专题01 线段的有关计算问题（5大题型）（专项训练）数学北师大版2024七年级上册

专题01 线段的有关计算问题 目录 A题型建模・专项突破 题型一、线段的数量问题 1 题型二、线段的和与差 3 题型三、线段中点的有关计算 5 题型四、线段n等分点的有关计算 10 题型五、与线段有关的动点问题 13 B综合攻坚・能力跃升 题型一、线段的数量问题 1.一条铁路有个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票（    ）种． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的概念：直线上两点间的有限部分（包括两个端点），熟记概念是解题关键． 【详解】如图，线段上点到点个点代表个火车站，    图中的线段一共有：（条） 每两个车站有往返两种情况，所以，车票的种类一共：（种） 故选：C． 2.乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有（      ） A．6种 B．20种 C．10种 D．12种 【答案】C 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段条数的问题，根据题意确定出数学模型，求出五点确定出线段的条数即可得到答案． 【详解】解：∵一共有五个站，相当于有5个点， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票张数即为5个点所能组成的线段条数， ∵2点能确定一条线段， ∴5个点一共最多能确定条线段， ∴从济南西站到枣庄站这段线路的火车票最多有10种， 故选：C 3.由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站—田阳站—田东站—平果站—隆安站—南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有 种． 【答案】30 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查线段、直线、射线，掌握线段条数的计算方法是解决问题的关键．将每一个车站看作一个点，铁路线为线段，求出所有线段条数的2倍即可． 【详解】解：如图： 图中线段的条数为（条）， （种）， 即铁路运营公司为这条路线制作的往返车票有30种． 故答案为：30． 4.前段时间，一条好消息迅速在长葛人朋友圈刷屏：大长葛也有地铁了！郑许市域铁路12月26日-27日免费试乘，“双城生活模式”正式启动．图中展示了郑许市域铁路长葛市域内的五个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备 种不同的车票．    【答案】20 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有个点，则线段的数量有条”．先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可． 【详解】解：5个点中线段的总条数是（种）， ∵任何两站之间，往返两种车票， ∴应印制（种）， 故答案为：20． 题型二、线段的和与差 5.已知点C在线段上，，则 ． 【答案】4 【知识点】线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，根据线段的和差关系列式求解即可． 【详解】解；∵点C在线段上，， ∴， 故答案为：． 6.线段的长为，延长到，使，再反向延长到，使，则线段的长为 ． 【答案】 【知识点】两点间的距离、线段的和与差 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差关系是解答此题的关键． 根据已知分别得出的长，即可得出线段的长． 【详解】解：∵线段，延长到C，使，再反向延长到D，使， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7.同一条直线上有三点且线段，点是的中点，厘米，则线段的长为 ． 【答案】或/或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了线段的中点，和差运算，根据题意，由点为中点，，可得的值，图形结合，分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示， ∵， ∴， ∴ ∴； 故答案为：或 ． 8.已知线段． (1)若点是线段上一点，，则的长为 ； (2)若点是线段的中点，则的长为 ； (3)若点是线段的一个三等分点，则的长为 ． 【答案】(1)7 (2)4.5 (3)3或6 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查线段的和差，线段中点、以及三等分点的特点，解题的关键在于利用分类讨论的思想解决问题． （1）根据线段的和差计算即可； （2）根据线段中点的特点计算即可； （3）根据点为的三等分点分两种情况讨论：①点靠近点；②点靠近点，结合线段的和差计算即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：点是线段的中点， ； 故答案为：4.5． （3）解：点是线段的一个三等分点， ①当点靠近点时， ； ②当点靠近点时， ； 综上所述，的长为3或6． 故答案为：3或6． 题型三、线段中点的有关计算 9.如图，线设，点C是线段的中点，点D是线段的中点． (1)如图①，求线段的长； (2)如图②，点N是线段上的一点，且满足，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，掌握线段中点的定义是正确解答的关键． （1）根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系进行计算即可； （2）由线段的比例关系以及线段中点的定义进行计算即可． 【详解】（1）解：点C是线段的中点， ， 又点D是线段的中点，， ； （2）解：， ， ∴ ． 10.如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点为这条折线的“折中点”．已知点D是图中折线的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若，点D在线段______（填“”或“”）上； ②若，则的长度为______． (2)若E为线段的中点，，求的长度． 【答案】(1)①，②2或14 (2)的长度是4或28 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义： （1）①根据“折中点”的定义进行求解即可；②分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可； （2）先根据线段中点的定义得到的长，再同分当点D在上时，当点D在上时，两种情况画出对应的示意图，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，点D是图中折线的“折中点”， ∴点D在线段上， 故答案为：； ②如图所示，当点D在上时， ∵， ∴， ∵， ∴ 如图所示，当点D在上时， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的长为2或14； （2）解：E为线段中点，， ∴． ①点D在线段上时，如图所示， ∵， ∴． ∵D为折中点， ∴． ∴； ②点D在线段上时，如图所示， ∴， ∴． ∴． ∴． 综上所述，的长度是4或28． 11.如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查线段中点，线段和差的计算， （1）根据题意，，由此即可求解； （2）由（1）可得，，由此可得，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴． 12.如图，，，，是直线上的四个点，，分别是，的中点．    (1)如果，，，则的长为________； (2)如果，，则的长为_________； (3)如果，，求的长，并说明理由． 【答案】(1) (2)14 (3)，理由见解析 【知识点】线段中点的有关计算、两点间的距离 【分析】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出的长，利用线段中点的性质，得出，． （1）根据线段的和，可得的长，根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （2）先根据线段的和与差，计算出的长，再根据线段中点的性质，可得与的关系，与的关系，根据线段的和，可得答案； （3）根据（2）的解题过程，即可解答． 【详解】（1）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， 故答案为：14； （3）解：，， ， ，分别是，的中点， ，， ， ， ， ． 题型四、线段n等分点的有关计算 13.二等分点：又叫线段的 ，把线段分成 的两部分． 即：如图，若点P是线段的中点，则或 三等分点：把线段分成 的三部分．以此类推． 【答案】 中点 相等 相等 【知识点】线段之间的数量关系、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点，线段的三等分点，正确理解定义是解题的关键． 【详解】二等分点：又叫线段的中点，把线段分成相等的两部分．     即：如图，若点P是线段AB的中点，     则或 三等分点：把线段分成相等的三部分．以此类推． 故答案为：中点；相等；相等． 14.已知线段，延长至点C，使，点D、E均为线段延长线上两点，且，M、N分别是线段的中点，当点C是线段的三等分点时，的长为 ． 【答案】40或80 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差问题，画出线段有助于更直观地解题，注意分情况讨论．分时和时两种情况，画出对应的图形分别讨论求解即可． 【详解】解：∵，，N是线段的中点， ∴，， ①若，如图1所示： ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； ②若，如图： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； 故答案为：40或80． 15.如图，为线段上一点，点为的中点，已知． (1)求的长； (2)若点是线段上靠近点A的三等分点，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段n等分点的有关计算、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查的是线段的中点的含义，线段的和差关系，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据线段的和差，求得的长，再根据线段中点的性质，可求出的长； （2）先求得的长，再根据线段的和差，可得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为点为的中点， 所以； （2）解：因为，点是线段上靠近点A的三等分点， 所以， 则． 所以． 16.已知线段，C是线段上任意一点（不与点A，B重合）． (1)若M，N分别是的中点，求的长度； (2)若，，求的长； (3)在（2）的条件下，若且G点在直线上，，求的长度． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段n等分点的有关计算 【分析】本题考查了线段的n等分点有关的计算，线段的和差，理解线段n等分点的定义是解答本题的关键． （1）由中点的定义可得，，然后根据求解即可； （2）由，可得，，然后根据求解即可； （3）先求出线段的长，然后分点G在线段上和点G在线段的延长线上两种情况求解即可． 【详解】（1）∵M，N分别是的中点， ∴，， ∴． ∵， ∴； （2）∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）∵，， ∴． ∵， ∴， ∴． 当点G在线段上时，； 当点G在线段的延长线上时，． 综上可知，的长度为或． 题型五、与线段有关的动点问题 17.如图①，已知点C在线段上，线段厘米，厘米，点M，N分别是，的中点． (1)求线段的长度； (2)根据第（1）题的计算过程和结果，设，其他条件不变，求的长度； (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿向右运动，终点为B，点Q以1厘米/秒的速度沿向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： ①点P恰好为线段的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 【答案】(1)厘米 (2) (3)①   ②或 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的中点和计算，利用线段中点的性质得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． （1）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （2）根据中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）①分为为线段的中点和为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案； ②分为C为线段的中点和点为线段的中点，利用线段中点的定义，可得方程，根据解方程，可得答案． 【详解】（1）解：∵线段 厘米， 厘米，点, 分别是, 的中点, 厘米， 厘米， 厘米； （2）∵点, 分别是的中点, ， ； （3）解：①当 时，为线段的中点，， 解得； ②当时，是线段的中点，得 解得 当 时，为线段的中点， 解得 当时，为线段的中点， 解得(舍) , 综上所述：或 18.如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 19.已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，求的值． (2)若点C、D运动时，总有，直接填空： ___________． (3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或1 【知识点】与线段有关的动点问题、线段的和与差 【分析】（1）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据题意算出，，再由，即可解题． （2）本题考查线段的和与差，以及动点问题，设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． （3）本题考查线段的和与差，以及动点问题，根据N是直线上一点，且，可分为以下两种情况讨论，当点N在线段上时和当点N在线段的延长线上时，结合线段之间的和差关系，得出与的数量关系，即可解题． 【详解】（1）解：（1）当点C、D运动了时，，， ，，， ． （2）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ， 故答案为：． （3）解：当点N在线段上时，如图 ， 又， ， ，即． 当点N在线段的延长线上时，如图： ， 又， ，即．综上所述的值为或． 20.已知：如图，点M是线段上一定点，，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上） (1)若，当点C、D运动了，此时 ， ；（直接填空） (2)当点C、D运动了，求的值； (3)若点C、D运动时，总有，则 ；（直接填空） (4)在（3）的条件下，是直线上一点，且，求的值． 【答案】(1)； (2) (3) (4)或1 【知识点】与线段有关的动点问题、线段之间的数量关系、线段的和与差 【分析】本题考查了线段上的动点问题，线段的和差，较难的是题（4），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键． （1）先求出、的长，再根据线段的和差即可得； （2）先求出与的关系，再根据线段的和差即可得； （3）根据已知得，然后根据，代入即可求解； （4）分点N在线段上和点N在线段的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得． 【详解】（1）解：根据题意知，，， ∵，， ∴， ∴，， 故答案为：；． （2）解：当点C、D运动了时，，， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：根据C、D的运动速度知：， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （4）解：①当点N在线段上时，如图1，      ∵， 又∵ ∴， ∴ ∴； ②当点N在线段的延长线上时，如图2，    ∵， 又∵， ∴， ∴； 综上所述：或1． 一、单选题 1．（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要制定（   ）种火车票． A．4 B．6 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题考查线段计数问题，掌握相关知识是解决问题的关键．本题相当于一条直线上共4个点，因为火车往返于甲、丙两地，所以计算线段条数的2倍即为所求． 【详解】解：如图，共有条线段， ∵火车往返于甲、丙两地， ∴共需种车票． 故选：D． 2．（24-25七年级上·广东东莞·期末）已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段，，那么A、C两点间的距离为（  ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的和与差，掌握两点间的距离，线段的和差计算是解题的关键． 根据题意，分两种情况画出图形分析：①当点C在点B的左侧时；②当点C在点B的右侧时．根据两点间的距离，线段的和差计算解答即可． 【详解】解：分两种情况： ①如图所示，当点C在点B的左侧时， ，， ； ②如图所示，当点C在点B的右侧时， ，， ； 综上所述，A、C两点间的距离为或． 故选：C． 3．（2025·河北保定·模拟预测）已知线段，点C是直线上一点，，若M是的中点，N是的中点，则线段的长度是（    ） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【分析】本题考查了有关线段中点的计算．熟练掌握线段中点的定义，线段的和差，分情况讨论，是解题的关键． 分两种情况讨论，①当点C在线段上时，②当点C在线段的延长线上时，根据线段中点定义及和差关系即可求解． 【详解】解：①当点C在线段上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． ②当点C在线段的延长线上时，如图所示： ∵，， ∴（）， ∵M是的中点，N是的中点， ∴，， ∴（）． 综上所述，线段的长度是8． 故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，线段在线段上，且，若线段的长度是-个正整数，则图中以A、B、C、D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是（   ） A．28 B．29 C．30 D．27 【答案】A 【分析】本题考查了线段，先求出以、、、这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和，然后根据居已知可得所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数，从而进行计算即可解答， 【详解】解：以、、、这四点中任意两点为端点有：、、、、、等，共六条， ， ∵，线段的长度是-个正整数， ∴所有线段的总和减去1的差一定是3的倍数， A、是的倍数，故A符合题意； B、不是的倍数，故B不符合题意； C、不是的倍数，故C不符合题意； D、不是的倍数，故D不符合题意； 故选A． 5．（23-24七年级上·山东临沂·期末）如图，已知A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程中，M，N始终为，的中点，设运动时间为t（）秒，则下列结论中正确结论的个数是（    ） ①B对应的数是； ②点P到达点B时，； ③时，； ④在点P的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了数轴的应用，线段的中点性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 根据两点间距离进行计算即可判断①；利用路程除以速度即可判断②；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，由题意求出的长， 再利用路程除以速度即可判断③；分两种情况，点P在点B的右边，点P在点B的左边，利用线段的中点性质进行计算即可判断④； 【详解】∵A，B（B在A的左侧）是数轴上的两点，点A对应的数为12，且， ∴B对应的数为，故①正确； ∵， ∴点P到达点B时，，故②是正确的； 当点P在点B右边时， ∵， ∴， ∴； 当点P在点B左边时， ∵， ∴， ∴， ∴时，或，故③错误； 在点P的运动过程中，当点P在点B右边时， ； 在点P的运动过程中，当点P在点B左边时， ； ∴在点P的运动过程中，线段的长度不会发生变化，故④错误； ∴正确结论有①②， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）如图，点C、D分别是线段的中点，若，则 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了线段的中点，根据线段中点的定义可得，．进而可得答案． 【详解】解：为中点， ， ， ， 为中点， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线段、的中点，若线段，，则线段 ． 【答案】或 【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差，利用分类讨论的思想解决问题是关键．根据点的位置分两种情况分别求解即可． 【详解】解：如图，当点在的延长线上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 如图，当点在上时， ，，M、N分别为线段、的中点， ，， ； 综上可知，线段或， 故答案为：或． 8．（24-25七年级上·四川泸州·期末）A，B，C是数轴上的三个点，点A表示的数，且点A，点B之间的距离为3，点C为线段的中点，则点C表示的数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查数轴，线段的中点，掌握数轴表示数的方法以及数轴上两点距离的计算方法是正确解答的关键． 根据数轴表示数的方法以及数轴上两点的距离的计算方法求出点所表示的数，再根据线段中点的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意可知：， 设点表示的数为， 点表示的数是， ， 即， 解得或， 当时，设点表示的数为， 点是的中点， ， 当时，设点表示的数为， 点是的中点， ， 综上所述，点所表示的数为或． 故答案为：或． 9．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，点M在线段的延长线上，且线段，第一次操作：分别取线段和的中点；第二次操作：分别取线段和的中点；第三次操作：分别取线段和的中点连续这样操作2024次，则线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段规律性问题，线段中点的有关计算，准确根据题意找出规律是解决本题的关键，根据线段中点定义先求出的长度，再由的长度求出的长度，从而找到的规律，即可求出结果． 【详解】解：是和的中点， ， 是和的中点， ， 是和的中点， ， ， 发现规律：， 当时，， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）有公共端点P的两条线段，组成一条折线，若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，则线段的长是 【答案】2或14 【分析】本题考查了线段中点及“折中点”的概念，解题的关键是理解折中点的定义，分情况讨论点D的位置（在或上），再结合线段长度关系列方程求解．由E是中点及，得；分D在上和上两种情况，根据“折中点分折线为等长两部分”列方程，求的长． 【详解】∵E是的中点，且， ∴． 分析折中点D的位置（分两种情况）： 折线的总长度为，折中点D需满足“从A到D的折线长等于总长度的一半”． 情况1：D在上， 此时为从A到D的折线长，且． 由折中点定义：，即，解得． 情况2：D在上， 此时从A到D的折线长为． 由折中点定义：，即，解得． 故答案为：2或14． 三、解答题 11．（24-25七年级下·湖北武汉·开学考试）如图，平面上有四个点A、B、C、D，根据下列语句画图： (1)画直线； (2)作射线； (3)连接，并将反向延长； (4)作出点P，使P到A、B、C、D四个点的距离之和最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，直线，射线，线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）根据直线的定义解决问题即可． （2）根据射线的定义解决问题即可． （3）根据要求画出图形即可． （4）连接，交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，射线即为所求； （3）解：如图射线即为所求； （4）解：如图，点P即为所求． 12．（24-25七年级上·河北邢台·期末）如图，是线段上一点，是线段的中点． (1)若，，求的长． (2)若，，求的长． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题主要考查了线段中点的定义，线段的和差计算，理解题意是解题关键． （1）利用线段中点定义求解即可； （2）设，则，利用线段中点的定义求出线段即可． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为是线段的中点，所以． 所以． （2）设，则， 所以． 所以， 所以． 所以． 13．（24-25七年级上·全国·期末）已知，，，四点在同一直线上，线段，点在线段上． (1)如图1，点是线段的中点，，求线段的长度； (2)若点是直线上一点，且满足，，求线段的长度． 【答案】(1)5 (2)线段的长度为或 【分析】本题主要考查线段中点的定义、两点间的距离，学会利用数形结合和分类讨论思想是解题关键． （1）由线段中点的定义可得，再由求得，于是； （2）分三种情况讨论：点在线段上，分别求得，，则；点在点的右侧，分别求得，，则；点在点的左侧，此种情况不满足题意． 【详解】（1）解：，点是线段的中点， ， 又，， ， ； （2）解：①当点在线段上时，如图， ，， ， ； ②当点在点的右侧时，如图， ，， ， ； ③当点在点的左侧时，此时，不存在符合题意的点． 综上，线段的长度为或． 14．（24-25七年级上·广东东莞·期末）（1）【观察思考】如图，线段上有两个点，，以点，，，为端点的线段共有 条； （2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有 条线段； （3）【拓展应用】若有支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ （4）【变式运用】，两地之间建有铁路运送旅客，共有个站，一共需准备 种不同火车票． 【答案】（1）6；（2）；（3）一共要进行场比赛；（4）380 【分析】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意． （1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可； （2）根据数线段的特点列出式子化简即可； （3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论． （4）从上述问题得出结论即可求解，注意火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关． 【详解】（1）解：∵以点A为左端点向右的线段有：线段， 以点C为左端点向右的线段有线段， 以点D为左端点的线段有线段， ∴共有（条）． 故答案为：6； （2）解：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条， 则， ∴倒序排列有， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段， 由题知，当时，． 答：一共要进行45场比赛． （4）解：∵火车票的种类与出发站和到达站的顺序有关，而线段与顺序无关， ∴根据上述问题可得，， 故答案为：． 15．（24-25七年级上·河北沧州·期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和8． (1)线段长是_______； (2)若点C、点D分别是的中点，求线段的长； (3)若点P是数轴上任意一点，，求点P表示的数． 【答案】(1)10 (2)5 (3)点表示的数为6或10 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的定义，线段的和与差： （1）根据数轴上两点之间的距离解答即可； （2）根据线段中点的定义可得，从而得到，即可求解； （3）求出，然后分两种情况：当点在线段上时，当点在线段的延长线上时，即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上A、B两点所表示的数分别为和8， ∴； 故答案为∶10 （2）解：因为点，点分别是的中点， 所以， 所以； （3）解：因为数轴上B点所表示的数为8， 所以， 因为， 所以， 当点在线段上时， ， 所以点表示的数为6； 当点在线段的延长线上时， ， 所以点表示的数为10， 综上，所以点表示的数为6或10． 16．（2025七年级上·全国·专题练习）【新知理解】 点在线段上，若或，则称点是线段的“优点”，线段，称作互为“优点”伴侣线段． 例如，图1，线段的长度为6，点在上，的长度为2，则点是线段的其中一个“优点”． （1）若点为图1中线段的“优点”，且，则__________； （2）若点也是图1中线段的“优点”（不同于点），则_______（填“”“ ”或“”） 【解决问题】 如图2，数轴上有，两点，其中点表示的数为1，点表示的数为4； （3）若点在点的左侧，且，均为线段的“优点”，则线段的长为____________； （4）若点在线段的延长线上，且线段与互为“优点”伴侣线段，则点表示的数为___________． 【答案】（1）9；（2）；（3）；（4）或10 【分析】本题主要查了线段的和与差： （1）根据“优点”的定义解答，即可求解； （2）根据“优点”的定义解答，即可求解； （3）根据“优点”的定义可得，即可求解； （4）根据题意可得，再由“优点”伴侣线段的定义解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵点为图1中线段的“优点”，且， ∴， ∴； 故答案为：9 （2）∵点也是图1中线段的“优点”（不同于点）， ∴， ∴， ∴； 故答案为： （3）∵点表示的数为4， ∴， ∵点在点的左侧，且，均为线段的“优点”， ∴， ∴； 故答案为： （4）∵点表示的数为1，点表示的数为4， ∴， ∵线段与互为“优点”伴侣线段， 当时，， ∴点G表示的数为， 当时，， ∴点G表示的数为10， 综上，点G表示的数为或10． 故答案为：或10 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01线段的有关计算问题 目录 A题型建模·专项突破 题型一、线段的数量问题…。 题型二、线段的和与差… 3 题型三、线段中点的有关计算.5 题型四、线段n等分点的有关计算 10 题型五、与线段有关的动点问题.… B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、线段的数量问题 1.一条铁路有8个火车站，若一列火车往返过程中必须停靠每个车站，则铁路局需为这条线路准备车票 ()种. A.8 B.16 C.56 D.28 2乘特快列车从济南西站出发，沿途经过泰安站、曲阜东站、滕州东站，最后到达枣庄站，那么从济南西 站到枣庄站这段线路的火车票最多有() A.6种 B.20种 C.10种 D.12种 3.由百色站至南宁站的某趟动车，运行途中停靠的车站依次是：百色站一田阳站一田东站一平果站一隆安 站一南宁站，那么铁路运营公司要为这条路线制作的往返车票有种 4.前段时间，一条好消息迅速在长葛人朋友圈刷屏：大长葛也有地铁了！郑许市域铁路12月26日-27日免 费试乘，“双城生活模式”正式启动.图中展示了郑许市域铁路长葛市域内的五个站点，若要满足乘客在 这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票： 、9号线 四港联动大 16号线 18号 工业七路 华夏幸福城 大周西 大道 长 葛天大通 北范大道 农大 新元大道 永兴东路 永品大 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型二、线段的和与差 5.已知点C在线段AB上，AB=6,BC=2,则AC=一 6.线段AB的长为2cm,延长AB到C,使AC=3AB,再反向延长AB到D,使BD=2BC,则线段CD的长 为_cm 7.同一条直线上有三点A,B,C且线段BC=3AB,点D是BC的中点，CD=3厘米，则线段AC的长为一 8.己知线段AB=9」 (1)若点C是线段AB上一点，AC=2,则BC的长为一： (2)若点C是线段AB的中点，则AC的长为一； (3)若点C是线段AB的一个三等分点，则BC的长为一· 题型三、线段中点的有关计算 9如图，线设AB=18,点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点. C D B AN C D B ① ② (1)如图①，求线段AD的长： (2)如图②，点N是线段AC上的一点，且满足NC:AN=3:1,求DN的长度， 10如果一点在由两条公共端点的线段组成的一条折线上且把这条折线分成长度相等的两部分，我们称该点 为这条折线的“折中点”.已知点D是图中折线A-C-B的“折中点”，请解答以下问题： (1)①若AC=6,BC=10,点D在线段（填“AC”或“BC”)上： ②若AC=8,CD=3,则BC的长度为 (2)若E为线段AC的中点，EC=8,CD=6,求CB的长度. 11.如图，C为线段AB上一点，AB=m、BC=n,M、N分别为AC、BC的中点. C N B (1)若m=8、n=2,求MN的长； .CN (2)若m=3n'求M的值. 12.如图，A,B,C,D是直线I上的四个点，M,N分别是AB,CD的中点. 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M 少 A B CD (1)如果MB=2cm,NC=1.8cm,BC=5cm,则AD的长为」 cm: (2)如果MN=10cm,BC=6cm,则AD的长为 cm: (3)如果MN=a,BC=b,求AD的长，并说明理由. 题型四、线段n等分点的有关计算 13二等分点：又叫线段的一，把线段分成 的两部分. A P B 即：如图，若点P是线段AB的中点，则4P=BP-21B或HB=2AP=2BP 三等分点：把线段分成的三部分.以此类推， 14.已知线段AB=30,延长BA至点C,使CB:AB=4:3,点D、E均为线段BA延长线上两点，且 BD=3AE,M、N分别是线段DE、AB的中点，当点C是线段BD的三等分点时，MN的长为一 15.如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，已知AD=10,AC=6. A CB D (1)求BC的长： (2)若点P是线段AC上靠近点A的三等分点，求BP的长. 16.已知线段AB=90Cm,C是线段AB上任意一点（不与点A,B重合）· A M N B (I)若M,N分别是AC,BC的中点，求MN的长度； a若4W-写4C,BN=BC,求的长： 31 (3)在(2)的条件下，若BC=30cm且G点在直线AB上，GB=15cm,求MG的长度. 题型五、与线段有关的动点问题 17.如图①，已知点C在线段AB上，线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M,N分别是AC,BC的中点. L A M A C B 图① 图② (1)求线段MN的长度； (2)根据第(1)题的计算过程和结果，设AC+BC=a,其他条件不变，求MN的长度： (3)动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2厘米/秒的速度沿AB向右运动，终点为B,点Q以1厘米/ 秒的速度沿BA向左运动，终点为A,当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，求运动多少秒时： 317 ©命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①点P恰好为线段CQ的中点？ ②直接写出C、P、Q三点中有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（除①外） 18.如图，P是线段AB上一点，AB=I8cm,C,D两动点分别从点P,B同时出发沿射线BA向左运动， 到达点A处即停止运动. AC P (1)若点C,D的速度分别是lcm/s,2cm/s. ①若2cm<AP<14cm,当动点C,D运动了2s时，求AC+PD的值： ②若点C到达AP中点时，点D也刚好到达BP的中点，求AP:PB: (2)若动点C,D的速度分别是lcm/s,3cms,点C,D在运动时，总有PD=3AC,求AP的长度。 19.己知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以lcm/s、3cm/s的速度沿直 线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上) C M D B 图1 M B 图2 (1)若AB=10cm,当点C、D运动了2s,求AC+MD的值. (2)若点C、D运动时，总有MD=3AC,直接填空：AM= AB. MN (3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN:求AB的值. 20.己知：如图，点M是线段AB上一定点，AB=16cm,C、D两点分别从M、B出发以lcm/s、3cm/s的 速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上) D B (I)若AM=6Cm,当点C、D运动了3s,此时AC=,DM=_;(直接填空) (2)当点C、D运动了3s,求AC+MD的值： (3)若点C、D运动时，总有MD=3AC,则AM=_;(直接填空) MN 4在(3)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN:求B的值. B 综合攻坚·能力跃升 一、单选题 417 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26七年级上：湖南永州开学考试)一列火车往返甲、丙两地，中间要停靠乙、丁两地，铁路局要 制定()种火车票。 A.4 B.6 C.8 D.12 2.(24-25七年级上广东东莞期末)已知A、B、C三点在同一条直线上，如果线段AB=4Cm, BC=lcm,那么A、C两点间的距离为() A.5cm B.3cm C.5cm或3cm D.不能确定 3.(2025河北保定·模拟预测)已知线段AB=16cm,点C是直线AB上一点，BC=2Cm,若M是AC的 中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是() A.8cm B.9cm C.7cm或5cm D.7cm或9cm 4.(24-25七年级上·江苏徐州期末)如图，线段CD在线段AB上，且CD=1,若线段AB的长度是-个正 整数，则图中以A、B、C、D这四点中任意两点为端点的所有线段长度之和可能是() D A.28 B.29 C.30 D.27 5.(23-24七年级上·山东临沂·期末)如图，已知A,B(B在A的左侧)是数轴上的两点，点A对应的数 为12，且AB=18,动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点P的运动过程 中，M,N始终为AP,PB的中点，设运动时间为t(t>0)秒，则下列结论中正确结论的个数是() ①B对应的数是6： ②点P到达点B时，t=9; ③BP=2时，t=8; ④在点P的运动过程中，线段MW的长度会发生变化， B N ←PMA A.①② B.①②③ C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 6.(2425七年级上·陕西榆林期末)如图，点C、D分别是线段AB、BC的中点，若CD=3,则AB= A C D B 7.(24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试)已知点A、B、C三个点在同一条直线上，M、N分别为线 段AB、BC的中点，若线段AB=16,BC=9,则线段MN= 8.(24-25七年级上：四川泸州期末)A,B,C是数轴上的三个点，点A表示的数-2，且点A,点B之间 的距离为3，点C为线段AB的中点，则点C表示的数是一· 9.(24-25七年级上江苏扬州阶段练习)如图，点M在线段AW的延长线上，且线段MN=5,第一次操 作：分别取线段AM和AN的中点M,V;第二次操作：分别取线段AM1和AN,的中点M,N2:第三次 5/7 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 操作：分别取线段AM2和AN2的中点M,N,.…连续这样操作2024次，则线段M04V24的长度为一 Y A Ms M2 M 10.(24-25七年级上河南南阳·阶段练习)有公共端点P的两条线段MP,NP组成一条折线M-P-N, 若该折线M-P-N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”. 已知点D是折线A-C-B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD=3,CE=4,则线段BC的长是 三、解答题 11.(24-25七年级下·湖北武汉·开学考试)如图，平面上有四个点A、B、C、D,根据下列语句画图： A· B D C (1)画直线AB: (2)作射线CD; (3)连接BC,并将BC反向延长： (4)作出点P,使P到A、B、C、D四个点的距离之和最小. 12.(24-25七年级上河北邢台·期末)如图，C是线段AB上一点，O是线段AB的中点. CO B (1)若AC=6,BC=10,求OC的长. (②)若AC:AB=3:8, oc-3,求Bc的长 13.(24-25七年级上全国期末)己知A,B,C,D四点在同一直线上，线段AB=8,点D在线段AB 上… B D B 图1 备用图 ①如图L,点C是线段B的中点，CD=BD,求线段D的长度 3 (2)若点C是直线AB上一点，且满足AC:BC=4:1,BD=2,求线段CD的长度， 14.(24-25七年级上广东东莞·期末)(1)【观察思考】如图，线段AB上有两个点C,D,以点A,B, C,D为端点的线段共有条： 衣DB (2)【模型构建】若线段上有n个点（包括端点），则该线段上共有_条线段： (3)【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场 比赛)，请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？ 617 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)【变式运用】A,B两地之间建有铁路运送旅客，共有20个站，一共需准备种不同火车票。 15.(24-25七年级上·河北沧州·期末)如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为-2和8. A C O D B 0 A 0 B 0 4 (备用图) (1)线段AB长是 ； (2)若点C、点D分别是AOBO的中点，求线段CD的长： (3)若点P是数轴上任意一点，PB=OB,求点P表示的数， 16.(2025七年级上全国·专题练习)【新知理解】 点C在线段AB上，若BC=2AC或AC=2BC,则称点C是线段AB的“优点”，线段AC,BC称作互为 “优点”伴侣线段 B 图1 例如，图1，线段AB的长度为6，点C在AB上，AC的长度为2，则点C是线段AB的其中一个“优点”. (1)若点C为图1中线段AB的“优点”，且AC=3(AC<BC),则AB= (2)若点D也是图1中线段AB的“优点”（不同于点C),则AC BD(填“>”“<”或“= ”) 【解决问题】 OE -2-10123456781 图2 如图2，数轴上有E,F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4： (3)若M点在N点的左侧，且M,N均为线段OF的“优点”，则线段MW的长为 (4)若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，则点G表示的数为 717