专题06 一元二次方程计算题分类训练（7种类型56道）（高效培优期末专项训练）九年级数学上学期湘教版

丽学科网·上好课 www zxxk com 专题06一元二次方程计算题乡 (7种类型56道) 考点归纳 考点01 直接开平方法 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05十字相乘法 考点06换元法 考点07可化为一元二次方程的分式方程 考点专练 考点01直接开平方法 1.用直接开平方法解方程： (1)(x+32-121=0; (2)3(2x-6)2=18 2.用直接开平方法解下列方程： (1)2(x-1)2=18 (2)3x+1)2-75=0. 用直接开平方法解下列方程： 3.(x+12-34=2. 4.xx+1=x+2. 5.用直接开平方法解下列方程： ax-2-}=0: (2x-3)2=(5-2x)2. 6.用直接开平方法解下列方程： (1)(x+3)-2=0 1/6 上好每一堂课 类训练 丽学科网·上好课 www zx x k (2(x+1)2=(1-2x)2. 7.用直接开平方法解下列方程： 4+l-=0。 (2)(2x+1)2-9(x-3)2=0 8.用直接开平方法解方程： (1)5x2-8=0. (2)x-4)2=25. 考点02配方法 9.用直接开平方法解下列方程： (1)2x2+3=-2x2+2; (2)(x+3)(x-3)=7. 10.配方法解方程：2x2-x-1=0 11.用配方法解方程：2x2+5x+1=0。 12.用配方法解方程：2x2-3x-3=0. 13.解方程：2x2-7=5x（配方法). 14.解方程：2x2-4x-1=0(用配方法) 15.用配方法解方程：4x2-8x+1=0. 16.用配方法解方程：x2+2x-4=0; 考点03公式法 17.用配方法解方程：2x2-x-1=0. 18.用公式法解方程：-3y2+3y=-1. 19.用公式法解方程：x2+1=8x. 20.解方程：3x2-4x-6=0.（公式法) 21.解方程：y2-2y-4=0(公式法). 22.用公式法解方程x2+x-3=0 23.用公式法解方程：x2+2x-4=0. 24.解方程：x2+1=√6x(公式法)： 考点04因式分解法 25.用公式法解方程：x2+10x-25=0. 26.解方程：4x2=(x-3)(用因式分解法) 2/6 com 系一每丁 品学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 27.用因式分解法解方程：2(x-3)2=x-3. 28.3x(x-1=2-2x(因式分解法)， 29.用因式分解法解方程：4(x-3)=2x(x-3). 30.用因式分解法解方程：3xx-1)=2-2x 31.用因式分解法解方程：3xx-2)=42-x. 32.请用因式分解法解方程：x(x+1)-2(x+1)=0. 考点05十字相乘法 33.十字相乘法解方程：x2+5x+4=0; 34.解方程：2x2-3x+1=0(十字相乘法). 35.试用十字相乘法解下列方程：x2+3x-10=0. 36.用十字相乘法解下列一元二次方程： (1)x2-2x-3=0 (2)2x2-3x-2=0 37.用十字相乘法解方程： (1)x2-3x+2=0; (2)x2+5x-6=0; (3)3x2+5x-12=0. 38.解方程：3x2+10x-8=0.（用十字相乘法求解) 39.用十字相乘法解方程： (1)x2-4x-12=0 (2)x2+x-12=0 40.用十字相乘法解方程 (1)x2-x-90=0 (2）2x2+x-10=0 考点06换元法 41为解方程(x2-3)-7x2-3+6=0,我们可以将x2-3视为一个整体，然后设x2-3=t,则原方程化为 t2-7t+6=0,解此方程得t=1,t2=6.当t=1时，x2-3=1,x=±2.当t=6时，x2-3=6.x=±3..原 方程的解为x,=2,x=-2,x3=3,x4=-3.以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想. 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程 (1)请用上述方法解方程：x4-5x2+4=0. (2)已知实数x,y满足(2x2+2y2-2(2x2+2y2)-15=0,求x2+y2的值. 3/6 面学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 42.阅读下面的材料： 解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点， 它的解法通常采用换元法降次：设x2=y,那么x4=y2，于是原方程可变为y2-5y+4=0,解得y=1, y2=4.当乃=1时，x2=1,所以x=±1；当y2=4时，x2=4,所以x=±2；所以原方程有四个根：x=1 ,x2=-1,x3=2,x4=-2. 仿照上述换元法解下列方程 (1x2-1-5x2-1+4=0 2)x+1-6x+1=0. xx+1 (3)2x-5Vx+2=0 43.实数a,b满足(2a2+b2+1(2a2+b2-1=63,试求2a2+b2的值. 解：设2a2+b2=m. 原方程可化为(m+1)(m-1)=63,即m2=64,解得m=±8. 2a2+b2≥0，.2a2+b2=8. 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算 中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化.请根据以上阅 读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足(2x2+2y2+3(2x2+2y2-5)=-7,求x2+y2的值 44.问题背景： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想， 此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程x4-x2-6=0,可以将x看成一个整体，然后设 x2=y,则x4=y2,原方程化为y2-y-6=0,解得乃=3,2=-2，当y=3时，x2=3,所以x=V3, x2=-√5；当y=-2时，x2=-2,此方程没有实数根，所以原方程的根为：x=V5,x2=-5. 解决问题： (1)用适当的方法解下列方程： ①x4-9x2=0; ②(x2+3x-2x2+3x-8=0. (2)已知一元二次方程s4-4s2+2=0,4-42+2=0,求s4+4的值. 45.阅读材料，解答问题。 解方程：(4x-1)2-10(4x-1+24=0. 解：把4x-1视为一个整体，设4x-1=y, 4/6 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则原方程可化为y2-10y+24=0. 解得y1=6,y2=4. .4x-1=6或4x-1=4, 75 小6=46=4 4 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想. 请仿照材料解方程：（x2+2x-2x2+2x)-3=0. 46.阅读材料：解方程时，把某个式子看做整体，用新的未知数去代替它，使方程得到简化，这叫换元法， 先阅读下面的解题过程，再解后面的方程： 例：解方程2√-3=0 解：设√x=t(t之0)， .原方程可化为2t-3=0, 则 请利用前面的方法，解方程：x+2Vx-8=0. 47.解方程x4-5x2+4=0,这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x2=y,那么x4=y2,于是原方程可变为_①_， 解得y=1,y2=4. 当y=1时，x2=1,x=±1；当y=4时，x2=4,.x=±2； .原方程有四个根：x=1,x2=-1,x3=2,x4=-2. (1)①中填写的方程是一，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数 学的转化思想 (2)解方程(x2+x-4(x2+x-12=0. (3)解方程x2-3x=18 48.利用换元法解下列方程： (1)(x+2)2+6(x+2)-91=0; (2)x2-(1+25)x-3+√3=0： 考点07可化为一元二次方程的分式方程 如辨方：2之4 -=0 50.解方程：x-2-1 x-1x2-1-2 5/6 而学科网·上好课 www zxxk .com 上好每一堂课 51.解方程： 、+6.8 x-2x+2x2-4 52.解方程：1+2 8 x+1+x-2=x2-4 53.解分式方程：X-3+2=1 x2-x x-1 54.解方程：x+L+x+5.1 x2-x3-3x3x 55.解方程：L一4 +1 x-1x2+2x-3 56.解方程：4-1=1 x x-1 6/6 专题06 一元二次方程计算题分类训练 （7种类型56道） 考点01 直接开平方法 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 十字相乘法 考点06 换元法 考点07 可化为一元二次方程的分式方程 考点01 直接开平方法 1．用直接开平方法解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． 【详解】（1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 2．用直接开平方法解下列方程： (1) (2)． 【答案】(1)4， (2)4， 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先在两边同时除以2，得，再直接开平方法，即可作答． （2）先移项，在两边同时除以3，得，再直接开平方法，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴两边同时除以2，得， 则， ∴或， 解得4，． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得4， 用直接开平方法解下列方程： 3．． 4．． 【答案】3． 4． 【分析】本题考查了直接开平方法求解一元二次方程. 1.先把常数项移到右边，再直接开平方即可求解； 2.先把方程整理成一般式，再把常数项移到方程右边，直接开平方求解. 3．解：移项，得， 两边开平方，得， ，． 4．解：整理为一般式，得， 移项，得， 两边开平方，得， ，． 5．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键． （1）直接利用开平方解方程得出答案； （2）方程两边同时开平方，进而得出答案． 【详解】（1） ， 则， 解得：，； （2）． ， 解得：，． 6．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1)，． (2)， 【详解】解：（1）移项，得． 两边直接开平方，得， 解得，． （2）两边直接开平方，得， 即或， 解得，． 7．用直接开平方法解下列方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，熟练掌握一元二次方程的求解方法是解题关键． （1）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可； （2）先移项，然后利用直接开方的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： 整理，得， ， 解得． （2）解： 整理，得， ， 解得． 8．用直接开平方法解方程： (1)． (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】本题主要考查了用直接开平方法解一元二次方程，解题关键是将方程转化为或的形式，然后通过开平方求解即可． （1）先移项得，再将系数化为后得，直接开平方求解即可； （2）直接开平方求解即可． 【详解】（1）解：移项得， 方程两边都乘以得， 两边开平方，得. 故答案为：，． （2）解：两边开平方，得， 即或， 解得，． 故答案为：，． 考点02 配方法 9．用直接开平方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无实数根；（2），． 【分析】（1）先移项、合并同类项，可知该方程无解； （2）先去括号、移项、合并同类项，然后开平方即可. 【详解】（1）移项、合并同类项，得， 两边同除以4，得． 所以原方程没有实数根． （2）原方程可化为， 移项、合并同类项，得， 两边开平方，得． 所以，． 【点睛】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，主要考查学生的理解能力和计算能力，难度不是很大．其解法是先将一元二次方程整理成，然后系数化为1，再两边开平方即可. 10．配方法解方程： 【答案】， 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，灵活运用完全平方公式进行配方是解题的关键． 先把二次项系数化为1，然后把常数项移到方程右边，再给两边同时加上一次项系数一半的平方，最后利用开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 所以，． 11．用配方法解方程：． 【答案】 ， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．据此求解即可． 【详解】解：， 整理，得， 配方，得， ∴， ∴，． 12．用配方法解方程：． 【答案】 【分析】根据配方的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法求解方程的根，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 系数化为1，得 配方，得，即． 两边开平方，得． 解得． 13．解方程：（配方法）． 【答案】, 【分析】本题考查了用配方法解方程．首先移项，把常数项移到等号的右边，再将二次项系数化为1，然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可使左边变形成完全平方式，右边是常数，直接开方即可求解． 【详解】移项， 化系数为1，， 同时加上一次项系数一半的平方，， 即， ， 解得, ． 14．解方程：（用配方法） 【答案】， 【分析】本题主要考查利用配方法解一元二次方程的方法步骤，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决问题的关键．根据配方法解一元二次方程的方法步骤求解即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，． 15．用配方法解方程：． 【答案】, 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把常数项移到等号的右边；②把二次项的系数化为1；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解．据此解答即可． 【详解】解： 或 ∴，． 16．用配方法解方程：； 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加1，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式，两边同时开平方即可． 【详解】移项，得， 两边同时加上1，得， 即， ∴， 解得： 考点03 公式法 17．用配方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．先将二次项系数化为1，再通过移项、配方将方程转化为完全平方形式，最后开平方求解． 【详解】解：， ， ， ， ∴或， ∴，． 18．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法解一元二次方程即可，熟练掌握公式法是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 19．用公式法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键；先化为一元二次方程的一般形式，再计算出判别式，最后用公式法即可求解． 【详解】解：原方程化为：， ∵， ∴， ∴． 20．解方程：．（公式法） 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程， 先求出a，b，c，再求出，然后根据求根公式解答即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．解方程： (公式法)． 【答案】， 【分析】此题考查了一元二次方程的公式法，熟练掌握公式法是解本题的关键． 用公式法求出解即可． 【详解】解： ，， 故方程有两个不相等的实数根 即， 22．用公式法解方程． 【答案】， 【分析】本题考查了用公式法解一元二次方程．先找出a，b，c，求出的值，再代入求根公式求得答案即可． 【详解】 ∵，，， ∴， ∴． 即，． 23．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程-公式法，利用解一元二次方程-公式法进行计算，即可解答． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴，． 24．解方程： （公式法）； 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 先将原方程化为一般式，再求出并判断正负，然后利用求根公式求解． 【详解】解：原方程可化为 . ， ． 考点04 因式分解法 25．用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．先求出的值，再代入公式求出答案即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得：，． 26．解方程：（用因式分解法） 【答案】， 【分析】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握相应的运算法则，利用平方差公式进行因式分解计算即可． 【详解】解：， ， 或， ，． 27．用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，先移项，再运用因式分解法解方程，即可作答． 【详解】解： 即 解得， 28．（因式分解法）． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了数学转化思想． 先移项，再因式分解得，然后转化为或求解即可． 【详解】解：， ， ， 或， 解得． 29．用因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了运用因式分解法解方程，灵活运用因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 先移项，然后再运用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， ， ， ． 30．用因式分解法解方程： 【答案】 【分析】该题主要考查利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握提取公因式法分解因式是解题关键．先移项，然后利用因式分解法求解即可． 【详解】解：， 移项、整理得：， ， 或， 解得：． 31．用因式分解法解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，先移项得到，然后利用因式分解法解方程即可，熟练掌握因式分解法解一元二次方程的步骤是解决此题的关键． 【详解】解：， ， ， 或， 解得：． 32．请用因式分解法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．利用因式分解法求解，即可解题． 【详解】解： 则或， 解得，． 考点05 十字相乘法 33．十字相乘法解方程：； 【详解】 解： 或 ∴； 34．解方程：（十字相乘法）． 【详解】解：， ， 或， 所以，． 35．试用十字相乘法解下列方程： 【详解】 解： 或 ∴． 36．用十字相乘法解下列一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得． 37．用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 38．解方程：．（用十字相乘法求解） 【答案】， 【分析】利用十字相乘法解方程即可． 【详解】解：方程化为， ∴3x-2=0或x+4=0 解得：，． 【点睛】此题考查解一元二次方程的方法——十字相乘法，熟练运用解题方法是关键． 39．用十字相乘法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，主要考查学生的计算能力． （1）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：； ， ，， ，． （2）解： ， ，， ，． 40．用十字相乘法解方程 (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题考查了解一元二次方程因式分解法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．各方程利用十字相乘法分解，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【详解】（1）解：， 方程整理得：， 解得：，； （2）解：， 方程整理得：， 解得：，． 考点06 换元法 41.为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得．当时，．当时，原方程的解为．以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想． 根据以上阅读材料内容，解决下列问题，并写出解答过程． (1)请用上述方法解方程：． (2)已知实数满足，求的值． 【答案】(1)，，，； (2) 【分析】本题考查换元法解一元二次方程： （1）设，将原方程变形为，求出y值，进而利用直接开平方法解方程即可； （2）设，将原方程变形为，利用因式分解法解方程求出值，进而即可求解． 【详解】（1）解：设， 则原方程化为：， 解得：，， 当时，， ， 当时，， ， 原方程的解为：，，，； （2）解：设， 则原方程化为：， 解得：， ， ， ． 42．阅读下面的材料： 解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点． 它的解法通常采用换元法降次：设，那么，于是原方程可变为，解得，．当时，，所以；当时，，所以；所以原方程有四个根：，，，． 仿照上述换元法解下列方程． (1) (2)． (3) 【答案】(1)，，， (2)， (3)， 【分析】本题考查换元法解方程，根据题目换元法思路解题即可； （1）设，则原方程可变为，解方程即可； （2）设，则原方程可变为，解方程即可； （3）设，则原方程可变为，解方程即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，所以； 当时，，所以； 所以原方程有四个根：，，，； （2）解：设，则原方程可变为， 去分母得， 解得，， 经检验，是的根， 当时，，解得，经检验是的根； 当时，，解得，经检验是的根； 所以原方程有两个根：，； （3）解：设，则原方程可变为， 解得，， 当时，，解得； 当时，，解得； 所以原方程有两个根：，． 43．实数a，b满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决下列问题： 已知实数x、y满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查来了换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握换元法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 设，则，原方程变形为，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设，则， 原方程变形为， 整理得， 解得或（舍去）， ， ． 44．问题背景： 我们知道：配方法，公式法，因式分解法是解一元二次方程的基本方法，降次转化是解方程的基本思想，此外还可以用换元法来研究某些高次方程，如：解方程，可以将看成一个整体，然后设，则，原方程化为，解得，，当时，，所以，；当时，，此方程没有实数根，所以原方程的根为：，． 解决问题： (1)用适当的方法解下列方程： ①； ②． (2)已知一元二次方程，，求的值． 【答案】(1)①；② (2)或或12 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是正确理解题目所给的降次转化的方法和步骤． （1）①设，则，原方程化为，即可解答；②设，则，原方程化为，即可解答； （2）设，则，，则，求出m和n的值，则，用题目所给方法求出m和n的值，即可解答． 【详解】（1）解：①， 设，则， 原方程化为， 解得：， ∴或； 解得：； ②， 设，则， 原方程化为， 解得：， ∴或， 解得：． （2）解：， 设，则， 原方程化为， 解得： ， 设，则， 原方程化为， 解得： 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴的值为或或12． 45．阅读材料，解答问题． 解方程：． 解：把视为一个整体，设， 则原方程可化为． 解得． 或， ： 以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想． 请仿照材料解方程：． 【答案】，， 【分析】本题考查换元法解方程，设，把原方程化为一元二次方程，解方程可得答案．通过阅读掌握换元法的一般步骤是解题的关键，注意一元二次方程的解法的灵活运用． 【详解】解：设， 则原方程可化为：， ∴， 解得：，， 当时，得：， ∴， 解得：， 当时，得：， ∴， 解得：或， ∴原方程的解为，，． 46．阅读材料：解方程时，把某个式子看做整体，用新的未知数去代替它，使方程得到简化，这叫换元法，先阅读下面的解题过程，再解后面的方程： 例：解方程 解：设， ∴原方程可化为， ∴，∴，则． 请利用前面的方法，解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可化为，解一元二次方程即可． 【详解】解：设，则 原方程可化为， 解，得，（舍去）． 所以，，即， 所以，． 【点睛】本题考查了换元法解无理方程的应用，解此题的关键是能把无理方程转化为有理方程． 47．解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变为__①____， 解得，． 当时，，∴；当时，，∴； ∴原方程有四个根：，，，． （1）①中填写的方程是______，在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想． （2）解方程． （3）解方程 【答案】（1）y2－5y+4=0；（2）x1=－3，x2=2；（3）x1=－6，x2=6 【分析】（1）利用换元法把高次方程转化为二次方程； （2）设x2+x=y，原方程可变为y2-4y-12=0，解得y1=6，y2=-2，则x2+x=6和x2+x+2=0，然后解两个一元二次方程即可； （3）设｜x｜=y, 原方程可化为y2－3y－18=0，，解得y1=6，y2=-3，则｜x｜=6和｜x｜=－3，然后解两个一元二次方程即可． 【详解】（1）①中填写的方程是y2－5y+4=0， 故答案为：y2－5y+4=0 （2）设x2+x=y，原方程可化为y2－4y－12=0， 解得y1=6，y2=－2． 由x2+x=6，得x1=－3，x2=2． 由x2+x=－2，得方程x2+x+2=0， b2－4ac=1－4×2=－7<0，此时方程无解． 所以原方程的解为x1=－3，x2=2． （3）原方程可化为｜x｜2－3｜x｜－18=0， 设｜x｜=y, 原方程可化为y2－3y－18=0， 解得y1=6，y2=－3． 由｜x｜=6，得x1=－6，x2=6． 由｜x｜=－3，此时方程无解． 所以原方程的解为x1=－6，x2=6． 48．利用换元法解下列方程： （1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0； （2）x2﹣（1+2）x﹣3+=0． 【答案】(1) x1=5, x2=﹣15;(2) x1=3+ ，x2=﹣2+ 【分析】（1）设y＝x+2，将原方程变形，再利用完全平方式法求得y的值，进而得到原方程x的解； （2）先整理原方程得到(x﹣)2﹣(x﹣)﹣6＝0，再设y＝x﹣，将原方程变形，再用因式分解法求的y的值，进而得到原方程x的解. 【详解】（1）（x+2）2+6（x+2）﹣91=0； 设y=x+2，则原方程可变形为： y2+6y﹣91=0， 解得：y1=7，y2=﹣13， 当y1=7时，x+2=7， x1=5； 当y2=﹣13时，x+2=﹣13， x2=﹣15； （2）原方程可化为x2﹣x﹣2x﹣3+=0， x2﹣2x+3﹣x++6=0， 即(x﹣)2﹣(x﹣)﹣6＝0， 设y= x﹣， 则y2﹣y﹣6=0， (y﹣3)(y+2)=0， 解得：y1=3，y2=﹣2； 当y1=3，x﹣=3， 得x1=3+； 当y2=﹣2，x﹣=﹣2， 得x2=﹣2+. 考点07 可化为一元二次方程的分式方程 49.解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，通过因式分解分母、通分将分式方程化为整式方程，求解后检验分母是否为零，得到有效解． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴，且， 整理得， ∴， 解得或， 检验：当时，分母，舍去； 当时，， ∴原方程的解为． 50．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为一元二次方程；根据解分式方程的步骤计算即可得解. 【详解】解：公分母为： 去分母可得：， 整理可得：， 解得或， 经检验，当时， ∴是增根，舍去， ∴原方程的解为：． 51．解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：方程两边同时乘得：， 去括号得：， 整理得：， ， 解得，． 检验：当时，，是分式方程的增根； 当时，，是分式方程的解． ∴方程的解为． 52．解方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；因此此题可根据分式方程的解法进行求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：或， 经检验：当或时，， ∴该方程的解为或． 53．解分式方程： 【答案】 【分析】本题考查解可化成一元二次方程的分式方程，先去分母变成整式方程，再解整式方程，最后检验下结论即可． 【详解】解：方程两边同乘得：， 整理得， ， 解得， 检验，当时，，不是方程的解； 当时，，是方程的解； ∴原分式方程的解为． 54．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 或， 或， 经检验，是原方程的增根，是原方程的解， 原方程的解为． 55．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程． 去分母后化为整式方程，根据因式分解法求解，并检验解是否满足原方程． 【详解】解：， ， 两边同时乘以：， ， ， ， 或， 解得：， 检验：当时，； 当时，，不是原方程的解； 故方程的解为． 56．解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般步骤，是解题的关键．先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 分解因式得：， 开平方得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $