4.4.3不同函数增长的差异导学案-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.3　不同函数增长的差异 学案 学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.　　 情境导入 同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 新知探究 知识点一　几个函数模型增长差异的比较 问题引导 　把一次函数y＝2x、对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，观察图象并思考下面问题： 当x趋于无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 知识点总结 　三种常见函数模型的增长差异 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速 度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. 典例探究 例1(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y＝2024x B.y＝x2024 C.y＝log2024x D.y＝2024x (2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3635 6655 y2 5 29 245 2189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 常见的函数模型及增长特点 线性函 数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变 指数函 数模型 指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧变大，形象地称为“指数爆炸” 对数函 数模型 对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.可称为“对数增长” 变式训练 1.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是　　　　. ①y＝3×1.04x； ②y＝20＋x10； ③y＝40＋lg(x＋1)； ④y＝80. 知识点二　利用函数图象比较增长速度 典例探究 例2　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示. (1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数. (2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小. 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数. 变式训练 2.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小. 思维提升 　函数模型的选择 例3　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 变式训练 3.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 月份 1 2 3 月产量(千件) 50 52 53.9 为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，a＞0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系. 请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由. 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型； (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型； (3)一次函数增长速度不变，均匀变化； (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 课堂练习 1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝2x D.y＝e－x 2.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 3.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是(　　) 4.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用　　　　作为函数模型. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4.3　不同函数增长的差异 学案 学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等含义.3.能根据具体问题选择合适的函数模型.　　 情境导入 同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化，如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 新知探究 知识点一　几个函数模型增长差异的比较 问题引导 　把一次函数y＝2x、对数函数y＝lg x和指数函数y＝2x的图象画到同一坐标系下，观察图象并思考下面问题： 当x趋于无穷大时，在这三个函数中，哪一个函数的增长速度快？哪一个慢？ 提示：函数y＝2x的增长速度最快，y＝lg x最慢，y＝2x居中. 知识点总结 　三种常见函数模型的增长差异 　　函数 性质　　 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝kx(k>0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 图象的变化 随x的增大 逐渐变“陡” 随x的增大 逐渐趋于稳定 增长速 度不变 形象描述 指数爆炸 对数增长 直线上升 增长速度 y＝ax(a>1)的增长速度最终都会大大超过y＝kx(k>0)的增长速度；总存在一个x0，当x>x0时，恒有logax<kx 增长结果 存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型. (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型. 典例探究 例1(1)下列函数中，增长速度最快的是(　　) A.y＝2024x B.y＝x2024 C.y＝log2024x D.y＝2024x 解析：A　比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快. (2)三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如表： x 1 3 5 7 9 11 y1 5 135 625 1715 3635 6655 y2 5 29 245 2189 19 685 177 149 y3 5 6.10 6.61 6.95 7.20 7.40 则与x呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次是(　　) A.y1，y2，y3 B.y2，y1，y3 C.y3，y2，y1 D.y3，y1，y2 解析：C　由指数函数、对数函数、幂函数的增长速率比较，指数函数增长最快，对数函数增长最慢，由题中表格可知，y1是幂函数，y2是指数函数，y3是对数函数. 常见的函数模型及增长特点 线性函 数模型 线性函数模型y＝kx＋b(k＞0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变 指数函 数模型 指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧变大，形象地称为“指数爆炸” 对数函 数模型 对数函数模型y＝logax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓.可称为“对数增长” 变式训练 1.下列各项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意的序号是　　　　. ①y＝3×1.04x； ②y＝20＋x10； ③y＝40＋lg(x＋1)； ④y＝80. 解析：结合三类函数的增长差异可知①的预期收益最大，故填①. 答案：① 知识点二　利用函数图象比较增长速度 典例探究 例2　已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示. (1)指出图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数. (2)借助图象，比较f(x)和g(x)的大小. 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.5x－1， C2对应的函数为f(x)＝ln x. (2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)； 当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x). 综上，当x＝x1或x2时，g(x)＝f(x)； 当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x). 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数. 变式训练 2.函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示.设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2. (1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数； (2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2024)，g(2024)的大小. 解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3， C2对应的函数为f(x)＝2x. (2)因为f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)， f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)， 所以1＜x1＜2，9＜x2＜10， 所以x1＜6＜x2，2024＞x2， 从题中图象上可以看出， 当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)， 所以f(6)＜g(6). 当x＞x2时，f(x)＞g(x)， 所以f(2024)＞g(2024). 又g(2024)＞g(6)， 所以f(2024)＞g(2024)＞g(6)＞f(6). 思维提升 　函数模型的选择 例3　某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t，120 t，130 t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x之间的关系.对此模拟函数可选用二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均为待定系数，x∈N*)或函数y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均为待定系数，x∈N*)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解：根据题意可列方程组 解得 所以y＝f(x)＝－5x2＋35x＋70.① 同理y＝g(x)＝－80×0.5x＋140.② 再将x＝4分别代入①式与②式得 f(4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)，g(4)＝－80×0.54＋140＝135(t). 与f(4)相比，g(4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y＝g(x)＝pqx＋r作为模拟函数较好. 建立函数模型应遵循的三个原则 (1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型. (2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论. (3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题. 变式训练 3.某工厂生产一种电脑元件，每月的生产数据如表： 月份 1 2 3 月产量(千件) 50 52 53.9 为估计以后每月该电脑元件的产量，以这三个月的产量为依据，用函数y＝ax＋b或y＝ax＋b(a，b为常数，a＞0且a≠1)来模拟这种电脑元件的月产量y千件与月份x的关系. 请问：用以上哪个模拟函数较好？说明理由. 解：将(1，50)，(2，52)分别代入两解析式得 (a＞0且a≠1) 解得(两方程组的解相同). 所以两函数分别为y＝2x＋48或y＝2x＋48. 当x＝3时，对于y＝2x＋48有y＝54； 对于y＝2x＋48有y＝56. 由于56与53.9的误差较大，所以选函数y＝ax＋b模拟较好. 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型； (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长很大时，常常选用对数函数模型； (3)一次函数增长速度不变，均匀变化； (4)函数值的大小不等同于增长速度快慢，数值大不一定增长速度快，增长速度体现在函数值的变化趋势上. 课堂练习 1.下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是(　　) A.y＝ex B.y＝ln x C.y＝2x D.y＝e－x 答案：A 2.如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析：A　随着自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故此函数为一次函数模型. 3.甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2(v1＜v2)，则下图中能正确反映甲从A地到B地走过的路程s与时间t的关系的是(　　) 答案：B 4.现测得(x，y)的两组对应值分别为(1，2)，(2，5)，现有两个待选模型：甲：y＝x2＋1，乙：y＝3x－1，若又测得(x，y)的一组对应值为(3，10.2)，则应选用　　　　作为函数模型. 解析：把x＝1，2，3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好. 答案：甲 学科网（北京）股份有限公司 $$