专题03 特殊平行四边形基础解答题分类训练（7种类型42道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

专题03 特殊平行四边形基础解答题分类训练 （7种类型42道） 考点01 菱形相关基础证明 考点02 矩形相关基础证明 考点03 直角三角形斜边上的中线相关基础证明 考点04 正方形相关基础证明 考点05 中点四边形相关基础证明 考点06 添加条件后证明 考点07 尺规作图 考点01 菱形相关基础证明 1．如图，菱形的对角线，相交于点O，点E在上，连接，且，点F为的中点，连接． (1)求证：是的中位线； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，三角形中位线． （1）根据菱形的性质可知点O为的中点，进而可证是的中位线； （2）根据菱形的性质可知，，由勾股定理得，，根据中位线定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴点O为的中点， ∵点F为的中点， ∴是的中位线； （2）解：∵菱形， ，， 在中，，， 由勾股定理得， ， ， 在中，， 由（1）知是的中位线， ． 2．如图，已知中，D是的中点，过点D作交于点E，过点A作交于点F，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查菱形的性质与判定，含角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）由题意可得，则，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可得四边形是平行四边形；又垂直平分，根据菱形的判定定理可得结论； （2）过点A作于点G，根据题意可得，，再根据含角的直角三角形的性质可得、，再由，可求的长． 【详解】（1）证明：在中，点D是的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵，点D是的中点，即垂直平分， ∴平行四边形是菱形； （2）解：如图，过点A作于点G， 由（1）知四边形是菱形，又，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．如图，中，点F在上，，的角平分线，交于点E，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的判定和性质，平行四边形性质，直角三角形性质，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义得出，然后根据菱形的判定即可证明； （2）过作，利用勾股定理，直角三角形性质求出长，菱形的面积公式解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 又 四边形是平行四边形， 又 四边形是菱形； （2）解：过作， ， ，， ， 由勾股定理得， ， 四边形的面积． 4．已知：四边形中，，，，，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)在上，截取，连接，，，，那么四边形是什么特殊四边形？说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)四边形是菱形，理由见解析． 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边中线等于斜边一半，熟知菱形的性质与判定定理，平行四边形的性质与判定定理是解题的关键． （）先证明四边形是平行四边形，又 ，分别是，的中点，故有，，证明四边形是平行四边形 ，然后通过直角三角形性质得，从而求证； （）连接交于点，由菱形性质可得，，，，然后证明四边形是平行四边形，最后通过菱形的判定方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，即， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中点， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：四边形是菱形，理由如下， 如图，连接交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 5．已知：如图，在中，，点D是的中点，过点A作，，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质，即可证明结论； （2）先根据直角三角形的性质求得，然后根据勾股定理求出，再证明，即可得答案． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ，点D是的中点， ， 平行四边形是菱形． （2）解：，，， ， ， 四边形是平行四边形， , 点D是的中点， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的判定及直角三角形的性质是解题的关键． 6．在菱形中，对角线，相交点，点在线段上，连接． (1)若，，点在线段的垂直平分线上，求的面积． (2)若，，，求线段的长． 【答案】(1)的面积是 (2) 【分析】（1）结合菱形的性质、勾股定理求出，再由垂直平分线性质得，设，由勾股定理得，借此求出后，即可根据得解； （2）由等角对等边得，结合菱形的性质求出、、，再结合勾股定理求出、． 【详解】（1）解：菱形中，，，， ， 中，， 点在线段的垂直平分线上， ， 设，则， 中，， ， 解得， 则， ； （2）解：， ， 菱形中，，，， ，， 设，则， 则，， ， 解得， 即，， 中，， 中，． 【点睛】本题考查的知识点是菱形的性质、勾股定理解直角三角形、垂直平分线的性质、等角对等边，解题关键是熟练掌握菱形的性质． 考点02 矩形相关基础证明 7．如图，在矩形中，过对角线的中点的直线与的延长线相交于点，与的延长线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，则当时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∴四边形的面积，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 8．如图，已知，延长到，使，连接，，，若． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由四边形是平行四边形，则，，又得四边形是平行四边形及，结合可得，由此可得平行四边形是矩形； （）连接，由（）得，，，所以，则，又四边形是矩形，故有，，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图，连接， 由（）得，，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．如图，在四边形中，，，，，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等边对等角，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先证明，接着证明四边形是平行四边形，然后结合，得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，知道，那么，再根据三角形内角和算得，从而得出答案． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 10．如图，矩形的对角线相交于点O，过点B作，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，连接，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形，得到，再得到，根据即可证明； （2）过点作于点，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理得到，证明是的中位线，得到，再根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，过点作于点， 由（1）知，四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∵ ∴是的中位线， ∴， ∴在中，． 11．如图①，已知矩形，平分交于点．​ (1)求证：． (2)如图②，连接，过作，交于，连接．若，，试判断的形状，并求的长．​ 【答案】(1)见解析 (2)是等腰直角三角形，理由见解析； 【分析】（1）根据矩形对边平行，结合角平分线，可证明，再根据等角对等边，得出结论； （2）根据矩形对边相等，结合（1）可知，，接着证明，得到，从而判断的形状，最后利用勾股定理求得的长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：是等腰直角三角形， 理由如下：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 是等腰直角三角形， 在中，，， ， ． 【点睛】本题考查了平行的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，三角形全等的判定与性质，同角的余角相等，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 12．如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，，垂足为点，连接，． (1)求证：； (2)求证：垂直且平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由矩形的性质可得出，，得出，由等腰三角形的性质即可得出； （2）证明，由全等三角形的性质可得出，由线段垂直平分线的性质可得出结论． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴D在的垂直平分线， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线， ∴垂直且平分. 考点03 直角三角形斜边上的中线相关基础证明 13．如图，，，E为的中点，连接，，，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又 E 为的中点， ∴，， ∴， 即是等腰三角形． （2）解：∵ ，E 为 的中点， ∴， 在 中，，， 由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． 过点 E 作于点H． 由（1）得 ， ∴． ∵ ∴ 在 中，由勾股定理，得 即 （负值已舍去）． ∴ ． 14．如图，在中，，是斜边上的中线，E是的中点，过点A作交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)判断四边形的形状，并证明你的结论． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)四边形是菱形，证明见解析； (3)10 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定与性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形以及特殊的平行四边形的判定与性质． （1）证明即可得到； （2）先证明四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边中线的性质得到，即可证明为菱形； （3）连接，证明四边形是平行四边形，则，再由菱形面积公式求解． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∵E是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴； （2）证明：四边形是菱形， 理由如下：∵D是的中点 ， ∴ ∵由（1）得    ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∵，是斜边上的中线， ∴ ∴四边形是菱形； （3）解：连接， ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵由（2）得四边形是菱形 ∴． 15．在中，，，O是边的中点，E、F分别在、边上，，交于点G，连接． (1)如图1，求证：四边形是矩形； (2)连接，若，写出图中长度等于的线段 【答案】(1)见详解 (2)图中长度等于的线段是，,，， 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握各定理是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，，推出，根据全等三角形的性质得到，然后可推出，得到四边形是平行四边形，于是得到结论； （2）由矩形的性质得到，推出是等腰直角三角形，得到，根据等腰三角形的判定即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： ∵，，O是边的中点， ∴，，，， ， ∵， ， ∴， ， ， ∵， ， ， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形； ，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∴图中长度等于的线段是，,，，． 16．如图，在中，，，在中，，，连接，取的中点，连接，． 求证：且． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形的中位线性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，添加合适的辅助线是解答的关键． 取的中点P，的中点Q，连接，，，，先根据三角形的中位线性质得到，，，，再根据等腰直角三角形的性质推导出，，，进而证明得到，，然后根据平行线的性质和直角三角形的两个锐角互余得到，进而可证结论． 【详解】解：取的中点P，的中点Q，连接，，，， ∵M为的中点， ∴，，，， ∴， ∵在中，，， ∴，，则， ∵在中，，， ∴，，则， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 即且． 17．如图，在四边形中，已知，，，F为的中点，对角线交于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，根据题意可得，再由直角三角形的性质可得，然后结合等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得，即可求证； （2）过点F作于点M，过点E作于点N，由（1）得：，，从而得到，，再由，可得，从而得到，然后根据直角三角形的性质可得，可证明，从而得到，进而得到是等腰直角三角形，继而得到是等腰直角三角形，即可求证． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点F作于点M，过点E作于点N， 由（1）得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 18．已知：如图，，、分别是、的中点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质和等边三角形的判定，解题关键是熟练掌握相关性质进行推理和计算； （1）连接、，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半得出，再根据等腰三角形的性质证明即可； （2）先证明是等边三角形，再根据求解即可． 【详解】（1）证明：连接、， ∵，是的中点， ∴， ∵是的中点， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， 又 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 考点04 正方形相关基础证明 19．如图，正方形的顶点在直线上，，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ，              ，                                   ， ． （2）作于点，于点， ， 四边形是矩形， ， ， ， 又， ， ， ，=2， ． 点到直线的距离． 20．如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接交于点O，延长至G，使，连接，，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形；理由见解析 【分析】本题考查的是正方形的性质、菱形的判定、全等三角形的判定和性质，掌握相关的性质定理和判定定理是解题的关键． （1）证明，根据全等三角形的性质证明； （2）根据全等三角形的性质得到，证明是的垂直平分线，得到，证明结论． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是菱形， 理由：， ， ， ， 是的垂直平分线， ， ，， ， ， 四边形是菱形． 21．如图，点是正方形的边上一点，把绕点顺时针旋转到的位置，连接． (1)求证：是等腰直角三角形； (2)若四边形的面积为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质得，“三角形全等，对应角和对应边相等”，则，，得证是等腰直角三角形；（2）运用勾股定理可得、的长度； 本题主要考查了正方形、旋转和三角形全等的性质、等腰直角三角形的判定和勾股定理等知识点，熟练掌握旋转的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）证明：把顺时针旋转到的位置， ， ， 四边形是正方形， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：由（1），四边形的面积＝正方形的面积， 正方形的面积为， ， 在中，，， ， 是等腰直角三角形， ． 22．如图，正方形，点为对角线上一个动点．为边上一点，且 (1)求证：； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)16 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等角对等边． （1）连接，根据正方形的性质得到，，进而证明，得到，，根据四边形内角和得到，进而得到，根据等角对等边得到，即可证明； （2）作交于点，交于点，可知四边形为正方形．证明，得到，，进而求出，根据计算即可． 【详解】（1）证明：如图1，连接， 四边形是正方形， ， 在和中，， （）， ， ， 四边形的内角和为， ， ， ， ， ， ； （2）解：如图2，作交于点，交于点，可知四边形为正方形． ， ， ， 又，， （）， ，， ， ． ． ∴ ． 23．如图，在矩形中，E是边上一点，F是的延长线上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形是正方形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】本题考查了矩形的性质，正方形的判定，勾股定理，三角形全等的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算． （1）先证明，进而可依据“”判定和全等，则，由此可得出结论； （2）在中，根据已知得，则， ，由此可得四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：在中，， ∴， 由勾股定理得：， ∴，， ∴． 24．如图，已知正方形，点E在对角线上，连接，作，交边于点F，以，为边作矩形． (1)判断矩形是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由． (2)若线段与正方形的边的夹角为，求的度数． 【答案】(1)矩形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过E作于M点，过E作于N点，由正方形得，，计算，故四边形为矩形，再证明，得，故矩形为正方形； （2）由（1）知，得，故． 【详解】（1）解：矩形是正方形，理由如下： 过E作于M点，过E作于N点，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又， 在和中， ， ∴， ∴， ∴矩形为正方形； （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，得， ∴． 考点05 中点四边形相关基础证明 25．如图，已知四边形中，点E，F，G，H分别是、、、的中点． (1)求证：和互相平分； (2)当和垂直时，与有什么数量关系？说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【详解】（1）证明：如图，连接、、、， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴，； ，， ，． 四边形为平行四边形． 与互相平分； （2）解：，理由如下： 与互相平分，和垂直， 四边形为菱形， ∴， ， 即． 26．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可； （2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接相交于点O， 点分别是四边形各边的中点， ， 四边形是矩形， ， ， 平行四边形是菱形； （2）点分别是四边形各边的中点， ， 矩形的周长为12，面积为7， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 27．如图，在中，点E，F，G，H分别是各边的中点，若四边形是矩形． (1)求证：四边形是菱形； (2)若矩形的周长为12，面积为7，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了中点四边形，平行四边形的性质，菱形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，相交于点O，利用中位线的性质和菱形的判定证明即可； （2）根据矩形的面积和周长求出，，再利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接相交于点O， 点分别是四边形各边的中点， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是菱形； （2）点分别是四边形各边的中点， ， 矩形的周长为12，面积为7， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， ． 28．[发现]如图①，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，可以得到：DE∥BC，且DE＝BC．（不需要证明） [探究]如图②，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，判断四边形EFGH的形状，并加以证明． [应用]在[探究]的条件下： （1）在四边形ABCD中，对角线满足条件 时，四边形EFGH是菱形． （2）要使四边形EFGH是正方形，对角线应满足 ．    【答案】[探究]平行四边形，证明详见解析；[应用]（1）对角线相等；（2）对角线相等且垂直 【分析】[探究]利用三角形的中位线定理可得出HG=EF、EF∥GH，继而可判断出四边形EFGH的形状； [应用]（1）对角线相等，利用三角形的中位线定理得出EF=AC，FG=BD，即可判断出EF=FG，即可得出结论； （2）对角线相等且垂直，由(1)得对角线相等时，四边形EFGH是菱形，然后利用有一个角是直角的菱形是正方形判定即可． 【详解】解：[探究]平行四边形． 理由：如图②，连接AC，    ∵E是AB的中点，F是BC的中点， ∴EF∥AC，EF=AC， 同理HG∥AC，HG=AC， 综上可得：EF∥HG，EF=HG， 故四边形EFGH是平行四边形； [应用] （1）对角线满足条件对角线相等即AC=BD时，四边形EFGH是菱形； 理由：连接AC，BD，同[探究]知，EF=AC， 同理得，FG=BD， ∵AC=BD， ∴EF=FG， ∵四边形EFGH是平行四边形， ∴▱EFGH是菱形； 故答案为：对角线相等； （2）对角线满足条件对角线相等且垂直即AC=BD，AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形； ∵G是CD的中点，F是BC的中点， ∴GF∥BD，EF∥AC， ∵AC⊥BD， ∴EF⊥GF， ∴平行四边形EFGH是矩形， ∵AC=BD ∴EF=GF， ∴矩形EFGH是正方形； 故答案为：对角线相等且垂直． 【点睛】本题主要考查了中点四边形，三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形和正方形的判定，熟练运用三角形中位线定理是本题的关键． 29．已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．    (1)四边形EFGH的形状是_________            ． (2)证明你的结论． (3)当满足 时，四边形是菱形． (4)当满足 时，四边形是矩形． (5)当满足 时，四边形是正方形． 【答案】（1）平行四边形；（2）见解析；（3）AC=BD；（4）AC⊥BD；（5）AC=BD且AC⊥BD 【分析】（1）连接AC，根据三角形的中位线定理即可知四边形EFGH是平行四边形； （2）根据三角形的中位线定理易知EH//FG，EH=FG，从而四边形EFGH是平行四边形； （3）连接AC，BD，当AC=BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH，结合（2）的结论即可得到四边形是菱形； （4）连接AC，BD，当AC⊥BD时，由三角形的中位线定理易知EF⊥EH，结合（2）的结论即可得到四边形是矩形； （5）连接AC，BD，当AC=BD且AC⊥BD时，由三角形的中位线定理易知EF=EH且EF⊥EH，结合（2）的结论即可得到四边形是正方形； 【详解】解：（1）平行四边形； （2）连接AC，    ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H， ∴线段EH，FG分别是∆ADC，∆ABC的中位线， ∴EH//AC，EH=AC，FG//AC，FG=AC， ∴EH//FG，EH=FG， ∴四边形EFGH是平行四边形； （3）当AC=BD时，四边形是菱形，理由如下 连接AC，BD ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H， ∴线段EF是∆ABD的中位线， ∴EF=BD， 由（2）知EH=AC 而AC=BD， ∴EF=EH 又由（2）已证四边形EFGH是平行四边形； ∴四边形是菱形； （4）当AC⊥BD时，四边形是矩形，理由如下 ∵四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H， ∴线段EF是∆ABD的中位线， ∴EF//BD， 由（2）知EH//AC， 而AC⊥BD， ∴EF⊥EH 又由（2）已证四边形EFGH是平行四边形； ∴四边形是矩形； （5）当AC=BD且AC⊥BD时，四边形是正方形；理由如下 当AC=BD时，由（3）知四边形是菱形，当AC⊥BD时，由（4）知四边形是矩形，所以四边形是正方形；    【点睛】本题主要考查了中点四边形的有关问题，熟练掌握好三角形的中位线定理和平行四边形，矩形，菱形，正方形的转化关系及判定方法是解题的关键． 30．【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论：DEBC，且DEBC． (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F，使得EF＝DE，连接FC．求证：DEBC，DEBC． (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH，称为四边形ABCD中点四边形．应用上述验证结论，求解下列问题： ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是矩形； ③当AC、BD满足 　 　时，四边形EFGH是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②垂直；③垂直且相等 【分析】（1）先根据“SAS”证明，得出，，根据平行线的判定得出，得出BD=CF，证明四边形BCFD为平行四边形，得出，，即可证明结论； （2）①连接AC、BD，根据中位线性质得出，，即可得证明四边形EFGH为平行四边形； ②根据矩形的判定方法，得出结论即可； ③根据正方形的判定方法，得出结论即可． 【详解】（1）证明：∵点E为AC的中点， ∴AE=CE， ∵在△AED和△CEF中， ∴， ∴，， ∴， ∵点D为AB的中点， ∴AD=BD， ∴BD=CF， ∴四边形BCFD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即DEBC，DEBC． （2）①连接AC、BD，如图所示： ∵点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形EFGH为平行四边形； ②当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形； 根据解析①可知，，，四边形EFGH是平行四边形， ∵AC⊥BD， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形EFGH是矩形； 故答案为：垂直； ③当AC=BD且AC⊥BD时，四边形EFGH是正方形； 根据解析②可知，当AC⊥BD时， 四边形EFGH是矩形， 根据解析①可知，，， ∵AC=BD， ∴， ∴四边形EFGH是正方形． 故答案为：垂直且相等 考点06 添加条件后证明 31．如图，点分别在的边上，连接，连接相交于点，请你从以下三个选项：①；②；③中选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形是菱形． (1)你选择的补充条件是______；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形是菱形的证明过程． 【答案】(1)①（③） (2)见解析 【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）添加合适的条件即可； （2）证四边形是平行四边形，再由一组临边相等的平行四边形是菱形，或对角线垂直的平行四边形是菱形即可证明． 【详解】（1）解：补充条件①或③皆可，（答案不唯一）； 故答案：①或③ （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即． ∵， ∴四边形是平行四边形． 补充条件①：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 补充条件③：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形． 32．如图，已知四边形为平行四边形，于点，于点．请你从下列三个选项：①；②；③中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形为菱形． (1)你选择的补充条件是________；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形为菱形的证明过程． 【答案】(1)①或3 (2)见解析 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）根据题意选择合适的条件即可； （2）根据补充的条件进行证明即可． 【详解】（1）解：①或③ （2）方案一：选① 证明：四边形是平行四边形， .   在和中，，，， ，    ， ∴四边形为菱形.     方案二：选③， 证明：四边形是平行四边形， .   在和中，，，， ，    ， ∴四边形为菱形. 33．如图，四边形是平行四边形，延长至，使，连接． (1)求证：． (2)添加一个适当条件，使四边形是矩形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加条件（答案不唯一），见解析 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中，， （2）解：添加条件（答案不唯一）． 理由：四边形是平行四边形， ，又， ， 又， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． 34．已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点是的中点，过B点作的平行线，交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)当与满足什么条件时，四边形是矩形？说明理由 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析. 【详解】（1）证明：∵，是的中点， ， 在和中， ， ∴， ． 又∵在平行四边形中，， ∴， （2）当时，四边形是矩形， 理由：∵， 四边形是平行四边形， 又∵，即， ∴平行四边形是矩形， 35．如图，已知中是的中点，过点C作，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若F是上一点，且，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当是等腰直角三角形时，四边形是正方形；理由见解析 【详解】（1）证明：∵，D是的中点， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：当为等腰直角三角形时，四边形是正方形， ∵为等腰直角三角形 ∴， 由（1）得四边形是矩形； ∴ ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形； ∴四边形是正方形． 36．如图，中，点是边上一个动点（不与重合），过作直线，设交平分线于点，交的外角平分线于点． (1)当点运动到何处，四边形是矩形？并说明理由． (2)在（1）的条件下，满足什么条件时，四边形是正方形？ (3)当点在边上运动时，四边形会是菱形吗？若是，请证明，若不是，则说明理由． 【答案】(1)当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由见解析 (2)当时，四边形是正方形，理由见解析 (3)不会，理由见解析 【详解】（1）解：当点O运动到中点时，四边形是矩形，理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， 又∵， ∴， ∴与相等且互相平分， ∴四边形是矩形； （2）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，是的角平分线， ∴， ∴， ∴矩形是正方形； （3）解：四边形不会是菱形，理由如下： 如图所示，连接交于G， ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为， ∴四边形不会是菱形． 考点07 尺规作图 37．按要求在中作图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，仅用无刻度直尺和圆规，作菱形，点和分别在边和上． (2)在图2中，点和分别在边和上，仅用无刻度直尺，作，点和分别在边和上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查限定工具作图，掌握菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，作的垂直平分线，交于点F，交于点E，由垂直平分线的性质可得，，由，可得，进而可证，根据四边相等可得四边形即为菱形； （2）连接，交于点O，连接并延长，交于点M，连接并延长，交于点N，顺次连接P，Q，M，N，即可得到． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． 38．如图，在菱形中，点E是的中点． (1)请仅用无刻度的直尺作图，作出边的中点F；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，点G是的中点，连接，若的面积为2，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查菱形的性质，三角形中线的性质． （1）作菱形对角线的交点，连接并延长交边于点F，点F即为所作； （2）根据三角形中线的性质求得，再根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，点F即为所作； （2）解：如图： ∵点G是的中点，的面积为2， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 39．如图，已知矩形． (1)实践与操作：利用尺规在边上取一点，使，连接，过点作于点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母） (2)猜想与证明：试猜想线段与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了基本作图，作线段、作垂线，矩形的性质，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意画出图形，即可求解； （2）证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图所示， （2），理由如下： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 40．在矩形中，是边上一定点，是直线上一动点，将沿直线翻折，点B的对应点为G． (1)若点G落在矩形的内部，且E，G，D三点在一条直线上时，请在图中作出此时的点G和直线；（请用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)1 【分析】（1）连接，作的角平分线、截取即可； （2）利用勾股定理求出，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：如图，直线，点即为所求作． （2）解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 由作图可知，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查尺规基本作图，作角平分线，矩形的性质，翻折变换，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 41．如图，在正方形中，点是延长线上一点，连接． (1)尺规作图：将线段绕点逆时针旋转得到，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了旋转的作图、勾股定理、正方形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，证明是解题关键． （1）过点作的垂线，在垂线上截取且点在直线下方即可； （2）过点作于点，则，证明，则，，得到，根据勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）过点作于点， 则， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∴ 42．如图，已知点是正方形中边上一点，是的延长线上一点，分别连接，恰好． (1)用不带刻度的直尺和圆规作出的角平分线．（保留作图痕迹，不写作法和证明过程）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查作角平分线，等腰三角形的性质，作等三角形的判定与性质等知识，证明是直角三角形是解答本题的关键． （1）以点为圆心，任意长为半径画弧，交、于点，分别以点为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则为的角平分线； （2）由平分得为的中线，再根据证明，可证明是直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边一半”可得结论． 【详解】（1）解：如图所示，为的角平分线； （2）证明：平分， 为的中线， 在正方形中，，， ， 在与中， ， ， 为的中线， ． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03特殊平行四边形基础解答题分类训练 (7种类型42道) 考点归纳 考点01菱形相关基础证明 考点02矩形相关基础证明 考点03直角三角形斜边上的中线相关基础证明 考点04正方形相关基础证明 考点05中点四边形相关基础证明 考点06添加条件后证明 考点07尺规作图 考点专练 考点01菱形相关基础证明 1.如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E在OB上，连接AE,且AE=BE,点F为CD的 中点，连接OF. D (1)求证：0F是△BCD的中位线： (2)若0E=3,0A=4,求线段0F的长. 2.如图，已知ABC中，D是AC的中点，过点D作DE⊥AC交BC于点E,过点A作AF∥BC交DE于 点F,连接AE、CF. (1)求证：四边形AECF是菱形： (2)若CF=2,∠FAC=30°，∠B=45°，求AB的长 3.如图，口ABCD中，点F在BC上，BF=AB,∠ABC的角平分线，BE交AD于点E,连接EF. 1/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：四边形ABFE是菱形： (2)若AB=4,LABC=60°，求四边形ABFE的面积. 4.已知：四边形ABCD中，AB⊥AC,CD⊥AC,AB=CD,E,F分别是BC,AD的中点，连接AE, CF. D (1)求证：四边形AECF是菱形； (2)在AC上，截取AG=CH,连接EG,EH,FG,FH,那么四边形EGFH是什么特殊四边形？说明理 由. 5,已知：如图，在ABC中，∠BAC=90°，点D是BC的中点，过点A作AE∥BC,AE=BD,连接 AD,BE. D (1)求证：四边形BDAE是菱形； (2)若∠ABC=30°，AC=2,求菱形BDAE的面积. 6.在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交点O,点E在线段BO上，连接AE, 4 (1)若CD=5,BD=8,点E在线段AB的垂直平分线上，求△AED的面积. (2)若∠DAE=∠DEA,CD=2BE,，EO=1,求线段AE的长. 考点02矩形相关基础证明 7.如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O的直线与AD的延长线相交于点E,与CB的延长线相交 2/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 于点F. D E B (1)求证：四边形AFCE是平行四边形： (2)若AC⊥EF,则当AC=5,AF=5时，求四边形AFCE的面积. 8.如图，已知口ABCD,延长AB到E,使BE=AB,连接BD,ED,EC,若ED=AD· A B (1)求证：四边形BECD是矩形： (2)连接AC,若AD=6,CD=3,求AC的长 9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,DC⊥BC,∠B=60°，BC=2AD,点E,F分别是AB,BC的 中点，连接DE,EF. D (1)求证：四边形AFCD是矩形： (2)求∠AFE的度数. 1O.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点B作BE∥AC,交DC的延长线于点E. O E (1)求证：△BDC≌△BEC; (2)若BE=10,CE=6,连接OE,求OE的长. 3/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 11.如图①，已知矩形ABCD,BE平分∠ABC交AD于点E. E D D 图① 图② (1)求证：AE=AB. (2)如图②，连接EC,过E作EF⊥EC,交AB于F,连接CF,若AB=5,DE=3,试判断△CEF的形状， 并求CF的长. 12.如图，四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分∠BAD且AD=AF,DE⊥AF,垂足为点E, 连接DF,EC. D F (1)求证：∠AFD=∠CFD; (2)求证：DF垂直且平分EC. 考点3直角三角形斜边上的中线相关基础证明 13.如图，AC⊥BC,AD⊥BD,E为AB的中点，连接CE,DE,CD,CD交AB于点F. D (1)求证：△ECD是等腰三角形； (2)若AD=BD,EF=3,DE=4,求CD的长， 14.如图，在ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边上的中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的 延长线于点F,连接CF. A F E (1)求证：BD=AF; (2)判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论， 4/13 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)若AC=4,AB=5,求四边形ADCF的面积. 15.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,O是AB边的中点，E、F分别在AC、BC边上，∠E0F=90 ,EG⊥AC交AB于点G,连接GF. A G G B 图1 图2 (1)如图1，求证：四边形ECFG是矩形： (2)连接0C,若∠C0F=22.5°，写出图中长度等于FG的线段 16.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC,在RtAADE中，∠ADE=90°，AD=DE,连接CE, 取CE的中点M,连接DM,BM. 求证：BM⊥DM且BM=DM. B 17.如图，在四边形ABCD中，已知∠BAD=60°，∠ABC=90°，LBCD=120°，F为AC的中点，对角线 AC,BD交于点E. F (1)求证：∠FBD=30°： (2)若DE=2EB,求证：AD=DC. 18.己知：如图，∠ABC=∠ADC=90°，E、F分别是AC、BD的中点. 5/13 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 E D C (1)求证：EF⊥BD; (2)若∠BAD=30°，AC=8,求BD的长。 考点04正方形相关基础证明 19.如图，正方形ABCD的顶点B在直线I上，AB=2,AF⊥I于点F,CE⊥I于点E. D (1)求证：△AFB≌△BEC; (2)若∠FAB=30°，求点D到直线1的距离 20.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AB,BC上，∠ADE=LCDF· G (1)求证：AE=CF; (2)连接DB交EF于点O,延长OB至G,使OG=OD,连接EG,FG,判断四边形DEGF的形状，并说明 理由. 21.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把ADE绕点A顺时针旋转到△ABF的位置，连接EF, 6/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求证：△AEF是等腰直角三角形： (2)若四边形AECF的面积为25，DE=2,求EF的长. 22.如图，正方形ABCD,点P为对角线AC上一个动点.Q为CD边上一点，且∠BPQ=90° (1)求证：PB=PQ; (2)若BC+CQ=8,求四边形BCQP的面积. 23.如图，在矩形ABCD中，E是边CD上一点，F是CB的延长线上一点，连结AE,AF,己知 BF=DE,AF⊥AE. D B C (1)求证：四边形ABCD是正方形 (2)若LDAE=30°，DE=1,求四边形AECB的面积. 24.如图，已知正方形ABCD,点E在对角线AC上，连接DE,作EF⊥DE,EF交BC边于点F,以DE ,EF为边作矩形DEFG. A D B (1)判断矩形DEFG是不是正方形，若是，请证明，若不是，请说明理由. (2)若线段DE与正方形ABCD的边的夹角为40°，求∠EFC的度数。 考点05中点四边形相关基础证明 25.如图，已知四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB、CD、AC、BD的中点. 7/13 扇学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B G (1)求证：EF和GH互相平分： (2)当EF和GH垂直时，AD与BC有什么数量关系？说明你的理由 26.如图，在。ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点，若四边形EFGH是矩形. A H B (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若矩形EFGH的周长为12，面积为7，求AB的长 27.如图，在。ABCD中，点E,F,G,H分别是各边的中点，若四边形EFGH是矩形. H B F (1)求证：四边形ABCD是菱形： (2)若矩形EFGH的周长为12，面积为7，求AB的长. 28.[发现]如图①，在△4BC中，点D,E分别是AB,AC的中点，可以得到：DEBC,且DE=)BC.(不 需要证明) [探究]如图②，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点，判断四边形EFGH 的形状，并加以证明. [应用]在探究]的条件下： (1)在四边形ABCD中，对角线满足条件_时，四边形EFGH是菱形. (2)要使四边形EFGH是正方形，对角线应满足一 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 E 图① 图② 29.己知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边 形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形). D E (1)四边形EFGH的形状是 (2)证明你的结论. (3)当AC、BD满足时，四边形EFGH是菱形. (4)当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形. (5)当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形. 30.【猜想结论】如图1，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，可以根据度量或目测猜想结论： DE∥BC,且DE=号BC. A A D H A 0 E E D G E B B 图1 图2 图3 (1)【验证结论】如图2，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，延长DE至F,使得EF=DE, 连接FC.求证：DE∥BC,DE=BC (2)【应用结论】如图3，在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点，顺次连 接四边形ABCD各边中点得到新四边形EFGH,称为四边形ABCD中点四边形.应用上述验证结论，求解 下列问题： 9/13 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ①证明：四边形EFGH是平行四边形； ②当AC、BD满足时，四边形EFGH是矩形： ③当AC、BD满足时，四边形EFGH是正方形. 考点06添加条件后证明 31.如图，点E、F分别在口ABCD的边BC、AD上，连接AE、CF,AE∥CF,连接AC、EF相交于点O, 请你从以下三个选项：①AE=CE;②0A=OC;③AC⊥EF中选择一个合适的选项作为补充条件，使得 四边形AECF是菱形. (1)你选择的补充条件是；（填序号） (2)根据你选择的补充条件，写出四边形AECF是菱形的证明过程， 32.如图，己知四边形ABCD为平行四边形，AM⊥BC于点M,AN⊥CD于点N,请你从下列三个选项： ①AM=AN;②BM=CM;③BM=DN中，选择一个合适的选项作为补充条件，使得四边形ABCD为菱 形 B M (1)你选择的补充条件是 ；(填序号) (2)根据你选择的补充条件，写出四边形ABCD为菱形的证明过程 33.如图，四边形ABCD是平行四边形，延长DC至E,使CE=DC,连接AC,BE, A (1)求证：△ADC≌△BCE. (2)添加一个适当条件，使四边形ABEC是矩形，并说明理由. 34.己知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O,E是BO的中点，过B点作AC的平行线， 交CE的延长线于点F,连接AF. 10/13