专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版）

专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型三 相似三角形判定定理的证明 题型四 重心的有关性质 题型五 相似三角形的判定与性质综合 题型六 利用相似三角形的性质求解 题型七 证明三角形的对应线段成比例 题型八 利用相似求坐标 题型九 在网格中画已知三角形相似的三角形 题型十 运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型十一 运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十二 运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十三 运用相似三角形的性质解决动点问题 题型十四 运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十五 相似三角形的综合问题 题型十六 运用相似三角形的性质解决多结论问题 知识点1：相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点2：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【经典例题一 证明两三角形相似】 【例1】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知，下面四个三角形与不一定相似的是(   ) A．   B．   C．   D．   1．（2024九年级·全国·专题练习）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，点，分别在，上，D为的中点，，求证：． 【经典例题二 选择或者补充条件使两个三角形相似】 【例2】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知，添加一个条件 ，使得．    3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似．   【经典例题三 相似三角形判定定理的证明】 【例3】 （23-24·山东济宁·一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分，，在图中与相似的三角形（不包括）的个数为（      ）个． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对． 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF∽△CEB； （3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由． 【经典例题四 重心的有关性质】 【例4】（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习），，，为重心，则______． 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【经典例题五 相似三角形的判定与性质综合】 【例5】（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知与的周长相等，现有两个判断： ①若，，则 ②若，，则 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 1．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（  ） A． B．10 C．12 D．24 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，，与轴交于点，与轴交于点．若点，恰好是线段的三等分点，则 ． 3．（2024·湖南衡阳·二模）如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)当，时，求菱形的周长． 【经典例题六 利用相似三角形的性质求解】 【例6】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则四边形的面积为（    ）      A．8 B．10 C．12 D．16 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（    ） A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·期中）如图，中，，，点E在上且，动点F从A点开始沿着边运动，速度为，连接，若后与相似，则 s．    3．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【经典例题七 证明三角形的对应线段成比例】 【例7】（2024·河南南阳·二模）如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为 . 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【经典例题八 利用相似求坐标】 【例8】（2024·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 3．（2024·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接 (1)求的面积 (2)若点是边上一点，且∽，求点坐标． 【经典例题九 在网格中画已知三角形相似的三角形】 【例9】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 1．（23-24九年级·全国·假期作业）如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（2024·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点C顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） (3)在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【经典例题十 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 【例10】 （24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【经典例题十一 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 【例11】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·河南南阳·模拟预测）在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 3．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【经典例题十二 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 【例12】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第5条 B．第6条 C．第7条 D．第8条 1．（2015·山东济南·三模）某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（  ）    A．15匹 B．20匹 C．60匹 D．30匹 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 分米．    3．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 【经典例题十三 运用相似三角形的性质解决动点问题】 【例13】（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【经典例题十四 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例14】（23-24九年级上·上海·单元测试）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？(　　) A．12 B．11.52 C．13 D．8 1．（14-15九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，直角梯形的位置如图所示，，，．M、N分别在线段，线段上运动，当的面积达到最大时，存在一种使得周长最小的情况，则此时点M的坐标为 (    )．    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ． 3．（2024·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． 【经典例题十五 相似三角形的综合问题】 【例15】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 1．（2024·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 2．（2024·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【经典例题十六 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 【例16】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作的平行线分别交、于D点、E点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 2．（2024·四川巴中·模拟预测）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点、点分别是边上的动点，，连接，下列说法错误的是（　　） A．是等边三角形 B．的最小值是1 C．当最小时 D．当时， 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A． B． C．四边形面积的最大值为 D． 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D、E分别是和上的点，且，如果，，，那么的长是（   ） A．4 B．6 C． D． 4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   5．（2024·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，是上一点，，，，则的长是 ． 7．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知梯形中，，点分别是边上的点，，如果，那么 ． 8．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ． 9．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在矩形中，，在边上取一点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的处，的平分线与边交于点，如果，那么 ． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，若进行以下操作：在边上从左到右依次取点，，，，…，过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，……则 ． 11．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，点为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）     12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上（点在点的左侧），且点、的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)点是点关于轴的对称点，连接，，是否存在这样的值，使与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 相似三角形的判定与性质重难点题型专训（16大题型+15道拓展培优） 题型一 证明两三角形相似 题型二 选择或者补充条件使两个三角形相似 题型三 相似三角形判定定理的证明 题型四 重心的有关性质 题型五 相似三角形的判定与性质综合 题型六 利用相似三角形的性质求解 题型七 证明三角形的对应线段成比例 题型八 利用相似求坐标 题型九 在网格中画已知三角形相似的三角形 题型十 运用相似三角形的性质解决折叠问题 题型十一 运用相似三角形的性质解决三角板问题 题型十二 运用相似三角形的性质解决裁剪问题 题型十三 运用相似三角形的性质解决动点问题 题型十四 运用相似三角形的性质解决最值问题 题型十五 相似三角形的综合问题 题型十六 运用相似三角形的性质解决多结论问题 知识点1：相似三角形的判定 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 知识点2：相似三角形的性质 ①相似三角形的对应角相等．如图，，则有 ． ②相似三角形的对应边成比例．如图，，则有 （为相似比）． ③相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比． 如图，∽，和是中边上的中线、高线和角平分线，、和是中边上的中线、高线和角平分线，则有 ④相似三角形周长的比等于相似比．如图，∽，则有 ． ⑤相似三角形面积的比等于相似比的平方． 如图，∽，则有 【经典例题一 证明两三角形相似】 【例1】（23-24九年级上·湖南邵阳·期中）如图，已知，下面四个三角形与不一定相似的是(   ) A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、∵，，∴由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和相似，故此选项不符合题意； B、因为，且，则可得画出来的三角形和相似，故此选项不符合题意； C、因为 ，但不是夹角，即成比例的两边的夹角不一定相等，所以画出来的三角形与不一定相似，故此选项符合题意； D、∵，，∴由两组角相等的两个三角形相似可得画出来的三角形和相似，故此选项不符合题意； 故选：C． 1．（2024九年级·全国·专题练习）如图，正方形中，是的中点，是边上的一点，下列条件中，不能推出与相似的是（    ） A． B． C．是的中点 D． 【答案】C 【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可． 【详解】A．，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到∽，不合题意； B.，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到，从而有∽，不合题意； C．P是BC的中点，无法判断与相似，符合题意； D． ，根据正方形性质得到，又∵∠B=∠C，则∽，不合题意． 故选：C 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键． 2．（24-25九年级上·湖南郴州·阶段练习）一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定分情况列比例式进行分析解答即可． 【详解】解：设另一个三角形的第三边长为x， 当2为最长边时，， 解得， 当为最长边时，， 解得，， 当和对应时，，，，即此种情况不存在， 综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或， 故答案为：或 3．（23-24九年级上·湖南岳阳·期末）如图，在中，，，点，分别在，上，D为的中点，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可证得结论 【详解】证明：，D为的中点， ， ，， ， ，， ， 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握和运用相似三角形的判定方法是解决本题的关键． 【经典例题二 选择或者补充条件使两个三角形相似】 【例2】（23-24九年级上·广西桂林·阶段练习）已知在和中，，则不能使两直角三角形相似的条件为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形相似的判定定理，根据题中条件，由各个选项中添加的条件，利用两个直角三角形相似的判定定理验证即可得到答案，熟记直角三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：A、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两个角对应相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； B、由，加上，利用两个三角形相似的判定定理：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似确定和相似，不符合题意； C、在和中，由，确定、为两个直角三角形的斜边，利用两个直角三角形相似的判定定理：直角边及斜边对应成比例的两个直角三角形相似确定和相似，不符合题意； D、根据两个直角三角形相似的判定定理，添加，无法确定和相似，符合题意； 故选：D． 1．（23-24九年级上·河南郑州·期末）如图，在中，点D、E分别在边上，则下列条件中：①；②；③；④，能使得以A，D，E为顶点的三角形与相似的条件有（　　）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，则，故①符合题意； ②，则，故②符合题意； ③，且夹角，则，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故④不符合题意， 故选：C． 2．（23-24九年级上·四川成都·期末）如图，已知，添加一个条件 ，使得．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定推理即可；熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】解：由可得， 根据相似三角形的判定，可添加一个角或的两边对应成比例； 故可以添加：或或； 故答案为：（答案不唯一） 3．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【答案】不相似，或或 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可得出答案，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解  不一定相似，因为，不是成比例的两边的夹角， 可添加：或或． 【经典例题三 相似三角形判定定理的证明】 【例3】 （23-24·山东济宁·一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH;②△AGE≌△ECF;③∠FCD＝45°;④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（        ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【答案】C 【分析】由∠BEG＝45°知∠BEA＞45°，结合∠AEF＝90°得∠HEC＜45°，据此知 HC＜EC，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG＝45°，推出∠GAE＝∠FEC，根据 SAS 推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE＝∠ECF＝135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH 不相似，即可判断④． 【详解】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC＝CD， ∵AG＝GE， ∴BG＝BE， ∴∠BEG＝45°， ∴∠BEA＞45°， ∵∠AEF＝90°， ∴∠HEC＜45°，   ∴HC＜EC， ∴CD﹣CH＞BC﹣CE，即 DH＞BE，故①错误； ∵BG＝BE，∠B＝90°， ∴∠BGE＝∠BEG＝45°， ∴∠AGE＝135°， ∴∠GAE+∠AEG＝45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∵∠BEG＝45°， ∴∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠GAE＝∠FEC， 在△GAE 和△CEF 中， ∵AG=CE， ∠GAE=∠CEF, AE=EF, ∴△GAE≌△CEF（SAS））, ∴②正确； ∴∠AGE＝∠ECF＝135°， ∴∠FCD＝135°﹣90°＝45°， ∴③正确； ∵∠BGE＝∠BEG＝45°，∠AEG+∠FEC＝45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE 和△ECH 不相似， ∴④错误； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大． 1．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在中，，，平分，，在图中与相似的三角形（不包括）的个数为（      ）个． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，可判断△AED∽△ABC，再由两角对应相等的两个三角形相似可判断△BCD∽△ABC. 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△AED∽△ABC， ∵AB=AC，∠A=36º，BD平分∠ABC， ∴∠DBC=36º=∠A，∠C=72º， ∴△BCD∽△ABC， ∴有两个与△ABC相似的三角形. 故选C. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定. 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，点E是的边延长线上的一点，和交于点G，是的对角线，则图中相似三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵， ∴①． 又∵， ∴②，    ∴③． 由平行四边形的性质可得④， 共有4对相似三角形． 故答案为：4． 3．（23-24九年级上·福建三明·期中）如图1，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上，∠EBF=45°． （1）当BE=BF时，求证：AE=CF； （2）求证：△ABF∽△CEB； （3）如图2延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）EB=EG，BE⊥EG．理由见解析． 【分析】（1）根据BE=BF，得出∠BEF=∠BFE，进而得出∠AEB=∠BFC，再根据正方形的性质得出AB=BC，∠BAC=∠BCA，用AAS证明两个三角形全等； （2）根据正方形的性质和三角形的外角和，得出∠BEC=∠BFA，∠ACB=∠BAC，用AA证明两个三角形相似； （3）根据已知和正方形的性质，对顶角的性质得出△BEF∽△CGF，得出边的比例关系，根据边的比例关系转换和对顶角的性质得出△EFG∽△BFC，进而得出∠BGE=45°，得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=． ∵BE= BF， ∴∠BEF=∠BFE． ∴∠AEB=∠CFB． ∴△ABE  ≌△CBF． ∴AE=CF． （2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE =+∠ABE， ∠ABF=∠EBF+∠ABE=+∠ABE， ∴∠BEC=∠ABF． ∵∠BAF=∠BCE=， ∴△ABF∽△CEB． （3）答：EB=EG，BE⊥EG   理由如下：如图. ∵∠EBF=∠GCF=45°，∠EFB=∠GFC， ∴△BEF∽△CGF ∴.即. ∵∠EFG=∠BFC， ∴△EFG∽△BFC. ∴∠EGF=∠BCF=45°. ∴∠EBF =∠EGF=45°. ∴EB=EG，∠BEG=90° ∴EB=EG，BE⊥EG． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，根据三角形相似得出的比例关系的转换关系和题中的图中的条件，判定另一组三角形相似，灵活运用相关知识进行解答． 【经典例题四 重心的有关性质】 【例4】（23-24九年级上·河北保定·阶段练习）如图，在中，F，D，E分别是边，，上的点，且，，相交于点O．若点O是的重心，则以下结论：①线段，，是的三条角平分线；②的面积是的面积的一半；③图中与面积相等的三角形有5个．其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，其性质是三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍．根据三角形重心的概念和性质即可判定． 【详解】解：点是的重心， 线段，，是的三条中线，故①错误； 是中线， ， 的面积是面积的一半；故②正确； ，，是的三条中线， 面积面积面积，面积面积面积，面积面积面积， 面积面积面积面积面积面积， 图中与面积相等的三角形有5个，故③正确； 故选：C 1．（2024·福建泉州·模拟预测）如图，在中，，点是的重心，连接，若，则线段长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】C 【分析】本题考査三角形的重心，直角三角形斜边的中线，关键是由重心的性质得到，D是中点． 延长交于D，由重心的性质得到，D是中点，求出，由直角三角形斜边中线的性质得到． 【详解】解：延长交于D， 点G是的重心， ，D是中点， ， ， ，D是中点， 故选：C． 2．（24-25九年级上·上海·阶段练习），，，为重心，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点； 重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为. 也考查了直角三角形斜边上的中线性质．根据直角三角形斜边上的中线性质求出，根据重心的性质求出的长即可. 【详解】解：如图， ∵为的重心，    ∴是的中线，， ， ， ， 故答案为：. 3．（2024·黑龙江绥化·中考真题）已知：． (1)尺规作图：画出的重心．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） (2)在（1）的条件下，连接，．已知的面积等于，则的面积是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形重心的性质，尺规画垂线； （1）分别作的中线，交点即为所求； （2）根据三角形重心的性质可得，根据三角形中线的性质可得 【详解】（1）解：如图所示 作法：①作的垂直平分线交 于点 ②作的垂直平分线交于点 ③连接、相交于点 ④标出点 ，点 即为所求 （2）解：∵是的重心， ∴ ∴ ∵的面积等于， ∴ 又∵是的中点， ∴ 故答案为：． 【经典例题五 相似三角形的判定与性质综合】 【例5】（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知与的周长相等，现有两个判断： ①若，，则 ②若，，则 A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①，②都错误 D．①，②都正确 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质，由可判断①，先证明，可得，再利用可判断②． 【详解】解：①∵，，且与的周长相等， ∴． ∴．故①正确． ②∵，， ∴． ∴． ∴． ∴．故②正确． 综上所述，①，②都正确． 故选：D． 1．（23-24九年级上·湖南永州·期中）如图，点D是的边BC上一点，，，若的面积为30，则的面积为（  ） A． B．10 C．12 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键．先说明，利用相似三角形的性质得结论． 【详解】解：，， ∴ 相似比 故选：A 2．（2024·湖南株洲·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数交于，，与轴交于点，与轴交于点．若点，恰好是线段的三等分点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，相似三角形的性质与判定，先根据题意得到，，，再证明，利用相似三角形的性质得到，，则，据此得到，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵点，恰好是线段的三等分点， ∴， 如图，过点A作轴于E， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 把代入中得： ∴， 故答案为：． 3．（2024·湖南衡阳·二模）如图，在中，，以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧于点P，作射线，交于点D，过点D作交于点E，交于点F． (1)求证：四边形为菱形； (2)当，时，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2)菱形的周长为 【分析】（1）根据题意易证四边形是平行四边形，再根据作图轨迹可知为的角平分线，再结合，可得，从而可得，即可证得四边形为菱形； （2）根据勾股定理先求出的长，设菱形边长为，则，，根据可判断，从而得到关于的等式，解出即可得出菱形的边长，进而求得菱形的周长． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， 由作图轨迹可知：为的角平分线， ， ， ， ， 为菱形； （2）解：，，， ， 设菱形边长为，则，， ， ， 即， 解得：， 菱形的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质与判定，勾股定理，等边对等角，角平分线性质，一元一次方程的实际应用，相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 【经典例题六 利用相似三角形的性质求解】 【例6】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，在中，是的中点，，若的面积为4，则四边形的面积为（    ）      A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据相似三角形的性质得出的面积，即可求出答案． 【详解】解：∵点D是的中点， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定． 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期中）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（    ） A．5：7 B．10：4 C．25：4 D．25：49 【答案】D 【分析】根据题意证明，再利用相似比得到面积比． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形相似比和面积比的关系． 2．（23-24九年级上·湖南湘潭·期中）如图，中，，，点E在上且，动点F从A点开始沿着边运动，速度为，连接，若后与相似，则 s．    【答案】5或0.9 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，分两种情况列式计算即可． 【详解】解：后，则有， 当时；有， ∵，，， ∴ ∴； 当时，有， ∵，，， ∴ ∴； 综上，t的值为5秒或0.9秒， 故答案为：5或0.9． 3．（23-24九年级上·四川成都·期中）如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ． ， ， ， ． 【经典例题七 证明三角形的对应线段成比例】 【例7】（2024·河南南阳·二模）如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． 1．（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． 2．（23-24九年级上·上海浦东新·阶段练习）如图，已知矩形ABCD中，AB=6，AD=8将矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处，如果AE=2AM，那么CN的长为 . 【答案】 【分析】如图，过N作NF⊥AD于F，可得NF=AB，根据矩形的性质和折叠的性质可得∠MEN=∠B=90°，EN=BN，根据直角三角形两锐角互余的性质及平角的定义可得∠AME=∠NEF，进而可证明△AEM∽△FNE，根据AE=2AM可求出EF的长，在Rt△FNE中，利用勾股定理可求出EN的长，进而可求出CN的长. 【详解】如图，过N作NF⊥AD于F， ∵四边形ABCD是矩形，AB=6， ∴NF=AB=6， ∵矩形ABCD沿直线MN翻折后，点B恰好落在边AD上的点E处， ∴EN=BN，∠MEN=∠B=90°， ∴∠AEM+∠NEF=90°， ∵∠AEM+∠AME=90°， ∴∠AME=∠NEF， 又∵∠A=∠EFN=90°， ∴△AEM∽△FNE， ∴， ∵AE=2AM，NF=6， ∴EF=3， ∴BN=EN===， ∵BC=8， ∴CN=BC-BN=8-， 故答案为：8- 【点睛】本题考查矩形的性质、增大的性质及相似三角形的判定与性质，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键. 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，在中，，，，．求的长．    【答案】． 【分析】利用相似三角形的性质和判定即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质和判定及其应用． 【经典例题八 利用相似求坐标】 【例8】（2024·海南海口·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键． 1．（23-24九年级·浙江绍兴·期末）如图，已知△ABC和△PBD都是正方形网格上的格点三角形(顶点为网格线的交点)，要使ΔABC∽ΔPBD，则点P的位置应落在    A．点上 B．点上 C．点上 D．点上 【答案】B 【分析】由图可知∠BPD一定是钝角，若要△ABC∽△PBD，则PB、PD与AB、AC的比值必须相等，可据此进行判断． 【详解】解：由图知：∠BAC是钝角，又△ABC∽△PBD， 则∠BPD一定是钝角，∠BPD=∠BAC， 又BA=2，AC=2， ∴BA：AC=1：， ∴BP：PD=1：或BP：PD=：1， 只有P2符合这样的要求，故P点应该在P2． 故选B． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质，以及勾股定理的运用，相似三角形的对应角相等，对应边成比例，书写相似三角形时，对应顶点要对应．熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键 2．（23-24九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或 【分析】由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴， 当与相似时，则可分： ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 故答案为或． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 3．（2024·湖南常德·一模）如图，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为，双曲线的图象经过BC的中点，且与交于点，连接 (1)求的面积 (2)若点是边上一点，且∽，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用D点为BC的中点得到D（1，3），再利用待定系数法确定反比例函数解析式为y＝，接着利用E点的横坐标为2得到E（2，），然后根据三角形面积公式求解； （2）根据相似三角形的性质，利用相似比可求出CF，然后计算出OF的长，从而得到点F坐标． 【详解】（1）点为的中点，， ， 把代入得， 反比例函数解析式为， ，  点的横坐标为， 当时，，即， 的面积； （2）∽， ，即，解得， ， 点坐标为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方．也考查了反比例函数图象上的点的坐标特征． 【经典例题九 在网格中画已知三角形相似的三角形】 【例9】（23-24九年级上·上海普陀·期中）如图，是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），点都是格点，下列三角形中与相似的是（    ）    A．以点为顶点的三角形 B．以点为顶点的三角形 C．以点为顶点的三角形 D．以点为顶点的三角形 【答案】B 【分析】先计算出每条边的长度，再进行比较即可，选出适合的选项． 【详解】解：设每个正方格边长为1， 则， ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键． 1．（23-24九年级·全国·假期作业）如图，在的正方形网格中，画2个相似三角形，在下列各图中，正确的画法有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】根据相似三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：第1个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第2个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 第3个网格中两个三角形对应边的比例满足，所以这两个三角形相似； 第4个网格中两个三角形对应边的比例，所以这两个三角形相似； 故选：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握三角形相似的判定并根据网格结构判断出三角形的三边的比例是解题的关键． 2．（2024·上海长宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，，，点为图示中正方形网格交点之一（点除外），如果以、、为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是 ． 【答案】、、 【分析】根据是直角三角形，构造K字形相似即可得出以、、为顶点的三角形与相似的点C坐标．或直接作出全等三角形． 【详解】解：以为共同的斜边时，，得坐标为， 过点作的垂线，当时，，得， 过点作的垂线，当时，，得． 故答案为：、、 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点C顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） (3)在图3中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在线段上找一点M，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识， （1）根据要求画出旋转得到的即可，旋转后得到的的边和原三角形对应的边应成角； （2）根据直角边的比为2，构造相似三角形即可； （3）根据相似三角形的性质画出图形，作出点M即可． 【详解】（1）解：如图1中，即为所求； （2）解：如图2中，即为所求； （3）解：如图3中，点M即为所求． 【经典例题十 运用相似三角形的性质解决折叠问题】 【例10】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，，，点分别在边上，把矩形沿折叠，点的对应点分别为，连接并延长交边于点，则值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质和判定，相似三角形的判定与性质，解题的关键是综合运用以上知识证明；过点F作于点H，设与交于点O，由翻折变换可知，由矩形的性质可知，进而可证四边形是矩形，得到，再根据同角的余角相等得出，可证，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示，则， 把矩形沿折叠，点的对应点分别为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 故选：． 1．（23-24九年级上·重庆·期末）如图，等边三角形的边长为5，D、E分别是边、上的点，将沿折叠，点A恰好落在边上的点F处，若，则的长是（　　） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知折叠的性质、相似三角形的判定定理. 根据折叠得出，，，设，，，，证明，证，进而利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵沿折叠A落在边上的点F上， ∴， ∴，，， 设，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得：， 即， 故选：C． 2．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，连接，交于点．若，，则的长为 ，的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理及相似三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据勾股定理可得，过点A作于点H，进而可得，最后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴ 由折叠的性质可知：， ∴， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴，， 过点A作于点H，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 3．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）问题背景： 一次数学综合实践活动课上，小慧发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图1，已知是的角平分线，可证． (1)尝试证明：用平行线分线段成比例的思路，利用图1证明 (2)应用拓展：如图2，在中，，D是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处．，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，，从而证明，得，再利用等腰三角形的判定证，即可得证； （2）由折叠的性质得，，结合（1）可知，，从而由比例的性质得，利用勾股定理得，从而得即可得解． 【详解】（1）证明：过点C作，交的延长线于点E， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵将沿所在直线折叠，点C恰好落在边上的E点处， ∴，， 由（1）可知，， 又∵，， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴； ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、相似三角形的判定及性质、勾股定理、比例的性质以及等腰三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质以及勾股定理是解题的关键． 【经典例题十一 运用相似三角形的性质解决三角板问题】 【例11】（2024·浙江台州·模拟预测）将一副三角板如图所示摆放，为等腰，，，，记交于E．若上有一点F满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．将顺时针旋转，构造全等三角形，再根据勾股定理求出的长，既可以得到答案． 【详解】解：将顺时针旋转，至，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， ， ， ． 故选D． 1．（2024·安徽亳州·模拟预测）如图，一块等腰直角三角板，它的斜边，内部的各边与的各边分别平行，且它的斜边，则的面积与阴影部分的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知把向两边延长，交于点，交于点，先证明，然后求出它们的面积比即可解答． 【详解】解：把向两边延长，交于点，交于点， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， 的面积与阴影部分的面积比为：， 故选：C． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据题目已知条件并结合图形添加适当的辅助线． 2．（2024·河南南阳·模拟预测）在等腰直角三角形中，，，直角三角板含角的顶点P在边上移动（点P不与点B、C重合），如图，直角三角板的一条直角边始终经过点A，斜边与边交于点Q，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等知识，先证明，得到，然后分当时，当时，两种情况分类讨论求解即可． 【详解】解：如图1所示， 由题意得：， ∵，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴，即， 如图2所示，当时， ∴， ∴； 如图3所示，当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴综上所述，当为等腰三角形时，的长为2或． 故答案为：2或． 3．（24-25九年级上·山西太原·开学考试）如图，四边形为矩形，分别为边上的中点，将一足够大的直角三角板的直角顶点放在点上，并绕着点在下方旋转，两直角边(或直角边所在直线)分别与矩形的边交于点． (1)如图1，当三角板的一条直角边交于点,另一条直角边交于点时，求证： ． (2)如图2，当三角板的一条直角边与矩形的边相交于点，另一条直角边交边于点时，连接并延长与的延长线交于点，小圣发现，试说明理由． (3)在（2）的条件下，若，旋转过程中，当落在的三等分点时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题综合考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟记相关结论即可． （1）由题意得：四边形为正方形，进而得；证得，即可； （2）证得，进而得，再证得，即可求解； （3）证可得，分类讨论点落在靠近点的三等分点和点落在靠近点的三等分点两种情况即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，分别为边上的中点， ∴四边形为矩形， ∵，分别为边上的中点， ∴ ∴四边形为正方形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ （2）证明：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ （3）解：∵，， ∴， ∴， 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 若点落在靠近点的三等分点，则, ∴， ∴， ∴； 综上所述：或 【经典例题十二 运用相似三角形的性质解决裁剪问题】 【例12】（23-24九年级上·山东烟台·期末）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长，底边上的高为，现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（    ） A．第5条 B．第6条 C．第7条 D．第8条 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的的线段长，再根据矩形的宽求解即可． 【详解】解：如图，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边长为，即，过点A作于点G，交于点F， 由题意得，，， ∴设从顶点到这个正方形的的线段长为， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴， ∵， ∴则这张正方形纸条是第7条， 故选：C． 1．（2015·山东济南·三模）某风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料（  ）    A．15匹 B．20匹 C．60匹 D．30匹 【答案】D 【分析】由三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质易得：，，， ，则可得，从而可求得结果． 【详解】解：连接，    由E、F、G、H分别是的中点， ∴， ∴，相似比为，面积比为， 即； 同理， 故， 故， 又∵， ∴， 即所需两种布料的面积相等， 故需要乙布料30匹． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形的中位线，相似三角形的性质与判定，得到关系式：是本题的关键． 2．（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）母亲节，小敏准备送礼物给妈妈，他用正方形纸板，制作一个正方体礼品盒（如图所示裁剪）．已知正方形纸板边长为10分米，则这个礼品盒的边长 分米．    【答案】 【分析】设分米，判断出和为等腰直角三角形，证明，得到，可求出，即可得到正方体礼品盒的棱长． 【详解】解：如图，在正方形中，分米，    设分米， 由此裁剪可得：和为等腰直角三角形， ∴， ∴，即， 解得：分米， ∴分米， ∴正方体礼品盒的棱长为分米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，读懂裁剪的方法，找到相似三角形． 3．（2024·浙江湖州·一模）甲、乙两位同学将两张全等的直角三角形纸片进行裁剪和拼接，尝试拼成一个尽可能大的正方形． 要求：①直角三角形纸片的两条直角边长分别为和； ②在两张直角三角形纸片中各裁剪出一个图形，使它们的形状和大小都相同； ③将这两个图形无缝隙拼成一个正方形，正方形的边长尽可能大． 甲同学的方案 乙同学的方案 请根据以上信息，完成下列问题： (1)计算甲、乙两位同学方案中拼成的正方形的边长，并比较大小． (2)请设计一个方案，使拼成的正方形的边长比甲、乙两位同学拼成的正方形都大．（方案要求：在答题卷上的两个直角三角形中分别画出裁剪线，标出所有裁剪线的长，求出这个正方形的边长．） 【答案】(1)甲同学方案中拼成的正方形边长为，乙同学方案中拼成的正方形边长为，甲同学方案中拼成的正方形边长较大． (2)方案见解析． 【分析】（1）由直角三角形的最短边可得甲同学方案拼成的正方形边长，根据勾股定理，得．证，，得， 设，则，求解得乙同学方案中拼成的正方形边长为，进而比较即可得解． （2）根据全等三角形的判定及性质以及相似三角形的判定及性质设计即可得解． 【详解】（1）解：甲同学方案中拼成的正方形边长为． 对于同学，如图，由拼成条件可得， 记直角三角形为，根据勾股定理，得． ∵，，， ∴，， ∵，， ，， ， 设，则 ∴， 解得， 乙同学方案中拼成的正方形边长为． ， 甲同学方案中拼成的正方形边长较大． （2）解：其中一张直角三角形纸片的裁剪图如下 边长计算如下： 如图，过点作于点， ∴， ∴， 根据拼接要求，为等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵，， ∴， ∴即， 解得． ∴根据勾股定理，得 ，即满足要求的正方形边长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，正方形的判定以及直角三角形的两锐角互余，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【经典例题十三 运用相似三角形的性质解决动点问题】 【例13】（23-24九年级上·湖南衡阳·期中）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（       ） A．3 B． C．或4 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的动点问题，主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识．先利用勾股定理计算出，再讨论：当时，则可证明，当时，则可证明，然后分别利用相似比求出对应的的长． 【详解】解：如图， ，，， ， 当时， ，， ， ，即， 解得， 当时， ，， ， ，即， 解得， 综上所述，的长为4或． 故选：D． 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，，，动点D以的速度从点A出发沿方向向点B运动．动点E以的速度从点C出发沿方向向点A运动．两点同时开始运动，当点D运动到点B的位置后，两点均停止运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与相似时，运动的时间是（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，设运动时间为，由题意得，，则，再由题意可得只存在和这两种情况，据此分两种情况根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得，， ∴， ∵， ∴只存在和这两种情况， 当，则， ∴， 解得； 当，则， ∴， 解得； 综上所述，或， 故选：D． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图所示， 在中， ， ， 点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒．当能与相似，x的值为 ． 【答案】5或 【分析】解答时，分和两种情况解答即可． 本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设经过，能与相似． ∵， ，点P从点A 出发， 沿以的速度向点B运动，同时点Q从C点出发，沿CA 以的速度向点A运动，设运动时间为x秒， ∴，，， 当时，则即， 解得； 经检验，是方程的根； 当时，则即， 解得，； 经检验，，都是方程的根； 但是舍去， 故， 故答案为：5或． 3．（24-25九年级上·河北沧州·阶段练习）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为． (1)当为何值时，的面积为？ (2)为何值时，以，，为顶点的三角形与相似． 【答案】(1)时，的面积为16cm2 (2)或时，以，，为顶点的三角形与相似 【分析】（1）由题意知，，，再根据三角形的面积公式即可列出方程，解方程可得答案； （2）由，可得当或时，以，，为顶点的三角形与相似，再代入值计算即可． 【详解】（1）解：运动结束的时间为：， ， 由题意知，，， ， 的面积为，即， ， 解得：或（不合题意，舍去）， 当时，的面积为； （2）， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似， 或， 解得：或， 当或时，以，，为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，一元二次方程的应用，矩形的性质，三角形的面积，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键，同时注意分类讨论思想的运用． 【经典例题十四 运用相似三角形的性质解决最值问题】 【例14】（23-24九年级上·上海·单元测试）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，D是△ABC内部或BC边上的一个动点(与B、C不重合)，以D为顶点作△DEF，使△DEF∽△ABC(相似比k＞1)，EF∥BC．两三角形重叠部分是四边形AGDH，当四边形AGDH的面积最大时，最大值是多少？(　　) A．12 B．11.52 C．13 D．8 【答案】A 【分析】先判断面积最大时点D的位置，由△BGD∽△BAC，找出AH=8-GA，得到S矩形AGDH=-AG2+8AG，确定极值，AG=3时，面积最大，于是得到结论． 【详解】∵AB2+AC2=100=BC2， ∴∠BAC=90°， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠EDF=∠BAC=90°， 如图1延长ED交BC于M，延长FD交BC于N， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠B=∠E， ∵EF∥BC， ∴∠E=∠EMC， ∴∠B=∠EMC， ∴AB∥DE， 同理：DF∥AC， ∴四边形AGDH为平行四边形， ∵∠EDF=90°， ∴四边形AGDH为矩形， ∵GA⊥AC， ∴四边形AGDH为正方形， 当点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 如图2， 点D在内部时（N在△ABC内部或BC边上），延长GD至N，过N作NM⊥AC于M， ∴矩形GNMA面积大于矩形AGDH， ∴点D在△ABC内部时，四边形AGDH的面积不可能最大， 只有点D在BC边上时，面积才有可能最大， 如图3， 点D在BC上， ∵△DEF∽△ABC， ∴∠F=∠C， ∵EF∥BC． ∴∠F=∠BDG， ∴∠BDG=∠C， ∴DG∥AC， ∴△BGD∽△BAC， ∴， ∴， ∴， ∴AH=8-GA， S矩形AGDH=AG×AH=AG×（8-AG）=-AG2+8AG， 当AG=-=3时，S矩形AGDH最大，S矩形AGDH最大=12． 故选A． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形，矩形，极值的确定，勾股定理的逆定理，解本题的关键是作出辅助线， 1．（14-15九年级上·江苏无锡·期中）在平面直角坐标系中，直角梯形的位置如图所示，，，．M、N分别在线段，线段上运动，当的面积达到最大时，存在一种使得周长最小的情况，则此时点M的坐标为 (    )．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质；轴对称-最短路线问题．过点M作，交于点P，过点N作，分别交于两点Q、G，则，因为取得最大值是时，的面积最大值，设O关于的对称点D，连接，交于M，此时，从而求得M的坐标． 【详解】解：如图，过点M作，交于点P，过点N作，分别交于两点Q、G， 则，    ∵， ∴当点N与点B重合，取得最大值时，的面积最大值， 设O关于的对称点D，连接，交于M，    此时的面积最大，周长最短， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴M的坐标． 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，，以为斜边在的右侧作，其中，．当长度最大时，的长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，构造出与相似的三角形得出取最大时的情况是本题解题的关键；以为斜边构造与相似的直角三角形，然后利用三角形三边关系得出最大时的情况，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：作直角三角形，使，，，连接，    ∵，， ∴设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， 当在同一直线上时，即时，长度最大， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴, ∴， 故答案为：。 3．（2024·陕西咸阳·二模）【问题探究】 （1）如图1，和是两个全等的三角形（点A、B、C的对应点分别是D、A、E），点E在的延长线上，交于点F，．求与的比值； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是一个人工观光湖，米，米，．现要把四边形观光湖扩建成五边形，根据设计要求要使，B、F之间的距离等于，．并沿修建一座观光桥，为容纳更多的游客，要使观光桥的长度最大．当观光桥的长度最大时，求的长． 【答案】（1）；（2）米 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，进一步即可得到，结论得证； （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M，证明四边形、是矩形，求出，进一步得到，延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点，当点C、B、F共线时，即点F与点重合时的值最大，最大值为180，证明，则，得到．，则，证明四边形是矩形，则．，求出即可． 【详解】解：（1） ． ． ． ， ， （2）连接，过点B作于点G．延长交于点M， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∵ ∴ ∵B、F之间的距离等于， 延长到点，使得，过点作于点H，交的延长线于点 由图可得． 当点C、B、F共线时，即点F与点重合时，的值最大，最大值为180 ， ， ，即 ．， ∵ ∴四边形是矩形， ∴． ： ． ∴当观光桥的长度最大时，的长为米 【经典例题十五 相似三角形的综合问题】 【例15】（2024·山东聊城·模拟预测）如图，点，，将线段平移得到线段．若，，则点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形的变换—平移，相似三角形的判定和性质，过点作轴于点，先证明，根据相似三角形的性质可得，求出点的坐标，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：过点作轴于点，如图所示： 则， ∵点，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴点坐标为， 故选：A． 1．（2024·河北沧州·一模）如图，中，，是中线， 是上一点，作射线，交于点，若，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作，交于点，则有，根据 ，，可得，，再根据是边上的中线，得到，；根据可得，则，化简即可得到结果． 【详解】解：如图，作，交于点， ∴ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴ ∵是边上的中线， ∴ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， 则． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟悉相关性质是解题的关键． 2．（2024·山西阳泉·一模）如图，菱形中，对角线与相交于点O．将线段绕点B顺时针方向旋转，使点A落在上的点H．点E为边的中点，连接，交于点P．若，则线段的长为 ． 【答案】5 【分析】过E点作BD的垂线，根据菱形的性质可知，，根据勾股定理可以得出，所以，OH=1，HF=3，因为E、F是BC和BO的中点，由中位线定理可以得出EF，OF的长，再根据相似三角形，列出比例：，从而求出OP的长度，最后由求得结果． 【详解】解：过E点作BD的垂线，与BD交于F点， ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ ∵， ∴,， ∴， ∴， ∴， ∵E是BC的中点，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形，熟练掌握菱形的相关性质，勾股定理的适用范围，以及相似三角形的应用是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·湖北武汉·阶段练习）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：； 【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值； 【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证； （2）证明，利用线段比等于相似比即可求得； （3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB． 【详解】解：（1）如图，∵，，， ∴，且， ∴， ∴， ∴ （2）如图2，连接BD， ∵，， ∴ 在正方形ABCD中，， ∴，， ， ∴； （3）如图，过点作，交于点，连接 又 即 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键． 【经典例题十六 运用相似三角形的性质解决多结论问题】 【例16】（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作的平行线分别交、于D点、E点，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查重心的性质，熟练掌握重心的性质是解题的关键；由题意易得是的中线，然后根据重心的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得：是的中线， ∴， ∵，且过重心F， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；故D选项不正确； 故选D． 1．（2024·安徽六安·模拟预测）在四边形中，点 E是边上的一点 （不与点 A，B 重合），且，下列说法错误的是（     ） A． B．与不一定相似 C．当点E为中点时，两两相似 D．当两两相似时，点E一定为中点 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，逐一判断，即可解答，熟知相似三角形的判定条件和性质是解题的关键． 【详解】解：A、如图1， ， 而， ， ， ，故A正确； B、如图2， ， 且，此时与一定不相似，故B正确； C、， ， 当E为中点时，， ， ，此时，故C正确； D、构造如图3的矩形， 此时两两相似，但明显不是的中点，故D错误， 故选：D． 2．（2024·四川巴中·模拟预测）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点、点分别是边上的动点，，连接，下列说法错误的是（　　） A．是等边三角形 B．的最小值是1 C．当最小时 D．当时， 【答案】B 【分析】由菱形的性质得出，从而得出是等边三角形，证明得出，，即可判断A；当时，的值最小，此时也最小，由勾股定理求出即可判断B；证明得出，证明得出，即可得出，从而判断C；证明得出，结合已知条件即可判断D． 【详解】解：四边形是边长为的菱形，， ， 是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， 为等边三角形，故A正确，不符合题意； ， 当最小时，也最小， 如图，当时，的值最小， ， ，， ， 的最小值为，故B错误，符合题意； ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故C正确，不符合题意； 如图，，则， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，故D正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、垂线段最短、勾股定理等知识，证明是解此题的关键． 3．（23-24九年级上·福建福州·期末）如图，为等腰直角三角形，，，为直角边上任意一点，以线段为斜边做等腰，连接，下列说法错误的是（　　） A． B． C．四边形面积的最大值为 D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．由与都为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到，，且四个锐角为，利用等式的性质得到；由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似得到与相似；利用相似三角形对应角相等及等式的性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到；根据的面积为定值，若四边形的面积最大，则的面积最大；由高一定，面积最大即为最长，故四边形面积最大时，、重合，求出此时面积，即为最大面积，即可对于选项做出判断． 【详解】∵，都为等腰直角三角形， ，，， ∴， 即， 故选项A正确，不符合题意； ， 由①知， ； 故B选项正确，不符合题意 ； ， 即， 故D选项正确，不符合题意； 的面积为定值， 若四边形的面积最大，则的面积最大； 中，边上的高为定值， 若的面积最大，则的长最大； 由可知：当最长时，也最长； 故四边形面积最大时，、重合，此时，, 四边形的面积为： 故选项C错误，符合题意； 故选：C 1．（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知在中，点D、E分别在边和上，连接、交于点F，下列条件中，不一定能得到和相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定，解题关键是熟记相似三角形的判定方法，准确进行推理证明． 画出图形，由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可． 【详解】解：如图所示， A．∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴，故A不符合题意； B．∵， ∴ ∴ ∴ ∴，故B不符合题意； C．由不一定能得到和相似，故C符合题意； D．∵ ∴ ∴ ∴点D到的距离等于点E到的距离 ∴ ∴，故D不符合题意． 故选：C． 2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，点分别在菱形的边、上，且，交于点G，延长交的延长线于点H，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查菱形性质，相似三角形判定及性质等．根据题意设，则，，，证明，，继而得到本题答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴设，则，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 3．（23-24九年级上·陕西咸阳·期中）如图，在中，点D、E分别是和上的点，且，如果，，，那么的长是（   ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型. 证明，则，即可求出答案. 【详解】解：， ∴ ， ， ，，， ， . 故选：D 4．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）已知在中，，则下列选项中阴影部分的三角形与原不相似的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意； B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意； C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意； D、由两组对应边的成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项D不符合题意； 故选：B． 5．（2024·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点H为边BC的中点，点G为线段DH上一点，且∠BGC=90°，延长BG交CD于点E，延长CG交AD于点F，当CD=4，DE=1时，则DF的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】延长AD，BE相交于点M，可得△DFG∽△HCG，△DMG∽△HBG，根据相似三角形的性质可得DF=DM，由△MDE∽△CDF可得，进而得出，再根据比例的性质解答即可． 【详解】解：如图，延长AD，BE相交于点M， ∵DF∥CH， ∴△DFG∽△HCG， ∴ ， ∵DM∥BH， ∴△DMG∽△HBG， ∴ ， ∵CH=BH， ∴DF=DM， 又∵矩形 △MDE∽△CDF， ∴ ∴ ∴   ∴DF＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线并熟练掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键． 6．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，是上一点，，，，则的长是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解．根据已知条件证明，得到求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ，， ∴，即， 解得：或（舍去）， ， 故答案为：2． 7．（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知梯形中，，点分别是边上的点，，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，过点作，交于点，交于点，易得四边形，均为平行四边形，得到，进而得到，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：过点作，交于点，交于点，如图， ∵，， ∴， ∴四边形，均为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·上海闵行·期中）如图，边长分别为5，3，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质、梯形的面积，利用相似三角形的性质求解是解答的关键．先根据正方形的性质得到阴影部分是直角梯形，再证明，，利用相似三角形的性质求得，，进而求得，，然后利用梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意，，，， ，， ∴阴影部分是直角梯形， 又∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得，， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在矩形中，，在边上取一点，将沿直线翻折，使点恰好落在边上的处，的平分线与边交于点，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质，相似三角形的性质与判定，折叠的性质，勾股定理，过作于点，由四边形是矩形得，，则，根据角平分线的性质得，再证明，通过相似三角形的性质可得，最后由勾股定理和解一元二次方程即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠性质可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，若进行以下操作：在边上从左到右依次取点，，，，…，过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，；过点作，的平行线分别交，于点，……则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，探索规律．能够根据平行线的性质和等量代换得到是解题的关键．由，可得，因为，所以有；同理有如下规律，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ， ， ， ∴， 以此类推，， ∴ 故答案为：． 11．（24-25九年级上·陕西商洛·期中）如图，在中，点为边上一点，请用尺规作图的方法在边上求作一点，连接，使得．（保留作图痕迹，不写作法）    【答案】见解析 【分析】本题考查了作图——相似变换，掌握相似三角形的判定是解题关键．根据做一个等于已知角的作图方法，在的内部，作，与交于点，即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求作．      12．（24-25九年级上·上海虹口·阶段练习）表示一块直角三角形空地，已知，边米，米．现在根据需要在空地内画出一个正方形区域建造水池，现有方案一、方案二分别如图1、图2所示，请你分别计算两种方案中水池的边长，并比较哪种方案的正方形水池面积更大． 【答案】方案一：，方案二：，方案一的正方形水池面积更大． 【分析】方案一：设正方形边长为x米，利用平行线分线段成比例定理即可求出正方形的边长；方案二：根据题意画出图形，作交于点．根据直角三角形的面积得出的长，利用相似三角形的判定定理即可得出∽，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出正方形的边长；把两方案中正方形的边长进行比较即可得出结论． 【详解】解：设正方形的边长为米． 方案一：∵， ∴， ∴， ∴； 方案二：如图2，作于H，交于点， 则四边形是矩形， ∴米，米； 由勾股定理得：米， ∵， ∴米； ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； ∵， ∴方案一的正方形水池面积更大． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，矩形的判定与性质，正方形的性质等知识，利用相似三角形的性质是解题的关键． 13．（24-25九年级上·吉林长春·期中）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中画一个格点，并作直线． (2)在图②中画一个格点，点在直线上，连接，使． (3)在图③中画一个格点，点不在直线，连接、，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图所示，取格点D，作直线，则直线和点即为所求； （2）如图所示，格点E即为所求； （3）如图所示，格点F即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，直线和点即为所求； 可证明，则， 可证明，则可证明； （2）解：如图所示，格点E即为所求； 可证明，再由即可证明； （3）解：如图所示，格点F即为所求； 可证明， 由勾股定理的逆定理可证明，则可证明． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理及其逆定理，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 14．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图1，在中，平分． (1)求的长； (2)如图2，在（1）的条件下，E为上的点，作交于点相交于点G． ①求证：； ②若，求． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质． （1）证明,又由得到，则，得到，即可得到的长； （2）①证明，由（1）可知， ，即可证明结论； ②由以及得到，由已知及（1）可知，，，则，得到，则，过点D作交于点M，证明，则，求出，即可得到． 【详解】（1）解：∵平分 ∴， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①证明：∵，， ∴， 由（1）可知， ， ∴； ②∵， ∴， ∵， ∴， 由已知及（1）可知，， ∴， ∴， ∴， 过点D作交于点M，如图， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点在轴上（点在点的左侧），且点、的横坐标是方程的解，点为轴正半轴上一动点，连接，与的垂直平分线交于点． (1)求点的坐标；（用含的代数式表示） (2)点是点关于轴的对称点，连接，，是否存在这样的值，使与相似？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】（1）利用因式分解法解出的值，得到点与点左边，进而得到的垂直平分线，再根据点的坐标设直线为，求出直线解析式，即可得到点的坐标； （2）利用对称得到点，作轴，轴，，，证明，得到，根据与相似，分以下两种情况①，②，结合勾股定理，以及相似三角形性质和判定求解，即可解题． 【详解】（1）解： 解得，， 点在点的左侧， ，， 的垂直平分线为， 直线为， 点， 设直线为， 有，解得， 直线为， 当时，， 点的坐标为； （2）解：点为轴正半轴上一动点，且点，点是点关于轴的对称点， 点， ， ， 作轴，轴，，，如图所示： ，， 点是点关于轴的对称点， ， ，即， ， ，，，， ， 为直角三角形， 与相似，即也为为直角三角形， ①， ， ， 即， 解得； ②， ， ， ， 即， 解得或（舍去）； 综上所述，存在这样的值，使与相似，或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，解一元二次方程，线段垂直平分线的性质，勾股定理，坐标与图形，解题的关键在于利用分类讨论的思想方法解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$