到直线的距离小于半径可得选项D正确. 【详解】 由，得，，，. A.由椭圆定义得，所以，故A正确. B.由得， 当且仅当时等号成立，故的最大值为36，故B正确. C.若，则点在以为直径的圆上（扣掉与轴的交点）. 因为椭圆与圆有四个交点，所以满足的点P有4个，故C错误. D.圆的圆心为，半径为1，圆心到直线的距离， ∵是C上一点（除去与x轴的交点），∴，即，且， ∴，即， ∴，即，故直线与相交，故D正确. 故选：ABD. 11．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为、，过倾斜角为的直线交椭圆于、两点，的周长为，则下列说法正确的是 （     ） A． B．当时， C．的最大值为 D．面积最大值为 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的定义可求出的值，可判断A选项；利用弦长公式求出的最小值，结合椭圆的定义可判断C选项；利用弦长公式可判断B选项；利用三角形的面积公式结合函数单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，的周长为，则，故A项正确； 对于BCD选项，若直线与轴重合时，， 当直线不与轴重合时，设直线的方程为，设点、， 联立可得，， 由韦达定理可得，， 所以， ， 当且仅当时，即当轴时，等号成立， 故，所以，，故C项错误； 当时，，此时，，故B项正确； 由题意可知，直线不与轴重合，由上可知， 点到直线的距离为， 所以，， 令，则， 令，其中， 由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减， 故面积的最大值为，故D项正确. 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． 12．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一动点，则下列说法中正确的是（ ） A．的周长为 B．的最大值为36 C．满足的点P有两个 D．直线与圆相交 【答案】ABD 【分析】根据题意的定义即可判断A；根据题意的定义和基本不等式计算即可判断B；根据即可判断C；利用点线距公式可得圆心到直线的距离，结合且计算即可判断D. 【详解】对A，由，得，则， 因为是椭圆上一点，所以， 所以，故A正确； 对B：由，则， 当且仅当时，等号成立，故的最大值为36，故B正确； 对C：因为与圆有四个交点， 所以满足的点P有四个，故C错误； 对D：圆的圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离， 由是上一点（除去与轴的交点）， 故有且， 则，即， 则，即， 故直线与圆相交，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 13．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”C：的两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则 . 【答案】 【分析】根据离心率可得关于m的方程，从而可求，根据角平分线和正弦定理得到，结合椭圆的定义可得. 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故 ， 连接，因为为内心，故为角平分线， 在中，平分，故，， 又，所以， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以， 同理可得，故， 故. 故答案为：，. 【点睛】关键点点睛：利用角平分线和正弦定理得到，从而利用合比性质及椭圆定义进行求解 14．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知是椭圆的两个焦点，点在上，，，为从小到大连续的三个正整数，且，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由题意设，结合椭圆的性质和余弦定理以及二倍角的余弦公式计算出，再由离心率的公式计算可得. 【详解】由题意设， 由椭圆定义， 所以， 设， 对应用余弦定理可得，可得， 对应用余弦定理可得，可得， 又，代入并化简可得， 所以，， 所以离心率. 故答案为：. 15．(24-25高二上·福建泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校四校联盟·期中)已知，分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点且，则的大小为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆标准方程可得的值，利用椭圆定义可求，，结合余弦定理可得结果. 【详解】由椭圆可知，，，， 由椭圆定义得， ∵，∴，， ∴， ∵，∴. 故答案为： 16．(24-25高二上·福建泉州第七中学·期中)已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意，对椭圆方程进行变形，根据椭圆的焦点在轴上，列出不等式再进行求解即可． 【详解】易知该椭圆方程为，因为该椭圆的焦点在轴上， 所以，解得，则的取值范围为． 故答案为：. 17．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)平面内点满足，其中、，且，则的面积为 . 【答案】 【分析】设，，，利用平面向量数量积的定义以及余弦定理可求出、的值，可得出角的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】设，，，则， 由余弦定理可得 ， 所以，可得，所以，， 因为，则，故. 故答案为：. 18．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知分别为椭圆的左､右焦点，为椭圆上一点且，则的大小为 . 【答案】 【分析】由椭圆方程得出，利用椭圆定义和条件求出，然后利用余弦定理求解. 【详解】由椭圆可知， 故，结合， 可得，而， ， ，. 故答案为：. 19．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，过点的直线与交于两点，以为直径的圆经过点，若，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】不妨设，，则，根据椭圆的定义，结合勾股定理解得，进而利用余弦定理可得，求解离心率即可． 【详解】不妨设，，则，， 由椭圆性质可知，，， 以为直径的圆过点，则在中，，故为直角三角形， 根据勾股定理可知，， 即解得， 故，，，， 由余弦定理可得 化简可得，即，解得， 故答案为： 四、解答题 20．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知为椭圆：的左焦点，椭圆过点，且直线的斜率为.过椭圆C的右焦点的直线与椭圆C交于A，两点． (1)求椭圆的方程； (2)是否存在直线，使得，若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由； (3)设点是一个动点，若直线的斜率存在，且为中点，，求实数取值范围． 【答案】(1) (2)存在，或 (3) 【分析】（1）由题可得直线方程，据此可得c， ，设椭圆方程为，代入可得答案； （2）当直线斜率不存在时，易知不符合题意；当直线斜率存在时，设直线为，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得关于的表达式，令其等于3，可得答案； （3）设AB的中点为，由（2）可得表达式，然后由，可得关于k的表达式，即可得答案. 【详解】（1）由题意得，直线的方程为，即 当时，，故，∴=. ∵椭圆过点，∴，解得或（舍去）. ∴椭圆的方程. （2）当直线l斜率不存在时，A，B，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线为， 由得到, 由于直线过椭圆焦点，必有， 设A，B，则， ∴ ∴ 解得，即， 存在直线，使得， 此时直线的方程为或； （3）设AB的中点为， 当时，为椭圆长轴，在原点处，不合题意， 当时，，， 则 ， 由知，即 ， 因，则，得 【点睛】难点点睛：解答此类题目的难点在于计算十分复杂，并且基本都是字母参数的运算，因此需要较强的计算能力. 21．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)已知点，动点在圆上运动，线段的垂直平分线交于点. (1)求点的轨迹方程； (2)设直线与点的轨迹交于、两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直平分线的性质及椭圆定义可得动点的轨迹方程； （2）联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，再根据点到直线的距离可得三角形面积，再结合对勾函数单调性可得最值. 【详解】（1） 由已知圆，则， 又线段的垂直平分线交于点， 所以， 则， 所以动点到定点，的距离之和为定值， 即动点的轨迹为以，为焦点的椭圆， 且，，即，， 椭圆方程为； （2） 设直线与椭圆的交点为，， 联立直线与椭圆，得， 即， 且，， 则 ， 又点到直线的距离， 则的面积， 设，则，， 又函数在上单调递增， 即当，即时，取得最小值为， 此时取得最大值为. 【点睛】方法点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意： （1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件； （2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题. 22．(24-25高二上·福建三明永安九中、沙县区金沙高级中学·期中)已知椭圆：的离心率为，焦距为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与椭圆相切，且直线与直线：平行，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组即可求解； （2）设所求直线方程为，联立椭圆方程结合判别式等于0求出参数的值即可得解. 【详解】（1）由题意得，从而可得， 椭圆的标准方程为. （2）设与直线平行的直线的方程为：， 联立，得， 由，得， 直线的斜截式方程为：. 23．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知椭圆C的中心在坐标原点，左焦点为F1（﹣，0），点在椭圆上. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点P（1，0）的直线l交椭圆C于两个不同的点A、B，若△AOB（O是坐标原点）的面积S=，求直线AB的方程. 【答案】（1）+y2=1；（2）x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0. 【分析】（1）由已知可得椭圆的左、右焦点坐标，而点在椭圆上，所以|MF1|+|MF2|=2a，从而可求出的值，再由可求出，从而可求得椭圆C的标准方程； （2）设，由题可设直线AB的方程为x=my+1，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消去x，利用根与系数的关系，从而可表示出△AOB的面积，列方程可求出的值，进而可得直线AB的方程. 【详解】解：（1）根据题意，设椭圆C的方程为=1（a＞b＞0）， 因为椭圆的左焦点为F1（﹣，0），设椭圆的右焦点为F2（，0）， 由椭圆的定义知|MF1|+|MF2|=2a，所以2a=4，所以a=2， 所以， 所以椭圆C的方程为  +y2=1， （2）设， 由题可设直线AB的方程为x=my+1. 联立直线与椭圆的方程，，消去x得（4+m2）y2+2my﹣3=0， 则有， 所以 又由S=，即 解得m2=1，即m=±1. 故直线AB的方程为x=±y+1，即x+y﹣1=0或x﹣y﹣1=0 地 城 考点02 双曲线 一、单选题 1．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由双曲线的基本性质求出的值求出双曲线方程. 【详解】由题意可知①， 渐近线方程：，交点坐标为， ∴，∴②， 由①②解得，， ∴双曲线：. 故选：C. 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知双曲线，若双曲线上不存在以点为中点的弦，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意，先由点在双曲线上或两支之间，推得；再由点差法求得中点弦的斜率，依题需使，推得，最后由离心率定义即可求得其范围. 【详解】由题意知点必在双曲线上或两支之间，则，得； 假设以为中点的弦存在且与双曲线交于，则, 由两式作差得:, 即， 因为不存在该中点弦，所以，得； 综上，可得.故. 故选:B. 3．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知是双曲线的右焦点，则点到的渐近线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题设写出焦点坐标、渐近线方程，应用点线距离公式求距离. 【详解】由题设，渐近线为，则点到的渐近线的距离. 故选：A 4．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知分别为双曲线的左、右焦点，为左支上一点，满足，与的右支交于点，若，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据题意找到等量关系，列齐次方程求解即可. 【详解】    因为，，所以的三个内角都是， 从而，结合双曲线定义得，故， 又，故，结合， 故由余弦定理得，化简得，解得. 故选：D. 5．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)如果方程表示双曲线，那么下列椭圆中，与这个双曲线共焦点的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和，再结合双曲线、椭圆的标准方程，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】若，则方程表示焦点为的双曲线， 此时选项A和选项B中的方程表示的曲线不存在， 选项C和选项D中的方程表示焦点在轴的椭圆，所以不合题意， 若，则方程表示焦点为的双曲线， 此时选项C和选项D中的方程表示的曲线不存在， 又表示焦点为的椭圆，符合题意， 表示焦点为的椭圆，不合题意， 故选：A. 6．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)设双曲线的右焦点为，右顶点为，过作的垂线与双曲线交于两点，过分别作的垂线，两垂线交于点.若到直线的距离大于，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的对称性知在轴上，设，则由得，求出，利用到直线的距离大于，即可得出结论． 【详解】由题意， ，，， 由双曲线的对称性知在轴上，设， 则由，得， ， 到直线的距离为， ，进而 故选：B．    7．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，为坐标原点，若的面积为，则的焦距的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件以及几何关系先确定，再利用基本不等式求最值即可. 【详解】根据题意双曲线的一条渐近线方程为，即，    设点到渐近线的距离为，则， 所以，因为，，所以， 所以，所以；的焦距为， 又，当且仅当时，等号成立. 故选：C 8．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知双曲线，过点的直线与双曲线交于两点，若线段的中点是，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，利用“点差法”得到，结合条件得到 ，即可求解. 【详解】设，因为点在双曲线上， 则，两式相减可得， 整理可得，又线段的中点是，则， 所以，又直线过点，得到，所以，得到， 故选：C. 9．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用离心率公式结合渐近线方程可解. 【详解】由题知，，解得， 又双曲线的焦点在x轴上，所以渐近线方程为. 故选：D 10．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)双曲线的焦距为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】运用双曲线方程，结合焦距概念计算. 【详解】双曲线,则则则.则焦距为. 故选：B. 11．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知双曲线是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点.则双曲线的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直线与渐近线的距离得到圆心到直线的距离为，再根据圆与双曲线C的右支没有公共点，由求解. 【详解】双曲线的一条渐近线方程为， 因为点是直线上任意一点， 又直线与直线的距离为： ， 即圆心到直线的距离为：, 因为圆与双曲线C的右支没有公共点， 所以，即，又, 所以双曲线的离心率的取值范围为. 故选：B 【点睛】本题考查求解双曲线离心率的范围，对学生的理解与转化能力要求较高，难度较难.涉及到和双曲线某一支的交点个数问题，注意借助双曲线的渐近线进行分析.解题的关键在于将问题转化为渐近线与直线的距离大于等于圆的半径. 12．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)如图，这是一个落地青花瓷，其外形被称为单叶双曲面，可以看成是双曲线C：的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为8，瓶高等于双曲线C的虚轴长，则该花瓶的瓶口直径为（    ）    A． B．24 C．32 D． 【答案】D 【分析】求出，设出，代入双曲线方程，求出，得到直径. 【详解】因为该花瓶横截面圆的最小直径为8，所以. 设M是双曲线C与瓶口截面的一个交点，该花瓶的瓶口半径为r，则，      所以，解得，故该花瓶的瓶口直径为. 故选：D 13．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到的关系式，根据取值范围分析函数单调性得到结果. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，不妨设点在第一象限. ∵在的中垂线上， ∴， 由椭圆、双曲线的定义得：， ∴，整理得， ∴，即， ∴， ∴， 令，由定义法可证在为增函数，且， ∵， ∴. 故选：B. 14．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知F1，F2是双曲线的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据两直线平行斜率的关系求出该直线的方程，联立得到点M的坐标，由点与圆的位置关系得到化简即可得出双曲线离心率的取值范围. 【详解】如图，不妨设，则过点F1与渐近线平行的直线为 联立，得解得即 .因为点M在以线段F1F2为直径的圆x2＋y2＝c2内，故，化简得b2＜3a2，即c2－a2＜3a2，解得 又双曲线的离心率，所以双曲线离心率的取值范围是． 故选：A 【点睛】本题主要考查了求双曲线的离心率的取值范围，涉及到点与圆的位置关系等，属于中档题. 二、多选题 15．(24-25高二上·福建三明第二中学·期中)已知曲线E：，则下列选项正确的有（   ） A．若，则E为椭圆 B．若E为焦点在y轴上的椭圆，则 C．若E为双曲线，则 D．若，则E为焦点在y轴上的双曲线 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆得到不等式组即可判断A，再限制其焦点即可判断B；根据方程表示双曲线得到不等式即可判断C， 【详解】对于A，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 当时，此时方程表示圆，所以A不正确； 对于B中，当方程表示焦点在轴上的椭圆，则满足，解得，所以B正确； 对于C中，当为双曲线时，，则或，所以C错误； 对于D中，当，曲线E：，其中，则焦点在轴上，所以D正确． 故选：BD． 16．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（   ） A．的虚轴长为6 B．的离心率为 C．的渐近线方程为 D．点到的一条渐近线的距离为4 【答案】AB 【分析】利用双曲线的性质计算分析选项即可. 【详解】由双曲线的方程可知其虚轴长为，故A正确； 离心率为，故B正确； 令，即其渐近线方程为，故C错误； 不妨设，则其到渐近线的距离为，故D错误. 故选：AB 17．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知双曲线的两个焦点分别为，且满足条件，可以解得双曲线的方程为，则条件可以是（    ） A．实轴长为4 B．双曲线为等轴双曲线 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ABD 【分析】根据双曲线实轴、离心率、渐近线方程等性质逐项分析即可. 【详解】设该双曲线标准方程为，则. 对于A选项，若实轴长为4，则，，符合题意； 对于B选项，若该双曲线为等轴双曲线，则，又，， 可解得，符合题意； 对于C选项，由双曲线的离心率大于1知，不合题意； 对于D选项，若渐近线方程为，则，结合，可解得，符合题意， 故选：ABD. 18．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知双曲线，则（    ） A．的取值范围是 B．的焦点可在轴上也可在轴上 C．的焦距为6 D．的离心率的取值范围为 【答案】AC 【分析】根据双曲线方程的特征，易于求得，判断方程中分母的符号即可判断A,B项，计算易得C项，先算出离心率的表达式，再根据的范围，即可确定的范围. 【详解】对于A，表示双曲线，，解得，故A正确； 对于B，由A项可得，故，的焦点只能在轴上，故B错误； 对于C，设的半焦距为，则，，即焦距为，故C正确； 对于D，离心率，，，的取值范围是，故D错误． 故选：AC. 三、填空题 19．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，，是上关于原点对称的两点，且，，则的离心率为 ． 【答案】 【分析】由图，题意，双曲线对称性可得为直角三角形，然后设，由及勾股定理可表示出a，c，即可得答案. 【详解】由双曲线对称性及，可知， 则为以为顶点的直角三角形.又由双曲线对称性， 可知四边形为平行四边形，结合， 可知四边形为矩形，则为直角三角形. 设，则. 故. 故答案为： 20．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，离心率为，已知函数的图象也是双曲线，其离心率为.则其在第一象限内的焦点横坐标是 . 【答案】 【分析】根据题设，确定函数对应双曲线的渐近线、对称轴，进而求顶点坐标，结合双曲线参数、离心率、渐近线作相关旋转后的关系求焦点横坐标. 【详解】由阅读材料可知，直线和轴是双曲线的两条渐近线，双曲线的焦点所在的对称轴是直线， 由顶点的定义知，对称轴与双曲线的交点即顶点，联立得，解得或， 所以双曲线的位于第一象限的顶点为， 若将双曲线绕其中心适当旋转可使其渐近线变为直线，则双曲线的离心率， 设双曲线的位于第一象限的焦点的坐标为，则，所以. 故答案为： 四、解答题 21．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知，分别是双曲线的左、右顶点，是上异于，的一点，直线，的斜率分别为，且. (1)求双曲线的方程； (2)已知过点的直线，交的左，右两支于，两点（异于，），求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据双曲线的基本量关系，设根据求解即可； （2）设直线的方程为，，，再根据直线与双曲线左右两支相交，所以，利用韦达定理求解即可. 【详解】（1）由题意可知，，因为，所以 设，则，所以， 又， 所以 所以双曲线的方程为 （2）由题意知直线的方程为，，. 联立，化简得， 因为直线与双曲线左右两支相交，所以， 即满足：， 所以或 22．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线相交于，两点，若线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线所过的点列方程求参数，即可得方程； （2）设，应用点差法得，结合中点坐标及点斜式写出所求直线方程. 【详解】（1）由题意，知，解得，故双曲线的方程为． （2）设， 则，两式相减，得， 整理得． 因为线段的中点坐标为，所以， 所以直线的斜率， 故直线的方程为，即． 经检验，直线与双曲线相交，所以直线的方程为. 地 城 考点03 抛物线 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知抛物线的焦点为是抛物线上的一点，为坐标原点，，则（    ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】先求出准线方程，再设点，，根据点P在抛物线上和得到方程组，求出m的值，根据抛物线的定义求出答案. 【详解】抛物线的准线方程为， 设，，点P在抛物线上，， 则，解得或（舍去）， 由抛物线定义可得. 故选：B． 2．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)已知抛物线的焦点为点，P是C上一个动点，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义可求的最小值. 【详解】 由题意得，准线为，点A在抛物线C的内部， 过点A作AB垂直于准线，垂足为B，过点P作PD垂直于准线，垂足为D， 则有， 当且仅当，P为AB与抛物线的交点时，等号成立， 所以的最小值为 故选：C. 3．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将抛物线方程化为标准形式，再根据抛物线性质求解即可. 【详解】由得抛物线的标准方程为， 所以其准线方程为. 故选：C 4．(24-25高二上·福建三明六校·期中)如图所示，点是抛物线的焦点，点分别在抛物线及圆的实线部分上运动，且总是平行于轴，则的周长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作准线的垂线，垂足为，则的周长为，求出后可得所求的范围. 【详解】 过点作准线的垂线，垂足为， 则的周长为， 由可得， 故，故的周长的取值范围为， 故选：D. 5．(23-24高二上·福建厦门双十中学·期中)已知抛物线的焦点为，点，若点为抛物线上任意一点，当取最小值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义把问题转化为求取得最小值，数形结合求解即可. 【详解】抛物线的焦点为，准线为， 设点在准线上的射影为，如图，    则根据抛物线的定义可知， 求的最小值，即求的最小值， 显然当，，三点共线时取得最小值， 此时点的横坐标为，则，解得，即. 故选：D. 二、多选题 6．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知， 是抛物线上异于坐标原点的两个动点， 且以为直径的圆过点， 则（ ） A．直线的斜率为 B．直线过定点 C．存在最小值且最小值为 D．的外心轨迹为抛物线 【答案】BCD 【分析】根据点差法判断A选项，联立方程组得出，求出定点判断B选项，应用弦长公式求出最小值判断C选项，求轨迹方程判断D选项. 【详解】由抛物线，得. 因为，，两式相减，得， 当时，有，此时直线AB的斜率为， 当时，直线AB的斜率不存在，所以A不正确； 因为以AB为直径的圆过原点O，所以，即， 所以，又， 所以，得，， 当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为， 由，消去x，得，所以，故， 即，所以直线AB的方程为， 当直线AB的斜率不存在时，直线AB的方程为，过点，所以B正确． 当直线AB的斜率存在时，由弦长公式知， 得 . 当直线AB的斜率不存在时， ， 所以存在最小值且最小值为， 所以C正确． 的外心就是弦的中点， 记为， 其中， . 于是， 由，以及， 得 ， 即， 所以的外心的轨迹为抛物线. 故选：BCD 三、填空题 7．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知拋物线的焦点为，过斜率为的直线交抛物线于两点，在第一象限，则 . 【答案】 【分析】根据题意得到直线的方程，联立直线与抛物线方程，求得，再利用抛物线的焦半径公式即可得解. 【详解】由拋物线，得， 所以直线的方程为， 联立，消去，得， 因为在第一象限，则，解得， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且在y轴上的截距为的直线与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程求出，继而可得，再根据抛物线的焦点坐标求出，即可求解； （2）利用斜截式求出直线方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理及弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）双曲线E的渐近线方程为， 所以，解得， 所以， 所以双曲线的右焦点为，从而，解得， 所以抛物线的标准方程和双曲线的标准方程依次分别为. （2） 因为直线的斜率为1，且在轴上的截距为， 所以直线的方程为，它过抛物线的焦点， 由，得， ， 设，则， 所以， 因为点到直线的距离为， 所以，即的面积为. 9．(24-25高二上·福建德化第二中学·期中)分别写出满足下列要求的曲线方程 (1)两个焦点坐标分别为，且经过的椭圆方程； (2)两个焦点坐标分别为，渐近线方程为的双曲线方程； (3)对称轴为轴，焦点到准线的距离为2的抛物线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据椭圆定义得出结合焦点坐标即可求出椭圆方程；             （2）根据渐近线方程及焦点坐标列方程组求出即可写出双曲线方程； （3）先设抛物线方程，由已知可知即可得出抛物线方程. 【详解】（1）设椭圆方程为， 利用椭圆定义求得 所以，由且求得，                  则椭圆方程为. （2）设双曲线方程为 有，又 ，解得 则双曲线方程为. （3）设抛物线方程为，则焦点到准线的距离知               所以抛物线方程为. 10．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且. (1)求抛物线的方程； (2)设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段的中点. （i）求证：点在定直线上； （ii）若的面积为6，求点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）或 【分析】（1）由抛物线焦半径公式即可求解； （2）（i）由题意得到的斜率互为相反数，构造方程即可求解； （ii）写出直线方程，由点到线的距离公式求得高，代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，由抛物线的定义得，又，所以， 因此，即，解得，从而抛物线的方程为. （2）    （i）由（1）知点的坐标为，因为的角平分线与轴垂直， 所以可知的倾斜角互补，即的斜率互为相反数， ， 同理，则， 化简得，则， 所以点在定直线上. （ii），则直线， 即 线段的长度：，点到直线的距离， 可得的面积为， 因为，且，化简得 ， 令，则，即. 解得或， 由知或，所以或 所求点的坐标为，或者. 地 城 考点04 一、单选题 1．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)若直线：与椭圆：没有公共点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直线方程和椭圆方程后利用判别式可求的取值范围. 【详解】由可得， 故，故或， 故选：D. 2．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线方程，与椭圆联立，利用弦长公式表示弦长，再求最值即可 【详解】设A，B两点的坐标分别为，直线l的方程为y＝x＋t， 由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0， 则x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝|x1－x2|＝ ＝ ＝·， 当t＝0时，|AB|max＝． 故选：C. 3．(22-23高二上·福建厦门双十中学·期中)如图，已知直线l与抛物线交于两点，且 ， 交于点D，点D的坐标为，则l方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的垂直关系求出直线l的斜率，即可求得直线的点斜式方程，可得答案. 【详解】由题意可知点D的坐标为，故直线的斜率为1， 因为 ，所以直线l 的斜率为, 则l方程为，即， 故选：A. 二、多选题 4．(24-25高二上·福建厦门、泉州五校·期中)已知椭圆，分别为它的左右焦点，A，B分别为它的左右顶点，点P是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有（    ） A．存在P使得 B．椭圆C的弦MN被点平分，则 C．，则的面积为9 D．直线PA与直线PB斜率乘积为定值 【答案】ABC 【分析】根据余弦定理结合余弦定理求出的范围判断A；根据点差法求中点弦的斜率判定B；根据勾股定理和面积公式求解判断C；根据斜率公式及点P在椭圆上求解斜率之积判断D. 【详解】对于A.由余弦定理知 ， 当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时为钝角最大， 所以存在P使得，所以A正确； 对于B.当直线MN的斜率不存在，即直线时，， 不是线段MN的中点，所以直线MN的斜率存在. 设，则，两式相减并化简得，所以，所以B正确； 对于C.，， 因为，所以， 因为，解得. 因为，所以，所以C正确； 对于D.，设，则，整理得， 可得直线PA，PB的斜率分别为， 所以，所以D错误. 故选：ABC.    5．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)已知椭圆的左右焦点分别为，左右顶点分别为，点是椭圆上的一个动点（异于两点），且直线的斜率均存在，则（    ） A．当的最大角为时，椭圆的离心率为 B．当时，的面积为 C．直线的斜率之积一定大于直线的斜率之积 D． 【答案】ABD 【分析】对于A，由顶点与角的关系直接判断即可；对于B，利用等体积法求得，从而得解；对于C，直接求出，，利用作差法即可判断；对于D，直接求出，从而得以判断. 【详解】对于A，当取最大时，顶点为上下顶点， 此时，故A正确； 对于B，当时， 由，得， 所以的面积为，又， 所以点的纵坐标为，则的面积为，故B正确； 对于C，设，又， 则，， 所以， 而与的大小不定，故上式正负不定，故C错误； 对于D，因为， 所以，又， 所以，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题B选项解决的关键是利用椭圆的定义与勾股定理求得，从而利用面积相等得到，由此得解. 6．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，点在上，且的最大值为3，最小值为1，则（    ） A．椭圆的离心率为 B．的周长为6 C．若，则的面积为3 D．若，则 【答案】ABD 【分析】对A，根据题意可得，即可求解；对B，根据椭圆的定义判断即可；对C，根据余弦定理结合椭圆的定义判断即可；对D，根据余弦定理与椭圆的定义求解即可． 【详解】对A，由题意，，故，，故A正确； 对B，的周长为，故B正确； 对C，， ，当且仅当时，等号成立， 因为在上递减，所以此时最大，又，，所以的最大值为，，不成立，故C错误； 对D，由余弦定理 ，即， 解得，故，故D正确； 故选：ABD 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)椭圆，，为其左右焦点，为椭圆上一动点．则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的最小值为 C．使得为直角三角形的顶点共有个 D．内切圆半径的最大值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据椭圆定义及余弦定理得到，从而利用三角形面积公式得到答案；B选项，由基本不等式“1”的代换求解最小值；C选项，考虑时，写出以为直径的圆的方程，联立，得到，故无解，再考虑和，共4个满足要求的点，C错误；D选项，要想内切圆半径最大，只需的面积最大，求出面积的最大值，得到内切圆半径最大值． 【详解】A选项，，故，由椭圆定义可知，， 在中，由余弦定理，得 ， 即，解得， 则，故A正确； 选项B中，， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故B正确； C选项，以为直径的圆的方程为，联立椭圆，无解，故使得的点不存在， 过点作轴的垂线，交椭圆于两点，此时， 同理过点作轴的垂线，交椭圆于两点，此时，故使得为直角三角形的顶点共有4个，故C错误； D选项，因为的周长等于， 故要想内切圆半径最大，只需的面积最大，因为， 故当点位于上顶点或下顶点时，面积最大，此时， 故最大面积为，设内切圆半径为，则，解得， 所以内切圆半径最大值为，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题 8．(24-25高二上·福建浦城第一中学·期中)已知直线与椭圆交于两点，弦的中点为，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】点差法求出直线的斜率，点斜式得直线方程. 【详解】设点，点为弦的中点，有， 将两点代入椭圆方程，得， 两式作差得，整理得 得直线的斜率为，直线的方程为，即. 经检验符合题意.A 故答案为：. 9．(24-25高二上·福建泉州四校联盟（泉州一中、泉港一中、德化一中、厦外石狮分校）·期中)画法几何的创始人——法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆C的蒙日圆，其圆方程为．已知椭圆C的离心率为，点A，B均在椭圆C上，则点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为 （用含b的式子表示），若，椭圆C的蒙日圆上存在点M满足，则面积的最大值为 【答案】 【分析】由题意可得蒙日圆方程，即可求解第一空；若则C：，蒙日圆方程为，设，，求出切线方程，进而可得直线的方程，联立椭圆方程，利用韦达定理个弦长公式表示弦长，由点线矩表示原点到直线的距离，结合基本不等式计算即可求解面积的最大值. 【详解】由离心率，且可得， 所以蒙日圆方程； 由于原点到蒙日圆上任意一点的距离为， 原点到椭圆上任意一点的距离最大值为， 所以椭圆C上的点A与椭圆C的蒙日圆上任意一点的距离最小值为； 若，则椭圆C的方程为，即，蒙日圆方程为， 不妨设，因为其在蒙日圆上，所以， 设，又，所以可知与椭圆相切， 此时可得直线的方程为，同理直线的方程为； 将代入的直线方程中可得， 所以直线的方程即为， 联立，消去整理可得； 由韦达定理可得， 所以， 原点到直线的距离为， 因此的面积 ； 当且仅当，即时等号成立， 因此面积的最大值为. 故答案为：； 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 10．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过扡物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为 . 【答案】 【分析】根据抛物线求出交点横坐标，再结合面积公式与抛物线的焦点弦的性质求解即可. 【详解】由抛物线的光学性质知，直线与轴的交点为抛物线的焦点， 的焦点为，故与轴的交点横坐标为， 根据题意，画出草图，如下图所示， 令得，解得，又过焦点， 所以方程为：， 即，联立， 得，解得或，所以 ∴的边上的高为， 又， 所以， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，充分了解抛物线的光学性质，从而得解. 11．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（在轴上方），连结并延长交椭圆于另一点，设，若垂直于轴，且椭圆的离心率，求实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据题意求出点的坐标，再联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出点坐标，根据，结合椭圆离心率与的关系求解. 【详解】设， 因为垂直于轴，所以代入椭圆方程， 得，所以， 设， 联立，消去整理得，， 所以，所以， 又因为，所以， 又因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以. 故答案为：. 四、解答题 12．(24-25高二上·福建福州马尾第一中学等六校·期中)已知椭圆过点，离心率．、分别为椭圆的左、右顶点，、分别为左、右焦点，直线交椭圆于、两点不过点 (1)求圆的方程； (2)若为椭圆上（除外）任意一点，求证：直线和的斜率之积为定值 (3)若直线与直线的斜率分别是、，且，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，运用离心率公式，结合方程求出c即可； （2）运用斜率公式计算即可； （3）直曲联立，运用韦达定理，计算化简即可. 【详解】（1）由题意知， ，， 椭圆的方程可写为，又椭圆过点 故，得， 则椭圆C的方程为. （2）在椭圆中，左、右顶点分别为，， 设点，则，故 ，为定值． （3）设，，易知直线的斜率不为， 设其方程为， 联立，可得， 由，得． 由韦达定理，得，， ，， 可化为， 整理即得， ，由， 进一步得，化简可得，解得， 直线的方程为，恒过定点. 13．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知抛物线上一点到焦点的距离为9. (1)求抛物线的方程； (2)过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，点为抛物线准线上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求； (2)把向量的数量积转化为坐标运算，求得，利用点到直线的距离公式，求出三角形的高，利用焦点弦长公式，求出，三角形面积公式，求出面积. 【详解】（1）由抛物线的定义得，解得， 抛物线的方程为； （2）设，由（1）知点， 直线的方程为， 由可得， 则， 不妨取，则点的坐标分别为， 设点的坐标为，则， 则， 解得.即， ， 点到直线的距离， 的面积. 14．(24-25高二上·福建福州福九联盟·期中)已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，是椭圆上任一点，的面积的最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)四边形顶点在椭圆上，且对角线、过原点，设，， ①若，求证：直线和直线的斜率之和为定值； ②若，求四边形周长的取值范围. 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据题意，找出之间的关系式，列方程求解即可； （2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可； ②得出四边形为菱形，再结合弦长公式求出，通过换元结合二次函数最值即可求解． 【详解】（1）由题意知：当点是椭圆的上、下顶点时，的面积取最大值， 即， 再根据离心率为， 可得：， 由， 解得：， 故椭圆的标准方程为：． （2）①如图所示： 当直线斜率不存在时，不满足， 故直线斜率存在， 设直线的方程为， 联立，得， ， ， ， ， 整理得：， 即， 由题意知：与，与关于原点对称， 即， 即， 故， 所以直线和直线的斜率之和为定值． ②对角线、过原点，且， 即， 四边形为菱形， 故四边形的周长为：， 当直线斜率不存在时， ， ， 由， 得：， 即， 又， 解得：， 当直线斜率存在时，由①再结合，得， 得， 即， 故， 令， 则， ， ， 当时，， 当时，， 综上所述：， 四边形周长的取值范围为：． 15．(24-25高二上·福建厦门双十中学·期中)已知椭圆的离心率为，右焦点为分别为椭圆的左、右顶点. (1)求椭圆的方程; (2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，记的斜率为，的斜率为.求证:为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）头题意得到等式解出的值，得出椭圆方程； （2）设直线方程和交点坐标，联立方程组消元得到一元二次方程，由根与系数的关系列出等式，表示出，列出式子并化简得结果. 【详解】（1）依题可得，解得:，所以，即椭圆的方程为 （2）设，因为直线过点且斜率不为0， 所以可设的方程为，代入椭圆方程得，， 其判别式，所以 两式相除得，即 因为A，B分别为椭圆的左、右顶点，所以点A的坐标为，点的坐标为，所以 从而. 16．(24-25高二上·福建福州外国语学校·期中)已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，过点作直线交轨迹于两点. (1)求的轨迹方程； (2)若恰为弦的中点，求直线的方程. 【答案】(1)，（）． (2) 【分析】（1）设，根据斜率公式可得，化简即可得出答案． （2）根据点差法即可作差化简，求解斜率，由点斜式求解直线方程即可得出答案． 【详解】（1）设， 由题意知，，， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为，（）． （2）设,，,， ,且， 所以， 所以，故 所以， 所以直线的方程为，即． 17．(24-25高二上·福建三明六校·期中)如图，已知椭圆过点，焦距为；斜率为的直线与椭圆相交于异于点的，两点，且直线PM，PN均不与轴垂直. (1)求椭圆的方程； (2)若，求MN的方程； (3)记直线PM的斜率为，直线PN的斜率为，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据条件列方程组求解即可； （2）设直线的方程为，与椭圆联立，由弦长公式求得的方程； （3）将韦达定理代入中计算结果为定值． 【详解】（1）由椭圆过点，焦距为， 得，解得， 故椭圆的方程为． （2）设直线的方程为，，， 联立，消去得， 由，得， 则． ， 解得或， 当时，直线的方程为； 当时，直线经过点，不符合题意，舍去． 所以当时，的方程为． （3）证明：直线，均不与轴垂直，所以，，则且， 所以 ， 所以为定值． 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 18．(24-25高二上·福建三明第一中学·期中)“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. (1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； (2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； (3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由等边三角形重心坐标求得坐标，知道的值，由椭圆基本性质得出的值，从而得出曲线方程； （2）设动点坐标，由题意列出线段得等量关系，由二次函数的性质得到最小值点即得证； （3）设出动直线，分别表示出两点坐标，由中点坐标公式得到中点坐标，由坐标的特征找到关系式，从而得出轨迹方程. 【详解】（1）解：因为等边的重心坐标为， . 在半椭圆中， 由， ， 解得， 因此“曲线”的方程为. （2）证明：设，则，. ，开口向下， 对称轴为：， 当或时， 取得最小值时，即在点或处. （3）由题可知，直线的斜率，则设直线， 设在上， 当时，. 设在半椭圆上， 当时，. 的中点为, 即线段中点的轨迹方程为：. 19．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知是椭圆的右焦点，是上一点. (1)求的方程； (2)记为坐标原点，过的直线与交于两点，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将P点带入椭圆方程，再根据椭圆中a、b、c的关系列式计算即可； （2）分类讨论的斜率存在与不存在两种情况，不存在根据对称性即可求出两点坐标，通过向量法即可证明是否垂直；斜率存在时，联立直线与椭圆方程，运用韦达定理解出直线斜率，最后用弦长公式计算得出答案. 【详解】（1）由题可知，解得 则的方程为. （2）若的斜率不存在，根据对称性，不妨令，则，不符合条件. 若的斜率存在，设的方程为， 联立方程组整理得， 则. 因为，所以 ，解得， 则. 20．(24-25高二上·福建厦门第一中学·期中)已知椭圆E的左、右焦点分别为，，点M在椭圆E上，，的周长为，面积为． (1)求椭圆E的方程． (2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与椭圆E交于C，D两点（不同于左右顶点），记直线AC的斜率为，直线BD的斜率为，问是否存在实常数，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，说明理由． 【答案】(1) (2)存在实数 【分析】（1）根据焦点三角形面积及周长列方程求出,即可写出椭圆方程； （2）先设直线，再和椭圆联立方程组,结合韦达定理及斜率公式计算化简求解即可. 【详解】（1）依题意，得，即， 解得，所以椭圆E的方程为． （2） 依题意，可设直线l的方程为， 联立方程，化简整理，得， 易得恒成立， 设，，由韦达定理， 得，可得， 于是 ， 故存在实数，使得恒成立． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $