1.3 公式法-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（湘教版2024 湖南专版）

参考答案 第1章因式分解 1.1多项式的因式分解 1.D 2.解：(1)不是因式分解.理由：等式右边不是几个多项式的乘积形式.(2)不是因式分 解.理由：它是整式的乘法.(3)是因式分解.理由：等式右边是两个多项式的乘积形式， 且(a-3)2=a2-6a十9，符合因式分解的定义.a2-6a十9的因式为a-3. 3.整式的乘法因式分解4.D 5.解：(1)正确.因为(x+1)(x-1)=x2-1.(2)不正确.因为(x十y)(x-2y)=x2一xy -2y2≠x2-xy+2y2. 6.B7.D8.x2一1（答案不唯一） 9.解：小峰的说法正确.理由如下：右边虽然是乘积的形式，但不是两个整式的乘积，所 以这种变形不是因式分解. 1.2提公因式法 第1课时提公因式法（一） 名师导学 ①相同②括号外面 【例1】解：(1)原式=m(a十b).(2)原式=2y·3x-2y·y=2y(3x-y).(3)原式=3ab ·4a2b-3ab·2a+3ab·b=3ab(4a2b-2a+b).(4)原式=5xy·5xy+5xy·2y-5xy =5xy(5xy+2y-1). 【例2】-5xy(xy-2y2+3x) 1.C2.D3.A4.C5.(1)a(x-y)(2)3x(x-3)(3)xy(x+2) 6.解：(1)原式=9xy·3y-9xy·2x2=9xy(3y-2x2).(2)原式=-(a2-ab)=-a(a -b).(3)原式=4x2y2+12xy=4x2y(y+3.x2). 7.C8.D9.C10.12【变式题】96 11.解：(1)原式=3a2b·2b-3ab·5b+3a2b=3ab(2b-5b+1).(2)原式=4xy2· xy+4xy2·2xz-4xy2·3z=4xy2(xy+2xz-3x).(3)原式=-(8a3b-4a2b+2ab) =-2ab(4a2-2a+b). 12.解：U=IR1+IR2+IR3=I(R1十R2+R3)=2.5×(19.7+32.4+35.9)=220(V). 即U的值为220. 13.解：(1)-2(2)-2m3+3m2+m-9=-2m3+2m2+m2+m-9=-2m(m2-m) 十m2+m-9=-2m十m2+m-9=m2-m-9=1-9=-8.(3)因为m+2-m+1-m =m(m2-m一1)=m”·(1-1)=0,所以无论m取何值，代数式m+2-m+1一m”的 值都为定值0. 第2课时提公因式法（二） 名师导学 【例1】解：(1)原式=(a+b)(x+y).(2)原式=5√5xy-5√5xy·2xy=5√5xy(1 2xy).(3)原式=a(m-2)-b(m-2)=(m-2)(a-b).(4)原式=3a(x-y)2-(x-y)2 =(x-y)2(3a-1).(5)原式=16(m-n)2+12(m-n)3=4(m-n)2·4+4(m-n)2· 3(m-n)=4(m-n)2(4+3m-3n). 【例2】b(a-3)(b+1) 1.C2.B3.B4.(m-n)(m-n+1) 5.解：(1)原式=(a-b)(2m-3n).(2)原式=x(x-y)2-y(x-y)2=(x-y)2(x-y) =(x-y)3.(3)原式=(m-n)3+2n(m-n)2=(m-n)2[(m-m)+2n]=(m-n)2(m十n). 6.解：(1)原式=√2x(x-2).(2)原式=3√3ab·2a+3√3ab·b=3√3ab(2a+b). 7.B8.C9.5 10.解：(1)原式=√6xy2·√6xy-√6xy2=√6xy(W6xy-1).(2)原式=(x2+xy)-(xz +yz)=x(x十y)-z(x+y)=(x+y)(x-x).(3)原式=4b(3a+1)-3(3a+1)=(3a+ 1)(4b-3).(4)原式=a2(a+2b)+2ab(a+2b)=a(a十2b)(a+2b)=a(a+2b)2. 11.解：有.因为A=x(x-2)-(x-2)=(x-2)(x-1),B=x2-x-6+6=x2-x= 一1 x(x一1)，所以多项式A,B的公因式为x一1. 12.解：(1)提公因式法两(2)原式=(1十x)[1+x+x(1+x)十x(1十x)2+…+ x(1+x)"-1]=(1+x)2[1+x+x(1+x)+…+x(1+x)-2]…=(1+x)m+1. 1.3公式法 第1课时用平方差公式因式分解 名师导学 ②x2-y2=(x十y)(x-y) 【例1】解：(1)原式=(4+5y)(4-5y).(2)原式=xy(x2-y2)=xy(x十y)(x-y). (3)原式=[a+2(a+b)][a-2(a+b)]=-(3a+2b)(a+2b). 【例2】B 1.B2.A3.-198000 4.(+2)(x-合 ）(2)(3b+4a)(3b-4a)(3)(y+4)(y-2)(4)8xy 5.C6.(x2+2)(x十√2)(x-√2)7.D 8.解：(1)原式=3a(x2-y2)=3a(x+y)(x-y).(2)原式=a2(x-y)-16(x-y)=(x -y)(a2-16)=(x-y)(a+4)(a-4). 9.D10.C11.(1)2(2)25 12.解：(1)原式=9a(x-y)-4b(x-y)=(x-y)(9a2-4b)=(x-y)(3a+2b)(3a- 2b).(2)原式=(a+3b)(a-3b)一(a-3b)=(a-3b)(a+3b-1).(3)原式=3(m一16) =3(m2+4)(m2-4)=3(m2+4)(m+2)(m-2). 13.解：剩余部分的面积为a2-4b=(a+2b)(a-2b)=(13.2+2×3.4)×(13.2-2× 3.4)=128(cm). 14.解：(1)这两个数是“神秘数”.理由如下：因为28=82一62,2012=5042一5022，所以 28,2012是“神秘数”.(2)是4的倍数.理由如下：(2k+2)2-(2k)2=(2k十2+2k)(2k +2一2)=(4k十2)×2=4(2k+1).因为为非负整数，所以4(2k+1)是4的倍数. 第2课时用完全平方公式因式分解 名师导学 x2士2xy+y2=(x±y) 【例1】解：(1)原式=(a+5)2.(2)原式=n(m2-12mn+36n2)=n[m2-2·m·6n+ (6n)2]=n(m-6n)2.(3)原式=-(x2-2xy十y2)=-(x-y)2. 【例2】解：原式=(a2-4)2+2·(a2-4)·3+32=(a2-4十3)2=(a2-1)2=[(a十 1)(a-1)]2=(a+1)2(a-1)2. 1.C2.B3.x+4(2)3z-2)2(3a+102(④(m-7) 4.(1)a(b+1)(2)-3(x-1)2 5.解：(1)原式=-(y3-6xy2+9x2y)=-y(y2-6xy+9x2)=-y[y2-2·y·3x+ (3.x)2]=-y(y-3x)2.(2)原式=4x2(x2+2xy2+y)=4.x2[x2+2·x·y2+(y2)2] =4x2(x十y2)2. 6.D 7.解：原式=(4m2)2-2·4m2·1+12=(4m2-1)2=[(2m+1)(2m-1)]2=(2m+ 1)2(2m-1)2. 8.C9.D10.D【变式题】A11.A 12.解：(1)原式=2x[(x2+1)2-4x2]=2x(x2+1+2x)(x2+1-2x)=2x(x十1)2(x 1)2.(2)原式=(a2-2a)2+2·(a2-2a)·1+12=(a2-2a十1)2=(a-1)4. 13.解：因为x2+y2-4x十6y十13=0，所以x2-4x十4+y2+6y十9=0.所以(x-2)2 +(y十3)2=0.所以x一2=0，y+3=0,解得x=2,y=-3.当x=2,y=-3时，原式= (x-3y)2=[2-3×(-3)]2=121. 14.解：(1)不彻底(2)(a-2)4.(3)设x2-2x=y.原式=y(y+2)+1=y2+2y+1= (y十1)2=(x2-2x十1)2=(x-1)4. 专题一因式分解常见的三种简单应用【回归教材】 1.解：1)原式=号×(-23.7+1.3-2号）=号×(-23.7+1.3-26)=号× 2 (-25)=-20.(2)原式=名×(502-4980)=号×(502+498)X(502-498)=号× 1000×4=500.(3)原式=8962+2×104×896+1042=(896+104)2=10002= 1000000. 2.解：1)原式=(m+”2）(士”-”2”）=m,当m=-n=4时，原式= -6×4=-六.(2②原式=司a6c2+2a6+8)=合a6(a+60,当a+6=2,ab=2时， 原式=号×2×2=4.(3)原式=2a+88(a2+2b-4).因为a2+26=4,所以a2+2b-4 =0.所以原式=0. 3.解：同意小明的说法.理由如下：原式=[(2n+1)+(2n-1)][(2n+1)-(2n-1)]= 8n.所以对于大于0的任意整数，代数式(2n+1)2一(2n一1)2都能被8整除. 4.证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a,十位数字是b,个位数字是c,则该数为 100a+10b+c.由题意，得a=b-c,所以100a+10b+c=100(b-c)+10b+c=100b 100c+10b+c=110b一99c=11(10b一9c).所以100a十10b十c能被11整除.所以任意 一个“极差数”一定能被11整除. 多知道一点特殊的因式分解法【教材拓展】 1.解：(1)原式=(2x+1)(x-3).(2)原式=(2x十1)(x十3).(3)原式=(x+3)(3x 4).(4)原式=(3a+8)(a-1). 2.解：(1)原式=(x-y)2-9=(x-y+3)(x-y-3).(2)原式=m2(m-2)-4(m-2) =(m-2)(m2-4)=(m-2)2(m十2). 3.解：(1)原式=a3+a2b-a2b十b=(a3十a2b)-(a2b-b3)=a2(a+b)-b(a2-b)= a2(a+b)-b(a+b)(a-b)=(a+b)(a2-ab+b2).(2)①原式=4x+1+4x2-4x2= (4x4十4x2+1)-4x2=(2x2+1)2-4x2=(2x2+1+2x)(2x2+1-2x).②原式=x4+ x2+1+x2-x2=(x+2x2+1)-x2=(x2+1)2-x2=(x2+1+x)(x2+1-x). 4.解：(1)(x+15)(x-1)(2)原式=(x3-x)-(7x-7)=x(x十1)(x-1)-7(x-1) =(x-1)[x(x+1)-7]=(x-1)(x2+x-7).(3)因为a2+b+c2-4a-4b-6c+17 =0,所以(a2-4a十4)十(b-4b+4)+(c2-6c十9)=0.所以(a-2)2十(b-2)2+(c- 3)2=0.所以a=2,b=2,c=3.所以三角形ABC的周长为2十2十3=7. 5.解：(1)不彻底.正确的解答过程如下：设x2一2x=m,则原式=m(m十2)+1=m2+ 2m+1=(m十1)2=(x2-2x+1)2=[(x-1)2]2=(x-1)4.(2)①设x2+6x=m,则原 式=m(m+18)+81=m2+18m+81=(m+9)2=(x2+6.x+9)2=[(x+3)2]2=(x+ 3)4.②设x2+x=y,则原式=y(y十2)+(y+1)(y-1)+1=y2+2y十y2-1+1=2y2 +2y=2y(y+1)=2(x2+x)(x2+x+1)=2x(x+1)(x2+x+1). 第1章章末复习 思维导图 乘积(x十y)(x一y)(x士y)2 考点整合 1.B2.73.D4.D5.A6.B 7.(1)9(m+2n)(m-2n)(2)(a-1)2 3(合m-3)”8.7或-1 9.解：(1)原式=6ab·2a-6ab·3b-6ab·4a2=6ab(2a-3b-4a2b).(2)原式=x(x -y)十y(x-y)=(x-y)(x十y).(3)原式=2x·x2-2x·4xy十2x·4y2=2x(x2- 4xy十4y2)=2x(x-2y)2.(4)原式=(a-b)2-6(a-b)+9=(a-b)2-2·(a-b)·3 +32=(a-b-3)2.(5)原式=x2-(y2+4y十4)=x2-(y+2)2=(x十y+2)(x-y 2).(6)原式=[3(m十n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)]=(4m+2n)(2m+4n)=4(2m +n)(m+2n). 10.解：(1)原式=2026×(2026一2025)=2026×1=2026.(2)原式=(13.25+6.75) ×(13.25一6.75)=20×6.5=130.(3)原式=（一2）100×[(-2)+1]=-2100.(4)原式 =(2.2+17.8)2=202=400. 11.解：剩余阴影部分的面积为元R2一4πr2=π(R2一4r2)=π(R十2r)(R一2r).将R= 6.8dm,r=1.6dm代入，得剩余阴影部分的面积为π(R+2r)(R-2r)=π×(6.8+2× 1.6)×(6.8-2×1.6)=36π(dm2).答：剩余阴影部分的面积为36πdm2. 一3第1课时 【名师导学 >◆◆预习先知 ▣新知梳理 ①把乘法公式从右到左使用，就可以把 某些形式的多项式因式分解.这种因 式分解的方法叫作公式法. ②把平方差公式(x十y)(x-y)=x2一 y2从右到左使用，即 ,就可以把某些符合条件 的多项式因式分解. ☑例题引路 【例1】把下列各式因式分解： (1)16-25y2; (2)x3y-xy3; (3)a2-4(a十b)2. 【学生解答】 刻易错典例 【例2】下列多项式分解因式正确的是 A.a2-4=(a+4)(a-4) B.-a2+4=(-a十2)(a+2) C.-a2-4=(-a十2)(-a-2) D.a4-16=(a2+4)(a2-4) 【易错剖析】一些多项式因式分解时不 能直接套用平方差公式，需要将其化为 两式的平方差的形式，同时要注意因式 分解必须进行到每一个因式不能分解 为止. 【学生解答】 6数学八年级上册(X) 1.3公式法 用平方差公式因式分解 口基础过关 逐点击破 知识点1直接运用平方差公式因式分解 1.下列各式中，可以使用平方差公式分解因式的是() A.-a2-b2 B.-a2+9 C.p2-(-q2) D.a2-63 2.多项式1-4y2因式分解的结果是 A.(1-2y)(1+2y) B.(2-y)(2+y) C.(1-2y)(2+y) D.(2-y)(1+2y) 3.用平方差公式进行简便计算：4012-5992= 4.因式分解： （(1(2021·临夏中考)x-是 (2)-16a2+9b2= (3)(2024-2025·娄底月考)(y+1)2-9= (4)(x+2y)2-(x-2y)2= 知识点2两次运用平方差公式因式分解 5.(教材P10例2变式)把x一1因式分解的结果为（ A.(x2-1)(x2+1) B.(x+1)2(x-1)2 C.(x-1)(x+1)(x2+1)D.(x-1)(x+1)3 6.(教材P10例4变式)在实数范围内分解因式：x4一4= 知识点3先提公因式后运用平方差公式因式分解 7.(2024一2025·岳阳期中)多项式9x2-9因式分解的结 果是 ( A.(3x+3)(3x-3) B.9(x2-1) C.9x(x-1) D.9(x+1)(x-1) 8.因式分解： (1)3ax2-3ay2; (2)a2(x-y)+16(y-x). 能力提升 >>》整合运用 9.若多项式a十b2十M可以运用平方差公式 分解因式，则M可以是 () A.2cb B.-2ab C.362 D.-562 10.(教材P18复习题T7变式)(2024一2025· 娄底期未)小明是一位密码翻译爱好者，在 他的密码手册中，有这样一条信息：a一b, x-y,x+y,a十b,x2-y2,a2-b分别对应 下列六个字：底、爱、我、娄、丽、美，现在他 将(x2-y2)a2-(x2-y2)b2因式分解，结果 呈现的密码信息可能是 ( A.我爱美 B.娄底美 C.我爱娄底 D.娄底美丽 11.(1)若a+b=2,a一b=1,则a2-b2的值为 (2)已知a-b=5,则a2-b2-10b的值为 12.因式分解： (1)9a(x-y)+4b2(y-x); (2)(a2-9b2)十(3b-a); (3)3m4-48. 13.如图，在一块边长为acm的正方形纸板四 角各剪去一个边长为bcm(b<号)的小正 方形.当a=13.2,b=3.4时，利用因式分解 求剩余部分的面积. b cm acm 【思维拓展 >◆◆强化素养 14.新定义新趋势如果一个正整数能表示为两 个连续偶数的平方差，那么称这个正整数 为“神秘数”.如：4=22一02,12=42一22， 20=62一42，因此4,12,20这三个数都是 “神秘数”. (1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？ 请说明理由 (2)设两个连续偶数为2k十2和2k(其中k 取非负整数)，由这两个连续偶数构造的 “神秘数”是4的倍数吗？请说明理由. 第1章因式分解7 第2课时 ·名师导学 预习先知 同新知梳理 把完全平方公式(x士y)2=x2士 2xy十y2从右到左使用，即 ,就可以把某些符合条件 的多项式因式分解 ☑例题引路 【例1】把下列各式因式分解： (1)a2+10a+25; (2)m2n-12mn2+36n3; (3)-x2+2xy-y2. 【学生解答】 趔易错典例 【例2】因式分解：(a2-4)2+6(a2-4)+9. 【易错剖析】一些多项式因式分解时需 要综合运用提公因式法、平方差公式和 完全平方公式进行多步分解，直到每一 个因式都不能分解为止， 【学生解答】 8数学八年级上册(X) 用完全平方公式因式分解 基础过关 逐点击破 知识点1直接运用完全平方公式因式分解 1.已知x2一2x十k可以用完全平方公式进行因式分解，则 及的值为 ( A.4 B.-4 C.1 D.-1 2.多项式y2+6y十9因式分解的结果是 A.y(y+6)+9 B.(y+3) C.(y-3)2 D.(y+3)(y-3) 3.因式分解： (1)x2+8.x+16= (2)9x2-12x+4= (3)a(a+2)+1= .1 (4)m2-mn+4n2= 知识点2先提公因式后运用完全平方公式因式分解 4.因式分解： (1)(2024·呼伦贝尔中考)a+2ab+ab2= (2)(2024一2025·永州冷水滩区期末)-3x2+6x-3 5.因式分解： (1)-y3+6xy2-9x2y; (2)4x4+8x3y2+4x2y4. 知识点3综合运用平方差公式和完全平方公式因式分解 6.多项式x2一4与多项式x2一4x十4的相同因式是() A.x2+4B.x2-4 C.x十2 D.x-2 7.(教材P12例7变式)把多项式16m一8m2+1因式分解. 口能力提升 >>》整合运用 8.计算2302一60×230+302的结果是( A.200 B.28900C.40000D.67600 9.数形结合新理念利用1个aXa的正方形、1 个b×b的正方形和2个a×b的长方形可拼 成一个正方形（如图所示），从而可得到因式 分解的公式为 A.(a+b)(a-b)=a2-b2 B.a2+b2=(a+b)2 C.a2-62=(a+b)(a+b) D.a2+b2+2ab=(a+b)2 10.(2024·广西中考)如果a十b=3,ab=1,那 么a3b+2a2b2十ab3的值为 ( A.0 B.1 C.4 D.9 【变式题】若a2+2ab+b-c2=10,a十b+c= 5,则a十b-c的值是 () A.2 B.5 C.20 D.9 11.(2024一2025·衡阳期中)已知a≠c,若M= a2-ac,N=ac-c2,则M与N的大小关系 式是 A.MN B.M=N C.M<N D.不能确定 12.把下列各式因式分解： (1)2x(x2+1)2-8x3; (2)(a2-2a)2+2(a2-2a)+1. 13.已知x2十y2一4x+6y+13=0,求多项式 x2-6xy+9y2的值. 口思维拓展 ◆>◆强化素养 14.阅读理解新趋势某同学对多项式(a2一4a十 2)(a2一4a+6)+4进行因式分解的过程如下： 解：设a2-4a=y. 原式=(y+2)(y+6)+4 =y2+8y+16 =(y十4)2 =(a2-4a+4)2. 解答下列问题： (1)该同学因式分解的结果是否彻底？ .（填“彻底”或“不彻底”) (2)若不彻底，请直接写出因式分解的最后 结果 (3)请你模仿以上方法尝试对多项式(x2 2x)(x2一2x十2)+1进行因式分解. 提示 请完成基本功专练（一) 第1章因式分解9