基本功专练(三) 解分式方程-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版2024 湖南专版）

基本功专练（三） 解分式方程 (时间：40分钟满分：100分) 1.(56分)解下列方程： 6)2%-2= (1)1=4 xx十3 x-2x-2=0; (2) 2+x-1 (6)2-13 'x+1x21=1; 8z3z 0 (7)2+8-4红7+2： 3x-9x-3 42二十3=3-x 2 x-3 (8)x 4 Dx-2-1=x2-4x+4 ·11. 2.(8分)若分式“与的值相等求 (2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边 的数值抄错，导致找不到原题目，但可 x的值. 以肯定的是“口”是一1或0，试确定 “口”表示的常数. 3.(10分)小星解分式方程士2十3=司 的过程如下： 解：由于最简公分母为x一2，于是将方程 两边同乘x-2,得1+3x一6=x一1. …………………………………… 第一步 5.(14分)已知关于x的分式方程23十 解得x=2.…… 第二步 mx 5 检验：当x=2时，x一2=0.…第三步 x2-9x十31 所以原分式方程无解.… 第四步 (1)若这个方程的解是正数，求m的取值 小星的解题过程从第 步开始出 范围； 现错误，并写出正确的解答过程. (2)若这个方程无解，求m的值. 4.(12分)已知分式方程名十千□有 解，其中“口”表示一个常数. (1)若“☐”表示的数为4，求分式方程 的解； ·12.5.证明：因为OC是∠AOB的平分线，CE⊥OA,CF⊥OB,所以∠COE=∠COF,CE= CF,∠CEO=∠CFO=90°.所以∠ECO+∠COE=90°，∠FCO+∠COF=90°.所以 CE=CF, ∠ECO=∠FCO.在△ECD和△FCD中，∠ECD=∠FCD,所以△ECD≌△FCD(边 CD=CD, 角边).所以∠CDE=∠CDF 第？课时角平分线的性质与判定的运用 1.D2.C3.115° 4.解：如图，点P即为所求. 5.解：因为BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,所以OF= OE=OD=4.因为△ABC的周长为20，所以AB+BC+AC=20.所以S△ABc=S△A0B十 Sax+Sax=号AB:OD+合BC·OE+2AC.0F=(AB+BC+AC)·OD 合×20×4=40. 周测小卷 基本功专练（一）因式分解及其应用 1.解：(1)原式=-(a2+ab)=-a(a+b).(2)原式=(2a+3b)(2a-3b).(3)原式=x2 +2·x·√2+(W2)2=(x十√2)2.(4)原式=x(1-2x+x2)=x(1-x)2.(5)原式=x2+ 6x+5+4=x2+6x+9=(x+3)2.(6)原式=[(a+2b+2)+(a-2b+2)][(a+2b+2) -(a-2b+2)]=4b(2a+4)=8b(a+2).(7)原式=x2(m-2)-y2(m-2)=(m-2)(x -y)=(m-2)x+(x-.(8)原式=(2+)(x-)=(2+言)(x+ )(x-).(9)原式=[3(2x-1D]-2·3(2z-1)1+1=[3(2x-1)-12= (6.x-4)2=4(3x-2)2.(10)原式=(am十an)+(bm+bm)=a(m+n)+b(m+n)=(m +n)(a+b).(11)原式=(4x2)2-2·4x2·y2+(y2)2=(4x2-y2)2=[(2x+y)(2x- y)]2=(2x十y)2(2x-y)2.(12)原式=(x2-x+1-x)(x2-x-1+x)=(x2-2x+ 1)(x2-1)=(x-1)2(x+1)(x-1)=(x-1)3(x+1). 2.解：(1)原式=(a-3)(2a-6-a)=(a-3)(a-6).当a=2时，原式=(2-3)×(2- 6)=4.(2)原式=3xy(x2-2xy十y2)=3xy(x-y).因为x-y=2,xy=3,所以原式= 3×3×22=36. 3.解：1)原式=89×日-25×日-号×(89-25)=号×64=8.(2)原式=(202+50 ×(202-54)+256×352=256×148+256×352=256×(148+352)=256×500= 128000.(3)原式=1022+2×102×98+982=(102+98)2=2002=40000.(4)原式= 3020×(3020+1)-30212=3020×3021-30212=3021×(3020-3021)=3021 ×(-1)=-3021. 4.解：原式=(n+7+n-5)(n+7-n十5)=24(n+1).因为n为正整数，所以24(n+1) 能被24整除.所以当n为任意正整数时，(n十7)2-(n一5)2能被24整除. 阶段微测试（一） 1.D2.A3.A4.D5.D6.B7.-4a(2a-b) 8.a.x2+4ax十4a(答案不唯一)9.x十y-110.4 11.解：(1)原式=-(2x2-18x2y+4xy2)=-2x(x-9xy+2y2).(2)原式=-(x2+ 2xy+y2)=-(x十y)2.(3)原式=a2(x-y)-16(x-y)=(x-y)(a2-16)=(x- y)(a+4)(a-4).(4)原式=(x2+y2-2xy)(x2+y2+2xy)=(x-y)2(x十y)2. 12.解：(1)原式=1002-(252+248)(252-248)=10000-500×4=8000.(2)原式= —52 (39.8-49.8)2=(-10)2=100. 13.解：该桩管的横截面面积为πR2-x2=3.14×1.152一3.14×0.852=3.14×(1.15 +0.85)×(1.15-0.85)=3.14×2×0.3=1.884(m).答：该桩管的横截面面积约为 1.884m. 14.解：(1)由题意，得m+4|+(n2一2n+1)=0,即m+4+(n-1)2=0.因为|m十4 ≥0，(n-1)2≥0，所以m十4=0，n-1=0,解得m=-4,n=1.(2)原式=x2+4y2+4xy -1=(x2+4xy+4y2)-1=(x+2y)2-1=(x+2y+1)(x+2y-1). 15.解：(1)原式=x+4x2y2+4y-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2)2 (2xy)2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).(2)原式=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab=x2 -2ax+a2-(a2+b2+2ab)=(x-a)2-(a+b)2=(x-a十a+b)(x-a-a-b)=(x十 b)(x-2a-b). 阶段微测试（二） 1.A2.A3.C4.C5.C6.B 4b 7.2+（答案不唯-）8.(x-2)9.a(a+④10.180 1解：答案不唯-，如：选A,B组成分式2+品是-222= 3a(a十2) 2a-4 3a 2a a-b 2a-a十b_=1 12.解：1)原式=a+ba-b(a+a--(a+ba6-。-6(2)原式=1- a+号=+124=品(8)原式=2+2平-》》- a+1 2(x+3)(x一3) -x2+6.x-9 -(x-3)2 x一3 2(x+3)(x-3)=2(x+3)(x-3)=-2x+3) 13.解：1由题意，得2-3江=0，解得x=号所以当x=号时，分式的值不存在，(2)由 题意，得x2=0且2-3x≠0，解得x=0.所以当x=0时，分式的值是0.(3)由题意，得 2<0.因为2≥0，所以2-3z<0,2≠0，解得x>号所以当>号时，分式的值 是负数 2x 1 2x x十2 14.解：1)8(2)原式=(x+2)(x-2-2(x+2x-2)(x+2)(x-2) 千+2刀中2当x3时，原式-日 2x-x-2 x-2 15解：(1D名牛阳(2)因为A-名，B-牛册A-B-合-8牛- aa+m aa十m +二a6十m=因为a>6>0,m>0,所以6-a<0,a+m>0.所以 a(a+m) 一B<0.所以A<B.所以加糖后的糖水更甜. 基本功专练（二）分式的计算及化简 1解：原式=·千”一2原式兰 +号3》-x十8.8)原式=a机·a十。-而6合.(4)原式=·兰 x一3 x ·(）原式-.·品-学·希· C2 =-答6)原式=异1·少-a+1.()原式=5， a2 m-2 m-3 m一3)(m十3)，m一2=m+3.(8)原式=（x干1)÷x干=z1D· m-2 m-3 x+1 安中@原式=（宁）（仕）-号号2， xy=x十y y-x xy 2.解：(1)②③(2)答案不唯一，如：选择乙同学的解法，解答过程如下：原式一x千 53 +点=克+》+1》=-1+x叶 1=2x. 3锅：原式-”》+。1--1-中1+1 x-1 马当x=4时，原式=4=子(2)原式=m十.m}-·n” m+1(m-1)2m+1‘m-1 当m=(合)'+(-3086=2+1=3时，原式=3异=是 4.解：原式= 号高)·++92·-曲超， 得a≠1且a≠-2，所以a=0或2当a=0时，原式-8号-1.（或当a=2时，原式 =-叭 5.解：原式=2安1÷贵=21.}=.因为父+红-5=0，所以 2x(x+1) 2 2x+1 2+x=5.所以原式=2 5 阶段微测试（三） 3B4.C5.A6.B7.7X1078.49.=2 11.解：(1)原式=-8÷1-(-3)2×(-2)=-8-(-18)=-8+18=10.(2)原式= 品·#·(-的）=-是(3)原式=+-山.气22= x+2 (x+5)2 2x+4-x+1.（x-2)(x+2)=x+5.（x-2)(x+2)=x-2 x+2 (x+5)2 x+2 (x+5)2 x+51 12.解：原式= 2(a+2) 17 (a+2)(a-2)a-2 a-2)+a=(a22a) ·(a-2)+a= a一2·(a-2)十a=1+a,所以任意报一个a的值，小明都可以用这个数加上1，马上说 1 出这个代数式的值， 13.解：原式=a6m十bm-amb3m=(a3m)-2十b3m-(a23m)2(b3")-1=4-2+2-42X2-1= +2-8= 14.解：(1)由题意，得长途客运车原来所花的时间是h,新修的高速公路开通后所花 的时间是石+0%z2),则兰z兰·上=1.5，管：长途客运车原来 所花的时间是新修的高速公路开通后所花的时间的1.5倍.(2)之一z s1.5s-5= 二一-产，答：新修的高速公路开通后，所花时间比原来笔短了品A 15解：由2京日知x≠0所以1-5，即x一3+士=5所以+是 1 x -8.所以++=2+1+宁(+）》”-1=8-1=63.所以高 x2 1 x 基本功专练（三）解分式方程 1.解：(1)由于最简公分母为x(x十3)，于是将方程两边同乘x(x十3)，得x十3=4x,解 得x=1.经检验，x=1是原分式方程的解.(2)由于最简公分母为x一2，于是将方程两 边同乘x一2，得2十x一1=0，解得x=一1.经检验，x=一1是原分式方程的解.(3)由 于最简公分母为x(x十1)(x一1)，于是将方程两边同乘x(x十1)(x一1)，得4(x一1) 3(x十1)=0，解得x=7.经检验，x=7是原分式方程的解.(4)由于最简公分母为x一3， 于是将方程两边同乘x一3，得2-x十3(x一3)=一2，解得x=号经检验，x=号是原 分式方程的解.(5)由于最简公分母为(x+1)(x一1)，于是将方程两边同乘(x十1)(x一 1),得2x(x十1)-2(x十1)(x-1)=x-1,解得x=-3.经检验，x=-3是原分式方程 的解.(6)由于最简公分母为(x+1)(x一1)，于是将方程两边同乘(x+1)(x-1),得(x —54— -1):-3=(x十1D(x-1),解得x=一分经检验，x=-号是原分式方程的解.()由 于最简公分母为3(x一3)，于是将方程两边同乘3(x一3)，得2x十9=3(4x一7)十6(x 一3)，解得x=3.经检验，x=3不是原分式方程的解.所以原分式方程无解.(8)由于最 简公分母为(x一2)2，于是将方程两边同乘(x一2)2，得x(x一2)一(x一2)2=-4，解得x =4.经检验，x=4是原分式方程的解. 2解根据题意得2兰一号解得4=名经检验，=日是原分式方程的帐，所 以x的值是日 3.解：一正确的解答过程如下：由于最简公分母为x一2，于是将方程两边同乘x一2， 得1十3z一6=1-，解得x=是经检验，x一=号是原分式方程的解， 4,解：()根据题意，得马十=4，解得x=号经检验，x=号是原分式方程的 解，（2)分两种情况讨论：①当“口”表示的常数是-一1时，名十产-1，此时方程 无解：@当口“表示的常数是0时，名十己=0，解得x=2.经检验，x=2是原分 式方程的解.所以“口”表示的常数是0. 5.解：(1)由于最简公分母为(x+3)(x一3)，于是将方程两边同乘(x十3)(x一3)，得 2G十3)+m-5(x-3.整理，得(3-mx-21,懈得x一3引n由题意，得n>0, 32n≠士3，解得m<3且m≠一4.2)由得(3一m)x=21.因为分式方程无解，所以 3一m=0或21=±3，解得m=3或m=10或m=二4，所以m的值为3或10或一4 阶段微测试（四） 1.B2.B3.D4.B5.A6.D7.x=-28.29.20010.=a,x= a-1 11.解：(1)由于最简公分母为2(3x-1),于是将方程两边同乘2(3x-1),得4一2(3x一 1)=3,解得z=2:经检验，x=号是原分式方程的解，(2)由于最简公分母为2(2x十 1)(2x-1),于是将方程两边同乘2(2x十1)(2x一1)，得2(x+1)=6(2x一1)一4(2x+ 1),解得x=6.经检验，x=6是原分式方程的解. 12.解：(1)分式的基本性质(2)由于最简公分母为x一2，于是将方程两边同乘x一2， 得2红=x-1-3(x一2)，解得x=子，经检验，x=号是原分式方程的解。 13.解：设今年龙虾的平均亩产量是xkg,根据题意，得600-180，解得x=300,经 x 检验，x=300是原分式方程的解，且符合题意.答：今年龙虾的平均亩产量是300kg. 14.解：(1)由题意，得x=-1是整式方程x-3+6=m的解，所以m=-1-3十6=2. (2由1知m=2,则原分式方程为+6=产2·解得=号经检验，=号是原 分式方程的解， 15.解：(1)设原计划每天铺设管道xm,则实际每天铺设管道(1十25%)xm.根据题意，得 子z十15=320，部得=40，经检验=40是原分式方程的解，且符合慝意。 所以(1十25%)x=50.答：原计划每天铺设管道40m,实际每天铺设管道50m. (2)3000÷40=75(天).设该公司原计划应安排y名工人施工.根据题意，得300× 75y≤180000，解得y≤8.答：该公司原计划最多应安排8名工人施工. 基本功专练（四）二次根式的混合运算 1.解：(1)原式=2-2√3-3√3=2-5√3.(2)原式=4√7-4√2-2√7=27-4V2. (3)原式=2×25-后+2×5-35+号后=号.（④）原式=5区÷(25÷2同 =5÷=5.5)原式=(2-罗)×w-3Y×亿=8.(6)原式=V-5+5 一 55- 4-5+3=2.(7)原式=√25-√4+√24=5-2+2√6=3+2√6.(8)原式=(2√5)2 6W6)2=12-6=6.(9)原式=3-4V5+4-3E-2E=3-4V5+4-1=6-4V5. √2 (10)原式=1+2√3+3-[(-2)2-(W3)2]=1+2W3+3-4+3=2√3+3. 2.解：(1)2(2)原式=25-24-56-1-56 6 6 3.解：(1)原式=x2一2+2x十2=x2十2x=x(x十2).当x=2√3一2时，原式=(2√3一 2)(2√3-2十2)=2√3×2√5-45=12-4√5.(2)因为x-2>0,所以x>2.所以原式 =受V=受.厚-在当=4时，原武=2.（答案不唯 x-2 一，满足x>2即可) 4.解：(1)因为a=-1+V2,b=-1-2,所以ab+b=(-1+√2)(-1-√2)+ a -1+√2 ++20=1+3+2=-4←2E -1-E-(-1)-W2)+,（-1-②) (2)b-2b-4a=b2+2b+1-1-46-4a=(b+1)2-4(a+b)-1.因为a=-1+√2，b =-1-√2，所以b+1=-√2，a+b=-2.所以原式=(-√2)2-4×(-2)-1=9. 5.解：(1)2*(-√2)=3×2-(-√2)2=6-2=4.(2)因为m=(W5-√3)(5+√3)= 5-3=2,n=3-√5，所以m*n=3m-=3×2-(3-√5⑤)2=6-(9-6√5+5)=6√5-8. 阶段微测试（五） 1.A2.C3.C4.A5.A6.B7.x≥-38.279.a2b10.7 11.解：(1)原式=2√5-2√5-5=-5.(2)原式=√5÷√3=√3.(3)原式=3-1-4+2 =00原式-(6-2y+4同)÷25=28y÷25-兰 3 12.解：因为a<b<0<c,所以a-b<0,c-a>0,b-c<0.所以原式=|a-bl-(c-a) +b-cl=-a+b-c+a-b+c=0. 1解：原武+（生）=22÷-1+-22 x(x+2) x x(x十2) 4少=2·当=时，原式2 x x(x+2) √3+2 =-√3-2. (W3-2)(W3+2) 14.解：因为x=3十√5，y=3-√5，所以x十y=6,x-y=2√5，xy=4.(1)x2-y2=(x+ y(x-》=6×25=125.(2)义+二=y+x=x+)2-2xy=6°=2X4=7. xy xy 4 15.解：(1)由题意，得长方形空地ABCD的周长为2(BC+AB)=2(√72+√32)= 20V2(m).(2)由题意，得S四边形ABcn=BC·AB=√72X√32=48(m2),S水箱=（√0+ 1)(√10一1)=9(m2),所以S种撤草移=S四边形A8cp-S水袖=39m2.所以39×15X18= 10530(元).答：小明家将所种的草莓全部销售完，销售收人为10530元. 阶段微测试（六） 1.D2.A3.C4.C5.D6.A 7.如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补8.119.710.90°或60° 11.解：(1)逆命题：如果a2=6,那么a=b.逆命题是假命题.(2)逆命题：同旁内角互 补，两直线平行.逆命题是真命题. 12.解：(1)根据题意，得9一4<x<9十4，解得5<x<13.(2)因为这个三角形是等腰三 角形，所以x=4或9.因为5<x<13,所以x=9. 13.已知：在△ABC中，∠A>∠B,∠A>∠C.求证：∠A≥60°.证明：假设∠A<60°，则 ∠B<60°，∠C<60°，所以∠A十∠B+∠C<180°，这与三角形内角和等于180°相矛盾. 所以假设不成立.所以∠A≥60°. 14.解：(1)在△ABC中，∠C=180°-∠A-∠B=40°.由折叠的性质，得∠C=∠C= 40°.(2)设AE,DC交于点F.因为∠AEC=22°，∠C=40°，所以∠DFE=∠AEC+ 一 56- ∠C=62°.所以∠BDC=∠DFE+∠C=102°. 15.解：答案不唯一，如：条件：①②；结论：③.证明如下：因为CD⊥AB,所以∠ADF= 90°=∠ACE.因为AE平分∠CAB,所以∠CAE=∠DAF.因为∠ACE+∠CAE十 ∠AEC=180°，∠ADF+∠DAF+∠AFD=180°，所以∠AEC=∠AFD.因为∠CFE= ∠AFD,所以∠CEF=∠CFE. 16.解：(1)因为∠ABE=15°，∠BAD=55°，所以∠BED=∠ABE+∠BAD=70°. (2)因为AD为△ABC的中线，所以BD=CD,SMm=2Sc=15.因为BE为 △ABD的中线，所以SAE=合SAkm=号.因为EFLBC,.所以SAE=合BD·ER. 所以合BDX5=号所以BD=3,所以CD=BD=3. 基本功专练（五）与全等三角形性质、判定有关的计算及证明 1.解：因为△ABC≌△DEF,所以AC=DF=9.所以AG=AC一GC=5. 2.解：因为△ABC≌△ADE,所以∠BAC=∠DAE.所以∠BAC-∠CAE=∠DAE- ∠CAE,即∠BAE=∠DAC,所以∠BAE=名（∠BAD-∠CAE)=30.所以∠BAC= ∠BAE+∠CAE=70. (∠A=∠D, 3.证明：在△ABC和△DEC中，AB=DE,所以△ABC≌△DEC(角边角).所以AC ∠B=∠E, =DC. ∠B=∠EFA, 4.(1)证明：因为AE∥BC,所以∠EAF=∠C.在△ABC和△EFA中， ∠C=∠EAF, LAC-=EA, 所以△ABC≌△EFA(角角边).(2)解：由(1)知△ABC≌△EFA,所以AF=BC=2, AC=AE=6.所以CF=AC-AF=4. 5.证明：(1)因为BC=AD,所以BC+CD=AD十CD,即BD=AC.在△BFD和△AEC (BF=AE, 中，DF=CE,所以△BFD≌△AEC(边边边).(2)因为△BFD≌△AEC,所以∠B= BD=AC, (AD=BC, ∠A.在△ADE和△BCF中，∠A=∠B,所以△ADE≌△BCF(边角边).所以DE=CF. AE-BF, 6.解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.因为M为BC的中点，所以BM=CM.在△BEM BE=CF, 和△CFM中，{∠B=∠C,所以△BEM≌△CFM(边角边).所以MF=ME=12m. BM=CM, 答：石凳M到石凳F的距离MF为12m. 7.(1)证明：因为A'B⊥AB,AC⊥BD,A'F⊥BD,所以∠ABA'=∠BFA'=∠ACB= 90°.所以∠FBA'+∠FBA=∠CAB十∠FBA=90°，所以∠FBA'=∠CAB.在△BFA' I∠BFA'=∠ACB, 和△ACB中，∠FBA'=∠CAB,所以△BFA'≌△ACB(角角边).(2)解：由(1)，得 BA'=AB, △BFA'≌△ACB,所以A'F=BC.易得CD=AE=7m所以A'F=BC=BD-CD=3m. 8.证明：(I)因为AB⊥BD,BC⊥BE,所以∠ABD=∠CBE=90°.所以∠ABD+∠DBC (AB=DB, =∠CBE+∠DBC,即∠ABC=∠DBE.在△ABC与△DBE中，∠ABC=∠DBE,所 BC=BE, 以△ABC≌△DBE(边角边).(2)设AC交BD于点M.因为△ABC≌△DBE,所以∠A =∠D.因为∠ABD=90°，所以∠A十∠AMB=90°.因为∠AMB=∠DMP,所以∠D+ ∠DMP=90°.所以∠DPA=180°-（∠D+∠DMP)=90°. 阶段微测试（七） 1.B2,B3.D4.B5.C6.B7.∠A=∠D889.4010.2或号 -57