专题02 矩形的性质与判定综合重难点题型汇编(十二大题型）-2025-2026学年九年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版）

专题02 矩形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用矩形的性质求角度】........................................................................................1 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】................................................................................2 【题型3 利用矩形的性质求面积】.........................................................................................4 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】.....................................................................5 【题型5 矩形与折叠综合应用】..............................................................................................6 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】.............................................................................9 【题型7 添加条件对矩形的判定】.........................................................................................10 【题型8 矩形的判定-证明题】................................................................................................11 【题型9 矩形的性质与判定综合】.........................................................................................13 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】..........................................................................16 【题型11 求矩形中最小值问题】...........................................................................................17 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】..................................................................................17 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的度数为 ． 4．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 6．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，矩形的对角线 与 相交于点，过点作，交 于点，连接．若，则 ． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 2．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，O为对角线BD的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A． B．17 C． D．15 6．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点M、N，连接，则的长为 ． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在矩形中，动点P从点C出发，沿着C→D→A→B方向运动至点B处停止，设点P运动的路程为x，的面积为s，图2是点P运动时，的面积s随路程x变化的关系图象，则矩形的面积为（   ） A．13 B．20 C．36 D．40 4．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为（   ） A．4 B． C． D． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 ． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，则点D的坐标为 ． 4．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 1．（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为 ． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ． 4．（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是 ． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为 ． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3）如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 7．（24-25八年级下·吉林·期末）综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 1．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 4．（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 5．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 6．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，，当 时，四边形是矩形． 【题型8 矩形的判定-证明题】 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，直线与被直线所截，且，、的平分线、交于点B，、的平分线、交于点D． (1)求的度数； (2)求证：四边形是矩形． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 3．（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作 ，过点作 与相交于点．求证：四边形是矩形． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，D，E分别是边，的中点，F是延长线上一点，，连接，，． (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊形状的四边形？并说明理由． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 4．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，， (1)求线段的长； (2)点E在上，G，F，H分别是，，的中点． ①当四边形是菱形时，求的值； ②连接，．当时，求的值． 5．（2025·云南临沧·一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 8．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 1．（2020·安徽·三模）在平面直角坐标系中，将按如图所示摆放，其斜边的两个端点和始终落在轴和轴上，已知，则线段的最大（  ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为 ． 3．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）如图，，将一张矩形纸片放置在的内部所有线均在同一平面内，其中顶点，分别在射线，上，对角线与相交于点，移动纸片，当的长最大时，的度数为 ．    4．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，一个直角内部有一矩形，已知，，当点沿着直角边运动，点沿着直角边运动，求的最大值 ． 【题型11 求矩形中最小值问题】 1．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，P是边上的动点，，垂足分别为D、E，线段的最小值是（     ）． A．1 B．2 C．2.4 D．4.8 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿方向以的速度运动到点停止．若的面积与点的运动时间之间的函数关系如图②所示，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 5．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 矩形的性质与判定综合重难点题型汇编 【题型1 利用矩形的性质求角度】...........................................................................................1 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】..................................................................................5 【题型3 利用矩形的性质求面积】.........................................................................................10 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】.....................................................................16 【题型5 矩形与折叠综合应用】..............................................................................................19 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】.............................................................................30 【题型7 添加条件对矩形的判定】.........................................................................................32 【题型8 矩形的判定-证明题】...............................................................................................35 【题型9 矩形的性质与判定综合】.........................................................................................39 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】..........................................................................50 【题型11 求矩形中最小值问题】............................................................................................55 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】..................................................................................56 【题型1 利用矩形的性质求角度】 1．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数． 【详解】解：连接，交于点，   四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ∴． 故选：C． 2．（24-25八年级下·吉林松原·阶段练习）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质（矩形的四个角都是直角）以及同角的余角相等这一知识点，通过矩形性质得到直角，再利用角的关系求解．理解矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质得出相关角的度数，再通过角的和差关系求出的度数． 【详解】解： 四边形是矩形， 又四边形是矩形， ， ，由， ． 故选：． 3．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的度数为 ． 25．（24-25八年级下·广东湛江·阶段练习）如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，三角形的外角，根据矩形的性质，得到，等边对等角，结合三角形的外角的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 4．（23-24八年级下·重庆北碚·期末）如图，在矩形中，点在边上，若，，则 ． 【答案】/40度 【分析】根据矩形性质得，，进而得，再根据得，然后再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 在△中，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查了利用矩形的性质求角度，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键． 5．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在长方形中，，将沿所在直线折叠，使点A落在E处，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、图形的翻折变换等知识点，弄清楚图形折叠后是解题的关键． 由长方形的性质可得，易得的度数，再根据折叠方法可得，然后用即可解答． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的方法可得：， ∴． 故答案为：． 6．（23-24九年级下·宁夏吴忠·阶段练习）如图，矩形的对角线 与 相交于点，过点作，交 于点，连接．若，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质是解题的关键．根据垂直的定义及角的和差求出，根据矩形的性质推出，根据等腰三角形的性质及三角形外角性质可得，根据垂直平分线的性质可得，根据等边对等角即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ∵， ∴ ∴ 故答案为：． 【题型2 利用矩形的性质求线段长度】 1．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在矩形中，对角线，相交于点O，若，，则的长为（ ） A．15 B．12 C．10 D．8 【答案】C 【分析】此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，由矩形的性质得，，且，则，因为，所以是等边三角形，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是矩形，对角线，相交于点O， ，，且， ， ， 是等边三角形， ， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·广西河池·期中）如图，矩形的对角线、相交于点，点是的中点，若，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线的性质，掌握矩形的性质与三角形中位线的性质是解题的关键． 由矩形的性质得到点O是的中点，从而得到是的中位线，根据三角形中位线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴点O是的中点， ∵点是的中点，， ∴． 故选D 3．（25-26九年级上·全国·单元测试）如图，矩形中，对角线、相交于点O，已知，，的面积为，则的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据矩形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先根据矩形的性质得出，，再说明垂直平分，然后利用三角形面积公式得到关于的方程求解． 【详解】解：连接BE，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴垂直平分， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形中，O为对角线BD的中点，，E为边上一点，且，连接，取的中点F，连接，则的长度为（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中位线，构造出三角形的中位线是解决问题的关键．取中点，连接和，可得分别为和中位线，利用中位线定理可证三点共线，求出后，组合计算即可． 【详解】解：取中点，连接和， ∵在矩形中， ， ， ∵O为对角线的中点，F为的中点，为中点， ∴分别为和中位线， ∴，且， 三点共线， ． 故选：C． 5．（24-25八年级下·广西南宁·期中）如图，在矩形中，点D的坐标是，则的长是（   ） A． B．17 C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质以及勾股定理的应用，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 连接、，根据勾股定理求得的长，然后根据矩形的性质得出，即可求解． 【详解】解：连接、， 点的坐标是， ， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 6．（24-25九年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在矩形中，，，对角线的垂直平分线分别交、于点M、N，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于的方程．证明，在中，由勾股定理得出，得出方程，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 故答案为：． 【题型3 利用矩形的性质求面积】 1．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与平面，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形以及轴，得到轴，再由，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴矩形的面积是， 故选：B． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，点是矩形的中心，是上的点，沿折叠后，点恰好与点重合．若，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠性质，熟练掌握矩形的性质和勾股定理的运用是解题的关键．先根据矩形性质和折叠性质求出线段的长度，再根据勾股定理求出线段，然后利用矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点是矩形的中心， ∴，， 由折叠性质可知：， ∴， 在中，， ∴矩形的面积为， 故选：D． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图1，在矩形中，动点P从点C出发，沿着C→D→A→B方向运动至点B处停止，设点P运动的路程为x，的面积为s，图2是点P运动时，的面积s随路程x变化的关系图象，则矩形的面积为（   ） A．13 B．20 C．36 D．40 【答案】B 【分析】此题考查了动点问题和函数图像，解题的关键是能根据函数图像分析出图形中线段的长度． 根据函数图像和矩形的性质可求出，即可求出矩形的面积． 【详解】解：由题意知：当点P在边上时，y随x的增大而增大； 当点P在边上时，y不随x的变化而变化； 当点P在边上时，y随x的增大而减小． 结合一次函数的图像可知，， ∴矩形的面积为：． 故选：B 4．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，以为边作等边，点E恰好在边上，若的边长为4．则的面积为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据矩形的性质得，根据等边三角形的性质得，，推出，根据30度角所对的直角边是斜边的一半得出，利用勾股定理求出，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵等边的边长为4， ∴，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴ 故选：B． 5．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质可得，，，即可得是的垂直平分线，得到，利用勾股定理求出即得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6．（24-25九年级上·全国·期末）如图，在矩形中，分别为的中点，若，四边形的周长是40，则矩形的面积是 ． 【答案】192 【分析】由题意知，是全等三角形，由此可得，即四边形为菱形，由菱形的周长，可求其边长，根据勾股定理可求得和，即可求得和的值，从而求得矩形面积． 【详解】在和中， ∵， ∴， ∴， 同理，即四边形为菱形． 又∵四边形的周长是40cm， ∴ ． ∵， 设，则． 由勾股定理得，，即， ∴， 矩形的面积． 故答案为：192． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，点O是矩形的对称中心，点E、F分别是边、上的点，且，已知矩形的面积是20，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是证明与全等转化阴影面积． 先由角边角的判定方法证明与全等，由全等的性质可知，，即可转化阴影部分面积为，再结合矩形的面积即可求解． 【详解】解：过点O作交于点H，如图， ∵点O是矩形的对称中心， ∴， 即为等腰三角形， ∴， ∵在矩形中， ， ∴， ∵， 在与中， ， ∴≌， ∴， ∴， ∵矩形的面积是20， ∴， ∴． 故答案为：5 ． 【题型4 求矩形在平面直角坐标系中的坐标】 1．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 2．（24-25八年级下·山东潍坊·期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形是矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以长方形的两条对称轴作为x轴、y轴建立平面直角坐标系，若点B的坐标为，则点A的坐标为 ，点C的坐标为 ，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了长方形的性质，轴对称和中心对称图形的性质．根据轴对称和中心对称的性质，得出对称点的坐标关系是解答本题的关键．根据题意，可知A、B两点关于x轴对称，B、D两点关于原点O对称，B、C两点关于y轴对称，然后由轴对称的性质求出A、C、D三点的坐标． 【详解】解：长方形的两条对称轴作为x轴，y轴． 、B两点关于x轴对称，，，则点A坐标为； B、C两点关于y轴对称，，，则点C坐标为； B、D两点关于原点O对称，，，则点D坐标为； 故答案为：；；． 4． （24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）已知点A、B、C的坐标分别是、、，那么以点A、B、C为顶点的矩形的第四个顶点D的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、坐标与图形性质，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．以为对角线确定点D的位置，据此可得． 【详解】解：点A、B、C的坐标分别是、、， ∴，，， 如图所示， 当为对角线时，以点A、B、C为顶点的四边形是矩形，， ∴点D的坐标为， 故答案为：． 【题型5 矩形与折叠综合应用】 1．（23-24七年级下·新疆和田·期中）如图，将破损的长方形纸带沿折叠后，点，分别落在点，的位置，经测量得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质，根据矩形的性质可得，根据折叠的性质可知，根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 由折叠的性质可知， ． 故选：C． 2．（23-24八年级下·湖南株洲·期中）如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，若点D的坐标为，则点E的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，坐标的意义，得到， ，根据勾股定理，得到，，设，则，根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵长方形沿直线折叠（点E在边上），折叠后顶点C恰好落在边上的点F处，点D的坐标为， ∴，， ，轴， ∴，， 设， 则，， ∴， 解得， 故， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处，若，，则 ． 【答案】4.5 【分析】此题主要考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理，首先利用勾股定理计算出的长，再根据折叠可得，，求出，设，则，，再根据勾股定理可得方程，再解方程即可，解答本题的关键是掌握折叠的性质． 【详解】解：在矩形中，，， ，， 由勾股定理得：， 将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且点落在对角线处， ∴，， ∴， 设，则，， 在中：由勾股定理得， ∴， 解得：， 的长为， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·广东阳江·阶段练习）如图，折叠矩形纸片，使点落在点处，折痕为，已知，，求的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，求出的长是解题的关键．由折叠的性质可得，，，可证四边形是菱形，在中，利用勾股定理可求的长，由菱形的面积公式可求解． 【详解】解：如图，连接，， 折叠矩形纸片，使点落在点处， ，，， ， ， ， ， ， 四边形是菱形， 在中，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·辽宁抚顺·期末）如图，在矩形中，，，点E为边上一个动点，把沿折叠得到，连接，当是直角三角形时，则的长为 ． 【答案】3或6 【分析】本题考查了翻折变换，等腰直角三角形的判断与性质，勾股定理，分 时，根据翻折变换的性质求出，然后判断出是等腰直角三角形，从而求出；90°时,判断出在同一直线上，利用勾股定理列式求出，再根据翻折变换的性质可得,,然后求出,设,表示出，然后利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：时，如图， ， 由翻折的性质得， 是等腰直角三角形， ， 时，如图， 由翻折的性质， 在同一直线上，,, 由勾股定理得，, ， 设,则, 在中，，即 ， 解得, 即, 综上所述，的长为或， 故答案为：或． 6．（25-26九年级上·全国·单元测试）【问题背景】在矩形纸片中，，，点P在边上，点Q在边上，将纸片沿折叠，使顶点B落在点E处． 【初步认识】 （1）如图1，折痕的端点P与点A重合． ①当时，则___________度； ②若点E恰好落在线段上，求的长； 【深入思考】 （2）如图2，点E恰好落在边上． 过点E作交于点F，连接．请在图2中画出线段，，并判断四边形的形状，且证明你的结论； 【拓展提升】 （3） 如图3，若，连接．当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】（1）①64，②2；（2）四边形是菱形，见解析；（3）或 【分析】（）①由邻补角性质得，进而由折叠性质即可求解；②由折叠和勾股定理可求出，设，则，，在中利用勾股定理列出方程解答即可求解； （）①先证四边形是平行四边形，再由即可求证； （）分和两种情况，利用折叠的性质解答即可求解． 【详解】解：（）①∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， 故答案为：； ②当点恰好在线段上时，如图所示， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴的长； （）补图如下： 证明：∵， ∴， 由折叠可知，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （）由折叠可知，，设，则， ①当时， 在中，， 解得， ∴； ②当时，过点作交于， 则， ， 由折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，线段的长为或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠的知识，菱形的判定，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，掌握折叠的性质是解题关键． 7．（24-25八年级下·吉林·期末）综合与实践： 【问题情境】某数学兴趣小组在学完《平行四边形》之后，研究了人教版数学教材八年级下册第64页的数学活动1．其内容如表： 如果我们身旁没有量角器或三角尺，又需要作等大小的角，可以采用下面的方法（如图1）： （1）对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平． （2）再一次折叠纸片，使点A落在上，并使折痕经过点B，得到折痕．同时，得到了线段． 如图1，若连接，易证是等边三角形． 【知识运用】请根据上述过程及结论完成下列问题：已知矩形纸片，，，则线段的长为______；的度数是______度； 【综合提升】小慧在探究活动第（2）步的基础上再次动手操作（如图2），将延长交于点G．将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接，把纸片再次展平．请判断四边形的形状，并说明理由． 【迁移探究】小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究（如图3），过程如下： 将正方形纸片按照“问题情境”的方式操作，并延长交于点Q，连接．当点N在上时，，正方形的边长为______． 【拓展提升】在图2中，过H点作于点K，得出一个以为宽的黄金矩形（黄金矩形就是符合黄金比例的矩形，即宽与长的比值为），若已知，的长为______． 【答案】知识运用：8，30；综合提升：四边形为菱形，理由见解析；迁移探究：；拓展提升： 【分析】知识运用：根据矩形的性质，则，根据勾股定理，即可求出；连接，根据折叠的性质，则，为等边三角形，根据等边三角形的性质，即可推出结论； 综合提升：根据折叠的性质，则，根据三线合一，则，根据菱形的判定和性质，即可推出结论； 迁移探究：首先确定，则在中，，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，证明，得出，进而根据，可得，即可求解； 拓展提升：求出，由勾股定理可得出答案． 【详解】知识运用： ∵四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴； 连接，如图， ∵为折痕， ∴垂直平分， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 故答案为：8，30； 综合提升： 四边形为菱形，理由如下： ∵由折叠所得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵将沿折叠，点B刚好落在边上点H处，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 迁移探究： ∵为等边三角形， ∴， ∵由折叠所得， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵由折叠所得， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 拓展提升： 如图， ∵四边形是矩形纸片，， ∴， ∵黄金矩形以为宽，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了菱形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，能够根据折叠的性质证出∠1=∠2=∠3=30°是解题的关键． 【题型6 直角三角形斜边上的中线问题】 1．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，中，，，，D是的中点，的长是（  ）．    A．2.4 B．2.5 C．5 D．10 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出斜边的长度，再根据直角三角形斜边中线定理求出的长．本题主要考查了勾股定理和直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理求斜边长度以及直角三角形斜边中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵在中，，， ∴根据勾股定理， ∵是的中点 ∴ 故选：B． 2．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，是边上的一点，，，分别是，的中点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质；连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得长解答即可． 【详解】解：连接， ∵，点E是的中点， ∴， ∴， 又∵点F是的中点， ∴， 故答案为：． 【题型7 添加条件对矩形的判定】 1．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，，相交于点，下列条件不能判定为矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的判定方法，根据矩形的判定方法，有一个角为直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：A、根据一个角为直角的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； B、根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； C、中，可以得到，根据对角线相等的平行四边形为矩形，可以判定为矩形，不符合题意； D、根据对角线互相垂直的平行四边形为菱形，可以得到为菱形，不能判定为矩形，符合题意； 故选D． 2．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）若添加一个条件，使得是矩形，则这个条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的知识点是矩形的判定、平行四边形的性质，解题关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 根据矩形的判定、平行四边形的性质对选项进行逐一判断即可得解． 【详解】解：A选项，中有，添加该条件不能证明是矩形，不符合题意； B选项，添加后可证是矩形，符合题意； C选项，添加后证明是菱形，而非矩形，不符合题意； D选项，添加后证明是菱形，而非矩形，不符合题意． 故选：B 3．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（    ） A． B． C．点在的平分线上 D．点为的中点 【答案】A 【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴当时，四边形为矩形，故A选项符合题意； 当，点在的平分线上，点为的中点时，均不能得到四边形为矩形；故B，C，D选项不符合题意； 故选A． 4．（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）如下图，在平行四边形中，增加一个条件后，平行四边形就成为矩形，这个条件可以是 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查矩形的判定．需要知道及矩形的判定定理，比如有一个角是直角的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形．本题从这两个判定角度去考虑添加条件． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， 若， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，此时平行四边形就成为矩形， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在中，对角线相交于点，点在上，且，添加一个适当的条件，使四边形是矩形，这个条件可以是 ．（填一个条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记平行四边形的判定与性质、矩形的判定是解决问题的关键．先由平行四边形性质，结合题意得到，，进而判定四边形是平行四边形，再由矩形的判定定理：①对角线相等的平行四边形是矩形；②有一个内角是的平行四边形是矩形；分别考虑添加条件即可得到答案． 【详解】解：在中，对角线相交于点，则，， ， ， 在四边形中，，，则四边形是平行四边形， ①当时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或者，均可使四边形是矩形； ②当或或或时，四边形是矩形， 在此情况下可转化为或或或，均可使四边形是矩形； 故答案为：（答案不唯一）． 6．（24-25八年级下·甘肃临夏·阶段练习）如图，在中，点在边上，，，当 时，四边形是矩形． 【答案】/90度 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 先证明四边形是平行四边形，结合矩形的判定，可得． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形． 故答案是：． 【题型8 矩形的判定-证明题】 1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）如图，直线与被直线所截，且，、的平分线、交于点B，、的平分线、交于点D． (1)求的度数； (2)求证：四边形是矩形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质和矩形的判定． （1）根据角平分线的定义得出，，根据，求出即可； （2）求出，根据平行线的性质和角平分线的定义求出，根据矩形的判定得出即可． 【详解】（1）解：∵、平分和， ∴，， ∵， ∴； （2）证明：∵、平分和， ∴，， ∵， ∴； ∵， ∴， ∵、平分和， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 2．（24-25八年级下·上海浦东新·阶段练习）如图，在中，，相交于点，，分别是，的中点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)当线段与满足怎样的关系时，四边形是矩形？请直接写出合适的关系，不需要说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)当时，四边形是矩形． 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解题的关键． （）由平行四边形的性质可得，，结合题意得出，即可得证； （）由题意结合平行四边形的性质可得，结合当时，四边形是矩形，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是矩形，理由： ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 3．（23-24九年级下·陕西汉中·期末）如图，是菱形对角线的交点，过点作 ，过点作 与相交于点．求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再利用菱形对角线垂直的性质证明平行四边形有一个角是直角，从而得出四边形是矩形． 本题主要考查了菱形的性质、平行四边形的判定以及矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理（有一个角是直角的平行四边形是矩形）是解题的关键． 【详解】解：∵ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形， ∴ ，即， ∴ 平行四边形是矩形． 4．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，在中，D，E分别是边，的中点，F是延长线上一点，，连接，，． (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊形状的四边形？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是矩形，理由见解析 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行线的判定与性质，三角形中位线定理，正确掌握相关性质是解题的关键． （1）根据E是边的中点，，证明四边形是平行四边形，进行作答即可． （2）先由等角对等边得，再结合中位线的判定与性质得，结合平行四边形的判定与性质得，则，即可得出四边形是矩形． 【详解】（1）证明：在中，D，E分别是边，的中点， ， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：四边形是矩形．理由如下： ， ， 在中，D，E分别是边，的中点， 是的中位线， ， 四边形是平行四边形， ， 即， ， 四边形是矩形． 【题型9 矩形的性质与判定综合】 1．（24-25八年级下·贵州黔东南·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，，，且． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，掌握这些知识是解题的关键； （1）由，可得四边形是平行四边形，再由即可得四边形是矩形； （2）由题意求得，由矩形的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：，， ． 又矩形中，， ∴是等边三角形， ． 2．（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，于点E，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 3．（24-25八年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于． (1)求证：； (2)如果，，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质和勾股定理．解题时充分利用了菱形的对角线互相垂直平分、矩形的对角线相等的性质． （1）通过证明四边形是矩形来推知； （2）利用（1）中的、，结合已知条件，在中，由勾股定理求得，然后由菱形的对角线互相平分和菱形的面积公式进行解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ． ∵，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ； （2）解：由（1）知，，，四边形是矩形， ． 在中，由勾股定理得， ，． 四边形是菱形， ，， 菱形的面积是：． 4．（24-25八年级下·河南开封·期中）如图，在四边形中，，， (1)求线段的长； (2)点E在上，G，F，H分别是，，的中点． ①当四边形是菱形时，求的值； ②连接，．当时，求的值． 【答案】(1)10 (2)①1 ，②4 【分析】（1）过D作交于点M，则四边形是平行四边形，求出，根据即可求出，即可求出； （2）①根据四边形是菱形则，，又G， H分别是， 的中点，即可推出 ，，即可有，根据（1）求出，由于，即有，即可求出，然后求出即可；②证明四边形是矩形，则，由（2）知，则 ，根据，则可求出，则，求解即可． 【详解】（1）解：过D作交于点M ∵， ∴是平行四边形 ， ， ， ， ， ∴； （2）解：①如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 又∵G， H分别是，的中点 ∴ ，， ， 根据（1）知 ， ， ， ， ∵F是的中点． ∴， ∴， ②∵  G， F， H分别是， ， 的中点． ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵  ， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵G是的中点， ∴， 由①知：， ∴， ， ∴设 ，则 ， ， ， ， ，即 ， ∵ F是的中点 ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，菱形的性质以及勾股定理，二次根式的乘法运算，综合性强，需要学生熟练掌握各知识点，并学会综合运算，才能正确解答本题． 5．（2025·云南临沧·一模）如图，在平行四边形中，延长至点，使得，连接，，与交于点． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，，，求四边形的面积 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识的综合，掌握平行四边形，矩形的判定和性质是关键． （1）根据平行四边形的判定和性质求解即可； （2）根据题意得到是等边三角形，平行四边形是矩形，由勾股定理得到，结合矩形的面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，即， ， ， 四边形是平行四边形； （2）解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， 是等边三角形， ， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ，， ，， 平行四边形是矩形， ， ， ． 6．（24-25八年级下·湖南长沙·期中）如图，的对角线，相交于点O，是等边三角形，． (1)求证：四边形是矩形； (2)求四边形的面积； (3)若，，连接，求线段的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质与判定，等边三角形的性质，注意准确作出辅助线是解此题的关键． （1）由是等边三角形，，可得，根据四边形是平行四边形，进而可得，即可证明平行四边形是矩形． （2）根据四边形是矩形，利用勾股定理即可求解； （3）作的延长线于点H．证明四边形是平行四边形．得，根据，得，进而可得，， 用勾股定理即可求解。 【详解】（1）证明：是等边三角形，， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， ∴平行四边形是矩形． （2）解：∵四边形是矩形． ． 在中， ， ∴． （3）解：作的延长线于点H． ，， ∴四边形是平行四边形． ， ， ，， ∴，， ∴， ∴． ． 7．（24-25八年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，对角线、相交于点，交的延长线于点，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求矩形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，熟记判定与性质是解题的关键． （1）根据已知条件推知四边形是平行四边形，则，依据等量代换得到，则平行四边形是矩形； （2）利用“矩形的对角线相等且相互平分”的性质可证是等边三角形，得出，再利用勾股定理求得的长度，然后用矩形的面积公式列式计算即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 又点在的延长线上， ． 又， 四边形是平行四边形， ． 又∵， ， 平行四边形是矩形； （2）解：在矩形中，，， 是等边三角形， ， ， ∴， 四边形的面积． 8．（23-24八年级下·云南楚雄·期末）如图，在菱形中，分别延长，至点，，使，，连接，，，． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求矩形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查矩形的判定与性质、菱形的性质， （1）根据菱形的性质得出，再根据矩形的判定证明即可； （2）利用矩形和菱形的性质及勾股定理得出与的长即可； 掌握矩形和菱形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：． 【题型10 求矩形中最大值问题-梯子模型】 1．（2020·安徽·三模）在平面直角坐标系中，将按如图所示摆放，其斜边的两个端点和始终落在轴和轴上，已知，则线段的最大（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及三角形的三边关系可以得到，当O、P、C在同一直线时OC有最大值． 【详解】∵，， 在中，设BC=，则AB=， 根据勾股定理得：， 解得：=4． 则． 取的中点，在中，，在中，，连接，则，当O、P、C在同一条直线上时OC有最大值8． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质以及三角形的三边关系，找到O、C和AB的中点P组成的三角形列出三边关系是解题的关键． 2．（23-24八年级下·贵州铜仁·期末）如图，矩形中，，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质．连接，，根据三角形中位线性质得出，从而得出当最大时，最大，根据点P在点B处时，最大，即的长度，根据勾股定理求出即可得出答案． 【详解】解：连接，，如图所示： ∵点E，F分别是，的中点， ∴， ∴当最大时，最大， 当点P在点B处时，最大，即的长度， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴的最大长度为． 故答案为：． 3．（22-23八年级下·陕西商洛·期中）如图，，将一张矩形纸片放置在的内部所有线均在同一平面内，其中顶点，分别在射线，上，对角线与相交于点，移动纸片，当的长最大时，的度数为 ．    【答案】/度 【分析】由三角形的三边关系可得当点在线段上时，的长有最大值，由等腰直角三角形的性质可求解． 【详解】解：取的中点，连接，，    在中，， 当点在线段上时，的长有最大值， 此时，，点是的中点， 垂直平分， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造三角形是解题的关键． 4．（2025·黑龙江绥化·模拟预测）如图，一个直角内部有一矩形，已知，，当点沿着直角边运动，点沿着直角边运动，求的最大值 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，取中点，连接，，，由四边形为矩形，则，又为中点，所以，，通过勾股定理得，因为，所以当三点共线时，最大为，掌握相关知识的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，取中点，连接，，， ∵四边形为矩形， ∴， ∵为中点， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴当三点共线时，最大为， 如图， 故答案为：． 【题型11 求矩形中最小值问题】 1．（24-25八年级下·江苏淮安·阶段练习）如图，在中，，P是边上的动点，，垂足分别为D、E，线段的最小值是（     ）． A．1 B．2 C．2.4 D．4.8 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，矩形的判定与性质，垂线段最短等知识，利用矩形的性质是解题的关键；连接，先由勾股定理的逆定理可得；再由得四边形是矩形，则；当时，最短，从而线段取得最小值，利用面积相等即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最短，从而线段最短， ∵， ∴， 故的最小值为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，点是线段上的动点（与，不重合），作于，于，连接，若，，则点从点运动到点的过程中，的最小值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识，判断出时，线段的值最小是解题的关键，难点在于利用三角形的面积列出方程． 连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出求解即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，，，， ∴， ∵，，°， ∴四边形是矩形， ， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， ∴， 即的最小值为， 故选：C． 【题型12 矩形中动点问题-分类讨论】 3．（24-25八年级下·全国·假期作业）如图①，在长方形中，动点从点出发，沿方向以的速度运动到点停止．若的面积与点的运动时间之间的函数关系如图②所示，则长方形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据与的函数图象求出长方形的长和宽．根据的面积只与点的位置有关，结合图2求出长方形的长和宽，再根据矩形的面积公式计算即可解答． 【详解】解：∵动点从点出发，沿方向运动至点停止， 当点在点之间运动时，的面积随时间的增大而增大， 由图2知，当时，点到达点处， ， 当点运动到点之间时，的面积不变， 由图2可知，点从点运动到点所用时间为， ， ∴长方形面积， 故选：D． 4．（24-25八年级下·重庆璧山·期中）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、的坐标分别为，，点为，点在线段上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】此题主要考查了矩形的性质以及坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，根据是腰长为的等腰三角形进行分类讨论是解决问题的关键．根据当时，以及当时，分别进行讨论得出点的坐标． 【详解】解：矩形的顶点、的坐标分别为，，点为， ∴， 过作于， ①当时，如图1所示： ，， 由勾股定理得：， ； ②当时， 如图2所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 如图3所示： ，， 由勾股定理得：， ， ； 综上，满足题意的点的坐标为或或， 故答案为：或或． 5．（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，在四边形中，，，，，若动点从点出发，以的速度沿线段向点运动；动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点时，动点，同时停止运动．已知点，同时出发，运动时间为． (1)当取何值时，四边形为平行四边形？ (2)当取何值时，四边形为矩形？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定等知识，此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）当时，四边形为平行四边形，根据列出关于t的方程，解方程即可； （2）当时，四边形为矩形，根据列出关于t的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：如图，， 当时，四边形为平行四边形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为平行四边形． （2）解：如图，，， 当时，四边形为矩形． 根据题意，，， ， 解得， 当时，四边形为矩形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $