第2章 一元二次方程 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

5.2统计的简单应用 第1课时用样本的“率”去估计总体相应的“率” 名师导学 【例1】B 【例2】解：(1)50(2)16%(3)该校调查报告的等级为E的约有1000× 品-40c份>. 1.C2.D3.8800 4.解：(1)100(2)愿意去A地参加夏令营活动的学生约有3000×30 100 900(名). 5.B6.2000 7.解：(1)50(2)该小区1000个家庭中月用水量a≤10的家庭约有 8+20×1000=560(个). 50 8.解：(1)100(2)“3项”的学生人数为100一3一30-42一10=15.补全条 形统计图如图所示.(3)36°(4)该校5月份参与家务劳动的项目数量达 到3项及以上的学生人数约为1200×15十10=30. 100 ↑人数 45 40 35 10 G 今 项目数量 0项1项2项3项4项及以上 第2课时对事物发展趋势做出判断和预测 1.D2.B 3.解：平均每天销售A,B,C三种商品的频数之比为20：30：50=2：3： 2 3 5,心应购进A商品2+3+5×1000=200（件），B商品2+3+5X1000= 30(件)，C商品2+3+5×100-50（件）. 5 4.甲满意甲景点的人数多于乙景点 5.解：(1)如图所示.(2)如图所示.40（合理即可） 利用公共自行车出行人数/万人 50 40 30 20 10 123456公共自行车投 放数量/万辆 第5章章末复习 考点整合 1.302.6.3 3.解：号×(36+29+27+40十43+72+33)=40(km),.小辰家的小轿车 每月要行驶的路程约为40×30=1200(km). 4.A5.甲6.D7.1608.120 -34 9.解：(1)20090（2)扇形统计图中“非常了解”等级对应扇形圆心角的 度数为烈×360°-90：(3)这些学生中“不太了解”潮南5A级景区文化知 识的人数约为1200×20=120. 200 10.B 11.解：（1)(2)如图所示 人均可支配收入/（万元/人） 201920202021202220232024年份 综合评价 第1章综合评价 1.B2.A3.B4.D5.C6.D7.B8.C9.B10.B11.-1 12.y=4 13.414.1215.>16.<17.(4,2) 18.号【解析】连接BC“点A,B关于原点对称，0为AB的中点.Q 为AC的中点OQ为△ABC的中位线.OQ=号BC.·当BC长最小 时，OQ长有最小值.当BC⊥x轴时，BC长最小，此时BC=2OQ=4,即点 B的纵坐标为-4.将y=-4代入y=6,得-4=6z,解得z=一号.∴点 B的坐标为(-号，-4：把B(-号一4)代入y一冬得=一号×（一） 8 3 19.解：k=一4<0，∴.反比例函数的图象在第四象限内，y随x的增大而 增大当x=4时y=-1:当x=8时y=一分当4<<8时的取值 范围是-1<y<一号 20.解：(1)把A(1,2)代入y=是，得2=车，解得及=2∴反比例函数的表 达式为y-是.(2)把B(2,6)代人y是得6=号-1. 21.解：(1)把P(2,m)代入y=2x,得m=2×2=4.∴.点P的坐标为(2,4). 把P2,4)代入y一名，得4=合解得及=8.反比例函数的表达式为y 至(2)两个函数图象的另一个交点的坐标为（一2，一40。 22.解：(1)图象的另一支在第三象限..图象在第一、三象限，∴.5一2m> 0,解得m<号.（2)6<.理由如下：5一2m>0,在每个象限内y随x 的增大而诚小.：m<号m-4<m-3<0.∴<be, -35 23.解：1)把A(-2,3)代入y-经得3=2解得=-6反比例函 数的表达式为y=一把x=6代人y=一2，得y=-1“点B的坐标 -2k1+b=3, 为(6，-1).把A(-2,3),B(6,-1)代入y=1x+b,得 6+6-,解得 1 ,=-2':.一次函数的表达式为y=-2x十2.(2)心-2或0心x<6. 1 b=2. 24.(1)证明：由题意，得E(冬，4)，F(-4,-冬)∴DE=-冬，BF= -冬.DE=BF.(2)解：由(1)知DE=BF=-冬∴CE=CF=4+冬， :Sag=SEw-S6m-SAe-Sa8e=6,4-2(4+是)》'-司 ×4×(-冬)×2=6，解得k=士8.：<0，k=-8.“反比例函数的表 达式为y=-8」 25.解：(1)4(2)设在水温下降的过程中，y关于x的函数表达式为y= 冬把(4,10)代人，得10-冬，解得点=40.∴在水温下降的过程中，y关 于x的函数表达式为y-4”(3)在加热过程中，易得y关于x的函数表 达式为y=20x十20.当y=40时，20x十20=40，解得x=1.在降温过程中， 当y=40时，400=40，解得x=10.:10-1=9(min),水温不低于40℃ x 的时间有9min. 26,解：1124y=4(0≤x≤9)(2)如图所示.由图象可知，当0 ≤≤9时，y随x的增大而减小（答案不唯一）.(3)一次函数)=一号x十 8(x≥0)的图象如图所示.由图象可知，当y≤y时x的取值范围为0≤x≤3. y/A 0123456789x/2 第2章综合评价 1.B2.B3.D4.A5.B6.B7.A8.B9.B 10.C【解析】.x2-x-1=0,.x2=x+1..x3=x·x2=x(x+1)=x2 十x=x+1+x=2x+1,x4=x·x3=x(2x+1)=2x2+x=2(x+1)+x= 3x十2..x4-2x3+3x=3x+2-2(2x十1)十3x=2x.解方程x2-x-1= 0,得=+515x>0,x三1+25x2x+3z=2× 2,2x2= 1+5=1+5.故选C. 2 11.x1=3,x2=912.x2-2x=0(答案不唯一)13.6014.n≥-1 15.016.817.-1 -36 18.-21【解析】把x=m代入方程x2+2x十n-3=0,得m2+2m十n一3 =0.n=-m2-2m+3.∴m-n=m-（-m-2m+3)=(m+2) 孕(m+》'≥0，(m十》-2≥-裂∴m-n的最小值是- 41 19.解：将二次项系数化为1，得x2-3x=子配方，得x-3x+(受)°=子 十（受）”，因此(x-多=4由此得x-多=2或x-是=一2，解得x 2x2=-2 20.解：.a=1,b=-2(m+2),c=m2+5,'.△=b2-4ac=[-2(m+2)]2 -4(m2+5)=16m-4.:方程没有实数根，∴16m-4<0,解得m< 21.解：她们的解法都不正确.正确解答如下：移项，得3(x一3)一(x一3)2 =0.把方程左边因式分解，得(x一3)[3一(x一3)]=0，即(x一3)(6一x)= 0.由此得x-3=0或6-x=0,解得x1=3,x2=6. 22.解：(1)设平均每天植树棵数的增长率为x.根据题意，得25(1+x)2= 49,解得x1=0.4=40%,x2=一2.4（不合题意，舍去）.答：平均每天植树棵 数的增长率为40%.(2)25+25×(1+40%)十49=109（棵）.答：此次活动 三个年级种植树苗的总棵数为109. 23.解：(1)当m=5时，原方程为x2-4x一2×5+5=0.整理，得x2一4x一 5=0,解得x1=5,x2=-1.(2),方程x2-4x-2m十5=0有两个不相等 的实数根x1,x2,∴.x1x2=-2m十5，△=(-4)2-4×1×(-2m+5)>0. m>分>0，-2m十5>0，解得m<多m的取值范围是2< 24.(1)证明：由题意，得△=[-(k+3)]-4×1×3k=(k-3)2≥0，∴.无论 k取何值，方程总有实数根.(2)解：设直角三角形的两条直角边的长分别为 a,b,则a十b=k+3>0,ab=3k>0,.k>0.由题意，得a2+b2=52,∴.(a+ b)2-2ab=25..(k+3)2-2X3k=25,解得k=土4..k>0,∴.k=4. 25.解：(1)24912(2)设每件衬衫应降价x元.由题意，得(20+2x)(40 一x)=1050.整理，得x2一30x十125=0，解得x1=5,x2=25.,要尽快减 少库存，x=25.答：每件衬衫应降价25元.（3)设每件衬衫降价y元.由 题意，得(20+2y)(40-y)=1500.整理，得y2一30y+350=0.,△=b2 4ac=(-30)2-4×1×350=-500<0,.此方程没有实数根.∴.不能通过 降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元. 26.解：(1)2t(5-t)(2)在Rt△PBQ中，由勾股定理，得BP2+BQ= PQ,(5-t)2+(2t)2=52,解得t=0(不合题意，舍去)，t2=2.∴.当t=2 时，PQ的长为5cm.(3)存在.由题意，得矩形ABCD的面积为5×6= 30(cm).,五边形APQCD的面积为26cm,∴.△PBQ的面积为30-26 =4(cm).心号×(5-0×2=4，解得4=4（不合题意，舍去），6=1.当 t=1时，五边形APQCD的面积为26cm. 第3章综合评价 1.B2.D3.B4.B5.C6.C7.A8.B9.C10.D11.12:7 12.60134.1414.号15.616517.8 —37 18.号【解析】如图，连接AP,与BC交于点E.:AB=AC=10,BP= CP,点P在BC的垂直平分线上.∴BE=号BC=3,BCLAP.当DP LAP时，DP的长最短.BE∥DP.∴△AEBO△APD.8=BS. nD=AB=5AD=AB+BD=15∴8-品DP-号DP长 的最小值为号· A B D (第18题图) (第20题图) 19.解：.∠A=80°，∠B=75°，∠C=125°，.∠D=360°-∠A-∠B- ∠C=80°.四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1,∴.∠D1=∠D=80°， 品盘音-是解得=10 20.解：(1)如图，△A1B1C1即为所求.点B1,C1的坐标分别为B1(6,6), C1(9,3).(2)3:1 21.解，I:AB/CD,△ABEn△DCE.8器-部-号号CD/ Er,器器-景2膘-号部-景：CD∥E△BE △BCD,器-部-号EF-号cD-6 22.(1)证明：.四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD.∴.∠AEB=∠DAE. :∠B=∠AED,∴.△ABE∽△DEA.(2)解：：四边形ABCD是菱形， AD-A=6由阳△ABEADEA.3器-(S-(信}'-寺 23.(1)证明：，AD平分∠BAC,AF平分∠EAD,.∠BAC=2∠BAD, ∠EAD=2∠BAD.∠BAC=∠EAD.又：AS=AC△AEDO △ABC.(2)解：由(1)知△AED∽△ABC,∴.∠E=∠B.∠EFA= ∠BFD,∴.∠EAB=∠EDB.,∠EAB=∠BAD,∴.∠EDB=∠BAD.又 ∠B=∠B△BDr△BAD.器部脚是-子：AB=号 24.解：由题意，得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，∴.△ABCO △CED.2器即9-能DE=1.2mCE/FH,△CED ∽△HD:0-器脚点s-P5DF=6mE=DE+DF=2m 答：河的宽度EF为7.2m. 25.(1)解：.∠ACB=90°，AB=6√5，BC=6,∴.AC=√AB2-BC=12. CE=3,∴AE=AC-CE=9.:AB∥CD,△CDE∽△ABE.R A尼，即2-是·∴CD=25.2)证明：BC=6,CE=3,AC=12,是 —38— =-÷=股又：∠BCE=∠ACB=80,△En △ACB..∠CBE=∠A.AB∥CD,∴.∠A=∠DCE.∴.∠DCE= ∠CBE.又'∠D=∠D,∴.△CDEp△BDC. 26.(1)证明：E是AB的中点，∴.AB=2BE.AB=2CD,.CD=BE. 又，AB∥CD,∴.四边形BCDE是平行四边形.∴.DE∥BC..△EDM∽ △FBM.(2)解：F是BC的中点，∴.BC=2BF.由(1)知四边形BCDE是 平行因边形，DE=BC=2BR,由I知△EDMO△FBM别器 2.BM=号BD=号×12=4.(3)解：存在.如 图，，AB∥CD,∴.∠CDB=∠ABD..BD平分 ∠ABC,∴.∠CBD=∠ABD..∠CDB= E ∠CBD.CD=BC.四边形BCDE是菱形..DE=BE=AE..AD= BC,∴.AD=DE=AE.∴.△ADE是等边三角形.∴.∠AED=60°.，AB∥ CD,∴∠CDE=∠AED=60°.·∠BDC=2∠CDE=30.:DP·BP- BF.CD,BS-0.又：∠CDB=∠CBD,△PDCD△FBP ∴∠PCD=∠BPF.'∠BPC=∠BDC+∠PCD=∠CPF+∠BPF, .∠CPF=∠BDC=30°. 期中综合评价 1.D2.B3.D4.A5.A6.B7.C8.D9.B10.A11.0 12.213.k≥-3且k≠114.1415.x>0.216.417.6 18.2【解析】点A,B在反比例函数y2=三的图象上，∴SAc=S△D -是.”点P在反比例函数：一兰的图象上，k=S是形m=S6十 Sam十S-12.∴-是“点E在反比例函数-兰的图象上， BSA=6.S答4，ACLz轴，EFLz轴，AC/EF.△A0C⑦ △0R器-2 19.解：移项，得x(x十3)-7(x+3)=0.把方程左边因式分解，得(x十3)(x 一7)=0.由此得x十3=0或x-7=0,解得x1=一3，x2=7. 20.解：(1)由题意，得+3<0，解得<-3.(2)：反比例函数y=+3的 图象位于第二、四象限，∴.当x<0时，y随x的增大而增大.一4<一1， ∴.y1<y2 21.解：(1)如图，△A1BC即为所求.(2)如图，点D即为所求.（画法不唯一） 22.解：(1)由题意，得△=b2-4ac=(2√2)2-4×1×m>0,解得m<2. ∴.实数m的最大整数值为1.(2)当m=1时，原方程为x2十2√2x十1=0. —39第2章综合评价 (时间：120分钟 满分：120分) 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 题号 2 6 1 10 新 答案 1.下列方程是一元二次方程的是 A.x2=x(x-1) B.x2-x=0 C.x2-y2=0 D.x2+1=0 82.把一元二次方程x(2x-1)=4x化成a.x2+bx十c=0的形式， 则a,b,c的值分别是 ( 批 A.1,4,1 B.2,-5,0 C.3,4,0 D.-2,-5,1 3.用配方法解下列方程，其中应在两边同时加上1的是( A.72-2x=5 B.2x2-4x=5 C.x2+4x=5 D.x2+2x=5 p 4.方程x2+√5x一2=0的根的情况是 ( A.有两个不相等的实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 5.下列一元二次方程最适合用因式分解法的是 ( A.(x-1)(x-2)=3 B.3(x-3)2=x2-9 C.x2+2x-1=0 D.x2+4x=2 6.若关于x的方程x2+5x+m=0的一个根为一2，则另一个 根为 A.-6 B.-3 C.3 D.6 总7.已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长是方程x2一13x+36=0 的两个实数根，则此菱形的面积是 ( 部 A.18 B.24 C.30 D.36 8.如图，用长为21m的栅栏围成一个面积为30m 的矩形花圃ABCD,为方便进出，在边AB上留 有一个宽1m的小门EF.设AD的长为xm,根 据题意可列方程为 EF B A.x.21,2z=30 B.x.21-2x+1=30 2 C.. 21-2x-1=30 2 D.x.21-x+1=30 2 9.若关于x的一元二次方程a.x2十bx十5=0(a≠0)有一个根为 2025,则方程a(x十1)2+b(x十1)=一5必有一个根为() A.2025 B.2024 C.2023 D.2022 10.将关于x的一元二次方程x2一x十q=0变形为x2=px一q, 就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的 目的，又如x3=x·x2=x(px一q)=…,我们将这种方法称为 “降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.已知 x2-x一1=0，且x>0,则x4一2x3十3x的值为 ( ) A.1-5 B.3-5 C.1+5 D.3+√5 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分， 11.方程(x一3)(x一9)=0的根为 12.写出一个一元二次方程，使它有一个根为2，则该方程可以为 13.用公式法解方程x2-一2x=2x十11时，根的判别式的值为 14.若关于x的一元二次方程(x一2)2=n十1有实数根，则n的 取值范围是 15.若关于x的一元二次方程(k一1)x2+6x十2一k=0的一个 根是0，则的值是 16.一次聚会中，每两个参加聚会的人互送一件不同的小礼物.经 统计，一共送出56件小礼物，则参加这次聚会的人数为 17.若关于x的一元二次方程x2十(1一a)x十a2=0的两个实数 根互为倒数，则a的值为 18.已知x=m是一元二次方程x2+2x十n一3=0的一个根，则 m一n的最小值是 三、解答题：本题共8小题，共66分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤， 19.（6分)解方程：4x2一12x=7. 一8 20.(6分)已知关于x的一元二次方程x2-2(m+2)x+m2+5= 0没有实数根，求m的取值范围. 21.(8分)小敏与小霞两名同学解方程3(x一3)=(x一3)2的过 程如下： 小敏： 小霞： 解：两边同除以(x一3)， 解：移项，得3(x一3)一(x一3)2=0. 得3=x-3, 因式分解，得 解得x=6. (x-3)(3-x-3)=0. ∴.x-3=0或3-x-3=0, 解得x1=3,x2=0. 你认为她们的解法是否正确？若不正确，请写出正确的解答 过程. 9 22.(8分)某中学开展以“为校园增添一点绿色”为主题的植树活 动，组织七年级、八年级、九年级学生分别在12日、13日、14日 进行植树活动.七年级学生在12日种植了25棵树苗，九年级 学生在14日种植了49棵树苗.已知每天植树棵数的增长率 相同. (1)求平均每天植树棵数的增长率； (2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数. 23.(9分)已知关于x的一元二次方程x2一4x一2m十5=0有两 个不相等的实数根x1,x2. (1)若m=5,求此时方程的解； (2)当x1x2>0时，求m的取值范围. -10 24.(9分)已知关于x的方程x2-(k十3)x+3k=0. (1)求证：无论k取何值，方程总有实数根； (2)若斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长分别是方 程的两根，求k的值 25.（10分)某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈 利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施.假 设在一定范围内，每件衬衫的价格每降价1元，商场平均每天 可多售出2件， (1)若某天该衬衫每件降价2元，则该衬衫的销量为 件，当天可获利 元； (2)如果商场销售这批衬衫要保证每天盈利1050元，同时尽 快减少库存，那么每件衬衫应降价多少元？ (3)能否通过降价使商场销售这批衬衫每天盈利1500元？ 一11 26.(10分)如图，在矩形ABCD中，AB=5cm,BC=6cm,点P 从点A开始沿边AB向终点B以1cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿边BC向终点C以2cm/s的速度移动.已知点 P,Q同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动.设运动 时间为ts(t>0). (1)BQ的长为 cm,BP的长为 cm.(用含t 的代数式表示) (2)当t为何值时，PQ的长为5cm? (3)是否存在t的值，使得五边形APQCD的面积为26cm? 若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由， B→Q 12