第3章 图形的相似 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

第3章综合评价 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 華 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 题号 3 5 6 8 9 10 默 答案 1.下列各组图形中，是相似图形的是 0○6品女 B 宽2.下列四组线段中，是成比例线段的是 批 A.4 cm,1 cm,3 cm,8 cm B.3 cm,4 cm,5 cm,6 cm C.4 cm,8 cm,3 cm,5 cm D.15 cm,5 cm,6 cm,2 cm 3.如图，4//，瓷-号，DF=24,则EF的长为 A.8 B.9 C.12 D.15 梨 A D/ B C (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，△ABC△DCA,∠B=33°，∠D=117°，则∠BAD的度 数是 ( ) A.150° B.147° C.135° D.120° 5.如图，在四边形ABCD中，已知∠D=∠BAC,补充下列条件 后，仍不能判定△ADCp△BAC的是 ( A.CA平分∠BCD B.∠DAC=∠ABC C.AC2=BC·CD 批 n船是 6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OD=2AD. 若BC=6,则EF的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 D 缩小的 实像 物体“焦点F 焦点F G B (第6题图) (第7题图) 13 7.凸透镜成像的原理示意图如图所示，且AD∥1∥BC,光屏上显 示的缩小的实像高CG=8cm.若物体AH到焦点F1的距离 HF1与焦点F1到凸透镜中心线BD的距离OF1之比为5：4， 则物体的高AH为 A.10 cm B.8 cm C.12 cm D.9 cm 8.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC边上的点，DE∥BC, BE与CD相交于点F.若AD:BD=3:2,DF=2,则CF的 长为 ( ) A.3 B号 C.3 D.4 B (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点， AE⊥EF,连接AF.若CF=2,则AF的长是 ( A.6 B.8 C.10 D.12 10.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以点A为圆心，AB长为半 径作弧，交AC于点D,连接BD,再分别以点B,D为圆心，大 于BD的长为半径作弧，两弧交于点P,作射线AP,交BC 于点E,连接DE,则下列结论正确的是 ( A.DE垂直平分AC B.△ABE∽△CBA C.BD2=BC·BE D.CE·AB=DE·AC 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分 11.已知a:b=57,则(a+b):b= 12.已知△ABC∽△DEF,对应高线之比为2：3.若△ABC的周 长为40，则△DEF的周长为 13.某品牌汽车为了打造更加精美的外观，特将汽车倒车镜设计 在整个车身黄金分割点的位置.如图，若车头与倒车镜的水平 距离为1.58m,则该车车身总长约为 m.（结果精确到 0.01m) 11.58m (第13题图) (第14题图) (第15题图) 14.如图，在□ABCD中，E是CD上的点，DE：CE=3:2,连接 AE,交BD于点FP,则票的值是 15.如图，在△ABC中，D是AB上一点，∠A=∠BCD,S△4DC: SAB0c=5:4,CD=4,则AC的长是 。 14 16.如图，△ABC与△A'B'C'是位似图形，点O是它们的位似中心， 且BC=2BC'.若点A的坐标是(4,2)，则OA'的长是 (第16题图) (第17题图) (第18题图) 17.我国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中 都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停， 切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如 下：如图，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南 门D直行8里到宝塔A处（即AD=8里，AD⊥CD),出西门 E直行2里到B处（即BE=2里，BE⊥CE),此时视线恰好经 过城墙角C看见宝塔A(即A,C,B三点共线)，则正方形城池 的边长是多少里？根据以上信息，算出这座正方形城池的边 长是 里 18.如图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=6,延长AB至点D, 使得BD=AB,P为动点，且BP=CP,连接DP,则DP长 的最小值为 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤， 19.(6分)如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∠A=80°， ∠B=75°，∠C=125°，求x的值和∠D1的度数. 20.(6分)如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分 别为A(0,1),B(2,2),C(3,1),已知点A1的坐标为(0,3). (1)画出△ABC以原点O为位似中心的位似图形△A1B1C1, 并写出点B,C的对应点B1,C1的坐标； (2)△A1B1C1与△ABC的周长比为 -15 21.(8分)如图，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,点B,F,D 在同一条直线上，AB=10,CD=15. 1)求F的值： (2)求EF的长. 22.(8分)如图，在菱形ABCD中，E为BC边上一点，连接AE, DE,∠AED=∠B. (1)求证：△ABEC∽△DEA; (2)若AE=4,AB=6,求△ABE与△DEA的面积比. 23.(9分)如图，△ABC和△AED的边AB,DE交于点F,点D 在BC上，AD平分∠BAC,AF平分∠EAD,能A把 (1)求证：△AEDp△ABC; (2)若BD=3,BF=2,求AB的长. —16 24.(9分)如图，小斌想用学过的知识测算河的宽度EF.在河对 岸有一棵高4m的树GF,树GF在河里的倒影为HF,GF= HF,小斌在岸边调整自己的位置，当站在点B处时恰好看到 岸边点C和倒影顶点H在一条直线上，点C到水面EF的距 离CE=0.8m.已知小斌的身高AB=1.6m,BC=2.4m,视 线AH与水面EF的交点为D.请根据以上测量方法及数据， 求河的宽度EF. 25.(10分)如图，AB∥CD,AC与BD交于点E,且∠ACB=90°， AB=6√5，BC=6,CE=3. (1)求CD的长； (2)求证：△CDE∽△BDC. 17 26.(10分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB=2CD,E是 AB的中点，F是边BC上的动点，EF与BD相交于点M,连 接DE. (1)求证：△EDM∽△FBM. (2)若F是BC的中点，BD=12,求BM的长. (3)若AD=BC,BD平分∠ABC,P是线段BD上的动点，是 否存在点P,使DP·BP=BF·CD?若存在，求∠CPF 的度数；若不存在，请说明理由. —1818.-21【解析】把x=m代入方程x2+2x十n-3=0,得m2+2m十n一3 =0.n=-m2-2m+3.∴m-n=m-（-m-2m+3)=(m+2) 孕(m+》'≥0，(m十》-2≥-裂∴m-n的最小值是- 41 19.解：将二次项系数化为1，得x2-3x=子配方，得x-3x+(受)°=子 十（受）”，因此(x-多=4由此得x-多=2或x-是=一2，解得x 2x2=-2 20.解：.a=1,b=-2(m+2),c=m2+5,'.△=b2-4ac=[-2(m+2)]2 -4(m2+5)=16m-4.:方程没有实数根，∴16m-4<0,解得m< 21.解：她们的解法都不正确.正确解答如下：移项，得3(x一3)一(x一3)2 =0.把方程左边因式分解，得(x一3)[3一(x一3)]=0，即(x一3)(6一x)= 0.由此得x-3=0或6-x=0,解得x1=3,x2=6. 22.解：(1)设平均每天植树棵数的增长率为x.根据题意，得25(1+x)2= 49,解得x1=0.4=40%,x2=一2.4（不合题意，舍去）.答：平均每天植树棵 数的增长率为40%.(2)25+25×(1+40%)十49=109（棵）.答：此次活动 三个年级种植树苗的总棵数为109. 23.解：(1)当m=5时，原方程为x2-4x一2×5+5=0.整理，得x2一4x一 5=0,解得x1=5,x2=-1.(2),方程x2-4x-2m十5=0有两个不相等 的实数根x1,x2,∴.x1x2=-2m十5，△=(-4)2-4×1×(-2m+5)>0. m>分>0，-2m十5>0，解得m<多m的取值范围是2< 24.(1)证明：由题意，得△=[-(k+3)]-4×1×3k=(k-3)2≥0，∴.无论 k取何值，方程总有实数根.(2)解：设直角三角形的两条直角边的长分别为 a,b,则a十b=k+3>0,ab=3k>0,.k>0.由题意，得a2+b2=52,∴.(a+ b)2-2ab=25..(k+3)2-2X3k=25,解得k=土4..k>0,∴.k=4. 25.解：(1)24912(2)设每件衬衫应降价x元.由题意，得(20+2x)(40 一x)=1050.整理，得x2一30x十125=0，解得x1=5,x2=25.,要尽快减 少库存，x=25.答：每件衬衫应降价25元.（3)设每件衬衫降价y元.由 题意，得(20+2y)(40-y)=1500.整理，得y2一30y+350=0.,△=b2 4ac=(-30)2-4×1×350=-500<0,.此方程没有实数根.∴.不能通过 降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元. 26.解：(1)2t(5-t)(2)在Rt△PBQ中，由勾股定理，得BP2+BQ= PQ,(5-t)2+(2t)2=52,解得t=0(不合题意，舍去)，t2=2.∴.当t=2 时，PQ的长为5cm.(3)存在.由题意，得矩形ABCD的面积为5×6= 30(cm).,五边形APQCD的面积为26cm,∴.△PBQ的面积为30-26 =4(cm).心号×(5-0×2=4，解得4=4（不合题意，舍去），6=1.当 t=1时，五边形APQCD的面积为26cm. 第3章综合评价 1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.A8.B9.C10.D11.12:7 12.60134.1414.号15.616517.8 —37 18.号【解析】如图，连接AP,与BC交于点E.:AB=AC=10,BP= CP,点P在BC的垂直平分线上.∴BE=号BC=3,BCLAP.当DP LAP时，DP的长最短.BE∥DP.∴△AEBO△APD.8=BS. nD=AB=5AD=AB+BD=15∴8-品DP-号DP长 的最小值为号· A B D (第18题图) (第20题图) 19.解：.∠A=80°，∠B=75°，∠C=125°，.∠D=360°-∠A-∠B- ∠C=80°.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∴.∠D1=∠D=80°， 品盘音-是解得=10 20.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.点B1,C1的坐标分别为B1(6,6), C1(9,3).(2)3:1 21.解，I:AB/CD,△ABEn△DCE.8器-部-号号CD/ Er,器器-景2膘-号部-景：CD∥E△BE △BCD,器-部-号EF-号cD-6 22.(1)证明：.四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD.∴.∠AEB=∠DAE. :∠B=∠AED,∴.△ABE∽△DEA.(2)解：：四边形ABCD是菱形， AD-A=6由阳△ABEADEA.3器-(S-(信}'-寺 23.(1)证明：，AD平分∠BAC,AF平分∠EAD,.∠BAC=2∠BAD, ∠EAD=2∠BAD.∠BAC=∠EAD.又：AS=AC△AEDO △ABC.(2)解：由(1)知△AED∽△ABC,∴.∠E=∠B.∠EFA= ∠BFD,∴.∠EAB=∠EDB.,∠EAB=∠BAD,∴.∠EDB=∠BAD.又 ∠B=∠B△BDr△BAD.器部脚是-子：AB=号 24.解：由题意，得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，∴.△ABCO △CED.2器即9-能DE=1.2mCE/FH,△CED ∽△HD:0-器脚点s-P5DF=6mE=DE+DF=2m 答：河的宽度EF为7.2m. 25.(1)解：.∠ACB=90°，AB=6√5，BC=6,∴.AC=√AB2-BC=12. CE=3,∴AE=AC-CE=9.:AB∥CD,△CDE∽△ABE.R A尼，即2-是·∴CD=25.2)证明：BC=6,CE=3,AC=12,是 —38— =-÷=股又：∠BCE=∠ACB=80,△En △ACB..∠CBE=∠A.AB∥CD,∴.∠A=∠DCE.∴.∠DCE= ∠CBE.又'∠D=∠D,∴.△CDEp△BDC. 26.(1)证明：E是AB的中点，∴.AB=2BE.AB=2CD,.CD=BE. 又，AB∥CD,∴.四边形BCDE是平行四边形.∴.DE∥BC..△EDM∽ △FBM.(2)解：F是BC的中点，∴.BC=2BF.由(1)知四边形BCDE是 平行因边形，DE=BC=2BR,由I知△EDMO△FBM别器 2.BM=号BD=号×12=4.(3)解：存在.如 图，，AB∥CD,∴.∠CDB=∠ABD..BD平分 ∠ABC,∴.∠CBD=∠ABD..∠CDB= E ∠CBD.CD=BC.四边形BCDE是菱形..DE=BE=AE..AD= BC,∴.AD=DE=AE.∴.△ADE是等边三角形.∴.∠AED=60°.，AB∥ CD,∴∠CDE=∠AED=60°.·∠BDC=2∠CDE=30.:DP·BP- BF.CD,BS-0.又：∠CDB=∠CBD,△PDCD△FBP ∴∠PCD=∠BPF.'∠BPC=∠BDC+∠PCD=∠CPF+∠BPF, .∠CPF=∠BDC=30°. 期中综合评价 1.D2.B3.D4.A5.A6.B7.C8.D9.B10.A11.0 12.213.k≥-3且k≠114.1415.x>0.216.417.6 18.2【解析】点A,B在反比例函数y2=三的图象上，∴SAc=S△D -是.”点P在反比例函数：一兰的图象上，k=S是形m=S6十 Sam十S-12.∴-是“点E在反比例函数-兰的图象上， BSA=6.S答4，ACLz轴，EFLz轴，AC/EF.△A0C⑦ △0R器-2 19.解：移项，得x(x十3)-7(x+3)=0.把方程左边因式分解，得(x十3)(x 一7)=0.由此得x十3=0或x-7=0,解得x1=一3，x2=7. 20.解：(1)由题意，得+3<0，解得<-3.(2)：反比例函数y=+3的 图象位于第二、四象限，∴.当x<0时，y随x的增大而增大.一4<一1， ∴.y1<y2 21.解：(1)如图，△A1BC即为所求.(2)如图，点D即为所求.（画法不唯一） 22.解：(1)由题意，得△=b2-4ac=(2√2)2-4×1×m>0,解得m<2. ∴.实数m的最大整数值为1.(2)当m=1时，原方程为x2十2√2x十1=0. —39