第六章 平面向量初步 测试卷-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第二册同步练习（人教B版）

B,从该商城销售的乙品牌固态硬盘中随机抽取一个， 其首次出现故障发生在保修期的第3年为事件C,利用 颜率估计率，得PB)品-安，PKC)动：则P(BC BC)=P(B)P(C)+P(B)P(C)=P(B)[1-P(C)]+[1-P(B)]P(C) 宏1-局+-云×品品某人在该商流同时 购买了甲、乙两种品牌的固态硬盘各一个，恰有一个首 次出现放障发生在保修期的第3年的概率为品 19.解：(1)从袋中一次性摸出2个球，所包含的 基本事件有(1,2)，(1,3)，(1，a),(2,3), (2,a),(3,a),共6个基本事件，摸出的2个球都是 白球所包含的基本事件有(1,2)，(1,3)，(2,3)， 共3个基本事件，则从中一次性摸出2个球，摸出的2 个球都是白球的概率为P3-1 62 (2)从袋中连续取两次，每次取1个球后放回，则 所包含的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1， a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1), (3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a, 3),(a,a),共16个基本事件，则取出的2个球中至 少有1个黑球所包含的基本事件有(1，a),(2,a), (3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),共7 个基本事件，因此取出的2个球中至少有1个黑球的概 率为PG,即甲胜的概率为名，则乙胜的概率为器 此游戏不公平。 1 "第六章章末测试卷 1.A【解析】.a-b=(-1,0),则la-bl=1.故选A. 2.B【解析】xa+4b与3a-b共线，aa+4b=A(3a- b),a,b两个向量不共线，基底上表达式唯一，x= 3入，4=-入，x=-12.故选B. 3.A【解析】50A=30+20心， .3(0A-02)=2(0元-0A). .OA-OB-BA.OC-OA-AC..3BA-2AC. 3B=24 参考答案。 .△OAB和△OAC的面积之比为2：3.故选A. 4.B【解析】Bi=3BC,Ad-AB=3(A元-AB),得 A市--2A+34C.故选B. 5.B【解析】la-bl=al+b1,a,b方向相反，a= (m,1)和b=(1,m)共线，得m=±1.：方向相反， ∴m=-1.故选B. 6.C【解析】利用向量的平行四边形法则或三角形 法则、平面向量基本定理进行判断」 对于①，若向量a,b确定，a-b是确定的，故总 存在向量c,满足c=a-b,即a=b+c,故①正确 对于②，℃和b不共线，由平面向量基本定理知， 总存在唯一的一对实数入，u满足a=入b+uc,故②正确. 对于③，如果a=Ab+wc,则以lal,bl,ucl为三边 长可以构成一个三角形.如果b和正数确定，则一定 存在单位向量c和实数入满足a=入b+uc,故③正确. 对于④，如果给定正数A和u不能满足“以al,Ab1, uc为三边长可以构成一个三角形”，这时单位向量b和 c就不存在，故④错误.选C 7.C【解析】以不共线向量a,b为基底表示c, ka+kb=-kc,若k1,2,中有0，则会有两个向量共 线，与已知条件矛盾.故选C 8.C【解析】B驴-2BC,A市1A应+2A元 P,M,N共线，.A产(1-t)AM+tA衣. .AM=入AB,A4C,.A产=(1-t)AB+4元， A号匹号，动最 A+2=a20品号14头+0)≥3. 入 当且仅当华=2八时，+2μ有最小值3. 入 故选C 9.BC【解析】由条件知四边形AODC、四边形COBD 是平行四边形，A-2D心，Ai-AC+40=AC+】A户，AD =AB+Bd=Bd-2D元.故选BC. 10.ABD【解析】设D(x,y),若AB∥DC,A= (4,1),DC=(2-x,0-y),则1×(2-x)=4×(0-y),整理 97 N 高中数学必修第二册人教B版 得x-4y-2-0,同理可得AD.故选ABD. 11.AD【解析】若点C,D调和分割点A,B,则AC 份，丽因.且+止-2若c是线段4B的中 点，则配=号店，此时入=号又大+止-2， O,不可能成立，故A正确；同理可得，D不可能是线 段AB的中点，故B错误；若点C,D同时在线段AB 上，由AC=AAB,AD4B,知0<A<1,0<1,此时 大2，与大止2不所，因此C特误：同理可得， 点C,D不可能同时在线段AB的延长线上，D正确.故 选AD. 23Y,)【解折】与-个向量共线的 单位向量有两个，方法是向量数乘模的倒数. 13.千-【解析】c=m+n=x(3a+b)+y(a-b)= 4 -2a+30,得x=4,=￥ 14.2a+b【解析】c=xa+b=x(-1,1)+y(0,1)=(-x, x+y)=(-2,3),得x=2,y=1. 15.解：设点D的坐标为(x,y),则由1CD=1,得 (x-3)2+y2=1.又0A+0B+0D=(-1,y4V3),.I0A+ 0B+0D1=V(-1)2+(+V3)2,其几何意义是点P(1, -V3)与圆(x-3)+y2-1上点之间的距离.由PC1=V7 知I0A+0B+0D1的最大值为1+V7,最小值为V7-1, 则I0A+0B+0D的取值范围为[V7-1,V7+1]. 16.解：C市C,A市子心 在△ADF中，有D亦A衣功，亦-子心}应 在△ABC中，有Bd-=A衣-A店，：B应=}C-}(AC AB). 在△CEF中，有=C-成，-子 4 =4c4号心--3心号应 17.解：如果C中=(1-t)C4+tC,则C巾=C- 98 tC+C成.从而C中C=-tC+iCB,即A巾=tAB,即A,B, P三点共线。 A巾=AB,当0<<1时，点P在线段AB上；当t>1 时，点P在线段AB的延长线上；当t<0时，点P在线 段AB的反向延长线上. 18.解：如图，建立平面直角坐标系，0A,0为单 位向量，∠B0A=60,则A=1,0.B分，Y, -0i+,0i=x(1,0+y分，Y】 =x+ 则odV+Yy=Vw=1,+ +y≥3xy,1≥3y,y的最大值为写， 当且仅当y时，=3 第18题答图 19.解：分别以直线AB和AC为x轴、y轴建立平 面直角坐标系，则A(0,0),B(4,0),C(0,3).设 M(x,y),则=M店+（号+W心用坐标表示为（←t,-y)） (4-x,-y+3-j(-,3-0. =4+3j(-. 解得&， y=(-y)+3-3y, y=9-6t: AM-9,(8)4(9-6-,解得10或器 点D在BC上，.C⑦=ACB,D(4X,3-3). 点M在AD上，.(4入，3-3入)∥(8t,9-6t), 即入子 t=0时，A=0,1C=0: 器时，A.Gi袋G 25 “综合测试卷（一） 1.A【解析】利用数轴可得A∩B=[1,3].故选A. 2.C【解析】15×0.7=10.5，.这15人成绩的70% 分位数为第11位数：88.故选C. 3.A【解析】由零点存在性定理，可知充分性成立； 反之，若y=x2-1,xe[-5,5],则易知f(-5)f5)>0, 且在区间[-5,5]内有两个零点，故必要性不成立.故 选A 4.A【解析】P店=AB-A户=号AB,B0=号BC, P丙-丽+0号aG+3BC=号正+g4C=3a+3o, 故选A 5.D【解析】学生人数为94：号++5=120.放 选D. 6.C【解析】：fx)是偶函数，∴.f(loga)=f(-loga) =f1og2a),.原不等式可化为f1oga)≤f1).又f(x)在 [0,+∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，llog.als≤1， 即≤a≤2.故选C. 7.C【解析】设过滤的次数为n,原来水中杂质为 1.则(1-20%)广56，即08<0两边取对数，得 08<e20,器-最=34neN,n的 最小值为14，则至少要过滤14次.故选C 8.B【解析】：l4B1=lCD1,∴.(m2)-(m2)=m-m,即 (m+m)(m-m)=m-m≠0，.∴m+m=1.故选B. 9.ACD【解析】a2+b2-2ab=(a-b)2≥0，.a2+b2≥ 2ab恒成立；当a<0,b<0时，ab>0,但是a+b≥2Vad 不成立：>0.a+日b+古=山++么+号≥ 2V:品+2V合号4恒成立.当且仅当且台 ab a =号，即ab1时取等号：b0,名+号≥2V合号 参考答案⊙ -2恒成立，当且仅当合分，即ab时取等号.放选 ACD. 10.BCD【解析】若A,B为两个事件，“A与B互 斥”则“A与B不一定相互对立”，“A与B相互对立” 则“A与B互斥”，.“A与B互斥”是“A与B相互对 立”的必要不充分条件，A正确； 若A,B为随机事件，则P(A+B)=P(A)+P(B)- P(A∩B),B错误； 若事件A,B,C两两互斥，则P(A)+P(B)+P(C)=1 不一定成立，如：掷骰子一次，记A:向上的点数为1， B:向上的点数为2，C:向上的点数为3，事件A,B,C 两两互斥，则P4)B)+PC)=名+名+名子，C 错误； 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是 分，掷一枚续币，正面向上的概率是了，满足P(A)+ P(B)=1,但是A与B不对立，D错误.故选BCD. 11.AD【解析】根据平面向量的基本定理可知A正 确，B错误，D正确 根据向量共线定理，若存在唯一的非零实数入，使 得入ewe2=入（入ertue2),则入ete2≠0. 若Ae1+w2e2=0,入1e1+地e=0,则入∈R; 若Ae1地e2=0,入e1+e≠0，则入∈☑.故C不正 确.故选AD. 2.45【解析】040+30+20，解得45. 13.4【解析】由题意设1ogm=ogn=logs(4m+3n)=k, 则m=2,n=4,4m+3n=8,4x2+3x4=8,4×4+3x 21,分fx3-10.3或分月 -1(舍去)，解得k=2,∴m=4,n=16,”=4. m 14.3【解析】方法一：以A为坐标原点，以AB, AD所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系（图 略).设正方形的边长为2，则B(2,0),C(2,2), D(0,2),P(x,2),x∈[0,2]，.AC=(2,2),DB= 99第六章章 时间：120分钟 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的 1.已知向量a=(-1,1),b=(0,1),则la-b1= () A.1 B.V3 C.2 D.V5 2.已知a,b两个向量不共线，xa+4b与3a- b共线，则实数x的值为() A.12 B.-12 c号 D青 3.50A=30B+20C,则△OAB和△0AC的 面积之比为() A.2:3 B.3:2 C.2:5 D.3:5 4.在△ABC中，BD=3BC,则AD=() AA0=子AB+}4C B.AD=-2AB+3AC C4D-号4B}C D.AD=3AB-2AC 5.已知a=(m,1),b=(1,m),且la-bl=lal+ bl,则实数m的值为() A.1B.-1 C.±1D.0 6.设a是已知的平面向量且a≠0，关于向 量a的分解，有如下四个命题： 第六章章末测试卷。 末测试卷 满分：150分 ①给定向量b,总存在向量c,使a=b+c. ②给定向量b和c,总存在实数入和u, 使得a=入b+uc. ③给定单位向量b和正数4，总存在单位 向量c和实数入，使得a=入b+c; ④给定正数入和，总存在单位向量b和 单位向量c,使得a=入b+uc. 上述命题中的向量b,c和a在同一平面 内且两两不共线，则真命题的个数是（) A.1 B.2 C.3 D.4 7.已知向量a,b,c互不共线，k1a+kb+kC= 0,1,k2,k3∈R,则() A.k1,k2,k一定全为0 B.k1,k2,k3中至少有一个为0 C.k1,k2,k3全不为0 D.k1,k2,k只有一组值 8.已知△ABC中，点P满足BP=2BC,过 点P的直线与直线AB和AC分别交于点 M和N,AM=λAB,AN=AC,入，u均 为正数，入+2μ的最小值为() A.1 B.2 C.3 D.5 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6 分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的 11 高中数学必修第二册人教B版 得0分. 9.AB是圆O的一条直径，A,C,D,B依 次是半圆弧上的点，C,D是半圆弧的两 个三等分点，则AD=( ) A.AC+AB B.ACTAE C.BD'-2DC D.BD +2DC 10.已知A(-1,1),B(3,2),C(2,0)共 线.下列直线中，与其中两个点所在的 直线共线且过第三个点的有() A.x+3y-9=0 B.x-4y-2=0 C.x-3y-2=0 D.2x-y+3=0 11.设A1,A2,A3,A4是平面直角坐标系中 不同的四点，若AA3=入AA2(入∈R), A:ueR),且大+-2，则 称A3,A4调和分割A1,A2.已知平面上 的点C,D调和分割点A,B,则下列说 法正确的有(） A.C不可能是线段AB的中点 B.D可能是线段AB的中点 C.点C,D可能同时在线段AB上 D.点C,D不可能同时在线段AB的延 长线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分， 共15分 12.已知向量a=(-3,1),则与a同向的单 位向量为 13.已知向量a,b不共线，m=3a+b,n=a- b,c=-2a+3b,且c=xm+yn,则x= ,= 14.已知=(-1,1)，b=(0,1),若向量c= (-2,3),以{a,b}为基底表示c= 12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答 应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)在平面直角坐标系中，0为原 点，A(-1,0),B(0,V3),C(3,0), 动点D满足ICD=1,求IOA+OB+OD的 取值范围. 16.(15分)在△ABC中，AD=LAB,BE =号BC,C示=4C,试用向量AB和 AC表示DF和EF」 第六章章末测试卷。 17.(15分)CP=(1-t)CA'+iCB,说明点P的 位置与t的关系. (13 N 高中数学必修第二册人教B版 18.(17分)给定单位向量0A,OB,∠B0A=: 19.(17分)已知△ABC中，AB=4,AC=3, 60°，点C在以O为圆心的圆弧AB上运： ∠BAC=90°，点D在BC上，延长AD到 动，0C=x0A+OB,求y的最大值. 点M,使得AM9,-MB+MC, 求CD的长度. (14 N