专题05 数列（期中真题汇编，福建专用）高二数学上学期人教A版

专题05 数列 4大高频考点概览 考点01 数列的概念与简单表示法 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点04 数列求和与数列综合问题 地 城 考点01 数列的概念与简单表示法 一、单选题 1．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 【答案】C 【分析】由数列中的数字规律可知每一组由两项组成，计算可得结果. 【详解】根据该数列的规律可将数列进行分组，每一组含有两个互为相反数的组合， 因此100即为第100组的第一个数，其前面有99组，每一组有两项， 因此100是该数列的第项. 故选：C 2．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 【答案】D 【分析】由可求得，进而求出，可求出. 【详解】因为， 所以，所以， 又因为，所以，所以， 所以数列为等比数列，（），所以. 故选：D. 3．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 【答案】C 【分析】根据前四项推出判断. 【详解】解：由已知得，， ，所以， 所以. 故选：C 4．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 【答案】A 【分析】设级台阶的走法为，找出数列的递推公式，即可求解. 【详解】设级台阶的走法为， 则，， 当时，， 所以，， ，， . 故选：. 5．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知数列满足，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的周期性，分组求和即可. 【详解】依题意，数列是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即可， 因为，所以， 又，所以. 故选：C 二、填空题 6．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)若数列满足，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据已知条件写出的式子，两式相减即可求出通项公式.注意首项的检验. 【详解】∵，① ∴ 当时， ② ①②得：，即， 当时，符合上式， ∴数列的通项公式为， 故答案为：. 7．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋数学家沈括首创的“隙积术”就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则 . 【答案】 【分析】由题意可得，，利用累加法求得，代入数据即可得解. 【详解】因为，，，…，， 所以，所以. 故答案为： 地 城 考点02 等差数列 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知等差数列满足，公差为3，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．5 【答案】D 【分析】先求出，然后利用等差数列的性质计算即可． 【详解】因为，公差为，所以， 所以，因此，   故选：D． 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知等差数列中，，则数列的公差（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知及等差数列通项公式列方程求公差即可. 【详解】由已知，得，解得. 故选：A 3．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质求第七层的底面直径即可. 【详解】由题意，从第一层到顶层的底面直径构成首项为8，公差为的等差数列， 所以米. 故选：C 4．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 故选：. 5．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用，结合已知变形构造数列，求出，进而求出即可判断得解. 【详解】数列中，由，得，整理得， 则，数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，即，而满足上式， 因此，，，ABD错误，C正确. 故选：C 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由，可得，公差， 故，解得， 故选：A 7．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】计算出，由等差数列的性质得，，从而得到答案. 【详解】因为等差数列和的前项和分别为、，满足， 所以， 又，故， 故选：B 8．(23-24高二上·福建福州八县（、区）一中·期末)在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前项和性质求解． 【详解】是等差数列，则仍成等差数列， 又，，所以，， ， 所以， 故选：B． 二、多选题 9．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知数列的通项公式为，则下列叙述正确的是（    ） A．3是数列的项 B．数列是递减数列 C．数列是公差为2的等差数列 D．当n=4时，数列的前n项和有最大值为16 【答案】ABD 【分析】对于ABC，由题可得是以首项，公差，据此可判断选项正误； 对于D，由题可得前n项和，据此可判断选项正误. 【详解】由数列的通项公式为可知： 数列是以首项，公差的等差数列. 对于A，，解得，故A正确； 对于B，因为的一次项n系数为，对应函数为减函数，因此数列是递减数列，故B正确； 对于C，数列为数列的各项都加上4得到，仍是公差为的等差数列，故C错误； 对于D，因为，因此当时，数列的前n项和有最大值为16，D正确. 故选：ABD 三、填空题 10．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)若等差数列满足，，则当 时，的前项和最小. 【答案】18 【分析】根据等差数列的性质得，，再根据数列和定义即可判断. 【详解】由，所以， 又，所以，所以当时，的前项和最小. 故答案为：18 11．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)在数列相邻的每两项中间插入这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次"平均拓展"，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”.已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，，则 ；依此类推，将数列1，3，5，，21经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则 . 【答案】 【分析】由已知，分析每次构造后的值，总结规律求出；由分析可得，利用分组求和即可计算. 【详解】设表示与之间的次平均拓展之和， 所以数列每次构造所添加的个数相同，因此只需要研究一项即可， 对于而言， 第一次构造得到1，2，3，其中， 第二次构造得到1，，2，，3，其中， 第三次构造得到1，，，，，3，其中， 第四次构造得到1，，，，，，3，其中， 由观察归纳，第次构造得到1，，，，3，则； 因为经过次“平均拓展”得到的新数列的项分别为 1，，，，3，，，，5，，7，，9，，， 由，则， ，则， ，则，， 所以数列的各项分别为，，，， 所以， 因为， 所以. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：经过次构造可得1，，，，3，则；数列每次构造后所添加的个数相同，即. 12．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)等差数列中，，，则 ． 【答案】0 【分析】先求公差，然后根据等差数列基本量的计算即可得解. 【详解】由题意设公差为，则，所以. 故答案为：0. 13．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前项和取得最小值时，的值为 . 【答案】或5 【分析】利用等差数列的通项公式依次求得与，从而分析得中的项的正负情况，从而得解. 【详解】由题意得，，则， 所以当时，，当，当时，， 因此当或5时，取最小值. 故答案为：或5. 四、解答题 14．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知等差数列，前项和为，又，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由等差数列的求和公式及等差数列的通项公式，即可得数列的通项公式； （2），分与讨论，结合等差数列的求和公式即可求解． 【详解】（1）等差数列的公差为. ∵，， ∴，即， 解得：，， ∴； （2）由（1）得：， 设，的前项和为， 则， 当时，，∴=， 当时，， ， 综上，． 15．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知单调递增的等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项和，并求的最小值及此时的值； (3)求使成立的的最小值. 【答案】(1)； (2)或3时最小为； (3)7. 【分析】（1）根据等差数列通项公式列方程求基本量，即可得通项公式； （2）根据等差数列前n项和的二次函数的性质求最值，并确定对应n值； （3）由题设可得，结合求最小值. 【详解】（1）令的公差为，且，则， 所以，可得（负值舍），则， 所以. （2）由（1）可得，， 所以，当或3时最小为. （3）由（1）（2）有，则， 又，故时成立，故的最小值为7. 16．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知数列是等差数列，为的前项和，且，． (1)求与； (2)记集合，，若将中所有元素从小到大依次排列成一个新的数列，为前n项和． （i）求； （ii）求满足的最小正整数的值． 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）23 【分析】（1）由等差数列及其前项和基本量的计算可得，进一步即可求解； （2）（i）直接根据的定义来求解即可；（ii）考虑到的单调性以及，即可得解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由，得解得 所以， ． （2）与集合相比，元素间隔大， 所以在集合中加入几个中的元素来考虑． （i）． （ii）考虑到，，． 易知为递增数列，则满足的最小正整数的值为23． 地 城 考点03 等比数列 一、单选题 1．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】由等比数列性质计算即可. 【详解】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 2．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)曲线上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简得到曲线的形状，求出半圆上的动点与原点距离的最值后可得正确的选项. 【详解】由可得， 故曲线为如图所示的半圆，其圆心为，半径为1，， 因为，，结合曲线为半圆可得， 而半圆上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，故， 即，其中为公比， 因为， ， 故ABC中的选项均存在不同的三点到原点的距离构成等比数列， 又， 故不可能成立公比，故D错误， 故选：D. 3．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等比数列前项和的性质计算即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，所以成等比数列， 由，得，则，所以，所以， 所以. 故选：B 4．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出通项公式，再利用等比数列求和公式得解. 【详解】设小球第一次落地时经过的路程为，第次落地到第次落地经过的路程为， 由题意，，数列从第二项起构成以首项为，公比为的等比数列， 则第6次着地后经过的路程为（）， 故选：D 5．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 【答案】C 【分析】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗，根据题意，列出方程，即可求解. 【详解】设羊主人应赔偿斗，则马主人应赔偿斗，牛主人应赔偿斗， 由题意得，所以，所以马主人应赔偿斗. 故选：C. 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 【答案】D 【分析】根据等比数列的性质即可得解. 【详解】因为为等比数列，故，故，故， 所以，故（负值舍去）， 故选：D. 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知数列为等比数列， ，则 （    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列，则公比， 所以，又， 所以 ，解得， 又，而恒成立， 所以，则，故. 故选：C. 二、多选题 8．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 【答案】AB 【分析】将代入判断A；关系及等比数列定义求通项，并确定前n项和判断B、C；根据分析及等差数列前n项和公式判断D. 【详解】A：令，则，对； B：因为，所以当时，，作差可得， 又，所以是首项为，公比为2的等比数列，则，对； C：由B分析知，，错； D：由上知，，错. 故选：AB 9．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知等比数列的首项为1，公比不为1，若，，成等差数列，则（   ） A．的公比为 B．的公比为 C．的前10项和为 D．，，成等差数列 【答案】BCD 【分析】根据等差中项的性质，利用等比数列的通项公式基本量列式求解公比判断ABD，根据等比数列的求和公式求和判断C. 【详解】设的公比为q，因为，所以， 因为，，成等差数列，所以， 因为，所以，因为， 所以，故A错误；B正确； 的前10项和为，故C正确； 因为， 所以，，也成等差数列，故D正确. 故选：BCD 三、填空题 10．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的定义与性质求解. 【详解】由等比数列性质知，联立，解得或， 因为是单调递增的等比数列，所以，即． 故答案为：2 四、解答题 11．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且． (1)求的周长； (2)证明：为等比数列； (3)证明：对任意正整数． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据的定义以及相切的性质即可求解； （2）由题意得递推表达式，进一步根据等比数列的定义验算即可证明； （3）由分析可知只需证明即可，而可以用基本不等式证明当时，，累加即可得解. 【详解】（1）因为圆，圆与轴均相切，且圆的圆心坐标为， 所以圆的半径为，圆的半径为． 又圆，圆均与半圆相内切，圆与圆相外切， 所以，，． 所以的周长为：． （2）依题意，有，，， 得即 消去得， 整理，得， 两边同时减去，得． 依题意，易得，所以，即． 所以． 所以为等比数列，首项为1，公比为． （3）由（2）得， ． 令，则当时，． 要证，即证， 即证． 当时， （当且仅当时，等号成立） （当且仅当时，等号成立） ． 所以， 得证． 【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到只需证明即可，进一步只需证明当时，即可，由此即可顺利得解. 12．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助关系式，即可求解； （2）根据（1）的结论可求出等比数列中的，进而求出公比，代入等比数列前n项和公式即可求出. 【详解】（1）因为数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 又因为，符合， 所以的通项公式为：，. （2）设等比数列的公比为. 因为等比数列满足，即，， 所以，所以， 所以的前n项和. 13．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由递推关系式结合等比数列的定义即可得证； （2）由等比数列求和公式以及累加法即可求解. 【详解】（1）因为，所以， 所以，所以. 因为，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 所以. （2）由（1）知， 所以，，，…，， 累加可得. 因为，所以, 因为符合上式，所以. 14．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】 （1）根据等差数列通项公式即可求出； （2）根据等比数列的通项即可求解； （3）根据等比数列的求和公式以及等差求和公式，结合分组求解计算即可. 【详解】（1） 因为是公差为2的等差数列，， 所以. （2）因为，数列是公比为2的等比数列， 所以. （3）由（1）（2）得， 由于的首项为，故的前项和为， 的首项和公比均为2，故前项和为， 故的前项和. 地 城 考点04 数列求和与数列综合问题 一、多选题 1．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．数列为等差数列 D．数列的前项和为 【答案】ACD 【分析】根据即可求解A，根据，故的奇数项和偶数项分别成等差数列，求得对任意的，，故为等差数列即可判断BC，利用裂项相消法求和即可判断D. 【详解】对于A，因为， 当时，，即，则，A正确， 对于BC，由可得， 相减可得，即， 由于则， 故的奇数项和偶数项分别成等差数列， 又，， 故， 因此对任意的，， 故为等差数列，且公差为2，故B错误，C正确， 对于D，由于， 故的前项和为，D正确， 故选：ACD. 二、解答题 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知是数列的前项和，且. (1)判断数列是否为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和的最小值. 【答案】(1)不是等差数列，； (2). 【分析】（1）根据已知及求数列的前3项，再由等差数列定义判断，进而求数列的通项公式； （2）根据（1）及通项公式判断数列各项的符号，即可确定前项和的最小值. 【详解】（1）由已知，得， 所以，则数列不是等差数列， 当时，， 所以. （2）由（1）知， 当时，；当时，， 数列的前项和的最小值为. 3．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）根据与的关系求的通项公式，由等比数列基本量的运算即可求解的通项公式； （2）用裂项相消法求奇数项的和，由错位相减法求偶数项的和，即可求解. 【详解】（1）数列的前项和，当时，， 当时，， 因为也适合上式， 所以， 设数列的公比为，因为， 所以，解得， 又，所以； （2）由题意得， 设数列的奇数项之和为，偶数项之和为， 则 ， ， 所以， 两式相减得， 所以， 故. 4．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由累加法求的通项公式，由等比数列定义求的通项公式； （2）由等比数列求和公式、错位相减法即可求解； （3）求得，注意到，故可由作商法得的单调性，结合已知即可得解. 【详解】（1），时， ，所以， 而， 综上所述的通项公式为， 因为，，所以是首项为2，公比为2的等比数列，从而； （2）由题意，所以， 所以， 所以； （3）令，则， 从而，注意到， 因为满足不等式的正整数的个数为3， 所以当且仅当的取值范围. 5．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)在递增的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式性质转化为，进而求得，，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设的公差为，因为数列是等差数列， 所以，由解得， 所以，所以. （2）由（1）可得， 则①， ②， ①-②得 则. 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析， (2) (3) 【分析】（1）根据递推公式结合等比数列定义证明，再应用通项公式求解； （2）累加法求数列通项公式； （3）先分奇偶项求和再应用错位相减法计算. 【详解】（1）， 变形得：， 又，故，所以是首项为3，公比为3的等比数列. 从而，即. （2）由题意可得， 所以当时，，，，， 上式累加可得， ， 又，所以， 当时，满足上式， 所以 （3）由（1）、（2）知， 则在前项中， , , 作差得 . . 从而. 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据等差数列通项公式把、、都用与表示，结合已知解出，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再表示出，用错位相减法即可求解. 【详解】（1）设的公差为，因为是与的等比中项， 所以，即， 整理得. 又，，所以， 则. （2）由（1）可得，， 则①， ②， ①-②得 则. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 数列 4大高频考点概览 考点01 数列的概念与简单表示法 考点02 等差数列 考点03 等比数列 考点04 数列求和与数列综合问题 地 城 考点01 数列的概念与简单表示法 一、单选题 1．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知数列1，，2，，3，，…，根据该数列的规律，100是该数列的第（   ） A．100项 B．101项 C．199项 D．200项 2．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知数列，，，则（   ） A．8 B．16 C．24 D．64 3．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒或小石子来研究数.他们根据沙粒或小石头所排列的形状把数分成许多类，如图的称为五边形数，若五边形数所构成的数列记作，则下列是数列的项的是（    ） A．36 B．50 C．70 D．91 4．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型Fibonacci（斐波那契数列）：1，1，2，3，5，8，13，21，…，这个数列的前两项都是1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和.请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共7级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是（   ） A．21 B．13 C．12 D．15 5．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知数列满足，其前项和为，则（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)若数列满足，则数列的通项公式为 . 7．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋数学家沈括首创的“隙积术”就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则 . 地 城 考点02 等差数列 一、单选题 1．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知等差数列满足，公差为3，则（    ） A．8 B．6 C．5 D．5 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知等差数列中，，则数列的公差（    ） A．1 B． C． D．2 3．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)罗星塔是航海灯塔，是福州港口的标志，是国际上公认的海上重要航标之一，世界许多航海图上都标有罗星塔.如图，该塔为七层仿楼阁式石塔，假设该塔底层（第一层）的底面直径为8米，且每往上一层，底面直径减少0.6米，则该塔顶层（第七层）的底面直径为（   ）    A．3.1米 B．3.8米 C．4.4米 D．5米 4．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 5．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)设数列的前项和为，若，且，则（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)在等差数列中，已知，，，则（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 7．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知等差数列和的前项和分别为、，若，则（ ） A． B． C． D． 8．(23-24高二上·福建福州八县（、区）一中·期末)在等差数列中，若，则=（    ） A．100 B．120 C．57 D．18 二、多选题 9．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知数列的通项公式为，则下列叙述正确的是（    ） A．3是数列的项 B．数列是递减数列 C．数列是公差为2的等差数列 D．当n=4时，数列的前n项和有最大值为16 三、填空题 10．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)若等差数列满足，，则当 时，的前项和最小. 11．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)在数列相邻的每两项中间插入这两项的平均数，构造成一个新数列，这个过程称为原数列的一次"平均拓展"，再对新数列进行如上操作，称为原数列的二次“平均拓展”.已知数列的通项公式为，现在对数列进行次“平均拓展”，得到一个新数列，记为与之间的次平均拓展之和，为与之间的次平均拓展之和，，则 ；依此类推，将数列1，3，5，，21经过次“平均拓展”后得到的新数列的所有项之和记为，则 . 12．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)等差数列中，，，则 ． 13．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知数列是公差为2的等差数列，且，则数列的前项和取得最小值时，的值为 . 四、解答题 14．(24-25高二上·福建三明永安九中、宁化六中、沙县金沙高级中学、宁化滨江实验中学·期中)已知等差数列，前项和为，又，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和． 15．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知单调递增的等差数列满足. (1)求的通项公式； (2)求的前项和，并求的最小值及此时的值； (3)求使成立的的最小值. 16．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知数列是等差数列，为的前项和，且，． (1)求与； (2)记集合，，若将中所有元素从小到大依次排列成一个新的数列，为前n项和． （i）求； （ii）求满足的最小正整数的值． 地 城 考点03 等比数列 一、单选题 1．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)曲线上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为公比的数是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)记等比数列的前项和为，若，则（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知一小球从地面竖直向上射出到10m高度后落下，每次着地后又弹回到前一次高度的处，则该小球第6次落地时，经过的路程为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有牛､马､羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马.”马主曰：“我马食半牛.”问：“马主出几何？”意思是“现有羊､马､牛三畜，吃了人家田里的禾苗，禾苗主人要求三位主人共赔偿5斗粟.羊主人说：“我的羊所吃禾苗数是马吃的一半，”马主人说：“我的马所吃数是牛吃的一半.”问马主人应赔偿多少更合理？（    ） A．斗 B．斗 C．斗 D．斗 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)在等比数列中，，，则（    ） A． B． C．36 D．6 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)已知数列为等比数列， ，则 （    ） A． B． C．2 D． 二、多选题 8．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知数列的前项和为，，则（   ） A． B． C． D．的前项积 9．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知等比数列的首项为1，公比不为1，若，，成等差数列，则（   ） A．的公比为 B．的公比为 C．的前10项和为 D．，，成等差数列 三、填空题 10．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知是单调递增的等比数列，，则公比q的值是 ． 四、解答题 11．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知半圆，圆，作圆与半圆，圆，轴均相切，点，且． (1)求的周长； (2)证明：为等比数列； (3)证明：对任意正整数． 12．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 13．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)已知数列满足，，.记. (1)证明：数列是等比数列. (2)求的通项公式. 14．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知数列，中，，，是公差为2的等差数列，数列是公比为2的等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 地 城 考点04 数列求和与数列综合问题 一、多选题 1．(24-25高二上·福建漳州十校联盟·期中)已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．数列为等差数列 D．数列的前项和为 二、解答题 2．(24-25高二上·福建永春第一中学·期中)已知是数列的前项和，且. (1)判断数列是否为等差数列，并求数列的通项公式； (2)若数列，求数列的前项和的最小值. 3．(24-25高二上·福建龙岩一级校联盟·期中)已知数列的前项和，数列是各项均为正数的等比数列，，且. (1)求和的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：. 4．(24-25高二上·福建龙岩非一级达标校联盟·期中)已知数列满足，；数列满足，. (1)求，的通项公式； (2)设，求数列的前项和； (3)若满足不等式的正整数的个数为3，求的取值范围. 5．(24-25高二上·福建部分达标学校·期中)在递增的等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和. 6．(24-25高二上·福建莆田涵江区莆田锦江中学·期中)已知数列满足，且. (1)证明：是等比数列，并求的通项公式； (2)在数列中，，，求的通项公式； (3)记数列满足，求数列的前项和. 7．(24-25高二上·福建漳州乙丙校联盟·期中)在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. (1)求的通项公式； (2)若，，求数列的前项和. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $