精品解析：河南省信阳市息县五校联考2025-2026学年九年级上学期9月月考数学试题

2025－2026学年第一学期月考试卷 九年级数学（人教版） ·九上第21.1节~22.1节· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意； B、不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、含未知数的项的次数为3，不是一元二次方程，不符合题意； 故选A． 2. 用配方法解方程 时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程－配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 先把移到方程的右边，然后方程两边都加4，再把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 3. 如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据二次函数的定义求参数的值，根据二次函数的定义得到且，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选：B． 4. 若一元二次方程的两根分别是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．利用因式分解法解方程，由此即可得． 【详解】解：A、的两根分别是，则此项不符合题意； B、的两根分别是，则此项不符合题意； C、的两根分别是，则此项不符合题意； D、的两根分别是，则此项符合题意； 故选：D． 5. 将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，得到； 故选A． 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式．求出判别式的符号，即可得出结论，掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 7. 已知，，是抛物线上的点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，根据二次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随着的增大而增大， ∵，，是抛物线上的点，且， ∴， 故选：D． 8. 某次酒会上，与会嘉宾每两人碰杯一次，若共碰杯66次，则酒会上嘉宾人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】设参加酒会的人数为人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯66次，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设参加酒会的人数为人，每个人都要和除自己之外的人碰杯，所以初步计算碰杯次数为次．但这样每两人的碰杯都被重复计算了两次（例如甲和乙碰杯与乙和甲碰杯是同一次），因此实际碰杯次数应为总次数的一半，即次． ∴， 整理得：， 解得（不合题意，舍去）． 故选：C． 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系，二次函数图象与一次函数的图象的综合判断，根据二次函数的图象，判断出的符号，进而判断出一次函数图象经过的象限，进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴， ∴一次函数的图象经过第一，二，三象限； 故选A． 10. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，完全平方公式的几何背景，通过图形直观，得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 根据题意，画出方程，即的拼图过程，由面积之间的关系可得出答案． 【详解】解：方程，即的拼图如图所示 中间小正方形的边长为，其面积为9， 大正方形的面积：， 其边长为7， 因此，C选项所表示的图形符合题意， 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数对称轴的判断方法是解题的关键．以y轴为对称轴，即对称轴为直线，根据二次函数性质，当一次项系数时，对称轴为y轴． 【详解】解：二次函数的标准形式为 ，其对称轴为直线 ， ∵以y轴为对称轴， ∴对称轴为直线， ∴， ∴二次函数解析式应满足，如 （其中）， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 将方程化为一般形式后，若二次项系数为，则常数项为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据题意，将方程转化为一般式，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴常数项为2， 故答案为：2． 13. 已知数轴上A、B两点相距4个单位长度，且对应的数字如图，则__________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查两点间的距离，解一元二次方程，根据两点间的距离公式，列出方程进行求解即可． 【详解】解：， 整理，得：， 解得； 故答案为：1． 14. 已知二次函数（b，c是常数）．当时，y的最大值为，当时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的增减性． 由题可得对称轴为直线，然后根据最值得到时，；抛物线顶点的纵坐标是3，然后求出的值解题即可． 【详解】解：由题意，得抛物线的对称轴是直线． ∵当时，y的最大值为，当时，y的最大值为3，， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧，又抛物线的开口向下， ∴当时，， ∴； 当时，y的最大值为3，即抛物线顶点的纵坐标是3， ∴， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴该抛物线的对称轴为直线． 故答案为：． 15. 如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为__________s． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，一元二次方程的应用，过点作于点，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：由题意，， 过点作于点， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴或， 由勾股定理，得， 解得或； 故答案为：或． 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）已知四边形的对角线互相垂直，且，，写出四边形的面积与之间的函数关系式，并判断该函数是否为二次函数． 【答案】（1）；（2），是二次函数 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程、二次函数的判定，熟练掌握因式分解法解一元二次方程以及对角线互相垂直的四边形面积公式是解题的关键． （1）通过移项、提取公因式来解方程； （2）根据对角线互相垂直的四边形面积公式列出函数关系式，再判断函数类型． 【详解】解：（1）， ， ， 或， 解得，． （2）∵， ∴ ， 该函数是二次函数． 17. 笑笑解一元二次方程 的过程如下． 解：整理得 ① ② ③ ∴方程有两个不相等的实数根， ④ ⑤ （1）笑笑的求解过程从第__________步开始出现错误；（填序号） （2）请你写出这个方程正确的解题步骤； （3）根据平时的学习经验，就解一元二次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 【答案】（1）② （2） 整理得， ∴， ∴， ∴， ∴． （3） 解方程的过程中，移项要变号，解要化为最简等（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程，是解题的关键： （1），不是，故第②步开始出现错误； （2）利用公式法解方程即可； （3）根据解一元二次方程的过程，给出建议即可． 【小问1详解】 解：，不是，故第②步开始出现错误； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 已知抛物线． （1）自变量x的取值范围是__________； （2）请将下表补充完整： x … 0 1 2 3 … y … 2 … （3）在下面的坐标系中画出函数的大致图象； （4）若该抛物线上有两点，它们的横坐标满足，则与的大小关系为__________． 【答案】（1）任意实数 （2） 解：将x的值代入计算即可得： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … （3） 解：根据（2）中数据在坐标系内描点并连线即可得二次函数的图象： ； （4） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质： （1）根据二次函数的定义即可解答； （2）将x的值代入二次函数的解析式计算即可； （3）根据（2）中的数据进行描点，并用光滑的曲线连接，即可得到二次函数的图象； （4）根据二次函数的图象性质（增减性）即可判断大小． 【小问1详解】 解：二次函数的自变量取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：抛物线的对称轴是，图象开口向下， ∴当时，随着x的增大y减小， ∵， ∴， 故答案为：． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程不含x的一次项，求k的值； （2）当时，所得方程两根为等腰三角形的边长，求此等腰三角形的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，解一元二次方程，等腰三角形的定义，正确的求出方程的解，是解题的关键： （1）将方程化为一般式，根据方程不含x的一次项，得到一次项的系数为0，进行求解即可； （2）因式分解法求出方程的解，根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系进行求解即可． 【小问1详解】 解：将原方程整理得：． ∵方程不含的一次项， ∴，解得； 【小问2详解】 解：当时，原方程化为， ∴，解得． ∵2与5是等腰三角形的两边长，且， ∴等腰三角形的腰为5，底边为2， ∴等腰三角形的周长为． 20. 某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． （1）直接写出点P的坐标__________； （2）若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出二次函数的解析式，是解题的关键： （1）根据点到坐标轴的距离，写出点P的坐标即可； （2）根据题意得到抛物线与轴的交点坐标，设出顶点式，待定系数法求出函数解析式，求出抛物线与轴的交点即可得出结果。 【小问1详解】 解：∵点P距x轴，距y轴，且点在第一象限， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得，设抛物线解析式为，且抛物线经过点， ∴，解得， 因此， 当时，， ∴水龙头直立部分的长度为． 21. 如图， 抛物线交x轴于两点．交y轴于点C． （1）我们可以将A、B坐标分别代入原抛物线解析式，仿照一次函数待定系数法的方式求出b，c．请据此求出b和c； （2）连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，当线段与抛物线无交点时，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）求出对称轴，根据平移的性质和对称性求出当恰好落在抛物线上时，恰好与点重合时，两种临界情况，即可得出结果． 【小问1详解】 解∶将两点分别代入原抛物线解析式， ， 解得； 【小问2详解】 由（1）可知： ∴抛物线的对称轴为， 将线段向右平移得到对应线段，分两种情况： 当恰好落在抛物线上时，根据对称性，可知的横坐标为2，此时； 当恰好与点重合时，， 故当线段与抛物线无交点时，的取值范围是或． 22. 课题探究 课题 “平均数法”解一元二次方程 示例 解方程：． 解：原方程可变形为， ， ， 方程两边同时开平方，得，解得． 我们把这种解法叫作“平均数法” 应用 下面是用“平均数法”解方程的过程 解：原方程可变形为， ∴， ， 方程两边同时开平方，得：． （1）上述解题过程中，____，____，____，____； （2）用“平均数法”解下列方程： ①；②． 【答案】（1）5，1，1，；（2）①，② 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解， （1）根据题中方法解该方程即可求出这些符号所对应的数； （2）根据题中方法求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， 解得， 故， 故答案为：5，1，，； （2）① 解：原方程可变形为， ， ， 方程两边同时开平方，得，解得． ② 解：原方程先化简为， 再变形为， ， ， 方程两边同时开平方，得， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第一学期月考试卷 九年级数学（人教版） ·九上第21.1节~22.1节· 注意事项： 1．本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确答案的代号字母填在题后括号内） 1. 下列是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程 时，原方程变形为（ ） A. B. C. D. 3. 如果函数是关于x的二次函数，那么m的值是（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 0 4. 若一元二次方程的两根分别是，则这个方程可以是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线向下平移2个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 已知，，是抛物线上的点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 某次酒会上，与会嘉宾每两人碰杯一次，若共碰杯66次，则酒会上嘉宾人数为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 9. 二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法，以方程即]为例说明，构造如图，大正方形的面积是，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即，因此，所以．则在下面四个构图中，能正确说明方程的解法的构图是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出一个以轴为对称轴的二次函数解析式________． 12. 将方程化为一般形式后，若二次项系数为，则常数项为__________． 13. 已知数轴上A、B两点相距4个单位长度，且对应的数字如图，则__________． 14. 已知二次函数（b，c是常数）．当时，y的最大值为，当时，y的最大值为3，则该抛物线的对称轴为：__________． 15. 如图，A、B、C、D是矩形的四个顶点， ，动点E从点A出发，以的速度向点D运动，直到点D为止；动点F同时从点C出发，以的速度向点B运动，与点E同时结束运动．当点E和点F之间的距离是时，运动时间为__________s． 三、解答题 （本大题共8个小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）已知四边形的对角线互相垂直，且，，写出四边形的面积与之间的函数关系式，并判断该函数是否为二次函数． 17. 笑笑解一元二次方程 的过程如下． 解：整理得 ① ② ③ ∴方程有两个不相等的实数根， ④ ⑤ （1）笑笑的求解过程从第__________步开始出现错误；（填序号） （2）请你写出这个方程正确的解题步骤； （3）根据平时的学习经验，就解一元二次方程还需要注意的事项给同学们提一条建议． 18. 已知抛物线． （1）自变量x的取值范围是__________； （2）请将下表补充完整： x … 0 1 2 3 … y … 2 … （3）在下面的坐标系中画出函数的大致图象； （4）若该抛物线上有两点，它们的横坐标满足，则与的大小关系为__________． 19. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程不含x的一次项，求k的值； （2）当时，所得方程两根为等腰三角形的边长，求此等腰三角形的周长． 20. 某圆形洗手盆上安装了一款水龙头，其弯曲部分呈抛物线形，以水龙头底部与洗手盆台面的交点O为坐标原点，直立部分所在直线为y轴，垂直于的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，测得水龙头最高点P距x轴，距y轴． （1）直接写出点P的坐标__________； （2）若沿水龙头喷出的水柱仍然按照原来的抛物线轨迹运动，且在台面的落点到直立部分的距离为，求水龙头直立部分的长度． 21. 如图， 抛物线交x轴于两点．交y轴于点C． （1）我们可以将A、B坐标分别代入原抛物线解析式，仿照一次函数待定系数法的方式求出b，c．请据此求出b和c； （2）连接，将线段沿x轴向右平移个单位长度，当线段与抛物线无交点时，求m的取值范围． 22. 课题探究 课题 “平均数法”解一元二次方程 示例 解方程：． 解：原方程可变形为， ， ， 方程两边同时开平方，得，解得． 我们把这种解法叫作“平均数法” 应用 下面是用“平均数法”解方程的过程 解：原方程可变形为， ∴， ， 方程两边同时开平方，得：． （1）上述解题过程中，____，____，____，____； （2）用“平均数法”解下列方程： ①；②． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $