专题04 特殊平行四边形含辅助线证明题分类训练（6种类型36道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

专题04 特殊平行四边形含辅助线证明题分类训练 （6种类型36道） 考点01 菱形相关含辅助线证明题 考点02 矩形相关含辅助线证明题 考点03 直角三角形斜边上的中线相关含辅助线证明题 考点04 正方形相关含辅助线证明题 考点05 动点问题中的含辅助线证明 考点06 折叠问题中的含辅助线证明 考点01 菱形相关含辅助线证明题 1．已知，在中． (1)如图1，平分交于点，于点，交于点，连接．求证：四边形是菱形； (2)如图2，连接，，过点作，垂足为，延长与交于点． ①若，，求的长． ②若，过点作于点，连接、．请用等式表式线段之间的数量关系（直接写出结果，不需证明）． 【答案】(1)见解析 (2)①② 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，为等腰直角三角形， ∴，， 作，交的延长线于点， 则：， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在菱形中，，E是边上的点，点G在的延长线上，且． (1)求证：； (2)连接，求的大小； (3)作点C关于直线的对称点P，连接，直接写出线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，， ∴， ∴， 连接，如图， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：连接，在上截取点H，使得，如图， 由（2）知为等边三角形，则， ∵点C关于直线的对称点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 则． 3．在菱形中，，，点P是射线上一动点，以为边向右侧作等边三角形，连接．          (1)如图1，当点E落在对角线上时，请求出的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：，； (3)如图3，当点P在线段的延长线上时，连接，若，求的面积． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∵ ∴在中，由勾股定理得， 解得（舍负）， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形 ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接交于点O，作于点H， ∵四边形是菱形， ∴，平分，，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 由（2）知， ∵， ∴， 同理可得：是等边三角形， ∴是的垂直平分线， ∴， 又∵等边中，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得： 由（2）知， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∴． 4．如图，四边形和四边形均为菱形，其中点E在菱形的对角线上，． (1)如图1，若E为对角线的中点，交于点P，求的值． (2)如图2，连接交于点H，求证：． (3)如图3，，E在线段上运动，直接写出取最大值时，的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， 同理可得，是等边三角形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∵， ∴同理在中，， ∴， ∴； （2）证明：在上截取，连接， 由(1)知是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作于点，连接， 由上知，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 同理为等边三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵菱形中，， ∴以为底的高与相等，且为定值， ∴为定值， ∴取最大值时，取最小值即可， ∵菱形， ∴，， 设菱形边长为， 由是等边三角形得， ∴， ∵， ∴当最小时，取最小值， ∴当时，最小， ∵， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵菱形中， ∴． 5．【问题背景】 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在平行四边形纸片中，已知，，的面积为120．点为边上任意一点，将沿折叠，点的对应点为． 【问题探索】 （1）如图1，若点恰好落在上时，求证：四边形为菱形； 【拓展延伸】 （2）如图2，若时，连接，并延长交于点．求线段的长； （3）如图3，改变点的位置，将沿折叠，连接，当是以为直角的三角形时，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）或 【详解】（1）证明：由折叠的性质可得：，，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （2）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ． （3）解：当点E不与点C重合时，延长交于点， 则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵由折叠有， ∴在中，， ∴； ②当与点C重合时，记，的交点为， 由①可知，当时，， ∴，而， ∴， ∴当重合时，， 由折叠可得： 综上所述，或． 6． 已知四边形是菱形，，，的两边分别与射线、射线交于点E、F，点E与点C、点B不重合，． 【问题探究】 （1）如图1，当点E在线段上时，则与的数量关系为______； 【类比迁移】（2）如图2，当点E在线段上时，连接交于点H，当时，求的长； 【应用拓展】（3）当时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【详解】解：（1）连接， 四边形是菱形，， ， 为等边三角形， ， ， ， 即， ， ． 解：（2）如图1，连接交于点G， ∵四边形是菱形， ∴于点G， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）①如图2，当E在线段上时，作于点M，作于点N， ∵， ∴， ∵， ∴AE平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴； ②如图3，当E在CB延长线上时，作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 由①同理可知，，， ∴， ∴． 综上所述，当时，BE的长为或． 考点02 矩形相关含辅助线证明题 7．如图1，在中，，，，平移至线段，(点与点对应，点与点对应)，连接、． (1)判断四边形的形状，并证明你的结论； (2)如图2，点为边上一点，连接，平分交于，连接．若，求的长； (3)如图3，为边的中点，点为平面内一动点，若，连接，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)四边形是矩形，证明见解析 (2)的长为 (3)的取值范围为 【分析】本题主要考查了平行四边形和矩形的性质、三角形全等、三角形的三边关系、矩形的判定和性质、勾股定理的运用，中位线的性质等，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理得到，根据平移的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形； （2）根据角平分线的定义得到，在线段上取一点，使，根据全等三角形的性质得到，，，，设，，根据勾股定理得到结论； （3）如图，连接，取的中点，连接，，根据三角形中位线定理得到，，根据三角形的三边关系得到的取值范围为． 【详解】（1）解：四边形是矩形， 证明：在中，，，， ， ， 平移至线段， ∴， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形； （2）平分， 则， 在线段上取一点，使， ， ， ，， ， ，， ， ，， ， ，， 设，，，则， 而， ∴ 解得， 的长为； （3）如图，连接，取的中点，连接，， ，，点是中点，点是中点， ，， 故的取值范围为． 8．在矩形中，E为边上异于A、D的一个动点，将沿折叠，点A的对应点为F． (1)如图1，若设，则 （用含α的式子表示）；当点F恰好是的中点时，则 度． (2)如图2，交于点M，且平分． ①求证：是等腰三角形． ②当时，求的长． 【答案】(1)；30 (2)①见解析；② 【分析】（1）根据折叠的性质得：，从而得到，再结合线段垂直平分线的性质可得，即可求解； （2）①延长交于点N，证明，可得，从而得到，然后结合矩形的性质可得，从而得到，即可解答；②根据勾股定理可得，设，则，，过点E作于点Q，则，根据，可得，，然后在中， 根据勾股定理可求出x的值，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知：， ∴， ∴； ∵点F恰好是的中点，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， ， ∵， ， ∴， 故答案为：；30； （2）①证明：如图2，延长交于点N， ∵平分， ∴， 由翻折可知：， ∴， ， ∴， ∴， ， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∵， ， ∴， ∴是等腰三角形； ②解：∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， 设，则， ∴， 如图2，过点E作于点Q，则， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， 在中，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴或（舍去）， ∴的长为； 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题、三角形内角和定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 9．【基础巩固】 （1）如图1，在矩形中，对角线相交于点O，过点O的线段分别交于点E，F，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在矩形中，点O是对角线的中点，分别交于点E，F，连结，试猜想和的数量关系，并证明你的猜想． 【拓展提高】 （3）如图3，在矩形中，点M，N是对角线的三等分点，过点M作分别交于点E，F，连结，已知，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】（1）根据矩形的性质证明即可； （2）延长交于点H，由（1）得，由，可得是直角三角形，再由直角三角形斜边中线的性质即可求证； （3）过点N作于点P，可得点N是的中点，点M是的中点，由直角三角形斜边中线可得，再证明，则，由等腰三角形性质可得，则，设，则，由勾股定理建立方程 ，求出，再求解． 【详解】（1）∵是矩形，是对角线， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴； （2）解：， 证明：延长交于点H， 由（1）得， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴； （3）过点N作于点P，则 ∵M，N是对角线的三等分点， ∴点N是的中点，点M是的中点， ∵， ∴，， ∵点N是的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ 设，则， 由勾股定理得： ∴， 解得：（舍负）， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确构造辅助线是解题的关键． 10．已知长方形中，，点E、F分别是线段和射线上的动点，且． (1)如图1，若，求线段的长度； (2)如图2，若，求线段的长度； (3)如图3，若点F在的延长线上，点E是中点，且与互补，求线段的长度． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了长方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据长方形的性质和条件证明，，得到，再求出，利用勾股定理即可得解； （2）作正方形交于M，则，证明，得出，证明，得出，设，利用勾股定理求出未知数的值，再利用，即可求解； （3）利用构造半角模型，作，过E作于点，过点F作交其延长线于点G，先证，再证，最后证，利用全等得到的等量关系，在中运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是长方形，， ∴，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； （2）解：如图所示，作正方形交于M，则，连接，， ∵， ∴， 延长至H，使， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 设, ∴, ∴在中，， 即， 解得， ∴， 又，即， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：作，过E作于点，过点F作交其延长线于点G， ∵四边形是长方形，， ∴，，，， ∵点E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设，， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴, 又∵，， ∴， 连接， ∵于点，交其延长线于点G， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， 即， ∴，即． 11．如图，在矩形纸片中，E为边上的动点，F为边上的动点，连接． (1)若 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，设与相交于H，求的长； ②如图②，将矩形纸片沿折叠，使点B与点D重合，求折痕的长； (2)如图③，点E为的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿折叠，点A落在点G处，且点G在矩形内部，延长交于点H，若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由折叠性质和矩形的性质可得，设，根据即可求解； ②连接，过点E作，由折叠性质和矩形的性质可得，，设，根据勾股定理即可求解； （2）连接，设，，则，，由折叠性质和勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解①：∵四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴； 设， ∵， ∴， ∵， 即， 解得：， ∴； ②如图，连接，过点E作， 由折叠可得：，， ∵， ∴， ∴， 由折叠可得：， ∴， 由①同理可求：， 设，则， ∵，解得：， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接 ∵，点E为的中点， 设，，则，，， ∴； 由折叠性质可得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在矩形中，， ∴． 【点睛】本题是矩形的折叠问题，考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作辅助线是关键． 12．在矩形中，，，现将纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为（点是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原． (1)如图1，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：； (2)如图2，当点在矩形的边上，点落在射线上时，求证：四边形为菱形； (3)如图3，当点在矩形的边上，射线与射线交于点．在折叠过程中，当时，请求出线段的长度． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)或． 【分析】（1）由折叠可得，，再由矩形得到，然后由折叠以及平行导角得到，即可证明全等； （2）根据折叠得到，再由平行以及折叠得到，那么，即可证明四边相等，即可证明为菱形； （3）连接，可证明（），则可设当射线与射线的交点在边上时．则，，，在中运勾股定理建立方程求解；当射线与射线的交点在边的延长线上时，则，，，在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：折痕为，点的对应点为点 ， 四边形是矩形 ， ， ； （2）解：折痕为，点的对应点为点 ，， 四边形是矩形 四边形为菱形； （3）解：折痕为，点的对应点为点 ，， 四边形是矩形 ，， ， 连接 （） 设 ，， ，， 如图，当射线与射线的交点在边上时． ，， 在中， 如图，当射线与射线的交点在边的延长线上时． ，， 在中， 答：线段的长度为或． 考点03 直角三角形斜边上的中线相关含辅助线证明题 13．如图，已知和都是等腰直角三角形，，点F为的中点，连接． (1)如图①，当点D在上，点E在上时，请判断的关系并证明； (2)如图②，将图①中的绕点A旋转到图②位置时，请判断（1）中的结论是否仍然成立？并证明你的判断． 【答案】(1)结论：且．理由见解析 (2)仍然成立，理由见解析 【分析】（1）结论：且．利用直角三角形斜边中线的性质解决问题即可． （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：如图②中，延长至G使，连接，证明是等腰直角三角形，可得结论． 本题考查了直角三角形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，线段的关系判定，熟练掌握性质和判定是解题的关键． 【详解】（1）解：结论：且．理由如下： 如图①中，∵， ∴， 又∵，点F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵是等腰直角三角形，且， ∴， ∴， ∴且． （2）解：（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图②中，延长至G使，连接， ∵F是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 又∵ ， 而， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵F是的中点， ∴且． 14．如图，中，，点在上，连接，． (1)求证：； (2)分别取、的中点、，连接、，如图，图中长度等于的线段（不包括）． 【答案】(1)见解析 (2)、、 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等角对等边，解题的关键是熟练掌握相关性质定理并构造辅助线进行线段的等量代换． （1）在的延长线上截取，证明，得到，，通过角度的等量代换证明，进而通过等角对等边证明，然后通过线段和差关系等量代换即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得，再通过中位线的性质得到，结合（1）所证得，，，从而通过线段和差关系等量代换证得． 【详解】（1）证明：如图所示，在的延长线上截取， 在和中， ， ， ，， 又∵ ， ， ， ， ； （2）解：在中，点是的中点， ， 点、分别是、的中点， 是的中位线，且， 如图，在的延长线上截取， 由（1）可知，，， ， 综上，图中长度等于的线段（不包括）的有、、． 15．在中，，． (1)如图1，过点作于点，求证：； (2)如图2，在中，，，点在同一条直线上，为中边上的高，连接．则的度数为___________，试用线段表示，并说明理由； (3)在图3，图4中，在同一平面内有一点，满足，且，请求出点到边上的高． 【答案】(1)见解析 (2)， (3)或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，直角三角形的性质证明即可； （2）证明，得，根据三角形全等的判定和性质，勾股定理解答即可． （3）分类计算解答即可． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴是斜边上的中线， ∴． （2）解：∵，，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． ∵， ∴． （3）解：如图，过点A作交的延长线于点Q，过点B作交的延长线于点R， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得； 如图，过点A作交的延长线于点S，过点B作交的延长线于点T， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 解得， ∴． 综上所述，点到边上的高为或． 16．在中，，，点是线段上一点，连接． (1)如图1，当时，求线段的长； (2)如图2，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，点是的中点，连接并延长到点，连接，若． ①求证：； ②如图3，连接、、，点从点移动到点的过程中，当取得最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）过点A作于点E，利用勾股定理及等腰三角形的三线合一的性质求出，得到，再根据勾股定理求出线段的长； （2）①连接，，由旋转得，证明，得到，，推出，进而得到，在上截取，连接，则，得到，，证得，由此得到，即； ②连接，由①得，故，由，因此得到当最小时，的值最小，此时，则，根据，，得到，求出，，过点H作于点M，在上截取，连接，则，得到，由此求出，得到，即可根据得到答案． 【详解】（1）解：如图，过点A作于点E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①如图，连接，， 由旋转得， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在上截取，连接，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②如图，连接， 由①得， ∴， ∵， ∴当最小时，的值最小，此时，则， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 过点H作于点M，在上截取，连接， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点，正确作出辅助线解决问题是解题的关键． 17．在中，，，点在直线上，连接，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，点是线段的中点，连接． (1)如图1，当点D在的延长线上时，连接． ①与之间的位置关系是_____，数量关系是_____； ②若，则线段_____； (2)如图2，当点在的延长线上时，若点是线段的中点，连接，试探究与的数量与位置关系并证明； (3)如图3，连接和，若，当线段取最小值时，请直接写出的面积． 【答案】(1)①且，证明见解析；②3 (2)且，证明见解析； (3)3． 【分析】（1）①先证，得，，，得到，则，即可得到结论；②由勾股定理得到，得到，由F为线段的中点，即可得到结论； （2）连接，证明，得到，，进一步得到，由为的中位线，得到，，即可得到，，得到结论； （3）根据垂线段最短知当时，最小，即最小，再证得，根据平行线间距离处处相等即可得到答案． 【详解】（1）解：①由旋转性质得：， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即且； ②∵，， ∴， ∴， ∵F为线段的中点， ∴． （2）证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵F为线段的中点，点G是线段的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴，， ∴且． （3）解：∵， ∴为等腰直角三角形，， 又F为斜边的中点， ∴，， ∴当最小时，最小， 根据垂线段最短知当时，最小，即最小，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题属于几何旋转综合题型，考查了旋转性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的中位线性质、垂线段最短、等高等底等面积等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，寻找全等三角形解决问题是解答的关键． 18．【问题情境】如图1，和均为等边三角形，连接，求证：； 【迁移应用】如图2，已知等边，在边上取一点D，延长至点E，使，连接，在上取一点F，连接，使，求证：； 【拓展创新】如图3，已知点P为等边外部一点，，连接，取的中点M，延长交于点N，若，，则面积为_______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，再证明，进而可证明，则； （2）延长到T，使得，连接，证明，得到，；再证明，得到，则可满足； （3）作等边，连接，证明，得到，导角可证明；取的中点Q，连接，可证明是等边三角形，得到，导角可证明，则，即可得到；过点B作于H，则，则，设，则，，；由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解:（1）∵和均为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图所示，延长到T，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，； ∵， ∴； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，作等边，连接， 由等边三角形的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，取的中点Q，连接， ∴， ∵点M为的中点， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点B作于H，则， ∴， 设，则，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 考点04 正方形相关含辅助线证明题 19．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形的边，上，，连接，则，试说明理由． 小明通过探究，为同学们提供了解题的想法： 延长到G，使，通过两次三角形全等即可． 请参考小明同学思考问题的方法解决下列问题（也可采用其他方法解决）： (1)求证：； (2)如图2，四边形中，，，点E，F分别在边，上，．若，探索并证明、、之间的数量关系； (3)如图3，正方形中，点E、F分别在、边上，连接、交于点G，，，，求的长．（直接写出答案） 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）如图：延长到G使,连接,先证可得、,进而证得可得，最后根据等量代换即可证明结论. （2）如图：延长到G使,先证可得、,进而证得可得，最后根据等量代换即可证明结论. （3）如图，延长至，使，证明，可得，，设，而，证明，可得，进一步可得答案. 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 如图：延长到G使，连接，    ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：，证明如下： 如图：延长到G使,    ∵,， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴,， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，延长至，使， ∴， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴，， 设，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． 20．在正方形中，为对角线，点E在上，过点E作，交于点F，连接． (1)如图①，求证：； (2)如图②，作，交于点G，求证：； (3)在（2）的条件下，如图③，延长交于点K，延长交于点M，连接，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）结合正方形的性质，证明，又因为，故，整理得，因为，所以，结合，得是等腰直角三角形，即可作答． （2）结合正方形的性质，证明四边形是矩形，结合角的关系，整理得，证明，所以，，，因为，则，即可作答． （3）延长交于H，连接，过点M作于P，证明，得，，证明四边形是矩形，所以，同理得四边形是矩形，则，证明是等腰直角三角形，，结合线段的和差关系得，得，再代入数值得，解得，则． 【详解】（1）证明：如图①，连接， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：如图②，延长交于H， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 由（1）得，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图③，延长交于H，连接，过点M作于P， ∵四边形是正方形 ∴， 同（2）可证明四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（2）得， ∵， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 同理得四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴，． ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正方形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 21．如图，中，，、为的外角平分线，过点分别作直线的垂线，为垂足． (1)______（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形是正方形； ②若，求的长． (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形中，，一条高是，它的长度为6，，直接写出的长度． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【分析】根据平角的定义得到，根据角平分线的定义得到，，求得，根据三角形的内角和定理即可得到结论； 作于，如图所示：则，先证明四边形是矩形，再由角平分线的性质得出，即可得出四边形是正方形； 设，根据已知条件求出，由得四边形是正方形，求得，根据全等三角形的性质求出，同理，，根据勾股定理列方程即可得到结论； 把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点，由得：四边形是正方形，，，，得出，，设，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 故答案为； （2）证明：作于，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ，外角平分线交于点， ，， ， 四边形是正方形； 解：设， ， ， 由得四边形是正方形， ， 在与中， ， ， 同理，， 在中，， 即， 解得：， 的长为； （3）解：根据题意作出图形，如图所示：把沿翻折得，把沿翻折得，延长、交于点， 由得：四边形是正方形，，，， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的有关计算、正方形的判定及性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识点．构造辅助线，结合垂直关系和角平分线性质证明邻边相等是解题的关键． 22．（1）【问题背景】如图1，在中，为边上的点，且绕点顺时针旋转得到，连接，试猜想与的数量关系，并加以证明 （2）【类比探究】如图2，在中，均为边上的点，且，求的长； （3）【拓展应用】如图3，E是正方形内一点，是边上一点，且，若，请直接写出当取最小值时___________． 【答案】（1），证明见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）把绕点顺时针旋转，得到，证，得； （2）先证是等边三角形，得，，将绕点逆时针旋转，得到，连接，再证，得，过点作，交的延长线于点，然后由含角的直角三角形的性质得，则，即可解决问题； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，则，由，得取最小值时，点在上，再由旋转的性质得，，然后证，得，设的长为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）， ，把绕点顺时针旋转，得到， ，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），， 是等边三角形， ，， 将绕点逆时针旋转，得到，连接，如图所示： 则，，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 过点作，交的延长线于点， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ； （3）将绕点顺时针旋转，得到，取的中点，连接、、，如图所示： 则， ， 取最小值时，点在上， 如图所示： 由旋转的性质得：，， ，正方形中，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设的长为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 当取最小值时的长为． 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、角直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 23．如图，点在正方形的边上运动，连接，把沿着翻折，点的对应点为，连接并延长与交于点，与的延长线交于点． (1)若，求的度数． (2)判断的度数是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是，请说明理由． (3)连接，探索线段，，数量之间的等量关系．写出关系式，并加以证明． 【答案】(1) (2)是定值， (3)，见解析 【分析】（1）先根据正方形的性质得到线段相等和角度的关系，得到全等三角形，再根据等腰三角形的性质即可得到答案； （2）先根据全等的性质得到，进而得到，根据三角形的内角和得到，根据外角的性质即可得到答案； （3）先作出辅助线，根据全等三角形的性质和勾股定理可得，进而得到答案； 【详解】（1）解：连接，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴， ， ∵根据题意可知：， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：是定值，． 设， 由（1）可知，， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． （3）解：． 连接，延长，过点作的垂线， 交延长线于点，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外角性质，勾股定理等知识点，解决此题的关键是熟练掌握各个知识点的联系． 24．如图1，正方形的边长为4，连接，点E为线段上任意一点（不与B，D重合），过点E作分别交，于点G，F．取的中点H，连接． (1)若，则__________，__________； (2)如图2，连接，交于点M，连接.求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点N，连接． ①探究，，之间的数量关系，并说明理由； ②若，则__________． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，； （2）可证得，从而，，进而得出结论； （3）①连接，延长至K，使，可证得，从而，，进而证得，从而，进一步得出结论； ②设，则，，，在中，由勾股定理得方程，求得x的值，可证得． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， ∴, ∵H为的中点， ∴， ∴． 故答案为：，． （2）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 在正方形和矩形中， ，，， ∴， ∴，， ∵，H是的中点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 即． （3）解：①，理由如下： 如图，连接AF，延长CD至K，使， 由（2）知，，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴. ②设，则，，， 在中，由勾股定理得， ， ∴，解得， ∴， 由①知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 考点05 动点问题中的含辅助线证明 25．在正方形中，点是边上任意一点，连接，过点作于，交于． (1)如图，过点作于，求证：； (2)如图，点E为的中点，连接，求证：； (3)如图，，连接，点为的中点，在点从点运动到点的过程中，点随之运动，请直接写出点运动的路径长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】根据正方形的性质可得：，，根据同角的余角相等可得，利用可证； 利用可证，根据全等三角形的性质可证，过点作，交的延长线于点，可证，根据全等三角形的性质可证：，利用勾股定理可证结论成立； 作的中点，的中点，连接，因为点在边上运动，点在上运动，点是的中点，可知点的运动轨迹是连接、中点的线段，利用勾股定理求出的长度即为点运动的路径长． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 点为的中点， ， ， 如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 在中，， ； （3）解：如下图所示，作的中点，的中点，连接， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 当点与点重合时，点与点重合，则线段与重合， 点在的中点的位置， 随着点、的运动，点在线段上运动， ， ， 在中， 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、动点问题．解决本题的关键是根据点、的运动路径找到点的运动轨迹，根据点的运动轨迹求出点运动的路径长度． 26．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 27．如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度沿线段移动（不与点A重合）设点E，F 同时出发移动t秒． (1)当时，求的长； (2)在点E，F移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由； (3)如图2，点G，H，分别在边，上，且，连接，交于点P，当与的夹角为，求t的值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)2 【分析】（1）根据题意得到，得到，，利用勾股定理即可求解； （2）通过证明得到，，则易推知是等腰直角三角形； （3）如图3，连接，，与交于．根据四边形是平行四边形，则其对边相等：．所以在中，由勾股定理得到：，故． 【详解】（1）解：根据题意当时：， 正方形的边长为， ，， 在中， ； （2）解：等腰直角三角形．理由如下： 如图1，在正方形中，，． 依题意得：． 在与中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图3，连接，，与交于，与交于点．    由（1）得， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，得， ． 【点睛】本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题． 28．漂洋同学在暑假自学探究过程中发现有一种特殊的四边形，它的四边都相等，且四个角都是直角，在正方形中，边长，点P以的速度自点A向终点B运动，点Q同时以同样的速度自点B向终点C运动，连接、    (1)当　 　s时，点P到达点B； (2)在点P、Q运动过程中，试判断、有什么样的位置和数量关系； (3)如图2，作，作的角平分线交于M点，与的数量关系是否发生改变，若不改变请说明理由． 【答案】(1)4 (2)且 (3)与的数量关系不发生改变，理由见解析 【分析】（1）用路程除以速度即可得到答案； （2）由四边形是正方形，得，，而点P，点Q以同样的速度运动，有，即可证明，故，，从而可得，； （3）在上取T，使，连接，由四边形是正方形，，可得，，，又平分，可得，根据，可得，从而可证，，故与的数量关系不发生改变． 【详解】（1）解：∵（s）， ∴当时，点P到达点B， 故答案为：4； （2）且；理由如下： 证明：如图，    ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点P，点Q以同样的速度运动， ∴， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ； （3）与的数量关系不发生改变，理由如下： 在上取T，使，如图：    ∵四边形是正方形， ，， ， ，即， ， 平分， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴与的数量关系不发生改变． 【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质及应用等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 29．如图1．在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，连接AE，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t秒． 图1                        图2 (1)当点F恰好落在DC边上时，求t的值； (2)如图2，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时，求t的值； (3)当点E从点B运动到点C时，求点F的运动路径长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由“AAS”可证，可得AB=EC=3，可求BE的长，即可求解； （2）由“HL”可证，可得AE=AD=4，由勾股定理可求BE的长，即可求解； （3）由“SAS”可证，可得∠AHE=∠EPF=135°，AH=PF，则点F在∠QPC的角平分线上运动，点F的运动路径长为PF的长，即AH的长，即可求解． 【详解】（1）当点F恰好落在DC边上时，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∴ ∵四边形AEFG是正方形 ∴，， ∴ ∴ 在和中， ， ∴ ∵AB＝3，BC＝4， ∴ ∴ ∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动， ∴； （2）连接AM，如图， ∵正方形AEFG，矩形ABCD， ∴，， 在和， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵动点E从B出发，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动， ∴； （3）如图，以AB为边作正方形ABPQ，连接AP，PF，过点E作EH⊥BC，交AP于点H， ∵四边形ABPQ是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵四边形AEFG是正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴PF平分， ∴点F在的角平分线上运动，点F的运动路径长为PF的长，即AH的长， 当点E和点B重合时，点H与点A重合， 当点E与点C重合时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F的运动路径长为． 【点睛】本题四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质等知识，确定点F的运动轨迹是解题的关键． 30．如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交直线DC于点Q． (1)如图1，当点Q在DC边上时，求证：； (2)如图2，当点Q在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并加以证明． 【答案】(1)见解析 (2)PB=PQ，证明见解析 【分析】（1）过P作PF⊥BC，PE⊥CD，证明Rt△PQE≌Rt△PBF即可； （2）证明思路同（1），只要证明Rt△PQF≌Rt△PBE即可； 【详解】（1）解：证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°， ∴PF=PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°， ∴∠BPE=∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ； （2）PB=PQ，理由是： 过P作PE⊥BC，PF⊥CD， ∵P，C为正方形对角线AC上的点， ∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°， ∴PF=PE， ∴四边形PECF为正方形， ∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°， ∴∠BPE=∠QPF， ∴Rt△PQF≌Rt△PBE， ∴PB=PQ． 考点06 折叠问题中的含辅助线证明 31．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半． (1)已知：如图，是的中位线求证：，； (2)应用：如图，在矩形纸片中，，为边上一点，将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，过点作，垂足为点，取的中点，连接，若，求的长． 【答案】(1)证明见解答过程 (2) 【详解】（1）证明：延长到，使，连接，如图所示： 是的中位线， ，， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 即，； （2）解：连接，，如图所示： 四边形是矩形，， ，， 由折叠性质得：，， ， 与重合， 即点，，共线， 是的垂直平分线， 点是的中点， 又点是的中点， 是的中位线， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 即的长为． 32．在边长为的正方形中，点是边上的一动点，连接． (1)如图，若此时点运动到的中点，则此时的长度为________； (2)如图，点在边上，且，连接，设、交于点．请判断与的关系，并说明理由； (3)如图3，若将正方形折叠，使得点落在边上的点处，且，折痕为，点在边上，点在边上，连接、，求折痕的长． 【答案】(1)； (2)，，理由如下： (3)． 【详解】（1）解：∵正方形边长，是中点， ，， 在中， ； 故答案为：； （2）解：，，理由如下： ∵四边形是正方形， ，， 又， ， ，， ， ， ∴， ， 综上，且； （3）解：如图，过点作于， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴四边形是矩形，，由翻折变换得， ∵，， ∴, ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、折叠的性质，熟练掌握全等三角形的判定和勾股定理的应用是解题的关键． 33．实践操作 (1)在矩形纸片中，，． ①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则________， ②如图1，若点恰好在边上，连接，求的长度； ③将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，如图．设与相交于点，求的长； (2)若，，将矩形纸片折叠，使点与重合，如图，求折痕的长． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用以及全等三角形的性质与判定，熟记翻折的性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ②根据折叠的性质可得，根据勾股定理求得，进而在中，根据勾股定理，即可求解； ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，证明，得出，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，即可求解； （2）连接，过，得，由②可得，，证明，设，则，在直角三角形中，根据勾股定理建立方程，解方程组，进而求得，在直角三角形中，根据勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：①将矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为，则； ②矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为 ， 在直角三角形中，，， ， ， 在直角三角形中，， ③矩形纸片折叠，使点落在点处，折痕为， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， 解得：； （2）解：连接，过，得，，由②可得，， ， ， 即， ，， ， ， ， 设，则， 在直角三角形中，， ， 解得：， ， 在直角三角形中，， ， ， 34．【问题提出】如图（1），在矩形中，点、分别在边、上，将矩形沿直线折叠，当点的对应点落在矩形内部，点的对应点为．请直接写出的形状是； 【问题探究】如图（2），当点的对应点恰好落在的中点，交于点，，时，求的长； 【问题拓展】将图（1）特殊化，如图（3），为中点，的延长线过点，交于点．若，则_______． 【答案】[问题提出] 等腰三角形；[问题探究] ； [问题拓展] 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键； [问题提出] ，根据折叠的性质，可得，即可得出结论； [问题探究]根据题意得出，延长交的延长线于点，证明，进而证明，设，则，在中，勾股定理得出，进而得出，，证明得出，在中，根据勾股定理，即可求解； [问题拓展] 连接，，证明垂直平分，根据，设，，进而分别表示出，即可求解． 【详解】[问题提出]如图，连接， ∵折叠， ∴ ∴的形状是等腰三角形； 故答案为：等腰三角形． [问题探究]矩形中，， ∴， ∵点是中点， ∴ 如图，延长交的延长线于点， ∵ ∴ ∴， ∵折叠， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 设，则 在中， ∴ 解得： ∴，，则 ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ 设，则， 在中， ∴ 解得： ∴； [问题拓展]如图，连接，， ∵折叠， ∴ ∵是的中点， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴， 又∵ ∴是的中点， ∴垂直平分， ∵，设， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴，即是的中点 ∴， ∵是的中点，是的中点 ∴， ∵ ∴ ∵折叠， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，， ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 35．已知正方形，点E，F分别为边上两点． 【建立模型】 （1）如图1，连接，如果，求证：； 【模型应用】 （2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度； 【模型迁移】 （3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）证明即可； （2）连接，过点作于点H，由垂直平分，则，，可得四边形为矩形，证明，则，同理可证明四边形为矩形，设，则，，则，那么，在中，由勾股定理建立方程，求解，即可得出答案； （3）由折叠可得：，同（1），，，则，，由勾股定理得，由面积法得到，再由即可求解． 【详解】（1）证明：如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点作于点H， ∵垂直平分， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可证明四边形为矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴设， 则， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理得： ∴ 解得：， ∴； （3）如图： 由折叠可得：，， 同（1），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 36．如图，在中，，P为线段上一点，连结，将沿着线段折叠，点D落在处，作交于点E． (1)证明：四边形为菱形； (2)如图1，若恰好落在平行四边形的对角线交点处，求此时的长度； (3)如图2，连结，在上取一点M（），若点M关于直线的对称点N落在的内部（包括边界），请直接写出的取值范围______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【详解】（1）证明：将沿着线段折叠，点D落在处， ，， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：如图，作的中点，连接， 点为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 四边形为平行四边形， ， ； （3）解：当点N落在上时，如图， 根据折叠可得， ， ，， ， ， ，即， 设，则， 根据，可得， 解得； ， 当点N落在上时，如图， 则， ， ， 过点作的垂线段，交于点， 为等腰直角三角形， 设， ， ， ， ， ， 根据上一种情况可得， 可得方程， 解得， 即此时， 的取值范围为． 故答案为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题04特殊平行四边形含辅助线证明题分类训练 (6种类型36道) 考点归纳 考点01菱形相关含辅助线证明题 考点02矩形相关含辅助线证明题 考点03直角三角形斜边上的中线相关含辅助线证明题 考点04正方形相关含辅助线证明题 考点05动点问题中的含辅助线证明 考点06折叠问题中的含辅助线证明 考点专练 考点01菱形相关含辅助线证明题 1.已知，在口ABCD中 G H 图1 图2 (1)如图1，BE平分∠ABC交AD于点E,AF⊥BE于点O,交BC于点F,连接EF,求证：四边形ABFE 是菱形： (2)如图2，连接AC,AC=AD,过点D作DG⊥AC,垂足为G,延长DG与BC交于点H. ①若AG=2,CG=1,求AB的长 ②若∠CAD=45°，过点H作HM⊥AB于点M,连接AH、GM,请用等式表式线段DG、CG、GM之间 的数量关系（直接写出结果，不需证明）. 2.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E是AB边上的点，点G在BD的延长线上，且CG=EG. G 备用图 1/15 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：∠GEA=∠GCB; (2)连接CE,求LGCE的大小： (3)作点C关于直线EG的对称点P,连接AP,直接写出线段AD,AP,AE之间的数量关系，并证明. 3.在菱形ABCD中，AB=2√5，∠ABC=60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边三角形 APE,连接CE, B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点E落在对角线BD上时，请求出BP的长； (2)点E的位置随点P的位置变化而变化，如图2，求证：BP=CE,BC⊥CE; (3)如图3，当点P在线段BD的延长线上时，连接BE,ED,若BE=2V9,求BDE的面积. 4.如图，四边形ABCD和四边形DEFG均为菱形，其中点E在菱形ABCD的对角线AC上， ∠B=∠DEF=60°. D 图1 图2 图3 如图1，若E为对角线AC的中点，EF交CD于点P,求C巴 的值 DP (2)如图2，连接AG交CD于点H,求证：AE+2DH=AD. (3)如图3，AB=1,E在线段AC上运动，直接写 SDP取最大值时，AF的值. S菱形DEFG 5.【问题背景】 同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动.在平行四边形纸片ABCD中，已知AB=10, AD=4V10,口ABCD的面积为120.点E为BC边上任意一点，将△ABE沿AE折叠，点B的对应点为B. 2/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D B、 ⊙ B E E 图1 图2 图3 【问题探索】 (1)如图1，若点B恰好落在AD上时，求证：四边形ABEB'为菱形； 【拓展延伸】 (2)如图2，若∠BAE=45°时，连接BB',并延长交CD于点G.求线段B'G的长； (3)如图3，改变E点的位置，将△ABE沿AE折叠，连接B'C，当BCB'是以∠BCB'为直角的三角形时， 求B'C的长度. 6. 已知四边形ABCD是菱形，∠BAD=I20°，AB=4,∠EAF的两边分别与射线CB、射线DC交于点E、 F,点E与点C、点B不重合，∠EAF=60°. 【问题探究】 (1)如图1，当点E在线段CB上时，则BE与CF的数量关系为： 【类比迁移】(2)如图2，当点E在线段CB上时，连接BD交AE于点H,当BE=BH时，求BE的长； 【应用拓展】(3)当∠BAE=15°时，求BE的长 D 图1 图2 备用图 考点02矩形相关含辅助线证明题 7.如图1，在ABC中，AB=2,BC=4,AC=25,平移AB至线段DC,(点D与点A对应，点C与点 B对应)，连接AD、CD. 图1 图2 图3 (1)判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论； (2)如图2，点E为BC边上一点，连接AE,AF平分∠DAE交CD于F,连接EF,若LAFE=45°，求CE 3/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的长； (3)如图3，N为CD边的中点，点M为平面内一动点，若LBMD=90°，连接MN,请直接写出MN的取值 范围。 8.在矩形ABCD中，E为AD边上异于A、D的一个动点，将△ABE沿BE折叠，点A的对应点为F. D 图1 图2 (1)如图1，若设LABE=a,则∠DEF=-(用含a的式子表示)；当点F恰好是BD的中点时，则a=_度。 (2)如图2，EF交BD于点M,且BF平分∠DBC. ①求证：△EDM是等腰三角形. ②当AB=3,BC=4时，求AE的长. 9.【基础巩固】 (1)如图1，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O的线段分别交AD,BC于点E,F,求证： OE =OF. 【尝试应用】 (2)如图2，在矩形ABCD中，点O是对角线BD的中点，EF∥AB分别交AD,BC于点E,F,连结OE,OF ,试猜想OE和OF的数量关系，并证明你的猜想。 【拓展提高】 (3)如图3，在矩形ABCD中，点M,N是对角线BD的三等分点，过点M作EF∥AB分别交AD,BC于点E, F,连结EN,FN,已知EN=5,FN=√10，求线段MF的长 D E D D B 图1 图2 图3 10.已知长方形ABCD中，AB=6,点E、F分别是线段DC和射线CB上的动点，且LEAF=45°. 4 B B D 图1 图2 图3 (1)如图1，若∠AEF=90°，AD=4,求线段AE的长度； 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图2，若AD=4,DE=1,求线段BF的长度： (3)如图3，若点F在CB的延长线上，点E是CD中点，且∠AEF与∠DAE互补，求线段AD的长度， 11.如图，在矩形纸片ABCD中，E为AD边上的动点，F为边BC上的动点，连接EF. G DE E E G H B(F) H C B C G 图① 图② 图③ (1)若AB=3,BC=4 ①如图①，点E与点D重合，点F与点B重合，将矩形纸片沿EF折叠，点A落在点G处，设DG与BC相 交于H,求CH的长； ②如图②，将矩形纸片沿EF折叠，使点B与点D重合，求折痕EF的长； (2)如图③，点E为AD的中点，点F与点B重合，将矩形纸片沿EF折叠，点A落在点G处，且点G在矩 形ABCD内部，延长BG交CD于点H,若DH=4CH,求4B的值， AD 12.在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,现将纸片折叠，点D的对应点记为点P,折痕为CE(点E是折 痕与矩形的边的交点)，再将纸片还原。 M B P 图1 图2 图3 备用图 (1)如图1，当点E在矩形ABCD的边AB上，点P落在射线CB上时，求证：△ADE≌△BEP; (2)如图2，当点E在矩形ABCD的边AB上，点P落在射线AB上时，求证：四边形DEPC为菱形： (3)如图3，当点E在矩形ABCD的边AD上，射线BA与射线CP交于点M·在折叠过程中，当AM=DE时， 请求出线段AE的长度， 考点03直角三角形斜边上的中线相关含辅助线证明题 13.如图，已知ABC和ADE都是等腰直角三角形，∠ACB=LADE=90°，点F为BE的中点，连接 CF,DF. 5/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B B D E 图① 图② (1)如图①，当点D在AB上，点E在AC上时，请判断CF,DF的关系并证明； (2)如图②，将图①中的ADE绕点A旋转到图②位置时，请判断(1)中的结论是否仍然成立？并证明你的 判断. 14.如图，RIAABC中，∠C=90°，点D在BC上，连接AD,LB=2LCAD. 图1 图2 (1)求证：BC+CD=AB; (2)分别取AB、BD的中点M、N,连接CM、MN,如图2，图2中长度等于CM的线段（不包括CM). 15.在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°. 图1 图2 ● (● 图3 图4 山如图1，过点A作Ah上8C于点H,求证：4H=BC: (2)如图2，在ADE中，AD=AE,∠DAE=90°，点B,D,E在同一条直线上，AH为ADE中DE边上的 高，连接CE.则∠AEC的度数为 ,试用线段AE,CE表示BE,并说明理由； (3)在图3，图4中，在同一平面内有一点P,满足PC=1,PB=6,且∠BPC=90°，请求出点A到PC边上 6/15 画学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的高。 16.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=5V2,点D是线段BC上一点，连接AD. H D 图1 图2 图3 (1)如图1，当CD=7时，求线段AD的长： (2)如图2，将线段AD绕点A顺时针旋转90°得到线段AE,连接DE,点F是DE的中点，连接BF并延长 到点H,连接DH,若2LBHD+∠HBC=90°. ①求证：FH=DE+CD; ②如图3，连接CE、CH、EH,点D从点B移动到点C的过程中，当BF取得最小值时，请直接写出 △CEH的面积. 17.在ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在直线AB上，连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90 °得到线段CE,连接DE,点F是线段DE的中点，连接AF. 图1 图2 图3 (1)如图1，当点D在BA的延长线上时，连接AE. ①AE与BD之间的位置关系是，数量关系是 ②若CD=32,则线段AF=一： (2)如图2，当点D在AB的延长线上时，若点G是线段AD的中点，连接FG,试探究BD与FG的数量与位 置关系并证明； (3)如图3，连接CF和BE,若BC=2√，当线段CF取最小值时，请直接写出△BCE的面积. 18.【问题情境】如图1，ABC和aCDE均为等边三角形，连接AE,BD,求证：AE=BD; 【迁移应用】如图2，己知等边ABC,在边AC上取一点D,延长BA至点E,使AE=CD,连接BD,在 7/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 BD上取一点F,连接CF,使∠ECF=60°，求证：EC=2CF; 【拓展创新】如图3，己知点P为等边ABC外部一点，∠BPC=30°，连接AP,取AP的中点M,延长 BM交PC于点N,若BC=√3，CN=3,则△BCN面积为一· B 图1 图2 图3 考点04正方形相关含辅助线证明题 19.阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC,CD上，∠EAF=45°，连接EF, 则EF=BE+DF,试说明理由. B E G B 图1 图2 图3 小明通过探究，为同学们提供了解题的想法： 延长CD到G,使DG=BE,通过两次三角形全等即可. 请参考小明同学思考问题的方法解决下列问题（也可采用其他方法解决）： (1)求证：EF=BE+DF; (2)如图2，四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=90°，点E,F分别在边BC,CD上，∠EAF=45°.若 BC⊥CD,探索并证明BE、EF、DF之间的数量关系； (3)如图3，正方形ABCD中，点E、F分别在AB、BC边上，连接CE、DF交于点G,LBEC=2LCDF, BE=5,CF=8,求BF的长.（直接写出答案） 2O.在正方形ABCD中，BD为对角线，点E在BD上，过点E作EF⊥CE,交AB于点F,连接CF. 8/15 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D D M D F G B B 图① 图② 图③ (1)如图①，求证：∠ECF=45°； (2)如图②，作FG1AB,交BD于点G,求证：DE=GE; (3)在(2)的条件下，如图③，延长FG交CE于点K,延长CE交AD于点M,连接MG,BK,若MG=2EK ,GK=2,求线段BK的长 21.如图，Rt△CEF中，∠C=90°，EA、FA为△CEF的外角平分线，过点A分别作直线CE,CF的垂线， B,D为垂足. D E (1)∠EAF=」 一。（直接写出结果不写解答过程）； (2)①求证：四边形ABCD是正方形： ②若BE=EC=4,求DF的长. (3)借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若锐角三角形PQR中，4PR=45,一条高是PH,它的 长度为6，QH=2,直接写出HR的长度. 22.(1)【问题背景】如图1，在ABC中，AB=AC,∠BAC=2a,D,E为BC边上的点，且 ∠DAE=u,△ACE绕点A顺时针旋转2a得到△ABF,连接DF,试猜想DF与DE的数量关系，并加以证明 (2)【类比探究】如图2，在ABC中，∠CAB=60°，AB=AC,D、E均为BC边上的点，且 ∠D1E=309,BD-2BC=3求DE的长， (3)【拓展应用】如图3，E是正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，F是BC边上一点，且∠EDF=45°，若 AB=2,请直接写出当DE取最小值时CF=】 F 图2 图3 9/15 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.如图，点E在正方形ABCD的边AD上运动，连接BE,把△ABE沿着BE翻折，点A的对应点为F,连 接CF并延长与AD交于点G,与BE的延长线交于点P, D G (1)若∠FBC=30°，求∠DCG的度数. (2)判断∠BPC的度数是否为定值，如果是定值，请求出定值；若不是，请说明理由 (3)连接PD,探索线段BP,CP,DP数量之间的等量关系.写出关系式，并加以证明. 24.如图1，正方形ABCD的边长为4，连接BD,点E为线段BD上任意一点（不与B,D重合），过点E 作GF∥AB分别交AD,BC于点G,F.取DE的中点H,连接HG E E D N 图1 图2 图3 (1)若BF=1,则BE= _,HG= (2)如图2，连接AH,交FG于点M,连接FH.求证：AH⊥FH; (3)如图3，在(2)的条件下，延长AH交CD于点N,连接FN ①探究DN,FN,BF之间的数量关系，并说明理由； ②若DN=3,则FM= 考点05动点问题中的含辅助线证明 25.在正方形ABCD中，点E是CD边上任意一点，连接AE,过点B作BF⊥AE于F,交AD于H. B B G E E 图1 图2 图3 (1)如图1，过点D作DG⊥AE于G,求证：△ABF≌△DAG; (2)如图2，点E为CD的中点，连接DF,求证：EF+HF=√2DF; 10/15