基本功专练(三) 与相似三角形的性质与判定有关的计算与证明-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

基本功专练（三） 与相似三角形的性质与判定有关的计算与证明 (时间：40分钟满分：60分) 1.(6分)如图，D是△ABC的边AB上一4.(6分)如图，在△ABC中，D是边AB上 点，连接CD,已知∠BDC十∠ACB= 一点，E是△ABC外一点，DE∥BC,连接 180°.求证：△ADCp△ACB. BE.有下列条件：①∠E=∠A:②DE- AB C,从中选择一个作为添加的条件，求 B 证：△EDB△ABC. 2.(6分)如图，在△ABC中，BD平分 ∠ABC,交AC于点D,E是AB上一点， 连接DE.若BD=BC·BE,求证： △BCDp△BDE. 5.(8分)如图，D,E,F分别是△ABC的边 AB,AC,BC上的点，DE∥BC,DF∥AC. (1)求证：△ADEp△DBF; (2)若0号，5=9，求5m和5 的值. 3.(6分)如图，点A,B,C,D均在边长为1 的正方形网格的格点上，连接AD.求证： △ABDp△CBA. ·13· 6.(8分)如图，点D,F分别在等边三角形8.(10分)如图，在正方形ABCD中，M是 ABC的边CB的延长线与反向延长线上， BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM, 且满足BD·CF=BC 垂足为F,交AD的延长线于点E,交CD (1)求证：△ADB∽△FAC; 于点N. (2)求证：AD·AF=BC·DF. (1)求证：△ABMO△EFA; (2)若AB=8,BM=6,求AE的长. 7.(10分)如图，在△ABC中，AB=AC,点E 在边BC上移动（不与，点B,C重合），点D,F 分别在边AB和AC上，且∠DEF=∠B. (1)求证：△BDEp△CEF; (2②若BE=CE,且BD=3.CF=2,求8器 的值. ·14·2-2)=0.由此得5x+2=0或x+2=0,解得x=-号，=-2.(3)这 里a=1,b=-2,c=-2.因而b2-4ac=(-2)2-4×1×(-2)=12>0, .x=2±√区=1士3因此，原方程的根为=1+3，x,=1-3.(4)将 2 二次项系数化为1，得x2-4x十号=0.配方，得2-4x+2-2+号=0. 因此x-2=子南此得x一2=空或工一2=一受，解得=2+ 受。=2牙 12.解：(1)配方法二(2)这里a=1,b=8,c=-9.因而b2-4ac=82-4 X1X(一9)=100，“.x=8100=-4士5.因此，原方程的根为x 2×1 1,x2=-9. 13.解：.a是方程2x2-7x-1=0的一个根，∴.2a2-7a-1=0..2a2-7a =1.∴.a(2a-7)+5=2a2-7a+5=1+5=6. 14.(1)解：根据题意，得(2x2+5x一3)一(x2+x一8)=2.原方程可化为x2 十4x十3=0，解得x1=-1,x2=一3.∴.当x=一1或-3时，代数式A的 值比B的值大2.(2)证明：A-B=(2x2+5x-3)-(x2+x-8)=(x+2)2 +1.(x十2)2≥0，.(x十2)2+1>0，即A一B>0..对于任意x的值，代 数式A一B的值恒为正数. 15.解：(1)3(2)是一元二次方程.由题意，得(t十2)2-(t+2)(2t+1)= 0,把方程左边因式分解，得(t十2)(t+2一2t一1)=0.由此得t十2=0或1 一t=0,解得t1=一2，t2=1.(3)不是.理由如下：由题意，得(x+2)2一(x十 2)=3.整理，得x2+3x-1=0.这里a=1,b=3,c=-1.因而b2-4ac=32 -4X1X(-1）=13>0.x=-3吉压.方程(+2)*1=3的根不是 2 x=-3±5 2 阶段微测试（三） 1.A2.C3.C4.B5.C6.C7.是8.-29.1110.4051 11.解：由题意知△=b-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)=1,解得m1= 0,m=2.m≠0，m=2∴原方程为2-5x十3=0，解得石=1，场=名 12.解：(1).关于x的一元二次方程x2一2x一m=0有实数根，∴.△=b2 4ac=(-2)2十4m≥0，解得m≥-1.(2)由根与系数的关系，得x1十x2=2, x1x2=-m,∴x十x=(x1十x2)2-2x1x2=6,即22-2X(-m)=6,解得 m=1. 13.解：设该长方体盒子的高为xcm,则该长方体盒子的底面长为4,2x 2 =12-x(cm),宽为(12-2x)cm.根据题意，得(12-x)(12-2x)=32,解 得x1=4,x2=14.又.12-2x>0,.x<6.∴.x=4.答：该长方体盒子的高 为4cm. 14.解：(1)3300(2)设每套毛绒玩具降价x元.根据题意，得(60一x)(50 十2x)=3500,解得x1=10,x2=25..该商场是为了尽快减少库存，∴.x= 25.答：每套毛绒玩具应降价25元. —55- 15.解：(1)设经过xs以后，△PBQ的面积为4cm2(0<x≤3.5)，此时AP =zcm,BP=(5-xcm,BQ=2 cm合BP.BQ=4,∴2(5- x)·2x=4,整理，得x2-5.x+4=0,解得x1=1,x2=4(舍去).答：1s后， △PBQ的面积为4cm.(2)设经过ts后，PQ的长为2/10cm.在Rt△PBQ 中，PQ=BP2+BQ,即(2√10)2=(5-t)2+(2t)2,解得ti=一1（舍去），t2 =3.答：3s后，PQ的长为2w/10cm. 阶段微测试（四） 1.B2.D3.B4D5.B6.B7.号815-559.10105 66分(2)2 解52a=36,a①A266 2×号6-6 9a+26号6+26 12.解：，四边形ABCD与四边形EFGH相似，.∠G=∠C=83°，∠A= ∠E=18,0-品：∠B=8,∠D=360-∠A-∠B-∠C- BAD-15 cm,EF20 cm,20 cm. 13.解：AB=2BC,能=2,8C-84/48品-能=2GF= 合AG=2cmAF=AG+6=6m4∥，器-架5-号 ·EF=5 3 cm. 4(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，AB/CD,AD/BC光 -888E-8品8光-8.0c=0E0c.(2)懈：AB/cD,器 -器-2.CE=6GE=3. 15.解：(1)W2：1(2)A4纸与A5纸为相似图形.理由如下：，A4纸较长 边与较短边的比为W2：1,.设A4纸较短边的长为a,则较长边的长为W2a. 由图②可知，A5纸的长边与A4纸的短边重合，A5纸的短边等于A4纸的 长边的一半一A5纸的长边为a,短边为号。.A5纸的长边与短边的比 为a:号a=厄：1.∴A4纸长边与短边的比=A5纸长边与短边的比.又 .A4纸与A5纸的四个角均为直角，∴.A4纸与A5纸为相似图形， 基本功专练（三）与相似三角形的性质与判定有关的计算与证明 1.证明：.∠BDC+∠ADC=180°，∠BDC+∠ACB=180°，.∠ADC= ∠ACB.∠A=∠A,∴.△ADC∽△ACB. BD平分∠ABC,·∠DBE=∠CBD.:BD=BC· -BD..△BCD∽△BDE. BE· 3.证明：根据勾股定理，得AB=V2+=5.:BD=1,BC=5,能 —56— S,器-得C-82又：∠ABD=∠CBA,△MBD△CBA 4.证明：选择①∠E=∠A.,DE∥BC,∴.∠EDB=∠ABC.,∠E=∠A, ∴△EDB△ABC选择②RE-BC.:DE∥BC,∴∠EDB=∠ABC, R器-肥△EDBn△ABC.(任选一个即可) 5.(1)证明：DE∥BC,DF∥AC,∴.∠ADE=∠B,∠A=∠BDF. △ADEn△DBR(2)解：铝-号部系△ADE△DBF, '.SAADE= AD)2 ·SADBF =÷SaE=号Sae=4.DE∥BC,△ADEn △ABc-(器=会5-5 6.证明：(1).△ABC是等边三角形，∴.AB=BC=AC,∠ABC=∠ACB= 60∠ABD=∠PCA=120.BD·CP=BCB2-8s÷80 ￥.△ADB∽△FAC.(2)由(1)知△ADB∽△FAC,∠DAB=∠F. 又：∠D=∠D,△ADBO△FDA.架-AP:AD·AF=AB· DF..AD·AF=BC·DF 7.(1)证明：.AB=AC,∴.∠B=∠C.,∠DEC=∠B+∠BDE=∠DEF +∠CEF,∠DEF=∠B,∴.∠BDE=∠CEF.∴.△BDE∽△CEF.(2)解： ABDE∽ACER,8肥-8S-8票BE=CE,BD=8,CF=2BE -cE=6.8眼8暖-5 8.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠B=90°，AD∥BC.∴.∠AMB =∠EAF.:'EF⊥AM,∴.∠AFE=90°.∴.∠B=∠AFE.∴.△ABM∽ △EFA.(2)解：∠B=90°，AB=8,BM=6,∴.AM=√AB2+BM=10. :F是AM的中点，AF-AM=,:△ABMn△EFA,小-2， 即g-A品∴AE-空 3 阶段微测试（五） 1.C2.B3.C4.D5.B6.C7.∠A=∠ECD(答案不唯一) 8.239.(1,0)10.2 5 11.证明：.△ABC是等腰三角形，AD是顶角∠BAC的平分线，∴.AD⊥ BC..∠ADC=90°..BE是腰AC上的高，.∠BEC=90°..∠ADC= ∠BEC.又.'∠C=∠C,∴.△ACD∽△BCE. 12.(1)证明：AD是斜边BC上的高，∴.∠BDA=90°.：∠BAC=90°， ∴.∠BDA=∠BAC.又.∠ABD=∠CBA,∴.△ABD∽△CBA.(2)解：由 ()知△ABDACBA,.器0即9-品BD=3.& 13.(1)证明：，∠BAC=∠EAF,∴∠BAE=∠CAF.∠ABE=∠ACF, ∴.△ABE∽△ACF.(2)獬：，∠ABE=∠ACF,∠AOB=∠COF, △A0B△r0cS-(得f-是5=9sax=16 57