专题01 特殊平行四边形综合问题&最值问题（8种类型48道）（高效培优期中专项训练）数学北师大版九年级上册

专题01 特殊平行四边形综合问题&最值问题 （8种类型48道） 考点01 菱形相关综合问题 考点02 矩形相关综合问题 考点03 直角三角形斜边上的中线相关综合问题 考点04 正方形相关综合问题 考点05 菱形相关最值问题 考点06 矩形相关最值问题 考点07 直角三角形斜边上的中线相关最值问题 考点08 正方形相关最值问题 考点01 菱形相关综合问题 1．如图，菱形的周长为40，对角线，相交于点，，垂足为，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（   ）    A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵菱形的周长为40， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴，故④正确； 在中，， ∴，故②正确； 在中，，故③正确； 综上所述正确的有①②③④，共4个， 故选：A ． 2．如图，在菱形中，，点E，F分别在边，上，且，连接，交于点G，连接．现有下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】先证明是等边三角形，利用“”证明，利用全等三角形的性质和三角形的外角性质可判断①；过C作于M，交延长线于N，则，根据四边形的内角和可推导出，然后证和可判定②；利用含30度角的直角三角形性质以及全等三角形的性质可判定③；运用勾股定理求得，，利用全等三角形的性质可得，进而得，利用三角形的面积公式可判断④，进而可得答案． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， 又， ∴是等边三角形， ∴，，又， ∴， ∴， ∴， ∴； 故①符合题意； 过C作于M，交延长线于N，则， ∵， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， 又， ， ∴， ∴， 即平分， 故②符合题意； ∵平分，且， ∴ 则， ∴，， ∵， 则， 即， 故③符合题意； ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、四边形的内角和等知识，添加合适的辅助线构造全等三角形是解答的关键． 3．如图，菱形ABCD中，，AC与BD交于点O，E为CD延长线上一点，且，连接BE，分别交AC，AD于点F、G，连接OG，则下列结论正确的有（    ）个． ①；②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据菱形的性质可得，由题意可得，由AAS证明得出OG是的中位线，得出，故①正确；先证明四边形ABDE是平行四边形，证出和是等边三角形，得出，平行四边形ABDE是菱形，故②正确；根据边之间的关系得OG是的中位线，得，，则，再由，则，故④正确；连接FD，由等边三角形的性质和角平分线的性质得F到三边的距离相等，则，则，故③正确，综上，即可得． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴（AAS）， ∴， ∴OG是的中位线， ∴， 故①正确； ∵，， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵， ∴和是等边三角形， ∴，， ∴平行四边形ABDE是菱形， 故②正确； ∵，， ∴OG是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故④正确； 如图所示，连接FD， ∵是等边三角形，AO平分，BG平分， ∴F到三边的距离相等， ∴， ∴， 故③正确， 综上，①②③④正确，结论正确的有4个， 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理、三角形中线性质，解题的关键是掌握这些知识点． 4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，E是BC的中点，连接AE，DE，DE与AC交于点G、以DE为边作等边三角形DEF，连接AF交DE于点N，交DC于点M．下列结论：①；②∠EAN＝45°；③；④点M为AF的中点．其中结论正确的序号有（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】根据菱形的性质、等边三角形的性质即可判定①；证明△DAE≌△DCF，故可判断②；连接CF，过点A作AH⊥DC于点H，证明△AMH≌△FMC，故可判断③④． 【详解】∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=BC， 又∵∠B=60°， ∴△ABC是等边三角形， ∵E点是BC中点， ∴AE⊥BC，AB=2BE， ∴AE2=AB2-BE2=AB2-（AB）2=AB2， ∵DE=， 故①错误； ∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°，AB=BC， ∴△ABC、△ACD是等边三角形，ADBC，∠BAE=∠CAE=30°， 设BE=CE=a，则AB=BC=AC=2a， ∴AE=， ∵△DEF、△ACD是等边三角形， ∴AD=CD，ED=FE，∠ADC=∠EDF=60°， ∴∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC， ∴∠ADE-∠CDF， 又AD=CD，ED=FD， ∴△DAE≌△DCF（SAS）， ∴AE=CF，∠DAE=∠DCF=∠DAC+∠CAE=60°+30°=90°， ∴∠DCF=90°， ∴∠ACF=∠ACD+∠DCF=150°， ∵AC≠AE，AE=CF， ∴AC≠CF， ∴∠CAF≠∠CFA=15°， ∴∠EAN=∠EAC+∠CAF≠45°， 故②错误； 连接CF，过点A作AH⊥DC于点H， ∵AH⊥CD，AC=AD， ∴∠AHM=∠FCM=90°，CH=DH=a，AH=AE， ∵CF=AE，AH=AE， ∴AH=FC， 又∠AMH=∠FMC， ∴△AMH≌△FMC（AAS）， ∴AM=FM，CM=HM， ∴点M为AF的中点， 故④正确； ∵AE=，CM==， ∴， 故③正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查菱形、等边三角形及全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知等边三角形的性质、全等三角形的判定定理． 5．如图，在边长为的菱形中，点为边的中点，与对角线交于点，过点作于点，且．则以下结论：①；②；③；④是的倍；⑤若为上一动点，连接，，则的最小值为3，其中结论正确的为（    ） A．①③⑤ B．②③④ C．①②④⑤ D．①②③⑤ 【答案】D 【分析】证明可以判断①，根据①的结论结合直角三角形两锐角互余可判断②，根据菱形的性质，勾股定理分别求得可判断③，根据三角形面积公式求得两个三角形的面积可以判断④，根据菱形的对称性可知，即可判断⑤． 【详解】①四边形是菱形， ，,， ， ， ， ， ， ，， 点为边的中点， ， ， 在和中 ， （SAS）， ， 即， 故①正确； ，， 设， 则， 解得， ， 故②正确； ，,， ， ， ， 在中， ， ，， 连接交于， 四边形是菱形， 则，， 在中， ,， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， 是等边三角形， ， ， 由①③知， ， ， ， ， 故④不正确； 菱形是轴对称图形，关于的对称点为， 则， 的最小值为， ， ， ， 故⑤正确， 综上所述，①②③⑤正确． 故选D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质与判定，轴对称求线段和最值，综合运用以上知识是解题的关键． 6．如图，O是菱形的对角线的交点，E，F分别是的中点给出下列结论：①；②四边形也是菱形；③四边形的面积大小等于；④；⑤△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】①正确，根据三角形的面积公式可得到结论． ②根据已知条件利用菱形的判定定理可证得其正确． ③正确，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求得． ④不正确，根据已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO． ⑤正确，由已知可证得△DEO≌△DFO，从而可推出结论正确． 【详解】解：①正确 ∵E、F分别是OA、OC的中点． ∴AE＝OE． ∵S△ADEAE×ODOE×OD＝S△EOD ∴S△ADE＝S△EOD． ②正确 ∵四边形ABCD是菱形，E，F分别是OA，OC的中点． ∴EF⊥OD，OE＝OF． ∵OD＝OB． ∴四边形BFDE是菱形． ③正确 ∵菱形ABCD的面积AC×BD． ∵E、F分别是OA、OC的中点． ∴EFAC． ∴菱形ABCD的面积＝EF×BD． ④不正确 由已知可求得∠FDO＝∠EDO，而无法求得∠ADE＝∠EDO． ⑤正确 ∵EF⊥OD，OE＝OF，OD＝OD． ∴△DEO≌△DFO． ∴△DEF是轴对称图形． ∴正确的结论有四个，分别是①②③⑤， 故选：C． 考点02 矩形相关综合问题 7．如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④；⑤．其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，判断出④正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到⑤错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； 由上述①、⑤、③可得、，， ，故④正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故⑤错误； 故选：C． 8．如图：四边形是矩形，点F 在边上，平分且  垂足 为点E，  连接并延长交于点 G， 连接交于点H，  连接交于点I，  有下列结论： ①；②垂直且平分；③；④其中正确的结论有（     ）个 .    A．①③④ B．③④ C．①② D．①②④ 【答案】C 【分析】由矩形的性质可得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，故①正确；，由全等三角形的性质可得出，由线段垂直平分线的性质可得出结论；由全等三角形的判定可知③错误，由等腰三角形的性质可判断④． 【详解】解：①四边形是矩形， ∴，， ， ， ， ， 故①正确； ②，，， ， 在的垂直平分线， 在和中， ， ∴， ， 点在的垂直平分线， 垂直且平分； 故②正确； ③平分， ， ， ， 又， ∴不可能是等边三角形， ， 错误； 故③错误； ④，， ， ， ， ． 故④错误． 故选：C． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 9．如图，在中，，，把绕点A逆时针旋转得到，点D与点B对应，点D恰好落在上，过E作交的延长线于点F，连接并延长交于点G，连接交于点H．下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（   ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】连接，可证四边形是矩形，，即可判断①③；根据①③的结论可推出垂直平分，进而可得是等腰直角三角形，从而可判断②；证明，推出，设，推出，，判断④即可． 【详解】解：连接，如图所示：    ∵，， ∴ 由题意得： ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点是的中点 即：，故①正确； ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 同理可证 ∴，故③正确； ∵ ∴垂直平分 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则：， ∴， ∴， ∴；故④正确； 故选：A． 【点睛】本题综合考查了矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、斜中半定理等知识点，综合性较强，需要学生具备扎实的几何基础． 10．如图，在矩形中，，的平分线交于点E，，垂足为H，连结并延长，交于点F，连结交于点O．下列结论：①平分；②；③；④；其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及矩形的性质，①根据题意得，则有，得到，即可证明，得到，进一步有，则①正确；②根据，有和，得到，进一步得到，证得，即，则②正确；③有，可得，进一步有，则，结合，可得，则③正确；④由，得，则，则④正确． 【详解】解：①∵平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分，则①正确； ②∵， ∴，， ∴， 则， ∵， ∴， 则， 在和中， ∴， ∴，则②正确； ③∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，则③正确； ④∵， ∴， ∵， ∴，则④正确． 故选：D． 11．如图，已知是矩形的对角线，，，点，分别在边，上，连结，．将沿翻折，将沿翻折，若翻折后，点，分别落在对角线上的点，处，连结．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理及其逆定理，折叠的性质，平行线的判定．由矩形的性质及勾股定理可求出；由折叠的性质可得出，，则可求出；证出，由平行线的判定可得出结论；由勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理可判断结论不成立． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ，， ，故①正确； 将沿翻折，将沿翻折，点，分别落在对角线上的点，处， ，， ，故②正确； 四边形是矩形， ， 将沿翻折，将沿翻折，点，分别落在对角线上的点，处， ， ∴，故③正确； ， ， 设，则， ， ， ，， ∴， ∵， ∴不是直角三角形， ∴， ∴不成立，故选④不正确， 综上，①②③正确， 故选：C． 12．在矩形中，对角线、相交于点，平分交于点，，连接，则下面的结论中正确的有（  ） ①是等边三角形；②是等腰三角形；③；④；⑤． A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．①②③④⑤ 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质．判断出是等腰直角三角形，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，再判断出，是等边三角形，可判断①；根据等边三角形的性质求出，再求出，可判断②，由直角三角形的性质可得，可判断③，由等腰三角形性质求出，再根据，可判断④；由面积公式可得可判断⑤；即可求解． 【详解】解：平分， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 矩形中：， 是等边三角形，是等边三角形，故①正确； ，， ， 是等腰三角形，故②正确； ， ，，故③正确； ，故④正确； ， 由面积公式可得， ，，， ， 即， ， ，故⑤错误； 综上，①②③④正确； 故选：B． 考点03 直角三角形斜边上的中线相关综合问题 13．如图，在等腰直角中，，，于点F，点 D，E分别在边上，连接，，下列结论：①；②；③，其中正确的结论的个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定、斜边中线定理、等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、斜边中线定理、等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而可得，则可进行排除选项． 【详解】解：∵在等腰直角中，，，， ∴，，， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确；， ∵， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∴；故③正确； 故选D． 14．如图，在中，对角线，相交于点，，，，分别是，，的中点，连结、、，交于点．以下结论：①；②；③平分；④．其中正确的个数是（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】连接，，证明，由等腰三角形的性质得出，再由直角三角形的性质得出，可判定①；证明四边形是菱形，由菱形的性质得出，可判定②；四边形为平行四边形，是对角线，所以不一定平分，可判定③；证明四边形是平行四边形，得出，可判定④． 【详解】解：①连接， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴，故①错误； ②连接， ∵E是的中点，F是的中点， ∴，， ∴，即， ∴ ∵G是的中点， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴，故②正确； ∵四边形为平行四边形，是对角线， ∴不一定平分，故③错误； ④∵， ∴ ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； ∴正确的有②④关，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，直角 三角形的性质，三角形中位线的性质，本题属四边形综合题目，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 15．如图，平行四边形中，对角线、相交于点，，、、分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④平分；⑤四边形是菱形．其中正确的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】证明是等腰三角形即可证明①正确；由，可证②成立；由中点的性质可得出，且，结合平行即可证得③结论成立；由三线合一可证明④成立；无法证明⑤成立；此题得解． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴, ∵E为中点， ∴，故①成立； ∵，G是中点， ∴， ∵E、F分别是的中点， ∴，且， ∵四边形为平行四边形， ∴，且， ∴， ∴，故②成立； ∵， ∴, ∴（两直线平行，内错角相等）， 在和中， ∵， ∴，即③成立； ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴ 即平分 故④正确， 若四边形是菱形 ∴， ∴ 与题意不符合 故⑤错误 故选C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、中位线定理以及平行线的性质定理，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 16．如图，在中，对角线，交于点，，点，，分别是，，的中点，交于点．有下列4个结论：①；②；③；④，其中说法正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和，可以确定为等腰三角形，再应用等腰三角形三线合一的性质可判断①正确；根据直角三角形的性质确定，根据三角形的中位线的性质确定，再结合平行四边形的性质可判断②正确；根据三角形的中位线和平行四边形的性质可以确定，且，进而得到平行四边形，再应用其对角线互相平分的性质确定③正确；④根据平行四边形的性质，可得． 【详解】解：①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵为中点， ∴． 故①正确． ②∵，是中点， ∴． ∵分别是中点， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． 故②正确． 如下图所示，连结和． ③如上图所示：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵分别是中点， ∴． ∴，即． ∵，， ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 故③正确． ④∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵为的中点， ∴，故④正确 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键． 17．如图，已知中，，，，点是中点，两边，分别交，于点E，F，当在内绕顶点P旋转时(点E不与A，B重合)，给出以下四个结论：①；②是等腰直角三角形；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 先证明是等腰直角三角形，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，证明，同理可证，同理可证，根据全等三角形的性质逐一判断即可． 【详解】解：如图， ，， 是等腰直角三角形， ，是中点， ， 、都是的余角， ， 在与中， ， ， 同理可证， ①由得到，故①正确； ②由得到， 是直角， 是等腰直角三角形，故②正确； ③由得到， 则， 故③正确； ④，， ，， ， ④错误； 正确结论为①②③． 故选：C． 18．如图，在中，，点是的中点，延长至点，使得，过点作于点，为的中点，给出结论： ①； ②； ③四边形是平行四边形； ④． 其中说法正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用这些知识点．由，，可得，从而判断①；延长交于点，，得出，进而根据直角三角形的性质从而判断②；延长交于，作于，先证，再证出，从而判断③，由与，得出，从而判断④． 【详解】解：，， ， 故①不正确； 如图，延长交于点, ∵，， ∴ ∴ ∵为的中点， ∴， 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 故②正确； 延长交于，作于，连接 ，，， ， ， 又， ∴是的中位线， ， ， ∵ ∴ ∵ ， ， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， 故 ③正确； ， ， ， 故④正确， 正确的有②③④，共3个 故选：C． 考点04 正方形相关综合问题 19．如图，四边形是正方形，点O为对角线的中点，E、F分别是、边上的点，且，与、分别交于点H、G，与交于点I， 有下列命题： ①；②； ③； ④； ⑤；⑥．其中正确的有 （      ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【详解】解：①如图1所示： ∵四边形为正方形，点O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论①正确； ②过点O作交于K，如图2所示： ∵， ∴， ∴， 由结论①正确得， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 即，故结论②正确； ③∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论③正确； ④设的中点为M，连接，如图3所示： ∵， ∴为斜边上的中线， ∴， ∴， 假设，则， ∴， ∴， ∴， ∴为的平分线，这与点E为边上的点相矛盾， ∴假设不正确，故结论④不正确； ⑤∵， ∴， 即，故结论⑤正确； ⑥过点O作交于P，如图4所示： ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故结论⑥正确． 综上所述：正确的结论是①②③⑤⑥，共5个． 故选：A． 20．如图，在正方形中，，为对角线上的一个动点（不与点重合），过点作于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②；③时，四边形是正方形；④的最小值为．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查的知识点包括正方形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的性质、垂直的判定以及线段最小值的求解．通过，可证明四边形为矩形，可得，再证明，得，等量代换可得，即①正确；因为，可得，由，等边对等角得，所以，即②正确，由，得，由①可知，四边形是矩形，四边形是正方形．故③正确；由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小，此时，④不正确；即可解答． 【详解】解析：如图所示，连接，交于点O， ，， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，， 在和中， ， ， ，即①正确； ， ， ， ， ，即②正确， 当时， ， ， 由①可知，四边形是矩形， 四边形是正方形．故③正确； 由①可知，，当点三点共线时，最小，即最小， 此时， 的最小值为，④不正确． 综上，正确的结论为：①②③． 故选：C． 21．如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，是等腰直角三角形．其中正确的结论有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，然后利用“角边角”证明和全等；由四边形是矩形，可得，而在直角中，，可判断，运用矩形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，进行线段的等量代换，得，判断出不一定是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而确定出与不一定全等；证明，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵在和中， ， ∴．故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵过点P分别作，的垂线， ∴四边形是矩形， ∴． 在直角中，， ∴．故③正确； 过点作， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵正方形， ∴，而， ∴是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定全等，故④错误； ⑤∵四边形是矩形， ∴， ∴是直角三角形， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， 当P是的中点时，则， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选B． 22．如图，在正方形的对角线上取一点E，使得，连接并延长到F，使，与相交于点H，有下列结论：①；②；③；④，则其中正确的结论有 （    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，综合运用以上知识点，正确做辅助线构造全等是解题的关键；由正方形的性质可证，即可判断①，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断③，根据三角形的内角和定理分别求出即可判断④，在上截取，连接， 则是等边三角形，证明即可得解． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，，， 故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 故③正确； ， ， ， ， ， ， 故④正确； 在上截取，连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， 故②正确； 综上所述，正确的结论有4个， 故选：． 23．如图，在正方形中，是上一动点（不与、重合），对角线、相交于点，过点分别作、的垂线，分别交、于点、，交、于点、，下列结论：①；②；③；④；⑤当是的中点时，．其中正确的结论有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题考查的是正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质解题是关键． 根据正方形的每一条对角线平分一组对角可得，然后利用“角边角”证明和全等；由四边形是矩形，可得，而在直角中，，可判断，运用矩形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质，进行线段的等量代换的，得，判断出不一定等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而确定出与不一定全等；证明和都是等腰直角三角形，而，从而可得答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵在和中， ， ∴．故①正确； ∵四边形是正方形， ∴，， ∵过点P分别作，的垂线，， ∴四边形是矩形， ∴． 在直角中，， ∴．故③正确； 过点作， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵正方形， ∴，而， ∴是等腰直角三角形，而不一定是等腰直角三角形， ∴与不一定全等，故④错误； 如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴是的中点 ∵P是的中点， ∴是中位线， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∴和都是等腰直角三角形， 而， ∴和不全等，故⑤错误． 综上：正确的有①②③，有3个． 故选C． 24．在正方形中，，E是对角线上的一动点，连接，作交直线于点F，以，为边作平行四边形，与相交于点H，连接．下列结论正确的是：①四边形是正方形；②；③正方形的面积最小值是4；④当时，．其中结论正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】过点E作分别交于点M，交于点N，根据题意证明出是等腰直角三角形，得到，然后证明出，得到，进而可判断①；根据题意证明出，得到，，进而判断②；根据题意得到当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值，求出，，即可判断③；设，则，得到，，然后根据勾股定理求出，得到，即可判断④． 【详解】如图所示，过点E作分别交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵是正方形的对角线 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形，故①正确； ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∵只有当点E是中点时，，即此时，故②错误； ∵E是对角线上的一动点， ∴当时，取得最小值，即此时正方形的面积取得最小值 ∵ ∴ ∴ ∴正方形的面积取得最小值为，故③正确； 当时， ∵， ∴， ∴设，则 ∵是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴（负值舍去） ∴ ∴ ∴ ∵当时， 此时 ∵ ∴，故④错误． 综上所述，其中结论正确的个数是2个． 故选：B． 、考点05 菱形相关最值问题 25．如图，在菱形中，，，连接，点P是上的一个动点，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】如图，将线段绕点A顺时针方向旋转，得到线段，连接，，， 由题意知，在菱形中，，， ∴和为等边三角形， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即点B，，P，D四点共线时，的最小， 此时最小值的长度为． 故答案为：． 26．如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点M在线段上，且，点P为线段上的一个动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，能够找到最小值时的P点是解题关键．过P点作于H，过M点作于N，如图，根据菱形的性质得到，平分，，再判断为等边三角形得到，则，所以，则，所以的最小值为的长，然后利用含30度角的直角三角形性质和勾股定理求出即可． 【详解】解：过P点作于H，过M点作于N，如图， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 当M、P、H共线时，的值最小，即的最小值为的长， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 27．如图，在菱形中，，，P是上的动点，求的最小值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形，含的直角三角形，垂线段，解决问题的关键是熟练掌握菱形性质，含的直角三角形性质，垂线段性质． 过点作于点，交于点，连接，根据菱形的对称性，得到，根据，得到，推出，得到，根据，推出，得到的最小值为． 【详解】解：过点作于，交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴B、关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 28．如图，菱形 的边长为 2，， E 为的中点， P 为上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称中的最短问题，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是利用轴对称解决最短问题． 如图，连接、交于点，连接，证明，推出，求出的长即可得出结论． 【详解】解：如图，连接、交于点，连接，   四边形是菱形且边长为2，， ， ，， 和都是等边三角形， E为的中点， ， 是的中垂线， ， ， 四边形是菱形，， ，， ， ， ， ， 的最小值是 ． 故答案为：． 29．如图，在菱形中，，E是上一动点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形和三角形．熟练掌握菱形性质，含30°的直角三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，是解题的关键． 过点B作于点F，根据菱形性质可得，得，根据，得，由，得的最小值为． 【详解】解：过点B作于点F，则， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值为． 故答案为：． 30．如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为 ； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）在上截取，如图1，先根据菱形的性质得到，，则，再证明得到，利用两点之间线段最短得到（当且仅当A、M、E共线时取等号），据此求解即可； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2，利用菱形的性质和角平分线的性质得到，所以，根据垂线段最短可得到的最小值为的长，然后由（1）得到即可． 【详解】解：（1）在上截取，如图1， ∵四边形是边长为8的菱形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵（当且仅当A、M、E共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 即最小值为的长， 过A点作于H点，如图1， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； 故答案为：； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， 即的最小值为的长， 由（1）得到， ∴的最小值为． 故答案为：． 考点06 矩形相关最值问题 31．如图，矩形中，，，点在边（不包含端点）上运动，点在边（包含端点）上运动，连接，，分别为，的中点，则长度的最大值与最小值的差为 ． 【答案】2 【分析】通过连接辅助线、，利用三角形中位线定理得出与的数量关系，再根据矩形性质确定的最值，进而求出的最值差． 【详解】解：连接、． ∵，分别为，的中点， ∴是的中位线， ∴． 在矩形中，，． 当与重合时，，此时最小，； 当与重合时，，此时最大，． ∴长度的最大值与最小值的差为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、三角形中位线定理以及勾股定理的应用，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 32．在矩形中，为线段上一动点，于点于点Q，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、三角形面积等知识点，掌握矩形的判定与性质是解题的关键． 如图：连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小，此时， ∴，解得： ∴的最小值为． 故答案为：． 33．如图，在矩形中，．点E在边上，且分别是边上的点，且是线段上的动点，连接． （1）当点P为的中点时， ； （2）的最小值为 ． 【答案】 4 【详解】解：（1）如图1，过点P作于点H，作于点， 在矩形中，， ， ， 点P是的中点， ， 四边形是矩形， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ∴， ， ， ． （2）如图2，作点N关于对称的点， ， 点落在边上，连接交于点， 即当点P与点重合时，最小， 由作图可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的最小值为4． 【点睛】该题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是正确做出辅助线． 34．如图，在矩形中，，，是边上的一动点，是对角线上的一动点，连接，． （1）若，分别是，的中点，则 ． （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 / 【详解】解：（1）在矩形中，，，， ， ，分别是，的中点， ， ， ， 故答案为：． （2）延长到，使，连接，， 四边形是矩形， ，，，． ． ，， ． ， ， 当点、、共线时，最小，最小值为的长． 最小值为． ， ， 在中，， ， 最小值为， 故答案为：． 35．如图，矩形中，，，点是边上的动点，点在边上，．连接、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，两点之间线段最短性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 延长到点M，使得，连接，证明转化得到，当A，F，M三点共线时，取得最小值，勾股定理解答即可． 【详解】解：延长到点M，使得，连接， ∵矩形，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接 ∵， ∴， 故当A，F，M三点共线时，取得最小值，且最小值为， 故答案为：． 36．如图，在矩形中，，，P是边上一个动点，过点P作，垂足为G，连接，取中点E，连接，则线段的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查三角形的中位线的性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质．延长，使得，连接，，求出，得点在定直线上，利用中位线得，则当最小时，有最小值，而当时，最小，计算即可． 【详解】解：延长，使得，连接，，如图， ∵，， ∴， ∴平分， ∵， ∴， ∴， ∴点在定直线上， ∵是的中点， ∴， ∴当最小时，有最小值， 当时，最小， 此时， ∴的最小值为， 故答案为：． 考点07 直角三角形斜边上的中线相关最值问题 37．如图，已知，且，，，点D、F分别在上滑动．点M是的中点，点N是的中点，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查三角形三边关系，直角三角形斜边的中线，全等三角形的性质，关键是由三角形三边关系定理得到．连接，由勾股定理求出，由全等三角形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，，由三角形三边关系定理得到，即可得到的最小值． 【详解】解：连接， ，，， ， ， 点M是的中点，点N是的中点，， ，， 由三角形三边关系定理得到：， 的最小值是 故答案为： 38．如图，中，，点O是边的中点，点D是上的动点，过点D作，交AC于点E，作，交于点F，连接，点G是的中点，若． （1）的最小值为 ； （2）连接，当时，长为 ． 【答案】 6 【分析】（1）连接，根据等腰直角三角形性质得，，证明四边形是矩形得，由此得当为最小时，为最小，根据“垂线段最短”得当时，为最小，由此得当点D于点O重合时，为最小，最小值为线段的长，据此可得出答案； （2）根据矩形性质得经过点G，，则是的斜边的中线，进而得，因此当时，则是等边三角形，设，则，由勾股定理得，即可得出的长． 【详解】解：（1）连接，如图所示： 在中，， 是等腰直角三角形， 又点O是边的中点，， ，， ，， ， 四边形是矩形， ， 当为最小时，为最小， 点D是上的动点， 根据“垂线段最短”得：当时，为最小， 当点D与点O重合时，为最小，最小值为线段的长， 即的最小值为6， 的最小值为6， 故答案为：6； （2）点G是的中点，四边形是矩形， 经过点G，， 即点G是的中点， ， 是的斜边的中线， ， 当时，则， 是等边三角形， 设， 则， 在中，由勾股定理得：， 由（1）可知：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定和性质，等腰直角的性质，垂线段最短，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，理解相关性质定理是解决问题的关键． 39．如图，在中，，，，点为平面内一动点，，连接，点是的中点，则线段的最小值为 ，最大值为 ． 【答案】 4 6 【分析】本题考查了三角形中位线定理、三角形三边关系、勾股定理、直角三角形的性质，取的中点，连接，则是的中位线，得出，由勾股定理可得，由直角三角形的性质可得，再由三角形三边关系即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵是的中点， ∴， 由三角形三边关系可得：， ∴， ∴线段的最小值为，最大值为， 故答案为：，． 40．如图，在中，，，，点，分别在边，上运动，为的中点，若，则的长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由直角三角形斜边上的中线的性质得到，设，则，则对运用勾股定理得，即可求解． 【详解】解：设，则， ∵，F为的中点， ∴，， ∴， 当时，取得最小值为， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 41．如图，在中，，，是边上的任意一点，连接，是上一点，连接，使得，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查勾股定理，直角三角形的性质，取中点，连接、，由得到，即可得到，最后根据求解即可． 【详解】解：取中点，连接、，则， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵中，当在上时，， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 42．如图，在中，，将绕点O顺时针旋转得到，取的中点E，的中点F，连接，则在旋转过程中，线段的最小值为 ．    【答案】2 【分析】 本题考查旋转的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，连接，由勾股定理可知，根据题意可得，，由三边关系可知，，当、、三点在同一直线上时取等号，即可求解，解题的关键是掌握旋转前后，对应边线段及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， 由旋转可知，，， ∵点为中点，点为的中点， ∴，， 在中，由三边关系可知，，当、、三点在同一直线上时取等号， ∴， ∴线段的最小值为2． 故答案为：2． 考点08 正方形相关最值问题 43．如图，在边长为4的正方形中，将沿射线平移，得到，连接．求的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，连接，作点D关于直线的对称点T，连接． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵D，T关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴B，A，T共线， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 44．如图，在正方形中，，点E在上且，点F是边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，作点E关于的对称点G，连接，则，， ∴， 即的最小值为的长， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴点B，C，G三点共线， ∴， ∴． 即的最小值为． 故答案为： 45．如图，边长为2的正方形中，点E是边上一个动点，以为边在直线左侧作正方形，Q是其对角线交点，取中点M，连接． （1）当E是的中点时，的长为 ； （2）的最小值为 ． 【答案】 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， ∵以为边在直线左侧作正方形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴； （2）解：如图所示，延长到点，使得，连接，作点关于的对称点，连接， 在中，是中点，则， 又， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ∴当点在线段上运动时，点在线段上运动， ∵作点关于的对称点， ∴， ∴， 在中，，则， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：①；② ． 46．如图，正方形的边长为1，点，分别是边，上的动点且，作于点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，延长交的延长线于H，连接，， ∵正方形的边长为1， ∴， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即当点A，P，C三点共线时，取得最小值，最小值为． 故答案为： 47．如图，在边长为的正方形中，点，分别是边、上的动点，且满足，与交于点，点是的中点，是边上的点，，则的最小值是 ； 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵，即， ∴垂直平分， ∴， ∴， 当、、三点共线时取“”，此时有最小值，最小值为，∵，正方形的边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值是． 故答案为：． 48．在正方形中，点、是、上的两定点，满足：，（点不与，重合；点不与，重合）．连接，取的中点，连接，且，，为线段上的动点，为线段上的动点，则四边形的周长的最小值为 ． 【答案】22 【详解】解：如图，延长至H，使，连接， 在正方形中，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 如图，作点N关于直线的对称点为，点M关于直线的对称点为，延长至T，使得，连接，，，连接，交于E，交于F，连接，，此时四边形的周长最小， ∴B为的中点，D为的中点， 又∵四边形为正方形， ∴， ∴为的中垂线，为的中垂线， ∴，， ∵点P是的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，且， ∵，， ∴， 同理可得， ∴ ， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵为的中垂线，为的中垂线， ∴，， ∴四边形的周长， ∵，，， ∴， ∴当在同一直线上时，四边形的周长有最小值，最小值为22． 故答案为：22． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题01特殊平行四边形综合问题&最值问题 (8种类型48道) 11 考点归纳 考点01菱形相关综合问题 考点02矩形相关综合问题 考点03直角三角形斜边上的中线相关综合问题 考点04正方形相关综合问题 考点05 菱形相关最值问题 考点06矩形相关最值问题 考点07直角三角形斜边上的中线相关最值问题 考点08正方形相关最值问题 考点专练 考点01菱形相关综合问题 1.如图，菱形ABCD的周长为40，对角线AC,BD相交于点O,DE⊥AB,垂足为E,DE:AB=4:5,下 列结论：①DE=8;②BE=4;③BD=4V5;④S菱形4BCD=80.其中正确的个数是() D C E B A.4 B.3 C.2 D.1 2.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别在边AB,AD上，且AE=DF,连接BF,交DE于点 G,连接GC·现有下列结论：①∠BGD=120°；②GC平分∠BGD;③CG=DG+BG;④ √3 S四边形DGBC CG.其中正确的结论有() 4 F B 1/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O,E为CD延长线上一点，且CD=DE,连接BE ,分别交AC,AD于点F、G,连接OG,则下列结论正确的有()个. ①OG=1AB;②由点A、B、D、E构成的四边形是菱形：图SI边彩o0Gr=S.Br;④S△4cn=4S△BoG· B A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，在菱形ABCD中，∠B=60°，E是BC的中点，连接AE,DE,DE与AC交于点G、以DE为边 作等边三角形DER,连接4AP交DE于点N,交DC于点M.下列结论：①DE=5AB:②∠E4N=45, 2 ③AE=2√5CM;④点M为AF的中点.其中结论正确的序号有() A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 5.如图，在边长为2√5的菱形ABCD中，点F为边AD的中点，BF与对角线AC交于点G,过点G作 GE⊥AB于点E,且∠1=∠2·则以下结论：①BF⊥AD;②∠BAD=60:③CG=2AG;④S△ADc是S△AGB 的3倍；⑤若H为AC上一动点，连接DH,FH,则DH+FH的最小值为3，其中结论正确的为() O C F H G 2 B A.①③⑤ B.②③④ C.①②④⑤ D.①②③⑤ 6.如图，O是菱形ABCD的对角线AC,BD的交点，E,F分别是OA,OC的中点给出下列结论：① SADE=S.EOD;②四边形BFDE也是菱形；③四边形ABCD的面积大小等于EF,BD;④LADE=LEDO; ⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有() 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D 0 B A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 考点02矩形相关综合问题 7.如图，在矩形ABCD中，AD=√2AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE于点H,连接BH并 延长交CD于点F,连接DE交BF于点O,有下列结论：①ED平分∠AEC;②OE=DE;③HE=DF; ④BC-CF=2EH;⑤AB=FH.其中正确的结论有() D B E A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 8.如图：四边形ABCD是矩形，点F在BC边上，AF平分∠BAD且AD=AF,DE⊥AF垂足为点E, 连接BE并延长交CD于点G,连接DF交BG于点H,连接EC交DF于点I,有下列结论： ①LAFD=∠CFD:②DF垂直且平分EC;③△EFC≌aEHD:④AB=EG.其中正确的结论有()个· E B A.①③④ B.③④ C.①② D.①②④ 9.如图，在ABC中，∠ABC=90°，BA=BC,把ABC绕点A逆时针旋转得到ADE,点D与点B对 应，点D恰好落在AC上，过E作EF∥AB交BC的延长线于点F,连接BD并延长交EF于点G,连接CE交 BG于点H.下列结论：①BD=DG:②CE=√2BD;③CH=EH;④FG=√2EG,其中正确的有() E G H D B 3/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 1O.如图，在矩形ABCD中，AD=√AB,∠BAD的平分线交BC于点E,DH⊥AE,垂足为H,连结 BH并延长，交CD于点F,连结DE交BF于点O.下列结论：①DE平分∠HDC;②BH=HF;③ AO⊥DE;④BC-CF=2HE;其中正确的结论有() D H B E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图，己知BD是矩形ABCD的对角线，AB=6,BC=8,点E,F分别在边AD,BC上，连结BE, DF,将△ABE沿BE翻折，将△DCF沿DF翻折，若翻折后，点A,C分别落在对角线BD上的点G,H处， 连结GF·则下列结论：①BD=10;②HG=2;③EG∥FH;④GF⊥BC,其中正确的个数是() G B C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD交BC于点E,∠CAE=15°，连接OE, 则下面的结论中正确的有() D B E ①△D0C是等边三角形；②△BOE是等腰三角形；③BC=√5AB;④LA0E=135°；⑤SA4OE=S△BoE· A.①②③ B.①②③④ C.①②④ D.①②③④⑤ 考点03直角三角形斜边上的中线相关综合问题 13.如图，在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,CF⊥AB于点F,点D,E分别在边AC,BC上， 连接DE,CE=AD,下列结论：①AB=2CF;②DF=EF;③∠DEF=45°，其中正确的结论的个数有 () 4/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C D F B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 14.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是0C,OD,AB的 中点，连结EF、FG、EG,EG交BD于点N·以下结论：①EG=)BC:②AE⊥GF:③CA平分 ∠BCD;④GN=NE.其中正确的个数是() D G B A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 15.如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E、F、G分别是OC、0D、 AB的中点，下列结论：①BE⊥AC;②EG=EF;③△EFG≌△GBE;④EA平分∠GEF;⑤四边形 BEFG是菱形.其中正确的个数是() D F A.2 B.3 C.4 D.5 16.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD交于点O,BD=2AD,点E,F,G分别是OA,OB,CD的 中点，EG交FD于点H.有下列4个结论：①ED1CA;②EP=EG;③FH=)FD,④S,Em= S.CED 2 其中说法正确的有() A D E H G F 5/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①②③④ 17.如图，己知ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，EP⊥PF,点P是BC中点，两边PE,PF分别交 AB,AC于点E,F,当∠EPF在ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A,B重合），给出以下四个结论：① AE=CF;②aEPF是等腰直角三角形：③2S拉形HEPF=SAc;④BE+CF=EF,正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 18.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D是AB的中点，延长CD至点E,使得∠CAB=LBAE,过点 E作EF⊥AB于点F,G为CE的中点，给出结论： ①CD=AB; ②BG=FG; ③四边形AEBG是平行四边形； ④∠CAE+∠BGF=180°. 其中说法正确的个数为() A G B C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 考点04正方形相关综合问题 19.如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点，E、F分别是AB、AD边上的点，且 LEOF=90°，BF与CE、AC分别交于点H、G,CE与BO交于点I,有下列命题：①BF⊥CE;② ∠0HC=45°；③0G=01;④OH=号1C:⑤0E=0F:⑥CH-BH=N20H,其中正确的有（) 6/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 20.如图，在正方形ABCD中，AB=4,E为对角线AC上的一个动点（不与点A,C重合），过点E作 EF⊥AB于点F,EG⊥BC于点G,连接DE,FG·给出下列结论：①DE=FG;②LFGB=∠EDC: ③DE=AE时，四边形BFEG是正方形；④DE+FG的最小值为8.其中正确的结论有() D G A,1个 B.2个 C.3个 D.4个 21.如图，在正方形ABCD中，P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O,过点 P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论：① APE≌AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△P0F≌△BNF;⑤当P是AB的中点时， △PMN是等腰直角三角形.其中正确的结论有() M D A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 22.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E,使得∠CDE=I5°，连接BE并延长到F,使CF=CD ,BF与CD相交于点H,有下列结论：①BE=DE;②CE+DE=EF;③∠AED=∠DEH;④ ∠HFC=∠EDC,则其中正确的结论有() 7/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D H E A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 23.如图，在正方形ABCD中，P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O,过点 P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论：① APE≌AME;②PM+PN=AC;③PE2+PF2=PO2;④△P0F≌△BNF;⑤当P是AB的中点时， △PMN≌aAMP.其中正确的结论有() E D A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 24.在正方形ABCD中，AB=2V2,E是对角线AC上的一动点，连接BE,作EF⊥BE交直线DC于点F, 以EF,BE为边作平行四边形EBGF,GF与AC相交于点H,连接CG,下列结论正确的是：①四边形 EBGF是正方形：②cG+CE=288:@正方形EBGF的面积最小值是4：④当CGF时， ∠FEC=22.5°.其中结论正确的个数是() D E H G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 、考点05菱形相关最值问题 25.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4,连接BD,点P是BD上的一个动点，连接PA,PC, 则PA+PB+PC的最小值是」 8/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B D 26.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=6,对角线AC、BD相交于点O,点M在线段AC上，且AM=1, 点P为线段BD上的一个动点，连接MP,则MP+PB的最小值是一 A D M B 27.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AB=2,P是AC上的动点，求BP+AP的最小值 B A 28.如图，菱形ABCD的边长为2，∠D=60°，E为AD的中点，P为CE上一动点，则AP+BP的最 小值为 29.如图，在菱形ABCD中，∠A=60,AB=4,E是CD上一动点，连接BE,则BE的最小值为 D E 30.如图，四边形ABCD是边长为8的菱形，∠ABC=60°，M是对角线BD上的一个动点. 9/14 00学科网·上好课 ww ， zxx .com 上好每一堂课 A D N M B C (1)若N是AB边上一点， AN=2， ，连结AM，MN，则 AM+MN 的最小值为； (2)变式：若N是AB边上一个动点，连结 AM，MN， ，则 AM+MN 的最小值为. 考点06 矩形相关最值问题 31.如图，矩形 ABCD 中， AB=6，BC=8， ，点E在 BC 边(不包含端点)上运动，点F在AD边(包含端 点)上运动，连接EF，G，H分别为 EF，BE 的中点，则GH长度的最大值与最小值的差为. F D G B C H E 32.在矩形 ABCD 中， AD=2，AB=4，M 为线段BD上一动点， MP⊥CD 于点 P，MQ⊥BC 于点Q，则线 段 PQ 的最小值为. P D C M A B 33.如图，在矩形 ABCD 中， AB=3，BC=4. .点E在边AD上，且 .ED=3，M、N 分别是边 A B、BC 上的点， 且 BM=BN=2，P 是线段CE上的动点，连接 PM，PN. E $$A _ { 1 }$$ D M P B C N (1)当点P为EC的中点时， PM+PN= ； (2)PM+PN 的最小值为. 34.如图，在矩形 ABCD 中， AB=2，BC=4，E 是边 BC 上的一动点，F是对角线BD上的一动点，连接 DE，CF. ^{∘} (1)若E，F分别是 BC，BD 的中点，则 DE+CF= . (2)若 BE=DF， 则 DE+CF 的最小值为. 10/14