专题06一元二次方程：判别式.跟与系数关系及应用精讲学案(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年沪教版五四制八年级数学上册

本讲义聚焦一元二次方程判别式（Δ=b²-4ac）、韦达定理及四大恒等变形，在解法基础上构建系数与根的关系，延伸至增长率、传播裂变等四大应用模型，形成从理论到实践的学习支架。 资料以分类讨论、整体代换及数学建模思想为核心，通过14类分级题型（含动态几何压轴题）培养抽象能力与推理意识，课中助力分层教学，课后便于针对性练习，有效弥补根与系数关系应用等知识盲点。

专题06一元二次方程：判别式与跟与系数关系及应用精讲学案 核心立意 在掌握一元二次方程解法的基础上，探究系数与根之间的内在联系。理解根的判别式，能双向运用判别式解决问题；掌握根与系数的关系，运用整体代入思想进行代数式求值；构建一元二次方程模型求解实际问题。体会分类讨论、整体代换、数学建模思想，提升代数推理与应用能力。 一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 判别式的定义 1.只有先整理成一元二次方程标准形式，才能计算判别式； 2.判别式由方程二次项、一次项、常数项组合而成，用来判断方程实数根的数量； 3.重要前提：二次项系数不能为 0，否则不是一元二次方程，不能使用判别式结论。 根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 韦达定理基础内容 1.设一元二次方程标准形式程 ax2+bx+c=0（a0） ，方程两个实数根为 x1、x2，使用定理前提：判别式 Δ=b2−4ac≥0， 方程有实数根才能使用根与系数关系。 2.核心公式： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 3.简化形式：当二次项系数 a=1，方程为 x2+px+q=0，则 x1+x2=-p，x1x2=q。 2. 四大必考恒等变形（中考高频） 掌握整体代换思维，无需求根直接运算： ①平方和：= ②倒数和：= ③差平方：= ④两根差值：|x1-x2|= 列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 一元二次方程四大应用必考模型（课堂核心、考试主干） ①增长率模型：连续变化问题通用公式 a(1 x)2=b，适用于产量、利润、价格、人数连续增减； ②传播裂变模型：遵循逐层扩散规律 1+x+x2=总数，贴合病毒、传染、繁殖类题型； ③图形面积模型：利用平移补形思想，把不规则道路、空白区域转化为规则矩形，通过面积列方程； ④销售利润模型：单件利润×销售数量=总利润，核心是找准“涨价降销量、降价升销量”的对应变化关系。 重点辨析 1. “有两个实数根”：题目指明方程是一元二次方程，必须同时满足 a0,Δ0。 2. “有实数根”：没有限定方程类型，必须分类讨论： a=0：方程为一元一次方程，必有一个实数根； a0：方程为一元二次方程，需要 Δ0。 3. Δ=0 时，只能表述为两个相等的实数根，不能说成“一个实数根”。 4. 根与系数的关系不能脱离 Δ0使用；无实根时，公式不成立。 5. 整体代入是求值的常用路径，但不是唯一方法，不要强行使用。 1. 求一元二次方程的参数范围时，忽略 a0。 2. 题目只说“方程有实数根”，没有对 a=0、a eq0 分类讨论。 3. 两根之和漏写负号，错记为 x1+x2=。 4. 使用根与系数的关系求值，跳过 Δ0 的检验。 5. 增长率问题中，变化次数（指数）取值错误。 6. 面积、利润问题，只验证方程，忽略边长、价格、销量大于 0 的限制。 7. 概念错误：将两个相等的实数根描述为一个根。 题型 考察方向 难度 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★★ 题型三 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 题型四 传播问题 ★★★ 题型五 增长率问题 ★★★ 题型六 与图形有关的问题 ★★★★ 题型七 数字问题 ★★ 题型八 营销问题 ★★★★ 题型九 动态几何问题 ★★★★★ 题型十 工程问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 图表信息题 ★★★★ 题型十三 握手、循环赛问题 ★★★ 题型十四 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题思路：① 将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)}；② 确定系数 a,,b,,c，注意符号；③ 计算判别式=b2-4ac；④ 根据>0,=0,<0 判断根的情况。 1．关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】根据一元二次方程根的判别式，计算判别式的值，由判别式的符号即可判断方程根的情况． 【详解】解：∵，可得 ，，， ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】计算根的判别式，判定，解答即可． 【详解】解：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 3．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据题目给出的新定义，将方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 4．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 【答案】(1)证明：，，， ， ∴方程总有两个实数根． (2)或或 【分析】（1）先计算判别式的值，然后根据平方的非负性判断方程总有两个实数根； （2）利用公式法求出，，再根据方程的两个实数根都是整数，即可求出正整数的值． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴为整数， 为正整数， ∴为4的正约数， 或或． 题型二：根据一元二次方程根的情况求参数 解题思路：① 审题，区分条件是“一元二次方程”还是“方程”；② 若为一元二次方程，先限定 a0，再依据根的情况列出的不等式；③ 若仅为“方程有实数根”，分类讨论：当 a=0 时，方程为一元一次方程，必有实根；当 a0 时，方程为一元二次方程，需满足 0；④ 解不等式；⑤ 合并所有符合条件的取值 5．一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 【答案】2（答案不唯一） 【详解】解：一元二次方程有两个实数根， ， 解得， 取(答案不唯一)． 6．关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到二次项系数不为，结合方程有实数根得到根的判别式大于等于，求出的取值范围，即可确定整数的最小值． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得，且， 整数的最小值为． 7．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的情况求参数，解题关键是一元二次方程的根的判别式并能熟练运用． 先根据一元二次方程有两个相等的实根，计算判别式，求得，代入化简即可． 【详解】解：∵方程有两个相等实根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 8．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 【答案】(1) (2)当时，对于方程①及其“换位方程”均有 ， ∴方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根． (3)或，或 【分析】（1）根据“换位方程”的定义解答即可； （2）根据一元二次方程根的判别式得出，即可得出结论； （3）把分别代入方程①及其“换位方程”可得，根据时两方程相同得出，解方程得出或，分别代入方程①求出的值即可得出答案． 【详解】（1）解：在方程中，，， ∴方程①的“换位方程”为． （2）解：略 （3）解：∵方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根， ∴，， ， ∴， 当时，方程①与其“换位方程”相同，不符合题意， ∴ 解得：或， 当时，代入方程①得，， 解得：； 当时，代入方程①得，， 解得：． 题型三：一元二次方程的根与系数的关系 解题思路：① 验证0；② 确定 a,b,c，写出 x1+x2−，x1x2 ；③ 将所求代数式变形为仅含 x1+x2、x1x2 的形式；④ 整体代入求值；⑤ 若求参数，解出参数后回代验证0 。 9．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：一元二次方程中，，， 由根与系数的关系得． 10．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到的表达式，再结合根与系数的关系：是一元二次方程的两个根，则，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的根， ∴， 整理得， ∵，是一元二次方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可得，， 将代入所求代数式得： 原式． 11．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用一元二次方程根的定义对所求式子降次化简，再结合根与系数的关系计算最终结果． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴由根的定义得，， 由根与系数的关系得，， 化简第一个因式：， 化简第二个因式：， ∴原式， 代入，得：原式． 12．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 【答案】(1)，； (2)证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【详解】（1）解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）略 题型四：传播问题 解题思路：① 设每轮 1 个个体传染 x 个新个体；② 第一轮后总数：1+x；③ 第二轮后总数：(1+x)2；④ 根据最终总数列方程；⑤ 解方程；⑥ 舍去负根。 13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 【答案】 【分析】设每轮传染中平均一个人传染人，根据传染规律得到两轮传染后的总患病人数，结合新增120人得到等量关系，列一元二次方程求解，舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染人， ∵初始有名患者， ∴第一轮传染后，患病人数为， 第二轮传染后，总患病人数为， ∵经过两轮传染后共有人患病， ∴列方程得 ， ∵人数为正整数， ， ∴， 解得， 答：每轮传染中平均一个人传染10人． 14．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于传播类问题，解题思路是按传播顺序计算两轮传播后的总知晓人数，再据此列出方程． 【详解】解：∵初始有1人知晓政令，每轮平均1人传播给人， ∴第一轮传播结束后，总共有人知晓， 第二轮传播中，所有已知晓的人都会传播给人，因此第二轮新增的知晓人数为， ∵两轮传播后总共有49人知晓， ∴可列方程为 ，故选C． 15．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121个人患了流感． (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人； (2)按此速度传染下去，第三轮患流感人数会不会突破1300人？ 【答案】(1)10人 (2)第三轮患流感人数会突破1300人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，代数式求值，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解． （1）设每轮传染中，平均一个人传染了个人，根据两轮传染后共有121人患了流感，列出方程，即可求解； （2）根据题意，列式求出三轮之后患流感的人数． 【详解】（1）设每轮传染中，平均一个人传染了个人， 根据题意得：， 解得或（不合题意舍去） 所以，每轮传染中，平均一个人传染了10个人； （2）按此速度传染下去，第三轮患流感人数为人， 把代入得． 所以，第三轮患流感人数会突破1300人． 16．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人感染几人? (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流? 【答案】(1)每轮感染中平均一个人感染人 (2)经过三轮感染后累计超过200人患了甲流 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设每轮感染中平均一个人感染人，根据“小区经过两轮传播后共有36人患了甲流”，列出方程，解方程即可得出答案； （2）先计算出经过三轮感染后患甲流的人数，再和进行比较即可． 【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人感染人， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， ， ， 每轮感染中平均一个人感染人； （2）解：由题意得： 经过三轮感染后患甲流的人数为：（人）， ， 经过三轮感染后累计超过200人患了甲流． 题型五：增长率问题 解题思路：① 设平均变化率为 x；② 利用关系式 终值=初值(1 x)n，增长取“+”，下降取“-”，n 为变化次数；③ 代入数值列方程；④ 解方程；⑤ 舍去负根；⑥ 检验：下降率满足 x1。 17．年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 【答案】 【分析】根据增长率问题列出一元二次方程即可． 【详解】由题意可得 18．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出十月份的销售额，再根据连续两个月的平均增长率为x，结合十二月份的最终销售额列出方程即可． 【详解】解：∵九月份销售额为200万元，十月份销售额下降了， ∴十月份的销售额为万元， ∵十一、十二月份的平均增长率为，销售额从十月份开始连续增长两次，最终十二月份销售额为万元， ∴可得方程 ． 19．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 【答案】(1) (2)当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元 【分析】（1）增长率模型：初始量最终量； （2）根据“单件利润销售量总利润”，表示出降价后每件的利润与当月销量，列出一元二次方程，求出符合实际意义的售价． 【详解】（1）解：设该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率为． （2）设该组合套装的售价为元，则月销售量为套． 根据题意，得， 解得不合题意，舍去 答：当该组合套装的售价为元时，月销售利润为元． 20．为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． (1)求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”， ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 【答案】(1)该文创产品平均每次降价的百分率为 (2)①每件应降价36元；②我认为小杭同学不能实现目标，理由见详解 【分析】（1）设该文创产品平均每次降价的百分率为x，由题意可得方程为，进而求解即可； （2）①设每件应降价m元，根据题意可得方程，然后进行求解即可；②设每件应降价t元，由题意易得，然后根据根的判别式可进行求解． 【详解】（1）解：设该文创产品平均每次降价的百分率为x，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴， 答：该文创产品平均每次降价的百分率为． （2）解：①设每件应降价m元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵为回馈顾客并减少库存， ∴； 答：每件应降价36元． ②设每件应降价t元，由题意得： ， 整理得：， ∴， ∴原方程无解， ∴我认为小杭同学不能实现目标． 题型六：与图形有关的问题 解题思路：① 设未知宽度或边长为 x；② 利用平移，用含 x 的代数式表示变换后图形的长与宽；③ 根据面积公式列方程；④ 解方程；⑤ 检验：解大于 0，且小于原图的长、宽；⑥ 舍去不合理解。 21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 【答案】 【分析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为，再根据猪舍面积即可列出关于的一元二次方程，解方程再结合住房墙的长为对方程的解进行取舍，即可得解． 【详解】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为，则平行于墙的一边的长为， 根据题意，得， 解得，． 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意． ∴所围矩形猪舍的长为，宽为时，猪舍面积为． 22．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设石板路的宽度为，则水池拼合后的总宽度应为原宽减去石板路的宽度，即，水池拼合后的总长度应为原长减去石板路的总宽度，即， ∵水池的占地面积为， ∴． 23．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 【答案】上、下边衬的宽分别为；左、右边衬的宽分别为 【分析】由题意设中央的矩形的长和宽分别是和，要使四周的边衬所占面积是封面面积的，则中央矩形的面积是封面面积的，由此列出方程即可求解． 【详解】解：∵封面的长、宽之比为，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画， ∴中央的矩形的长、宽之比也应为， 设中央的矩形的长和宽分别是和， 由题意得， 整理得， 解得或（不符合题意，舍去）， 则上、下边衬的宽分别为，左、右边衬的宽分别为． 24．园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 【答案】小路的宽度为1米 【分析】设小路的宽度为米，根据题意结合图形，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设小路的宽度为米，由题意得 ． 解，得，舍． 答：小路的宽度为1米． 题型七：数字问题 解题思路：① 设某一数位上的数字为 x；② 用含 x 的式子表示其余数位数字；③ 根据两位数=10十位数字+个位数字，写出原数与新数；④ 依据等量关系列方程；⑤ 解方程；⑥ 检验：各位数字为 09 的整数，十位数字不为 0。 25．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据连续偶数的差值为2，由给出的较大数表示出较小偶数，再根据两数乘积为168即可列出方程． 【详解】解：∵较大的偶数为，则较小的连续偶数为， ∴根据题意，可得方程． 26．在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 【答案】 【分析】设最小的数为x，则最大的数为，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：设最小的数为x，则最大的数为， ， ∴， ∴（舍去）， ∴这个最小数为. 27．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 【答案】9 【分析】设四个数中最小数为，则最大数为，再根据最小数与最大数的乘积为153列一元二次方程求解，最后选择符合实际的解即可． 【详解】解：设四个数中最小数为，则最大数为 由题意得：， 整理得：， ， 即， 解得：（舍）， 答：最小数为9． 28．如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 【答案】(1)123 (2)小亮说法正确，理由见解析 【分析】（1）根据月历表找到符合题意的小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数，求和即可； （2）设两人框的中间相同的数为x，根据题意列方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当小明框出3个数为，小亮框出3个数为，此时他俩框出数的总和最大， ∴最大值为； （2）解：小亮的说法是正确的． 理由：设两人框的中间相同的数为x， 则可得方程 ， 即 ，     解得（负数舍去），， 但是15在日历的最右侧，不可能成为横框的中间数，所以不符合题意舍去， 因此小亮说法正确． 题型八：营销问题 解题思路：① 设价格的变化量为 x；② 表示单件利润：单件利润=售价-进价；③ 表示销售量：销售量=原销量单位价格变化对应的销量变化量x，涨价用减号，降价用加号；④ 由 总利润=单件利润销售量列方程；⑤ 解方程；⑥ 结合题目约束舍去不合理解。 29．某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用总利润每件利润销售量的关系，分别确定每件利润和销售量，即可列出方程． 【详解】解：每件元的商品，售价为每件元， 每件商品的利润为元， 又每天销售量为件，每天的利润为元， 可列方程为． 30．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 【答案】商场平均每天可多售出2件 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据所给方程和已知条件分析方程各项的含义，补全条件即可． 【详解】解：中，表示降价元后每件衬衫的盈利，表示降价元后每天的销售量，而是因降价元增加的销售量，意味着衬衫的单价每降价1元，商场平均每天可多售出2件． 31．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】当每件商品降价20元时，该商店每天销售利润为1200元． 【分析】设每件商品应降价元，根据“平均每天可售出20件，每件盈利40元，售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，每天销售利润为1200元”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设每件商品应降价元． 由题意，得， 解得． 让顾客得到更大实惠， ． 故当每件商品降价20元时，该商店每天的销售利润为1200元． 32．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 【答案】应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元 【分析】设应将每千克小型西瓜的售价降低元，根据总利润每千克的利润销售量固定成本建立方程求解即可． 【详解】解：设应将每千克小型西瓜的售价降低元， 根据题意得：， 整理得, 解得，, ∵要更多地让利消费者， ∴， 答：应将每千克小型西瓜的售价降低0.3元． 题型九：动态几何问题 解题思路：① 设运动时间为 t；② 根据 线段长=速度t，用含 t 的代数式表示各动线段；③ 利用面积公式或勾股定理列方程；④ 解方程；⑤ 检验：t>0，动点不超出线段端点；⑥ 舍去超出取值范围的解。 33．如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设出动点P，Q运动t秒，能使四边形的面积为，用t分别表示出和的长，利用三角形的面积计算公式即可解答． 【详解】解：根据题意，当运动时间为t秒时，，， 则 ∵四边形的面积为 ∴ 依题意得：， 即， 整理得：， 解得：， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． 则当四边形的面积为时，点P运动的时间是2秒． 故选：A 34．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 35．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 【答案】经过秒或秒，的面积等于100平方厘米 【分析】设运动时间为t秒，根据题意和三角形面积公式进行分类讨论求解即可． 【详解】解：设运动时间为t秒， 当时，依题意，得 解得，（不合题意，舍去）； 当时，依题意，得 解得． ∴经过秒或秒，的面积等于100平方厘米． 36．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 【答案】(1)出发秒或秒后，的面积为 (2)出发秒或秒后，线段的长为 (3)的面积不能为， 假设能，根据题意得：， 整理，得：， ， 该方程无解， 假设不成立，即的面积不能为． 【分析】本题考查了直角三角形的面积，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式的应用，熟练掌握性质和应用是解题的关键． （1）设运动时间为秒时，则，．根据的面积为，列方程解答即可． （2）设运动时间为秒时，则，．根据勾股定理，列方程解答即可． （3）根据三角形的面积，构造一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有实数根；若有，则可能；若没有，则不能． 【详解】（1）解：设运动时间为秒时，则，． 根据题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，的面积为． （2）解：根据题意得：， 整理，得：， 解得：，． 答：出发秒或秒后，线段的长为． （3）略 题型十：工程问题 解题思路：① 设总工作量为 1；② 设所求工作效率为 x；③ 由 工作时间=，表示出不同条件下的工作时间；④ 根据时间差列方程；⑤ 解方程；⑥ 舍去非正数解。 37．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 【答案】(1)乙分拣机至少工作小时 (2)的值为 【分析】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的实际应用，掌握一元二次方程的实际应用是解题的关键． （1）设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时，根据题意，列出不等式，求解即可； （2）根据题意，列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设乙分拣机工作小时，则甲分拣机工作小时， 根据题意列不等式， 解得 答：乙分拣机至少工作小时； （2）根据题意，甲分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时；乙分拣机实际效率为件/小时，实际工作时间为小时， 根据题意列方程，， 解得（不符合题意，故舍去）， 答：的值为． 38．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 【答案】(1)B生产线至少加工6小时 (2)a的值为2 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用、一元二次方程的应用．解决本题的关键是根据题目中所给的数量关系列出不等式和方程求解． 设生产线加工小时，则生产线加工小时，根据生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，列不等式求解即可； 根据一天恰好生产了个粽子，可列关于的一元二次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：设生产线加工小时，则生产线加工小时， 根据题意可得：，    解得： 答：生产线至少加工小时； （2）解：由题意可得：，     整理得：，    解得，（不符合题意，舍去），   答：的值为． 39．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 【答案】(1)甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼 (2)甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单 【分析】本题考查列方程（组）解应用题，找到等量关系列出方程（组）是解决问题的关键． （1）设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼，根据题意找到两个等量关系列方程再求解即可； （2）设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，甲组实际工作天数为天，乙组实际工作天数为天，甲提高效率后的天数为天，乙在甲组提高效率后，继续工作的天数为：天，甲组提高效率后的日产量为盒，根据总任务量等于前2天完成量加上甲组提高效率后完成量和乙组后续完成量，建立方程求解并保留符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲组平均每天能加工x盒月饼，乙组平均每天能加工y盒月饼， 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均每天能加工盒月饼，乙组平均每天能加工盒月饼； （2）解：设甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前a天完成了这笔订单，根据题意，得 ， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前2天完成了这笔订单． 题型十一：行程问题 解题思路：① 设未知速度为 x；② 由 时间=，表示不同状态下的行驶时间；③ 流水问题：顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度 - 水速；④ 根据时间差列方程；⑤ 解方程；⑥ 舍去非正数解。 40．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 【答案】4 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒，利用路程平均速度运动时间，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设小球滚动24米用了x秒，则末速度为米/秒， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， 小球滚动24米用了4秒． 故答案为：． 41．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题可知，， 则， 解得（负值舍去）． 42．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 【答案】(1)张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米 (2)的值为 【分析】（1）设李大伯徒步走的速度为每分钟米，则张大伯每分钟走米，根据两人共走了米列方程，解得的值代入中计算即可； （2）结合（1）中所求可得到李大伯提高速度后每分钟走米，由已知条件可得张大伯走了分钟，李大伯走了分钟，根据两人又共走了米列方程，解方程并根据实际意义确定值即可． 【详解】（1）解：设李大伯徒步走的速度为每分钟米，得 解得 ∴（米） 所以，张大伯每分钟走米，李大伯每分钟走米； （2）解：依题意，得 整理得 解得（舍）， 答：的值为． 【点睛】本题考查了列一元一次方程解决问题，列一元二次方程解决问题，正确找到数量关系是解决问题的关键． 43．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 【答案】(1)， (2)①；②或 【分析】（1）根据点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，得出，根据相反数的定义得出，即可求出a的值；根据绝对值的非负性，即可求出c的值； （2）解：①先得出点B表示的数为6，求出点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒），再求出．即可求解；②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为，根据两点之间距离的求法得出，求出或2；即可求出x的值． 【详解】（1）解：∵点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B， ∴， ∵点A，B表示的数互为相反数， ∴，则， 解得：， ∵， ∴，解得：， 故答案为：，10； （2）解：①∵，点A，B表示的数互为相反数， ∴，即点B表示的数为6， ∵点P 的速度是每秒3个单位长度，点P，Q在点B处相遇，， ∴点P 从点A 运动到点B 所用时间为（秒）， ∵， ∴； ②设运动时间为t秒，t秒后点P 表示的数为，点Q 表示的数为， ， 则或， 解得：或2； ∴或， 综上：x的值为或0． 【点睛】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，以及相反数．关键是掌握数轴上两点之间距离的表示方法，能根据题意列出算式或方程． 题型十二：图表信息题 解题思路：① 从图表中提取单价、销量的变化规律；② 设价格变化量为 x；③ 用含 x 的代数式表示新单价与新销量；④ 利用 总利润=单件利润销售量 列方程；⑤ 解方程；⑥ 检验：单价、销量为正，符合图表规律；⑦ 舍去不合理解。 44．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：从2月份到4月份，该厂家电池产量的月平均增长率为，从折线统计图获取2月份的产量是180万节，4月份的产量是461万节， 依题意得：． 45．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 【答案】(1)该用户应缴纳水费元 (2)10 【分析】（1）根据题意得：该用户3月份用水量超过a吨，然后根据“用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费”，即可求解； （2）当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值，再根据5月份的用水量和水费总额验证a的值即可；当时，根据4月份的用水量和水费总额建立方程求出a的值即可． 【详解】（1）解：元， 答：该用户应缴纳水费元； （2）解：当时， 由题意得，， 整理得， 解得或（舍去）， 当时，， ∴符合题意； 当时，则， 解得（舍去）； 综上所述，． 46．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 【答案】（1）②；（2）． 【分析】（1）仿照案例构造图形，即可判断正确构图； （2）仿照案例构造图形即可求得x的值． 【详解】解：（1）应构造面积是的大正方形，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形的面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得．故正确构图的是②． 故答案为：②； （2）首先构造了如图2所示的图形． 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，得． 【点睛】本题是材料阅读题，考查了构造图形解一元二次方程，关键是读懂材料中提供的构图方法，并能正确构图解一元二次方程．体现了数形结合的思想． 题型十三：握手、循环赛问题 解题思路：① 设总人数（球队数）为 x；② 每人可与 x-1 个对象配对；③ 由于每一次配对重复计数，需除以 2；④ 列方程：=总次数；⑤ 解方程；⑥ 舍去负根，结果取正整数。 47．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，且本次青创赛一共进行了240次评审，列出方程进行求解即可. 【详解】解：∵共有名学生参加，每名学生不需要评审自己的方案，只需给其余所有同学的方案评审， ∴每名学生对应产生次评审， ∵已知总评审次数为， ∴可列方程为 . 48．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 49．按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 【答案】(1)应该邀请支球队参加比赛 (2)有支球队参加比赛 【分析】（1）设应该邀请支球队参加比赛，根据题意的数量关系列出一元二次方程即可； （2）根据题意的数量关系列出一元二次方程即可． 【详解】（1）解：设应该邀请支球队参加比赛， ∵赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛， ∴ 整理得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：应该邀请支球队参加比赛． （2）解：设有支球队参加比赛， ∵所有球队直接进行双循环赛，总共进行场比赛， ∴， 整理得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， 答：有支球队参加比赛． 50．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)40 (2)本次比赛参赛队伍个数为16队 (3)能，参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分 【分析】（1）先求出A组、B组队伍数同为5个班级，且每个小组内场次为场，进而求出结论； （2）设A组、B组队伍数均为x队，列方程求解即可； （3）设A组有y队，则B组有队，列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵该校八年级共有10个班级参加比赛， ∴A组、B组队伍数一样多，同为5个班级， ∴每个小组内场次为场， ∴小组赛结束后，全部队伍累计总得分共分； （2）解：因为参赛队伍总数为偶数个， 所以A组，B组队伍数一样多． 所以设A组、B组队伍数均为x队．则， 解得，（不符合题意，舍去）， 则队， 答：本次比赛参赛队伍个数为16队； （3）解：能，理由如下： 因为参赛队伍总数为奇数，所以设A组有y队，则B组有队． 所以， 解得，（不符合题意，舍去）， 所以， 则队， 答：参赛的队伍数为19队时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分． 题型十四：其他问题 解题思路：① 提取题目中的等量关系；② 合理设未知数；③ 根据等量关系列出一元二次方程；④ 解方程；⑤ 检验：解满足方程，且符合实际意义；⑥ 舍去不合理解，规范作答。 51．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出一个问题，大意是：一块长方形的田地面积是864平方步，已知它的宽比长少12步．问长与宽各多少步？如果设长方形的宽为x步，则列出的方程可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意，利用长方形的面积公式列方程即可． 【详解】解：宽为步， ∴ 长为步， ∴ 根据题意，可列方程为． 故选：A． 52．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 【答案】 【分析】首先根据线段之间的关系和黄金分割比建立关于的一元二次方程，利用求根公式解方程后排除负根即为答案． 【详解】解：∵，，且， ∴将代入比例式，得：， 整理得：， ∴根据求根公式，可得：， ∵线段长度为正数，舍去负根， ∴． 53．有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为． (1)长方形信封的长和宽分别是多少？ (2)能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请说明理由． 【答案】(1)长方形信封的宽为，长为． (2) 不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中， 理由：∵， ∴正方形贺卡的边长为， ∵，而， ∴， 答：不能将这张贺卡不折叠的放入此信封中． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用（利用长方形面积公式列方程）、算术平方根的计算（求正方形边长和长方形长、宽），熟练掌握根据实际问题列方程求解，以及通过边长比较判断图形能否放入的方法是解题的关键． （1）设长方形信封的长为，宽为，列方程求解即可； （2）由（1）通过比较即可求解． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意得：， 解得：，（负值舍去）， ∴，， 所以长方形信封的宽为，长为． （2）略 54．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 【答案】(1)道路的宽为米； (2)每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 【分析】（）根据道路的宽为米，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设月租金上涨元，月租金收入为元，根据题意得，然后解方程并检验即可； 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【详解】（1）解：根据道路的宽为米， 根据题意得，， 整理得：， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为米； （2）解：设月租金上涨元，月租金收入为元， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 答：每个车位月租金上涨元时，停车场月租金收入为元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06一元二次方程：判别式与跟与系数关系及应用精讲学案 核心立意 在掌握一元二次方程解法的基础上，探究系数与根之间的内在联系。理解根的判别式，能双向运用判别式解决问题；掌握根与系数的关系，运用整体代入思想进行代数式求值；构建一元二次方程模型求解实际问题。体会分类讨论、整体代换、数学建模思想，提升代数推理与应用能力。 一元二次方程根的判别式｜秒判根的个数・必考考点 判别式的定义 1.只有先整理成一元二次方程标准形式，才能计算判别式； 2.判别式由方程二次项、一次项、常数项组合而成，用来判断方程实数根的数量； 3.重要前提：二次项系数不能为 0，否则不是一元二次方程，不能使用判别式结论。 根的判别式（△=b²-4ac） △>0：两个不相等实数根 △=0：两个相等实数根 △<0：无实数根 韦达定理基础内容 1.设一元二次方程标准形式程 ax2+bx+c=0（a0） ，方程两个实数根为 x1、x2，使用定理前提：判别式 Δ=b2−4ac≥0， 方程有实数根才能使用根与系数关系。 2.核心公式： 两根之和：x1+x2−​ 两根之积：x1x2 3.简化形式：当二次项系数 a=1，方程为 x2+px+q=0，则 x1+x2=-p，x1x2=q。 2. 四大必考恒等变形（中考高频） 掌握整体代换思维，无需求根直接运算： ①平方和：= ②倒数和：= ③差平方：= ④两根差值：|x1-x2|= 列一元二次方程解应用题标准六步解题规范 一元二次方程四大应用必考模型（课堂核心、考试主干） ①增长率模型：连续变化问题通用公式 a(1 x)2=b，适用于产量、利润、价格、人数连续增减； ②传播裂变模型：遵循逐层扩散规律 1+x+x2=总数，贴合病毒、传染、繁殖类题型； ③图形面积模型：利用平移补形思想，把不规则道路、空白区域转化为规则矩形，通过面积列方程； ④销售利润模型：单件利润×销售数量=总利润，核心是找准“涨价降销量、降价升销量”的对应变化关系。 重点辨析 1. “有两个实数根”：题目指明方程是一元二次方程，必须同时满足 a0,Δ0。 2. “有实数根”：没有限定方程类型，必须分类讨论： a=0：方程为一元一次方程，必有一个实数根； a0：方程为一元二次方程，需要 Δ0。 3. Δ=0 时，只能表述为两个相等的实数根，不能说成“一个实数根”。 4. 根与系数的关系不能脱离 Δ0使用；无实根时，公式不成立。 5. 整体代入是求值的常用路径，但不是唯一方法，不要强行使用。 1. 求一元二次方程的参数范围时，忽略 a0。 2. 题目只说“方程有实数根”，没有对 a=0、a eq0 分类讨论。 3. 两根之和漏写负号，错记为 x1+x2=。 4. 使用根与系数的关系求值，跳过 Δ0 的检验。 5. 增长率问题中，变化次数（指数）取值错误。 6. 面积、利润问题，只验证方程，忽略边长、价格、销量大于 0 的限制。 7. 概念错误：将两个相等的实数根描述为一个根。 题型 考察方向 难度 题型一 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ★★ 题型二 根据一元二次方程根的情况求参数 ★★★★ 题型三 一元二次方程的根与系数的关系 ★★★ 题型四 传播问题 ★★★ 题型五 增长率问题 ★★★ 题型六 与图形有关的问题 ★★★★ 题型七 数字问题 ★★ 题型八 营销问题 ★★★★ 题型九 动态几何问题 ★★★★★ 题型十 工程问题 ★★★ 题型十一 行程问题 ★★★ 题型十二 图表信息题 ★★★★ 题型十三 握手、循环赛问题 ★★★ 题型十四 其他问题 ★★★ 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难点★★★★★压轴 题型一：根据判别式判断一元二次方程根的情况 解题思路：① 将方程化为一般形式 ax2+bx+c=0 (a0)}；② 确定系数 a,,b,,c，注意符号；③ 计算判别式=b2-4ac；④ 根据>0,=0,<0 判断根的情况。 1．关于x的一元二次方程根的情况为_____________． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 3．对于实数、，定义运算“☆”如下：，例如：，则方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．已知关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值． 题型二：根据一元二次方程根的情况求参数 解题思路：① 审题，区分条件是“一元二次方程”还是“方程”；② 若为一元二次方程，先限定 a0，再依据根的情况列出的不等式；③ 若仅为“方程有实数根”，分类讨论：当 a=0 时，方程为一元一次方程，必有实根；当 a0 时，方程为一元二次方程，需满足 0；④ 解不等式；⑤ 合并所有符合条件的取值 5．一元二次方程有两个实数根，则所取的可能的值是______填一个即可 6．关于的一元二次方程有实数根，则整数的最小值是______． 7．已知方程有两个相等实根，则的值为（   ） A．0 B． C． D．2 8．定义：方程（）与方程互为“换位方程”．如一元二次方程的“换位方程”是．已知关于的一元二次方程①：，其中． (1)写出方程①的“换位方程”； (2)求证：当时，方程①及其“换位方程”总有两个不相等的实数根； (3)若方程①与其“换位方程”有且仅有一个公共根，求这个公共根及的值． 题型三：一元二次方程的根与系数的关系 解题思路：① 验证0；② 确定 a,b,c，写出 x1+x2−，x1x2 ；③ 将所求代数式变形为仅含 x1+x2、x1x2 的形式；④ 整体代入求值；⑤ 若求参数，解出参数后回代验证0 。 9．已知是一元二次方程的两根，则的值是（     ） A．0 B．2 C． D．4 10．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为_________． 11．已知，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 12．设，是关于的一元二次方程的两根． (1)当时，求及的值； (2)求证：． 题型四：传播问题 解题思路：① 设每轮 1 个个体传染 x 个新个体；② 第一轮后总数：1+x；③ 第二轮后总数：(1+x)2；④ 根据最终总数列方程；⑤ 解方程；⑥ 舍去负根。 13．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染的人数为_________． 14．我国古代数学名著《九章算术》中记载有“一传十、十传百”的信息传播问题．今有1人获知一条政令，经过两轮传播后，共有人知晓．若每轮平均1人传播给x人，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 15．有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有121个人患了流感． (1)每轮传染中，平均一个人传染了几个人； (2)按此速度传染下去，第三轮患流感人数会不会突破1300人？ 16．近期，北京、上海、浙江、天津等地均有学校因学生患甲流而停课．甲流指甲型流感，是由甲型流感病毒引起的急性呼吸道传染病，某一小区有1位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传播后共有36人患了甲流． (1)每轮感染中平均一个人感染几人? (2)如果按照这样的传播速度，经过三轮感染后累计是否超过200人患了甲流? 题型五：增长率问题 解题思路：① 设平均变化率为 x；② 利用关系式 终值=初值(1 x)n，增长取“+”，下降取“-”，n 为变化次数；③ 代入数值列方程；④ 解方程；⑤ 舍去负根；⑥ 检验：下降率满足 x1。 17．年月重庆西洽会展销售某智能设备万台，经过大力宣传，该设备月份的销售量达到万台，设两个月该智能设备销量的月平均增长率为，根据题意，可列方程为________． 18．恒利商厦九月份的销售额为200万元，十月份的销售额下降了，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了万元，求这两个月的平均增长率．假设这两个月的平均增长率为x，则列出的方程为（     ） A． B． C． D． 19．年是中国农历马年，一款“笑笑马”玩偶因缝制失误，意外变成嘴角下撇的“哭哭马”，凭借“反差感”迅速走红，两款玩偶组成“情绪”刷屏社交平台．某商店紧抓商机，以每套元的进价购入“哭哭马+笑笑马”组合套装，以每套元的价格出售．经统计，年月份的销售量为套，年月份的销售量为套． (1)求该组合套装月份到月份销售量的月平均增长率． (2)从年月份起，商店打算采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该组合套装每套每降价元，月销售量就会在月份销售量的基础上增加套．当该组合套装的售价为多少元时，月销售利润为元？ 20．为了推广旅游热度，各地文旅单位推出文创产品．某文创产品刚上市每件售价100元，因市场调整，经两次连续降价后售价降至81元，此时平均每天可售出30件． (1)求该文创产品平均每次降价的百分率； (2)为回馈顾客并减少库存，文创店计划再次降价，市场调查发现“每件降价1元，每天可多售出2件”， ①若要求每天销售额为4590元，请结合实际销售情况，求每件应降价的金额； ②小杭同学说：“五一”期间将参与推广该文创产品的销售活动．计划每天销售额达5000元．你认为小杭同学可以实现目标吗？说说你的理由． 题型六：与图形有关的问题 解题思路：① 设未知宽度或边长为 x；② 利用平移，用含 x 的代数式表示变换后图形的长与宽；③ 根据面积公式列方程；④ 解方程；⑤ 检验：解大于 0，且小于原图的长、宽；⑥ 舍去不合理解。 21．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，当所围矩形猪舍的长为_______m、宽为_______m时，猪舍面积为． 22．如图，是某庭院的平面示意图，小院的长为，宽为．院内从入口到出口的石板路宽度均相等，若水池的占地面积为，求石板路的宽度．设石板路的宽度为，根据题意所列方程为（     ） A． B． C． D． 23．如图，要设计一本画册的封面，封面长40cm，宽30cm，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形画．如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度? 24．园林部门准备在一块长米、宽米的矩形花园内修建一个底部为正方形的亭子如图所示，在亭子四周修四条宽度相同，且与亭子各边均垂直的小路，亭子的边长是小路宽度的倍，花园内的空白地方铺设草坪．若草坪的面积为平方米，求小路的宽度． 题型七：数字问题 解题思路：① 设某一数位上的数字为 x；② 用含 x 的式子表示其余数位数字；③ 根据两位数=10十位数字+个位数字，写出原数与新数；④ 依据等量关系列方程；⑤ 解方程；⑥ 检验：各位数字为 09 的整数，十位数字不为 0。 25．已知两个连续偶数的积为168，若设其中较大的一个偶数为x，则可得方程为（） A． B． C． D． 26．在2024年12月的日历表上用一个方框圈出4个数（如图所示），若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为65，则这个最小数为____ 27．2026年4月5日是我国的传统节日清明节，又称踏青节、行清节、三月节、祭祖节等，在每年4月4日至6日之间，是祭祀、祭祖和扫墓的节日．清明节源自上古时代的祖先信仰与春祭礼俗，兼具自然与人文两大内涵，既是自然节气点，也是传统节日．清明节与春节、端午节、中秋节并称为中国四大传统节日．在本月日历表上可以用一个方框圈出4个数（如图所示）．若圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积为153，求这个最小数．（请用方程知识解答） 28．如图为某年10月的月历表，小明和小亮分别用横着、竖着的透明“一”字形框框出3个数． (1)当小明与小亮的框有一个数相同时，他俩框出数的总和的最大值为 ； (2)小明对小亮说：“当我俩框的三个数的中间数相同时，你三数中的最小数与我三数中最小数的积可以为112．”小亮反驳道：“这种情况是不存在的．”请你判断他们俩谁的说法正确，并说明理由． 题型八：营销问题 解题思路：① 设价格的变化量为 x；② 表示单件利润：单件利润=售价-进价；③ 表示销售量：销售量=原销量单位价格变化对应的销量变化量x，涨价用减号，降价用加号；④ 由 总利润=单件利润销售量列方程；⑤ 解方程；⑥ 结合题目约束舍去不合理解。 29．某商店销售一批进价为每件元的商品，售价为每件元，每天可卖出件，若每天的利润为元，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 30．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，__________．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？如果设衬衫的单价降了元，根据题意，得．（补填上合适的条件） 31．超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件，在让顾客得到更大实惠的前提下，当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 32．西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了更多地让利消费者，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低多少元？ 题型九：动态几何问题 解题思路：① 设运动时间为 t；② 根据 线段长=速度t，用含 t 的代数式表示各动线段；③ 利用面积公式或勾股定理列方程；④ 解方程；⑤ 检验：t>0，动点不超出线段端点；⑥ 舍去超出取值范围的解。 33．如图，在中，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动移动方向如图所示，点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到C点后停止，点P也随之停止运动，当四边形的面积为时，则点P运动的时间是（     ） A． B． C．或 D． 34．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 35．如图所示，在中，厘米，厘米，，点P从点A开始沿边向点B以1厘米秒的速度移动（到达点B即停止运动），点Q从B点开始沿边向点C以2厘米秒的速度移动（到达点C即停止运动），如果P、Q分别从A、B同时出发，经过几秒，的面积等于100平方厘米? 36．如图，在中，，，，若点从点沿边向点以的速度移动，点从点沿边向点以的速度移动，两点同时出发． (1)问几秒后，的面积为． (2)出发几秒后，线段的长为？ (3)的面积能否为？若能，求出时间；若不能，请说明理由． 题型十：工程问题 解题思路：① 设总工作量为 1；② 设所求工作效率为 x；③ 由 工作时间=，表示出不同条件下的工作时间；④ 根据时间差列方程；⑤ 解方程；⑥ 舍去非正数解。 37．某快递公司分拣中心有两台自动分拣机（型号甲、型号乙），专门处理小件快递的分拣工作，机器效率稳定且符合行业实际标准：甲分拣机每小时能分拣400件快递，乙分拣机每小时能分拣500件快递． (1)电商大促期间，快件量激增，两台分拣机轮流工作共用了11小时，要确保分拣的快递总数不少于5000件才能避免快件积压，保障配送时效，则乙分拣机至少需要工作多少小时？ (2)日常运营中，原计划两台分拣机每天均工作8小时．为提升分拣效率，中心对机器进行了系统升级和算法优化：实际工作中，甲分拣机每小时比原计划多分拣100a件（），且每天比原计划少工作2a小时；乙分拣机每小时比原计划多分拣100件，每天比原计划少工作a小时．调整后，两台机器一天恰好分拣快递6000件，求a的值． 38．在我国，端午节作为传统佳节，历来有吃粽子的习俗．某食品加工厂拥有，两条不同的粽子生产线，生产线每小时加工粽子个，生产线每小时加工粽子个． (1)若生产线，一共加工小时，且生产粽子总数量不少于个，则B生产线至少加工多少小时？ (2)原计划，生产线每天均工作小时．由于改进了生产工艺，在实际生产过程中，生产线每小时比原计划多生产个（），生产线每小时比原计划多生产个．若生产线每天比原计划少工作小时，生产线每天比原计划少工作小时，这样一天恰好生产粽子个，求的值． 39．“万里无云镜九州，最团圆夜是中秋．”临近中秋节，某月饼厂接到一笔盒月饼的订单，现决定由甲、乙两组共同完成，已知两组同时开工，甲组加工天，乙组加工8天就能完成这笔订单，且甲组3天加工的月饼数量比乙组2天加工的月饼数量多盒． (1)求甲、乙两组平均每天各能加工多少盒月饼； (2)甲、乙两组同时开工2天后，这笔订单临时又增加了盒月饼，甲组从第3天起提高了工作效率，而乙组的工作效率不变，并提前完成了这笔订单．经调研发现，若甲组平均每天每多加工盒月饼，则甲、乙两组就各自都提前1天完成任务，已知甲、乙两组加工的天数均为整数，则甲组提高工作效率后，甲、乙两组都提前多少天完成了这笔订单？ 题型十一：行程问题 解题思路：① 设未知速度为 x；② 由 时间=，表示不同状态下的行驶时间；③ 流水问题：顺水速度 = 静水速度 + 水速，逆水速度 = 静水速度 - 水速；④ 根据时间差列方程；⑤ 解方程；⑥ 舍去非正数解。 40．在物理中，沿着一条直线且速度均匀增大或减小的运动，叫做匀变速直线运动．在此运动过程中，每个时间段的平均速度为初速度和末速度的算术平均数，例如，在一个时段内，初速度为20米/秒，末速度为30米/秒，则这个时间段的平均速度为米/秒．运动路程等于时间与平均速度的乘积（即）．若一个小球以10米/秒的初速度沿平滑的直线向前滚动，并且均匀减速，小球的滚动速度平均每秒减少2米/秒，小球滚动24米用了______秒． 41．如图，一钢球从长的斜面顶端由静止开始沿斜面下滚，呈匀加速运动状态，速度每秒增加．（提示：本题中，距离平均速度时间t，，其中是开始时的速度，是t秒的速度）则钢球从斜面顶端滚到底端的时间是（     ） A． B． C． D． 42．随着人们对健康生活的追求，全民健身意识日益增强，徒步走成为人们锻炼的日常，中老年人尤为喜爱． (1)张大伯徒步走的速度是李大伯徒步走的倍，张大伯走分钟，李大伯走分钟，共走米，求张大伯和李大伯每分钟各走多少米？ (2)天气好，天色早，张大伯和李大伯锻炼兴致很浓，又继续走，与（1）中相比，张大伯的速度不变，李大伯的速度每分钟提高了米，时间都各自多走了分钟，结果两人又共走了米，求的值． 43．如图，已知数轴上A，B，C三个点表示的数分别是a，b，c，且，若点A沿数轴向右移动个单位长度后到达点B，且点A，B表示的数互为相反数．    (1)a的值为 ，c的值为 ； (2)动点 P，Q分别同时从点A，C 出发，点P以每秒3个单位长度的速度向终点C移动，点Q以每秒m个单位长度的速度向终点A 移动，点P表示的数为x． ①若点P，Q在点B处相遇，求m的值； ②若点Q的运动速度是点P的2倍，当点P，Q之间的距离为2时，求此时x 的值． 题型十二：图表信息题 解题思路：① 从图表中提取单价、销量的变化规律；② 设价格变化量为 x；③ 用含 x 的代数式表示新单价与新销量；④ 利用 总利润=单件利润销售量 列方程；⑤ 解方程；⑥ 检验：单价、销量为正，符合图表规律；⑦ 舍去不合理解。 44．某电池厂2026年月份的电池产量如图所示．设从2月份到4月份，该厂电池产量的平均月增长率为x，根据题意可得方程为（     ） A． B． C． D． 45．某市为鼓励居民节约用水，对居民用水实行阶梯收费，每户居民用水量每月不超过a吨时，每吨按元缴纳水费；每月超过a吨时，超过部分每吨按元缴纳水费． (1)若，某户居民3月份用水量为22吨，则该用户应缴纳水费多少元？ (2)若如表是某户居民4月份和5月份的用水量和缴费情况： 月份 用水量（吨） 交水费总金额（元） 4 18 62 5 24 86 根据上表数据，求规定用水量a的值 46．请阅读下列材料，并按要求完成相应的任务： 人类对一元二次方程的研究经历了漫长的岁月．一元二次方程及其解法最早出现在公元前两千年左右的古巴比伦人的《泥板文书》中．到了中世纪，阿拉伯数学家花拉子米在他的代表作《代数学》中给出了一元二次方程的一般解法，并用几何法进行了证明．我国古代三国时期的数学家赵爽也给出了类似的几何解法．赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程即得方法.首先构造了如图1所示得图形，图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． 　 　　　　 任务： （1）参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够说明方程的正确构图是 （从序号①②③中选择）． （2）请你通过上述问题的学习，在图2的网格中设计正确的构图，用几何法求解方程（写出必要的思考过程）． 题型十三：握手、循环赛问题 解题思路：① 设总人数（球队数）为 x；② 每人可与 x-1 个对象配对；③ 由于每一次配对重复计数，需除以 2；④ 列方程：=总次数；⑤ 解方程；⑥ 舍去负根，结果取正整数。 47．每年的4月24日是“中国航天日”，学校组织了一场“未来航天工程师”青创赛．本次青创赛共有x名学生参加，每名学生需将自己的初步设计方案提交给其他每一位同学评审，已知本次青创赛一共进行了240次评审，根据题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 48．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 49．按要求完成下列各题： (1)南宁市某中学要在初中组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排场比赛，问应该邀请多少支球队参加比赛? (2)南宁市某中学要在高中篮球比赛中，规定所有球队直接进行双循环赛（即每两个队之间进行两场比赛），总共进行场比赛，求有多少支球队参加比赛． 50．为庆祝五四青年节，某校组织八年级男子班级篮球赛，为达到活动效果又节省比赛时间，先分A、B两个小组，由所有参赛班级随机抽签，再分别进行小组赛．当参赛队伍总数为偶数个时，A组、B组队伍数一样多；当参赛队伍总数为奇数个时，B组比A组队伍数多1个．小组赛采取单循环赛制（即每支队伍与组内其他队伍各打一场），按积分排名，取每组前2名晋级半决赛，最后进行决赛．积分规则：胜一场得2分，负一场得0分．小组赛结束后，某数学学习小组针对全部队伍累计总得分开展数学讨论．具体如下： (1)已知该校八年级共有10个班级参加比赛．小组赛结束后，全部队伍累计总得分共 分； (2)若当参赛队伍总数为偶数个时，小组赛结束后，全部队伍累计总得分为112分．求本次比赛参赛队伍个数； (3)当参赛队伍总数为奇数个时．小组赛结束后，全部队伍累计总得分能是162分吗？若能，请求出此时参赛的队伍数；若不能，请说明理由． 题型十四：其他问题 解题思路：① 提取题目中的等量关系；② 合理设未知数；③ 根据等量关系列出一元二次方程；④ 解方程；⑤ 检验：解满足方程，且符合实际意义；⑥ 舍去不合理解，规范作答。 51．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出一个问题，大意是：一块长方形的田地面积是864平方步，已知它的宽比长少12步．问长与宽各多少步？如果设长方形的宽为x步，则列出的方程可以为（   ） A． B． C． D． 52．如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 53．有一张面积为的正方形贺卡，另有一个长方形信封，长宽之比为，面积为． (1)长方形信封的长和宽分别是多少？ (2)能将这张贺卡不折叠的放入此信封吗？请说明理由． 54．某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食推位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为平方米，      (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位个，据调查分析，当每个摊位的日租金为元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨元，就会少租出个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为元？ 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $