21.3 一元二次方程的判别式（第2课时）（教学课件）数学新教材沪教版五四制八年级上册

该初中数学课件聚焦“一元二次方程的判别式”第2课时，核心内容为理解判别式与根的情况关系，掌握已知根的情况求字母系数取值范围。通过复习判别式概念导入，衔接之前的方程解法与求根公式，搭建前后知识脉络的学习支架。 此资料亮点在于例题分层设计与变式、提升训练结合，通过分类讨论例题（如分三种根的情况）和新定义运算题，培养学生抽象能力、推理意识与模型意识。助力学生提升分析归纳能力，为教师提供系统教学资源，便于实施分层教学。

第21章 一元二次方程 21.3一元二次方程的判别式 第2课时 沪教版2024 八年级数学上册 章节导读 21.1 一元二次方程的概念 21.2 一元二次方程的解法 一元二次方程的概念 一元二次方程的解 特殊的一元二次方程的解法 一般的一元二次方程的解法 一元二次方程的求根公式 21.3 一元二次方程的判别式 已知方程判断解的情况 已知解的情况求字母系数 21.4 一元二次方程的根与系数的关系 韦达定理 韦达定理的应用 21.5 一元二次方程的应用 二次三项式的因式分解 列方程解应用题 学习目标 1. 理解一元二次方程根的判别式与根的情况的关系； 3.通过从具体到抽象的认知活动，体会从特殊到一般、分类讨论等数学思想方法，提高观察、分析、归纳、概括能力. 2. 会根据方程的根的情况确定方程中一个字母系数的取值范围，并进一步探求方程的根； 知识回顾 复习导入 什么是方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的判别式？ 运用判别式解决更多的问题吧！ 学以致用 例题讲解 例题1 分析 根据方程解的情况可以判断b2－4ac的取值范围. 已知一元二次方程根的情况，由判别式应满足的条件确定方程中字母系数的取值范围。 请归纳具体的步骤方法. 新课讲授 我归纳！ 1.已知方程解的情况求字母取值范围 已知一元二次方程根的情况，由判别式应满足的条件确定方程中字母系数的取值范围。 学以致用 例题讲解 例题2 分析 一元二次方程有实数根，包括有不等两根或相等两根的情况。 学以致用 例题讲解 例题3 请归纳需要注意的地方！ 新课讲授 我归纳！ 1.已知方程解的情况求字母取值范围 已知一元二次方程根的情况，由判别式应满足的条件确定方程中字母系数的取值范围。 2.解决问题注意事项 ①需要首先整理方程，确定各项系数； ②注意系数符号问题； ③计算不等式时注意变号！ 学以致用 我会求 变式练习 已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【分析】（1）根据一元二次方程有实数根得到32-4（k-2）0，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，将等式左侧展开代入计算即可得到k值． （1）解：∵一元二次方程有实数根． ∴∆0，即32-4（k-2）0，解得k （2）∵方程的两个实数根分别为， ∴， ∵， ∴， ∴，解得k=3． 方法总结：此题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系式，熟练掌握一元二次方程有关知识是解题的关键． 学以致用 我会求 变式练习 已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立；（2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可。 （1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ，解得， ∵，，， ，，． 方法总结：本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 课堂小结 我总结！ 提升训练 我会算！ 提升1 已知关于的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求的取值范围；(2)当时，用配方法解方程． 【分析】（1）根据题意，可得，注意一元二次方程的系数问题，即可解答， （2）将代入，利用配方法解方程即可． （1）解：依题意得：， 解得且； （2）解：当时，原方程变为：， 则有：， ， ， 方程的根为，． 方法总结： 本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键. 提升训练 我会算！ 提升2 规定：对于任意实数a、b、c、d有，其中等式右边是通常的乘法和减法运算，如：． (1)求的值； (2)已知关于x的方程有两个实数根，求m的取值范围． 【分析】（1）根据新定义计算即可求解； （2）根据新定义得到一元二次方程，利用根的判别式列式计算即可求解． （1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴，整理得， ∵关于x的方程有两个实数根， ∴，且， 解得且． 方法总结：本题考查了新定义运算，根的判别式，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键. 提升训练 我会算！ 提升3 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．规定为该“快乐方程”的“快乐数”．如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式以及“快乐方程”的定义，读懂题目中“快乐方程”， “快乐数”的定义是解题的关键． 提升训练 我会算！ 提升3 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．规定为该“快乐方程”的“快乐数”．如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (1)“快乐方程”的“快乐数”为________； 【分析】本题根据“快乐数”的定义即可求出“快乐方程”的“快乐数”； （1）解：方程的“快乐数为： ， 故答案为：； 提升训练 我会算！ 提升3 若关于的一元二次方程的根均为整数，则称方程为“快乐方程”．计算发现，任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数．规定为该“快乐方程”的“快乐数”．如“快乐方程”的两根均为整数，其“快乐数”，若有另一个“快乐方程”的“快乐数”，且满足，则称与互为“开心数”． (2)若关于的一元二次方程（为整数，且）是“快乐方程”，求的值，并求该方程的“快乐数”； 【分析】先计算根据“快乐方程”的定义，得到为完全平方数，根据，m为整数即可求出m的值，求其“快乐数”； （2）解：方程， ∴， ∵，∴， 又方程是“快乐方程”， ∴或36，∴，（舍去）， ∴方程为：，则 提升训练 我会算！ 提升3 (3)若关于的一元二次方程与（、均为整数）都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“开心数”，求的值． 【分析】关于x的一元二次方程是“快乐方程”，即可求出m的值，求出方程的“快乐数”，根据“开心数”的定义即可求出n的值． （3）解：，∴， 设，则，又与同奇偶， ∴或或或 解得或，∴方程为：或；，∴， ，当时， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，∴，解得：或（舍去）， 当时，， ∵两方程的“快乐数”互为“开心数”，∴，解得， 综上，n的值为0或3． 提升训练 我会算！ 提升4 关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：(k﹣1)x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数． （1）求k的取值范围； （2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值； （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足(x1+x2)(x1 -x2 )+2m( x1 ﹣x2+m)＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 【分析】本题主要考查一元一次方程与一元二次方程，涉及解一元一次方程，一元二次方程以及一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的根与系数的关系，根的判别式，是解题的关键． 提升训练 我会算！ 【分析】（1）先解出方程①的解，根据一元二次方程的定义和方程①的根为非正数，得出k的取值范围，即可； （1）∵关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4， 解得：x＝2k﹣4， ∵关于x的方程2（x﹣k）＝x﹣4的解为非正数， ∴2k﹣4≤0，解得：k≤2， ∵由一元二次方程②，可知k≠1， ∴k≤2且k≠1； 提升4 关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：(k﹣1)x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数． （1）求k的取值范围； 提升训练 我会算！ 【分析】（2）先把k＝m+2，n＝2m﹣2代入方程②化简，通过因式分解法，用含m的代数式表示出一元二次方程的两个实数根，根据方程②的解为负整数，m为整数，即可求出m的值； （2）∵一元二次方程（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0中k﹣m＝2，2k﹣n＝6， ∴k＝m+2，n＝2k﹣6＝2m+4﹣6＝2m﹣2， ∴把k＝m+2，n＝2m﹣2代入原方程得：（m+1）x2+2mx+m﹣1＝0， 因式分解得，[（m+1）x+（m﹣1）]（x+1）＝0， ∴x1＝﹣=，x2＝﹣1， ∵方程②的解为负整数，m为整数， ∴m+1＝﹣1或﹣2，∴m＝﹣2或﹣3； 提升4 关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：(k﹣1)x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数． （2）如果方程②的解为负整数，k﹣m＝2，2k﹣n＝6且k为整数，求整数m的值； 提升训练 我会算！ 【分析】（3）根据（1）中k的取值范围和k为正整数得出k＝2，化简一元二次方程，并将两根和与积代入计算，得出关于m、n的等式，结合根的判别式，即可得到结论． （3）由（1）知：k≤2且k≠1， ∵k是正整数，∴k＝2， ∵（k﹣1）x2+2mx+（3﹣k）+n＝0有两个实数根x1、x2， ∴x1+x2＝ ＝﹣2m，x1x2＝ ＝1+n， ∵（x1+x2）（x1﹣x2）+2m（x1﹣x2+m）＝n+5，∴2m2＝n+5 ①， △＝（2m）2﹣4（k﹣1）[（3﹣k）+n]＝4m2﹣4（n+1）≥0 ②， 把①代入②得：4m2﹣8m2+16≥0，即m2≤4，∴|m|≤2． 提升4 关于x的方程：2（x﹣k）＝x﹣4①和关于x的一元二次方程：(k﹣1)x2+2mx+（3﹣k）+n＝0②（k、m、n均为实数），方程①的解为非正数． （3）当方程②有两个实数根x1、x2，满足(x1+x2)(x1 -x2 )+2m( x1 ﹣x2+m)＝n+5，且k为正整数，试判断|m|≤2是否成立？请说明理由． 感谢聆听 $