基本功专练(四)解直角三角形的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

基本功专练（四） 解直角三角形的应用 (时间：40分钟满分：60分) 1.(8分)某临街店铺在窗户上方安装遮阳 BD的长.（结果精确到0.01km,参考数 棚，其侧面示意图如图所示，遮阳棚展开 据：sin36.5°≈0.60，cos36.5°≈0.80， 长度AB=200cm,遮阳棚与墙面的夹角 tan36.5°≈0.74，sin58°≈0.85，cos58°≈ ∠BAD=72°，求遮阳棚前端B到墙面 0.53,tan58°≈1.60) AD的距离.（结果精确到1cm,参考数 据：sin72°≈0.951，cos72°≈0.309， tan72≈3.078) 58入36.5 2.(8分)某大桥采用H型斜拉桥结构，其平 4.(8分)如图，某同学通过定滑轮O拉动静 面图如图所示，测得拉索AB与水平桥面 止在水平地面上的高为0.5m的长方体 的夹角是45°，拉索CD与水平桥面的夹 重物，开始时与重物相连的绳子和水平面 角是65°，两拉索顶端的距离AC为2m,两 的夹角为37°，拉动一段距离后，绳子与水 拉索底端的距离BD为10m,求立柱AH的 平面的夹角为53°，绳子的自由端（用手拉 高.（结果精确到0.1m,参考数据：sin65°≈ 的一端)竖直向下移动了1.5m(绳子伸 0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 缩不计)，求定滑轮O到地面的距离OH. (结果精确到1m,参考数据：sin37°≈ 0.6,cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 华定滑轮 6545≥B D 77 3.(8分)如图，地面上的点A到两座山峰的 顶端有两条索道AB,AC,在点A处测得 点B的仰角为36.5°，点C的仰角为58°， 已知索道AB的长为2km.为进一步方便 游客，现准备新建一条与地面平行的索道 BD,与索道AC交于点D,求新建索道 ·21. 5.(8分)如图，船甲从A处向正北方向的C岛7.(10分)我国古代在公元前2世纪就制成 航行，同时，船乙从C岛正东方向80 n mile 了世界上最早的潜望镜，西汉初年成书的 的D处向正东方向航行，船甲在A处观 《淮南万毕术》中有这样的记载：“取大镜 测到船乙在北偏东45°方向的D处，1.5h 高悬，置水盆于其下，则见四邻矣.”如图 后，船甲在B处观测到船乙在北偏东70°方向 ①所示，其工作方法主要利用了光的反射 的E处.若船甲的航行速度为20 n mile/h,求 原理.如图②，AB呈水平状态，AE,CD 船乙的速度.（结果精确到0.1 n mile/h, 为法线，∠BCD=∠ACD=41°，∠CAE= 参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34， 37°，AELAB.已知AB=11√2m,求镜面 tan70°≈2.75) 上点C到水盆A的距离.（结果精确到 0.1m,参考数据：sin82°≈0.99，cos82°≈ 东 0.14,tan82°≈7.12) 70° 大镜2 C 镜面 图① 图② 6.(10分)如图，某中学依山而建，校门A处 有一坡角a=30°的斜坡AB,长度为30m, 在坡顶B处测得教学楼CF的楼顶C处 的仰角∠CBF=45°，离点B4m远的E 处有一个花台，在点E处测得楼顶C处的 仰角∠CEF=60°，CF的延长线交水平线 AM于点D,求CD的长 教学楼 E 校 ·22·14.证明：a:0D=20A,0c=20B,8胎-8哭-又：∠A0B 阶段微测试（七 0.8xm.∴0.6x+0.9=0.8x,解得x=4.5..OC=3.6m.∴.OH=OC+ ∠DOC,∴，△AOBn△DOC.(2)由(1)得△AOBn△DOC,.∠ABO= 1.C2.B3A4.D5.C6.D7.50°8.(1W39.710.7或17 CH≈4m.答：定滑轮O到地面的距离OH约为4m 5.解：由题意，得AB=1.5×20=30(nmi1e),AC⊥CE,∴.∠C=90°.在Rt△ACD ∠DCO.'AB∥DE,∴∠ABO=∠EDO.∴.∠DCO=∠EDO.'∠DOC OD OC ∠EOD.AD0 AEOD.8E-0品OD=OC,OE. 中，∠A=45,CD-80amie,AC-品-80 mie=AC-AB 15.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴，AB∥CD,∠A=∠BCD =50 n mile.在Rt△BCE中，∠CBE=70°，.CE=BC·tan∠CBE≈ 7√5 ∴.∠AFD=∠FDG.由折叠的性质，得∠DFG=∠BCD,'·∠A=∠DFG. 12 137.5 n mile..DE=CE-CD=57.5 n mile.57.5÷1.5≈38.3(n mile/.h).答： ∴.△DFG△FAD.(2)解：由折叠的性质，得DF=DC=5.'△DFG∽ 12.解：在△ABC中，，∠C=90°，∠A=30,.∠B=90°-∠A=60°.又 船乙的速度约为38.3 n mile/h. △FAD8S-RE即g-号DG-50G=DG-DC-9AB 6.解：过点B作BG⊥AM于点G,易得四边形BFDG为矩形，∠CFB 3 3 a-.tan A-1.c-co A-2. 10 13.解：过点A作AH⊥BC于点H,则∠AHB=∠AHC=90°，在Rt△ACH ∠AGB=90,DF=BG.在Rt△ABG中，∠BAG=30,六BG=ZAB= =5,AF=3…BF=2.CG/BF△cGB△BFE÷是-g票- 中，：AC=2,cosC=号CH=AC·eosC=gAH=VAC-CF 15m.∴.DF=BG=15m.设BF=xm,则EF=(x-4)m.在Rt△CBF 中，∠CBF=45°，∴.CF=BF·tan∠CBF=xm.在Rt△CEF中，∠CEF 号.：BC=5,BE-gBC=5 -号在R△ABH中，：∠B=30,AB=2AH=号 =60°，∴.CF=EF·tan∠CEF=√3(x一4)m.∴.x=V3(x一4)，解得x=6 阶段微测试（六） 14.解：由题意，得点A,F,C在同一条直线上.在Rt△ABC中，BC=2,∠A +23.∴.CF=(6+2√3)m..CD=DF+CF=(21+2√3)m. 1.A2.A3.C4.D5.D6.C7.1:48.(-4,8)或(4，-8) 7.解：过点A作AF⊥BC于点F,则∠AFB=∠AFC=90°，，∠BCD 9.1410.3@ 30,∴AC-aRCA2.EF=AC-23.在R△CEF中，∠E-45 ∠ACD=41°，.∠ACB=82°.AE⊥AB,.∠EAB=90°.∠CAE 2 ∴.CF=EF·sinE=√6.∴.AF=AC-CF=23-√6 37°，.∠CAB=∠EAB-∠CAE=53°..∠B=180°-∠CAB-∠ACB L解：AB∥CD.÷器-8器即亮-4-是0A=6cm,0C= 15.解：(1)CD⊥AB,,∠ADC=∠BDC=90°.在Rt△BCD中，BD=6, 45°.在Rt△ABF中，∠B=45°，AB=112m,.AF=AB·sinB=11m. 4m器=号慌=景：cD/E8架-8瓷即亦=元=号 442 anB=号，∴CD=BD·anB=4.AC=VCD+AD=25.(2)过点 AF 在R△ACF中，∠ACB=82,AC=sn∠ACB≈1L.1m.答：镜面上点 ..OE=OF=10 cm..BE=OB++OE=16 cm,AF=OA+OF=16 cm. E作EF⊥AB于点F.CD⊥AB,EF⊥AB,.CD∥EF..△BEFO C到水盆A的距离约为11.1m, 12.解：(1)如图，△A'BC即为所求.(2)A'(-1,0),B(2,0),C(1,2). △BCD,E是边BC的中点，需-那-既-分DF=号BD=3, 阶段微测试（八） 1.C2.A3.C4.C5.A6.B7.乙8.609.62510.90 EF-CD=2.AF=AD+DF=5.AE=AF EF=29. 11,解：该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）的天数约为 ∠EAB-需-2 3+5+10+6×365=292. 30 基本功专练（四）解直角三角形的应用 13.解：，四边形ABCD是矩形，.∠B=∠C=90,CD=AB=140cm, 1.解：过点B作BE⊥AD于点E,则∠AEB=90°，在Rt△AEB中，∠BAD 12.解：1z-号×(520+50+510+490+530)=510(kg),红-吉× BC=AD=280Gm易得∠EFB=∠DFC,i△BEF△CDR∴8器- =72,AB=200cm,∴.BE=AB·sin∠BAD≈190cm.答：遮阳棚前端B (510+510+510+480+540)=510(kg).:z甲=2，.甲，乙两个品种平 到墙面AD的距离约为190cm 8邵即4905=28CcF=160m 均亩产量一样高.(2)场=号×[(520-510)2+(500-510)+(510-510) 140 2.解：设AH=xm,则CH=(x一2)m.在Rt△ABH中，∠B=45°，.BH 14证明：：AB=AE·AC,铝-是：∠BAE=∠CAB =AH tan B-xm.DH=BH-BD=(x-10)m,在Rt△CDH中，CH= +(490-510)2+(530-510)2]=200,2=5×[(510-510)×3+(480- 510)产十(540一510)]=360.，年<吃，.甲品种的稳定性较好. ∴△ABE∽△ACB.(2)△ABE∽△ACB,.∠ABF=∠C.∠AFE= DH·tan65°，.x-2≈2.14(x-10),解得x17.0..AH=17.0m.答： ∠ABC,∠AFE=∠ABF+∠BAF,∠ABC=∠ABF+∠CBE,∴·∠BAF立柱AH的高约为17.0m, 13.解：1)50(2)D组所对应的扇形圆心角的度数为360×易=14,4. =∠CBE..△ABF∽△BCE. 3.解：过点A作AE⊥BD于点E.在Rt△ABE中，AB=2km,∠ABE= (3)A组人数为50一(16十28+2)=4，补全条形统计图如图所示.(4)该校 15.1证明：BE=AB=3,BC=48能-是：DG=BD,BG 36.5°，.AE=AB·sin∠ABE≈l.2km,BE=AB·cos∠ABE≈1.6km在 最近两周每日平均晦眠时长大于或等于9h的学生人数约为1200× AE BD.六器--是：∠EBG=∠CBD.△BEGO△BCD.(2)解： R△ADE中，∠ADE-58,DEan∠ADE≈0.75km.BD-DE+ 28+2=720. 50 BE=2.35km.答：新建索道BD的长约为2.35km. EG BE 3 人初 :ABEG△BCDC品BC-∠BGE-∠BDC.EG∥CD.:四 4.解：过点B作BC⊥OH于点C..∠ACO=90°，CH=0.5m.由题意，得 边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD,AB∥CD.∴.AB∥EG.∴△EGF OA-OB=1.5m.设OB=xm,则OA=(x+1.5)m.在Rt△AOC中， 0AMBR器-器-器-APG=号BG=器 ∠OAC=37,∴.OC=OA·sin∠OAC≈(0.6x+0.9)m.在Rt△OBC中， ∠OBC=53°，.∠BOC=90°-∠OBC=37°..OC=OB·cos∠BOC≈ ABCD组别 —58— -59 0