大单元整合练 反比例函数与一次函数的图象共存及交点问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（湘教版 湖南专版）

大单元整合练 反比例函数与一次函数的图象共存及 交点问题【湖南热点】 (整合内容：八下第4章《一次函数》，九上第1章《反比例函数》) 知识回顾 一次函数y=x十b(k≠0) 反比例函数y=(≠0) x 图象形状 直线 双曲线（关于原点对称） k>0 y随x的增大而 (单调递增) 在每一个象限内，y随x的增大而 增减性 k<0 y随x的增大而 (单调递减) 在每一个象限内，y随x的增大而 与一次函数不同，描述反比例函数的增减性时，要分x>0,x<0两种情况讨论，不能笼统 易错警醒 地说成k>0或k<0 目标整合1 会判断同一平面直角坐标系中函 【练有所得】两个函数图象在同一平面直角坐标系中 数的图象（教材P13习题T7变式） 表示时，要注意相同字母的取值是一样的，通常用排 除法来解相关选择题. 1.若ab<0,则正比例函数y=ax与反比例函 目标整合2会综合运用相关知识解决反比例 数y=在同一平面直角坐标系中的图象可 函数与一次函数结合的交点问题 能是 4.一题多变思维延伸已知反比例函数y=飞 x 的有 (k≠0)的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的 图象相交于点A(2,3)和点B,则点B的坐 标为 ( ) A.(-2,3) B.(2,-3) 2.(益阳期中)一次函数y=ax十b C.(-2,-3) D.(3,2) 的图象如图所示，则一次函数 【变式题1】如图，正比例函数y1=1x的图 0 y=bx十a与反比例函数y= 象与反比例函数y2-的图象相交于A,B 两点，点B的横坐标为2.当y1>y2时，x的 的大致图象是 取值范围是 ( A.x<-2或0<x<2 B.-2x<0或x>2 C.x<-2或x>2 D.-2<x<0或0<x<2 3.(2024一2025·衡阳蒸湘区期中)一次函数 【变式题2】直线y=kx(k≠0)与双曲线y y=ax一a与反比例函数y=a(a≠0)在同 是交于A(,B()两点（点A在 一平面直角坐标系中的图象可能是( 第二象限)，则2x1y2十3x2y1的值为 【练有所得】正比例函数与反比例函数的图象都是 兴生卡女 关于原点对称的中心对称图形，在同一平面直角坐 标系中，若两函数图象的交点坐标为(x1,yⅥ)，(x2, y2),则x1=一x2,y1=一y2. 11数学九年级上册(X) 5.(2024·岳阳模拟)如图，反比例函数y= 6.如图，在平面直角坐标系中，直 x 线y1=1x+b与双曲线y2= (x<0)的图象与一次函数y=一2x+m的 图象交于点A(一1,4)，BC⊥y轴于点D,分 (其中k2卡0)相交于 x B 别交反比例函数与一次函数的图象于点B,C A(一2,3)，B(m,一2)两点，过点B作BP∥ (1)求反比例函数y=与一次函数y=一2x十 x轴，交y轴于点P,连接AP,则△ABP的 面积是 m的表达式； 7.(2024·遂宁中考)如图，一次函数y1=x十 (2)当OD=1时，求线段BC的长. b(k≠0)的图象与反比例函数y2=”(m≠0) 的图象相交于A(1,3),B(n,一1)两点. (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象，直接写出当y1>y2时，x的取 值范围； (3)过点B作直线OB,交反比例函数图象于 点C,连接AC,求△ABC的面积， 目标整合3会解决反比例函数与一次函数结 合的面积问题 模型提炼：反比例函数与二次函数图象的两个交点与 坐标轴上任意一，点形成的图形的面积有如下关系(P9 专题一中类型1（二）为此类型的特殊情况)： SAABC=SAACE+SABCE S△ABc=S△ACE+S△BCE 1 2 CE·yA一yB CE·|xA一xB 2 提示 请完成基本功专练（一） 第1章反比例函数12参考答案 第1章反比例函数 1.1反比例函数 名师导学 ①y-乡 比例系数②所有非零实数 【例1】解：1)(2)(4(5)是反比例函数，比例系数分别是3，，5,10. 【例21y=12(x>0) 【例3】①②④ 1.C2.-23.a≠-1【变式题】a≠-3 4解：(1比例系数是一号，自变量的取值范围是x≠0.(2)当x=一10时， y=2X210子(3)当y=6时，--6，解得x=一是 5 5.B6.C 7解：由题意，得y=200×20=4000 8.B9.C10.180 1.解：1)当x=5时，下底长为5÷号-15.Seg=号×(6+15)×6 60.当上底长为，易得下底长为3x:梯形的面积为定值，“60=7(x+ 3x)×y,即y=30.(2)把y=4代入y=30,得4=30，解得c=7.5.3x= 22.5..当y=4时，下底长为22.5. 12.解：，y1与x成正比例，y2与x2成反比例，∴.设y1=ax(a≠0)，y2= （≠0.y=n十%=ax+是.把x=2y=19和x=3,y=19代人，得 19=2a+ 4 19=3a+ 解得 a5:y与工之间的函数关系式为y=5x+36. k=36. 9 1.2反比例函数的图象与性质 第1课时反比例函数y=(>0)的图象与性质 名师导学 一、三曲线不相交减小 【例1】解：(1)-3一4-6643(2)如图所示.(3)一、三(4)减小 6-54-3-2-1O123456x 【例2】D 1.A2.D3.B4.C5.D6.A【变式题】A 7.解：(1)由题意，得m十2>0，解得m>一2.(2)当x>1时，函数值y随x 的增大而减小.当x<一1时，函数值y随x的增大而减小. 8.C9.D10.-1<a<0 11.解：(1)由题意，得|-2=0，且2-k≠0，解得=-2.(2)一、三减 小(3)由(1)，得反比例函数的表达式为y=兰当-3≤≤-时y 随x的增大而诚小当x=一3时，y=一专当x=-2时，y=一8.小当 -3≤≤一合时，函数的最大值为一号，最小值为一8. 12.解：1)把C2,2)代人y=冬得2=会解得=4=：BD=1, “点D的纵坐标为1.令y=1,得1=兰，解得x=4.“点D的坐标为(4， 1).(2)点P的横坐标x的取值范围是2≤x≤4. 第2采时反比例函教y-(质<0)的困象与性质 名师导学 ①二、四增大②x 【例】解：1)把5，-1D代入y-会，得-1=号，解得=-5.y关于x的 函数表达式为)=一是(2)当y=一4时，一4=一解得x=景.(3)： =一5<0，∴.这个函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增 大面增大.(4④：-号×10=-5，÷点A在该反比例函数的图象上.”一号× 1=吉≠一5，“点B不在该反比例函数的图象上. 1.B2.B3.A4.C5.-1(答案不唯一) 6,解：1)y=-(2)n<,理由如下：k=-16<0,在每个象限 内，y随x的增大而增大.2<4，y<y2 7.D8.C9.1>k3>k2 10,解：1)把(3，一2)代入y=是（≠0），得A=3×(-2)=-6.4这个反 比例函数的表达式为y=一如图所示.(2)当y=5时，5=一，解得x 号由图象，得当5，且y≠0时<一号或>0， 5 y 16 5 4 65-4-3-2+1O12B456x 2 (3.-2) -6-5-4-3-2-10123456x -5 -6 -21 (第10题图) (第11题图) —2 11.解：(1)x≠043(2)如图所示.(3)①士3②图象关于y轴对称 (答案不唯一，合理即可) 第3课时反比例函数图象与性质的综合运用 名师导学 I1受个 【例1】解：(1)把A(a,4)代入y=2x-2,得2a-2=4,解得a=3.∴.点A的 坐标为3,4.(2)把A3,4)代入y-冬得4=夸，解得及=12.反比例函 数的表达式为y一号把B(一3，m)代人，得m=号=一4 【例2】-6 1.C2.(1)y=4(21,223.B4.y=-45.C x 6.解：(1)把A(-2,1)代入y-,得1=”2，解得m=一2.反比例函数 的表达式为)y=一是把B1,m)代人，得a=-是--2.(2)-2<<0或 x>1 7.A8.D9.10 10.解：1)把B(-1,4)代入y=,得4=，解得m=-4.∴反比例函 数的表达式为y=一兰把A(0,一2)代入，得一2=一音解得n=2A(2。 -2).把A(2,-2),B(-1,4)代入y=kx+b,得 2k十b=一2·解得 -+b=4, 函数的表达式为y=一2x+2.(2)设直线 b=2. 点为C.在y=一2x十2中，当x=0时，y=2..C(0,2)..S△Aos=S△A0c十 Sax=号×2X2+号×2X1=3. 11.解：(1).四边形OABC是矩形，D(4,1),且D为AB的中点，∴.B(4, 2》.点E的纵坐标为2.把D(4,1)代入)=是，得1=冬，解得是=4.反 比例函数的表达式为y=是把y=2代人，得2=1，解得x=2.∴点E的 坐标为(2,2).(2)-3≤m≤0.【解析】把D(4,1)代人y=x十m,得1=4十 m,解得m=-3.把E(2,2)代入y=x十m,得2=2+m,解得m=0.∴.m的 取值范围是3≤m≤0. 专题一反比例函数中k的几何意义【湖南热点】 1.6【变式题(1)-10(2)12.43.3【变式题】-64.D5.2 6.-67.38.B9.C10.A11.B12.813.-8 大单元整合练反比例函数与一次函数的图象共存及 交点问题【湖南热点】 知识回顾 增大减小减小增大 1.B2.C3.A4.C【变式题1】A【变式题2】10 5.解：1)把A(一1,4)代人y=冬，得4=年，解得=-4.反比例函数 一3 的表达式为y=-兰把A(-1,4)代入y=-2x十m,得4=-2×(-1)十 m,解得m=2.∴.一次函数的表达式为y=一2x+2.(2).BC⊥y轴于点 D,BC∥x轴.OD=1,∴点B,C的纵坐标为1.把y=1代入y=-4, x 得x=-4,.B(-4,1).把y=1代入y=-2x十2，得1=-2x十2，解得x =7c(分，1BC=3-(-4)=42 6.号 7.解：(1)把A(1,3)代入为=，得3=，解得m=3.·反比例函数的表 达式为为=兰把B(,-1)代入，得m=号=-3B(-3,-1.把 A(1,3),B(-3,一1)代人y1=x+b,得 (k十b=3, -36+6=-1,解得 (k=1,. 1b=2. 次函数的表达式为y1=x十2.(2)一3<x<0或x>1.(3)连接OA,设直线 AB与x轴的交点为M.在y=x十2中，当y=0时，x=一2，∴.M(一2,0). Sam=5aam十Sa=号×2X3十号X2X1=4.易得点B和点C关 于点O成中心对称，∴.OB=OC..SAABC=2S△0B=8. 1.3反比例函数的应用 名师导学 (1)时间(2)宽(3)面积(4)电阻 【例1】解：1)y-128(2)80(3)当y=50时，128-50，解得=2.56.由 图象可得，当y≤50时，x≥2.56..若要使面条的总长度不大于50m,则 面条最细应为2.56mm. 【例2】D 1.B2.43.F=800 4.4 5.解：1)设这个反比例函数的表达式为1=是把(9,4)代人，得U=9X4 =36,这个反比例函数的表达式为1=治(2)当R=3时，1=9=12(4. 6.C7.2:3:6 8.解：1)设p关于V的函数关系式为p=合.把(0.04,120)代人，得120= 0.4解得=4.8p=当b=150时，48-150，解得V=0.032. k 号X3=0.032,解得=02.：=4.8>0在第一象限内，p随V的 增大而减小..要使气球不会爆炸，则V≥0032，此时r≥0.2..气球的半 径至少为0.2m时气球不会爆炸.(2)由于车辆超载，轮胎体积变小，胎内 气压增大导致爆胎， ,.解：1)设反比例函数的表达式为y=冬把C(20,45)代入，得45=易 解得k=900.反比例函数的表达式为y=900(20≤x≤45).当x=45时， y=900=20,D(45,20).A(0,20),即点A对应的指标值为20.(2)能. 45 一4 理由如下：由A(0,20),B(10,45),易得线段AB的函数表达式为)=号： 十20(0≤x<10).把y=36代入y=号x+20,得号x+20=36,解得x= 是把y=36代入y-92,得90-36，解得x=25.·当号≤≤25时，注 意力指标都不低于36.：25号=>16，王老师能经过适当的安排 使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36. 专题二反比例函数中常见的易错问题 1.A【变式题】-22.-13.D4.-1≤x<0或x≥2 5.(1)-4≤y<0(2)y<-1或y>06.m>0或m<-37.C8.D 9.解：1)一2<<0(2)当x=1时，y=;当x=2时，=多分两种情况 讨论：①当一2<k<0时，在1≤<2范围内，y随x的增大面增大，冬 k=1,解得=一2（舍去）；②当k>0时，在1≤x≤2范围内，y随x的增大 而减小长一合-1，解得及=2.综上所述，k的值是2. 第1章章末复习 思维导图 一、三二、四减小增大 考点整合 1 1.D2.D3.B4.D5.26.157.D8.B ,.解：1)把B(1,3)代入y一会，得3=奈，解得=3.反比例函数的表达 式为)=兰把A(-3@)代人，得a=写=-1.A(-3,-10.把A(-3, -1),B1,3)代入y=mx+,得厂3m+n=-1,象 解得m一次函数 m+n=3, n=2. 的表达式为y=x十2.(2)在y=x十2中，当x=0时，y=2;当y=0时，x= -2,C(-2,0),D0,2.5m=号×2X1=1.S6m=45w=4. ÷2X2·m=∴p=士4.：点P在第三象限。=一4.把y=一4 代入y=是得一4=是解得x=是P(一景，一4)， 10.D11.20 12.解：(1)设y与x之间的函数关系式为y=.把(24,50)代入，得50= 会解得=120.y与x之间的函数关系式为y=120(x>0.(2)当 =20时，20=120，解得x=60,60÷15=4(台.答：需要4台这样的挖 掘机. 13.解：(1)函数图象如图所示.(2)①观察图象可知，y1与x成反比例.设 y=(k≠0).把(30,10)代入，得k=30X10=300.y关于x的函数表 达式为=30.②观察图象可知，十5与工成反比例：设为十5=(m 5 ≠0).把(30,5)代人，得0-5+5，解得m=30.·%关于x的函数表达 式为y,=300-5.③减小减小下(3)当=19时，19=300-5，解得 2=25,当2=45时，45=300一5，解得x=6.托盘B与点C的距离 x x(cm)的取值范围是6≤x≤ +y/g 30 25升 20H 15升 10 y y 051015202530x/cm 第2章一元二次方程 2.1一元二次方程 名师导学 二a.x2十bx十c=0常数项 【例1】解：去括号，得2x2十6x-4x-12十3x=7.移项，合并同类项，得2x2 十5x一19=0.其中二次项系数为2，一次项系数为5，常数项为一19. 【例2】B 【例3】-2 1.A2.B【变式题】-13.D 4.解：(1)2x2=1一3x化为一般形式为2x2+3x-1=0.它的二次项系数为 2,一次项系数为3，常数项为一1.(2)5x(x一2)=4x2一3x化为一般形式为 x2一7x=0.它的二次项系数为1，一次项系数为一7，常数项为0. 5.B 6.解：1)根据题意，得2x(14-x)=24.整理，得x-14x十48=0.(2)根 据题意，得x2+(x十7)2=65.整理，得2x2十14x-16=0. 7.A8.D9.(11-2x)(7-2x)=21 10.解：(1)根据题意，得2一4=0且k一2≠0，解得=-2.∴.当=一2 时，此方程是一元一次方程.(2)根据题意，得2一4≠0，解得k≠士2..当 k≠士2时，此方程是一元二次方程.此时一元二次方程的二次项系数是 一4，一次项系数是一2，常数项是0. 11.解：由题意，得AB=17m,AC=5m,BE=DM=2m,AD=CD'= 25 m,DD'=x m..'AE=AB-BE=15 m,CE=AC+AE=20 m. Rt△AED中，由勾股定理，得DE=√AD-AE=20m,∴.D'E=DE一 DD=(20-x)m.在Rt△CED'中，由勾股定理，得D'E2十CE2=CD'2, .(20-x)2+202=252.化为一般形式为x2-40x+175=0. 2.2一元二次方程的解法 2.2.1配方法 第1课时用直接开平方法解一元二次方程 名师导学 ①相等 【例1】B 【例2】-2 —6