24.1.4圆周角(第1课时)（教学课件）数学人教版九年级上册

第二十四章 圆 24.1.4圆周角（第1课时) 24.1 圆的有关性质 学 习 目 标 1 2 3 理解圆周角的概念，了解并证明圆周角定理及其推论，并能进行简单证明和计算，发展抽象思维、数学运算和推理能力。 经历画图、观察、度量、归纳等几何研究的一般过程，发现一条弧所对的圆周角与圆心角之间的关系，培养抽象能力、几何直观和推理能力。 结合圆周角定理的探索与证明的过程，体会分类讨论、化归的思想方法，渗透从特殊到一般的数学思想，使学生了解分情况证明命题的思想和方法，发展几何直观和推理能力。 知识回顾 圆的旋转不变性 弧、弦、圆心角 圆心角 弧、弦、圆心角的关系 圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心. 顶点在圆心的角叫做圆心角. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 前提条件“在同圆或等圆中”一定不能丢. O A B A' B' (A') (B') O A B （1）∠AOB为什么称为圆心角呢? 导入新课 角的顶点在圆心。 （2）顶点不在圆心，还可以在什么位置? A . O B C . . . A O B C A . O B C . 在圆内 在圆外 在圆上 新知探究 探究点1 圆周角的概念 （1）如下图，顶点在圆周上的角叫什么角？你能给圆周角下定义吗？ 议一议 A B O C 顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。 圆周角定义 （2）你能将圆心角与圆周角进行比较吗？ 圆心角 圆周角 区别 联系 圆周角的两要素： ①顶点在圆上； ②两边都和圆相交。 顶点在圆心 顶点在圆上 在同圆中，一条弧所对的圆心角是唯一的 在同圆中，一条弧所对的圆周角有无数个 角的两边都与圆相交 圆周角的定义中，两边与圆相交的条件不能省略。 典例分析 探究点1 圆周角的概念 例1　下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由. 解：(1)(5)(6)是圆周角，符合顶点在圆上，并且两边都与圆相交; (2)不是，顶点不在圆上; (3)不是，边AC没有和圆相交; (4)不是，顶点不在圆上。 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 (1)分别测量下图中，所对的圆周角∠BAC和圆心角∠BOC的度数，它们之间有什么关系? A B O C ∠BAC的度数是∠BOC度数的一半。 (2)在⊙O上任取一条弧，作出这条弧所对的圆周角和圆心角，测量它们的度数，你能得出同样的结论吗?由此你能发现什么规律? 这条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。 A B O C A B O C 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 ⊙O的圆心Ｏ和圆周角位置关系有哪些种情况？ 三种情况 圆心O 在∠BAC 的 内部 圆心O在∠BAC的一边上 圆心O在∠BAC的外部 A B O C A B O C A B O C 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 如何证明 “一条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。”的结论正确？进行讨论。 分三种情况证明结论都成立 证明: ∵OA=OC， ∴∠A=∠C， ∵∠BOC=∠A+∠C, ∴∠BAC=∠C= ∠BOC. A B O C (1)圆心O在∠BAC的一边上(如图). 上面的证明过程我们可以推理符号“⇒”完成： ⇒ ∠A ＝ ∠BOC 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 如何证明 “一条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。”的结论正确？进行讨论。 证明:连接AO并延长交⊙O于D， 则∠BAC =∠BAD +∠DAC 由（１），得∠BAD= ∠BOD， ∠ＣAD= ∠ＣOD， ∴∠BAC =∠BAD +∠DAC = ∠BOD＋ ∠ＣOD＝ ∠BOC. A B O C (2)圆心O在∠BAC的内部. D 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 如何证明 “一条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。”的结论正确？进行讨论。 仿照（1）用推理符号“⇒ ”完成上面证明。 证明:连接AO并延长交⊙O于D， ∠BAD= ∠BOD 由（１）得： ∠ＣAD= ∠ＣOD ⇒ ∠BAD +∠DAC = ∠BOD＋ ∠ＣOD ∠BOD＋ ∠ＣOD＝ ∠BOC ∠BAD +∠DAC=∠BAC ⇒ ∠BAC = ∠BOC A B O C D (2)圆心O在∠BAC的内部. 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 如何证明 “一条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。”的结论正确？进行讨论。 A B O C 证明: 连接AO并延长交⊙O于点D， 则∠BAC =∠DAC－∠BAD 由（１），得: ∠BAD= ∠BOD， ∠ＣAD= ∠ＣOD， ∴∠BAC = ∠DAC－∠BAD = ∠ＣOD－ ∠ＢOD ＝ ∠BOC. D (3)圆心O在∠BAC的外部. 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 如何证明 “一条弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半。”的结论正确？进行讨论。 A B O C D (3)圆心O在∠BAC的外部. 仿照（1）用推理符号“⇒ ”完成上面证明。 证明:连接AO并延长交⊙O于D， ∠BAD= ∠BOD 由（１）得： ∠ＣAD= ∠ＣOD ⇒ ∠DAC-∠BAD = ∠COD - ∠BOD ∠ＣOD-∠BOD ＝ ∠BOC ∠DAC-∠BAD =∠BAC ⇒ ∠BAC = ∠BOC 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 归一归 注意：圆周角定理的证明，采用完全归纳法 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 定理 情况 图示 结论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 圆心在圆周角的一条边上 圆心在圆周角的内部 圆心在圆周角的外部 ∠BAC = ∠BOC． 分类讨论 化一般为特殊的化归思想 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A，D是上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗?请说明理由. 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 相等；理由如下： 在⊙O中，∵∠BAC = ∠BOC ∠BDC = ∠BOC ∴∠BAC=∠BDC. A B O C D 圆周角定理推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 显然，在同圆或等圆中，相等的圆周角所对应的弧相等，所对应的弦也相等. 新知探究 探究点2 圆周角定理及其推论 议一议 如图，线段AB是的直径，点C是⊙O上的任意一点(除点A、B外)那么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角，想一想，∠ACB会是怎样的角? A B O C 如图：∵OA=OB=OC， ∴△AOC、△BOC都是等腰三角形. ∴∠OAC=∠OCA，∠OBC=∠OCB. 又∵∠OAC+∠OBC+∠ACB=180°. ∴∠ACB=∠OCA+∠OCB= × 180°=90°.　 圆周角定理推论 半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 ∟ 例2 如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BC，AD，BD的长. 解:∵AB是直径， ∴ ∠ACB=∠ADB=90°. 在Rt△ABC中， BC=(cm). ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD=∠BCD， ∴∠AOD=∠BOD. ∴AD=BD. 典例分析 探究点2 圆周角定理及其推论 O C A B D 又在Rt△ABD中, ＋ =, ∴ AD=BD= AB= ×10=5(cm). 拓展提升 解：△ABC是等边三角形. 证明如下： ∵∠APC=∠ABC， ∠CPB=∠BAC， ∵∠APC=∠CPB=60° ∴ ∠ABC = ∠BAC =60° ∴∠ACB=180°- ∠ABC-∠BAC=60°， ∴△ABC是等边三角形. 1.如图，A,P,B,C是⊙O上的四点，∠APC=∠CPB=60°，判断△ABC的形状并证明你的结论. O C A B P 巩固练习 教材P88练习 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： （1） （2） （3） （4） （5） (1)(2)中的角的顶点不在圆上， (4)(5)中的角的两边至少有一条不与圆相交， (3)中的角的顶点在圆上，两边都与圆相交. 故(3)中的角是圆周角. 理由： 巩固练习 教材P88练习 2. 如图，圆内接四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 把它的 4 个内角分成 8 个角，这些角中哪些相等？ 为什么？ 解：∠1 = ∠4， ∠3 = ∠6， ∠2 = ∠7， ∠5 = ∠8. 理由：同弧所对的圆周角相等. 3. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC. 证明：∵ ∠ACB = ∠AOB， ∠BAC = ∠BOC， ∠AOB = 2∠BOC， ∴ ∠ACB = 2∠BAC. A B C O 巩固练习 教材P88练习 巩固练习 教材P88练习 4. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？ 有几种方法？与同学交流一下. 解：根据 90º 的圆周角所对的弦是直径，两直径的交点即是圆心. 如对折两次，找到直径的交点; 通过作任意一条弦的中垂线先作出直径，再确定圆心 方法有多种 真题感知 1．（2025.山西）如图，AB为⊙O的直径，点C，D是⊙O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD．若，则∠D的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75 解：连接OC， ∵，AB为⊙O的直径， ∴∠AOC＝∠BOC=∠AOB＝90° ∴∠D=1/2∠AOC＝45° B 真题感知 2.（2025·安庆校考）如图，AB 是⊙O 的直径， ， ∠COD=42 ° ，则 ∠AEO的度数为（ ） A．126° B． 105° C．84° D．63° 解：∵ ∴ ∠DOE = ∠BOC ＝ ∠COD= 42 ° ∴ ∠ OAE＋ ∠AEO ＝ 42 °×3 ＝126 ° ∵ AO=BO ∴∠ AEO＝ ∠OAE ＝ ×126 °＝63 ° D 真题感知 3.（2025·吉林松花江期中）如图， AB为⊙O 的直径，弦 CD与 AB交于点E，连接 AC、 BD， ∠ C=75 °，∠D=45 ° ． (1)求∠AEC 的度数； (2)连接OC ，若 AC=2，则⊙O 的半径为_____． （2）解：如图，连接OC ， ∵OA=OC ，∠A=45 °， ∴∠ACO=∠A=45° ， ∴∠AOC=180°－45°－45°=90° ， Rt△AOC中， ＋ ＝ ，AC=2 ， ∴2 =4 解得:AO= ． ∵ ∴ ∠A= ∠D=45 ° ∵∠ C=75 ° ∴ （1）解： 课堂小结 圆周角 圆周角的定义： 顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角. 圆周角定理及其推论： 定理: 推论 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半． ①同弧或等弧所对的圆周角相等． ②半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 课后练习 5. 如图， ⊙O中，OA⊥BC，∠AOB=50°.求∠ADC的度数. 教材P89练习 解： ∵⊙O中，OA⊥BC ∴ ∴∠ADC= ∠ADC ∵∠AOB=50°. ∴∠ADC=25° 课后练习 6.如图，用直角曲尺检查半圆形的工件，哪个是合格的？为什么？ 教材P89练习 解：第二个合格，因为90°的圆周角所对的弧是半圆 感谢聆听! $