专题14 函数的概念及其表示（2个知识点+11大题型）（讲义+精练）-2025年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（人教A版2019）

专题14 函数的概念及其表示 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数的概念 【例1】如果记圆周率小数点后第位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 【变式1-1】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高一·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【变式1-3】（2025·高一·湖南邵阳·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 题型二：给出解析式求函数的定义域 【例2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·高一·安徽亳州·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高一·河北张家口·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高一·河南安阳·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 题型三：抽象函数求定义域 【例3】已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【变式3-1】已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式3-2】（2025·高一·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高一·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 题型四：给出函数定义域求参数范围 【例4】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【变式4-1】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 【变式4-2】函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【变式4-3】（2025·高一·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 题型五：同一函数的判断 【例5】下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·北京·期末）在下列各组中，与表示同一函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】（2025·高一·陕西渭南·期中）下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式5-3】（2025·高一·广东东莞·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型六：给出自变量求函数值 【例6】（2025·高一·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】函数定义域为，对任意，都有，又，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6-3】已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 题型七：求函数的值域 【例7】求下列函数的值域： (1) (2) 【变式7-1】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【变式7-2】求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【变式7-3】求函数的值域． 题型八： 求函数的解析式 【例8】根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【变式8-1】（2025·高一·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【变式8-2】（2025·高一·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【变式8-3】（2025·高一·云南曲靖·期中）求下列函数的解析式及定义域 (1)是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式，定义域； (3)已知，求的解析式. 题型九： 分段函数求值、不等式问题 【例9】（多选题）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【变式9-1】（多选题）（2025·高一·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【变式9-2】（多选题）（2025·高一·广东江门·期中）已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【变式9-3】（多选题）已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 题型十： 区间的表示与定义 【例10】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【变式10-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【变式10-2】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【变式10-3】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 题型十一：函数的图象 【例11】（2025·高一·山东青岛·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（    ） A．     B．   C．     D．   【变式11-1】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·高三·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（2025·高一·河南省直辖县级单位·开学考试）已知函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（    ） A． B． C． D． 1．下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 2．已知A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（   ） A． B． C． D． 3．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 4．已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 5．（2025·高一·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 6．（2025·高一·北京·期中）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则（   ） A． B．2025 C．2024 D．2026 8．在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象不可能是（   ） A．   B．   C．   D．   9．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 10．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 11．（多选题）如图，某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，长方形的周长为，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时最节能．设，则下列结论正确的是（   ） A．y与x之间的关系是 B．x的取值范围是 C．的面积S与x的关系是 D．最节能时，长方形的面积为 12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 13．若函数，则 . 14．已知定义在上的函数满足，则 ， ． 15．对于任意的实数表示中较小的那个数．若函数，记，则当时，x的值为 ． 16．（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 17．（2025·高一·福建福州·期中）已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 18．（2025·高一·四川南充·期末）已知函数，不等式的解集为． (1)若时，的最大值为6，求的解析式； (2)若函数，解关于x的不等式． 19．（2025·高一·山东济宁·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 函数的概念及其表示 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：函数的概念 1、函数的定义 设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数． 记作：，． 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 知识点诠释： （1）A、B集合的非空性；（2）对应关系的存在性、唯一性、确定性；（3）A中元素的无剩余性；（4）B中元素的可剩余性． 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 ①构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全—致，即称这两个函数相等（或为同一函数）； ②两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全—致，而与表示自变量和函数值的字母无关． 3、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示． 区间表示： ； ； ； ； ． 知识点二：函数的表示法 1、函数的三种表示方法： 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．优点：简明，给自变量求函数值． 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势． 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值． 2、分段函数： 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 知识点三：函数定义域的求法 （1）确定函数定义域的原则 ①当函数是以解析式的形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合．具体地讲，就是考虑分母不为零，偶次根号的被开方数、式大于或等于零，零次幂的底数不为零以及我们在后面学习时碰到的所有有意义的限制条件． ②当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义． ③当函数用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数的集合． （2）抽象函数定义域的确定 所谓抽象函数是指用表示的函数，而没有具体解析式的函数类型，求抽象函数的定义域问题，关键是注意对应法则．在同一对应法则的作用下，不论接受法则的对象是什么字母或代数式，其制约条件是一致的，都在同一取值范围内． （3）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间来表示． 知识点四：函数值域的求法 实际上求函数的值域是个比较复杂的问题，虽然给定了函数的定义域及其对应法则以后，值域就完全确定了，但求值域还是特别要注意讲究方法，常用的方法有： 观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数的图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域； 配方法：对二次函数型的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域方法求函数的值域； 判别式法：将函数视为关于自变量的二次方程，利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数等；此外，使用此方法要特别注意自变量的取值范围； 换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围来求函数的值域． 求函数的值域没有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，还有最值法、数形结合法等．总之，求函数的值域关键是重视对应法则的作用，还要特别注意定义域对值域的制约． 题型一：函数的概念 【例1】如果记圆周率小数点后第位上的数字为y，那么以下说法正确的为（   ） A．y不是n的函数 B．y是n的函数，定义域是 C．y是n的函数，值域是 D．y是n的函数，但该函数值域不确定 【答案】B 【解析】对于给定的任意一个n的值，显然有唯一的y值与之对应，所以y是n的函数，故A错误；n的取值为正整数，所以定义域是，故B正确；根据定义可知值域为，故C错误，D错误． 【变式1-1】下列从集合到集合的对应中不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】选项D中，对于集合中的元素1，在集合中有两个元素4和5与之对应，不符合函数的定义． 【变式1-2】（2025·高一·内蒙古乌兰察布·期末）下列所示的图形中，可以作为函数的图象的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【解析】由函数的定义，对于任意自变量只能有唯一函数值与之对应， 结合各图知，A、B、C不符合，D符合. 故选：D 【变式1-3】（2025·高一·湖南邵阳·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【解析】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 题型二：给出解析式求函数的定义域 【例2】函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，解得且，所以定义域为． 【变式2-1】（2025·高一·安徽亳州·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得： 故函数的定义域为， 故选：A. 【变式2-2】（2025·高一·河北张家口·开学考试）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，解得且， 所以函数的定义域为. 故选：C. 【变式2-3】（2025·高一·河南安阳·开学考试）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，则，解得. 所以函数的定义域为. 故选：C． 题型三：抽象函数求定义域 【例3】已知函数的定义域和值域均为，则下列说法错误的是（    ） A．函数的定义域为 B．函数的定义域为 C．函数的值域为 D．函数的值域为 【答案】D 【解析】函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故A正确；函数中的x需满足，解得，故函数的定义域为，故B正确；函数和的值域都为，故C正确，D错误. 【变式3-1】已知函数的定义域和值域分别为和，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】由函数的定义域和值域分别为和，可得和， 令，解得，所以函数的定义域为， 又由函数的图象向左平移个单位，得到的图象， 所以函数与函数的值域相同，即. 故选：D. 【变式3-2】（2025·高一·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 【变式3-3】（2025·高一·河南郑州·开学考试）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为，由，解得， 故函数的定义域为. 故选：B 题型四：给出函数定义域求参数范围 【例4】已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为的定义域为， 所以不等式恒成立， 所以由二次函数性质可知， 解得，即. 故答案为： 【变式4-1】若函数的定义域为R，则实数a的取值范围为 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以的解为，即的图象与轴没有交点， 当时，函数的图象与轴没有交点，故符合题意； 当时，要使的图象与轴没有交点， 则，解得， 综上所述：实数的取值范围. 故答案为： 【变式4-2】函数的定义域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为函数的定义域为， 所以不等式对于恒成立， 当时，不等式为，恒成立，符合题意； 当时，有，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式4-3】（2025·高一·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意可知，函数的定义域为， 所以不等式在上恒成立. 当时， 在上恒成立， 当时，则满足，解得， 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 题型五：同一函数的判断 【例5】下列函数与表示同一函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，， A，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数； B，因为的定义域，与的定义域相同，且，与的对应关系相同，表示同一函数； C，因为的定义域，与的定义域不同，与不是同一函数； D，因为的定义域，与的定义域相同，但，与的对应关系不同，不是同一函数. 故选：B 【变式5-1】（2025·高一·北京·期末）在下列各组中，与表示同一函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，函数的定义域为R，定义域为，A不是； 对于B，函数与的定义域不同，B不是； 对于C，函数的定义域为R，定义域为，C不是； 对于D，函数与的定义域都为R，且，即对应法则也相同，D是. 故选：D 【变式5-2】（2025·高一·陕西渭南·期中）下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A．的定义域为，而定义域为R．故二者不是同一函数； 对于B．的定义域为R，的定义域为，故二者不是同一函数； 对于C．,的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数； 对于D．的值域为，的值域为R．故二者不是同一函数． 故选:C． 【变式5-3】（2025·高一·广东东莞·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解析】对于A，由函数的定义为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为， 函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故B错误； 对于C，函数与，两个函数的定义域与对应关系都相同， 所以两个函数是同一函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两个函数的定义域不同，所以不是同一函数，故D错误. 故选：C. 题型六：给出自变量求函数值 【例6】（2025·高一·广西柳州·开学考试）已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. 【变式6-1】已知函数，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，所以． 【变式6-2】函数定义域为，对任意，都有，又，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】由已知得，故． 【变式6-3】已知函数． (1)求的值； (2)求证：是定值； (3)求的值． 【解析】（1）因为， 所以， ． （2）证明：． （3）由（2）知，所以，所以． 题型七：求函数的值域 【例7】求下列函数的值域： (1) (2) 【解析】（1）， 当且仅当时取等号， 所以函数的值域为， （2）设，则， 所以， 所以值域为. 【变式7-1】求下列函数的值域： (1)，； (2)； (3)，； (4)． 【解析】（1），且，则． 所以函数的值域为. （2）函数的定义域为，由，得， 所以的值域为. （3）函数图象的对称轴为，而， 当时，，当时，， 所以函数的值域为． （4）函数的定义域为， ， 所以函数的值域为． 【变式7-2】求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【解析】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 【变式7-3】求函数的值域． 【解析】因为恒成立，故， 则由可得，， 当时，，适合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 题型八： 求函数的解析式 【例8】根据下列条件，求函数的解析式. (1)已知函数是一次函数，若，求的解析式. (2)已知，求的解析式. 【解析】（1）是一次函数，∴设（k） ，∴ ∴或或 （2）令则，， 【变式8-1】（2025·高一·广西柳州·开学考试）（1）已知函数是一次函数，且，求函数的解析式； （2）已知，求函数的解析式； 【解析】（1）因为函数是一次函数，则设. 由于，所以 所以.化简得： 这是一个恒等式，所以，且. 所以. 所以函数的解析式为. （2）， 令，. 所以. 所以函数的解析式为. 【变式8-2】（2025·高一·四川眉山·期中）（1）已知是一次函数，且，求的解析式； （2）已知，求函数的解析式； （3）已知函数满足，求函数的解析式. 【解析】（1）因为为一次函数，可设. 所以. 所以，解得或. 所以或. （2）设，则，，即， 所以， 所以． （3）由①， 用代替，得②， 得：， 即，. 令，则，. 则：，. 所以，. 【变式8-3】（2025·高一·云南曲靖·期中）求下列函数的解析式及定义域 (1)是一次函数，且满足，求的解析式； (2)已知函数，求函数的解析式，定义域； (3)已知，求的解析式. 【解析】（1）依题意，可设函数， 则， 由， 可得， 所以解得. 故函数的解析式为；函数定义域为； （2）由， 取，则得， 将改为，即得函数解析式为：，函数定义域为； （3）由已知①，， 用替换，即得：②， 由①+3②，得，， 所以函数定义域为. 题型九： 分段函数求值、不等式问题 【例9】（多选题）已知函数的值域为，那么的取值可以是（    ）. A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数， 当时，，即函数在的值域为， 由于函数的值域为， 则函数在上的值域包含， 所以，，解得， 故选：AB. 【变式9-1】（多选题）（2025·高一·云南曲靖·期中）已知函数若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】BC 【解析】当时，由可得，不合题意； 当时，由可得； 当时，由可得或,故. 当时， ； 当时， . 故选：BC. 【变式9-2】（多选题）（2025·高一·广东江门·期中）已知函数，则下列正确的是（    ） A． B． C． D．的值域为 【答案】AC 【解析】对于选项A：因为， 所以，故A正确； 对于选项B，因为，所以，故B错误； 对于选项C：因为，所以，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误； 故选：AC. 【变式9-3】（多选题）已知，若，则实数a的值可以是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】BC 【解析】当时，得，解得或（舍去）； 当时，得，解得. 故选：BC 题型十： 区间的表示与定义 【例10】将下列集合用区间以及数轴表示出来： (1)； (2)或； (3)且； (4). 【解析】（1）用区间表示为，用数轴表示如图： （2）或用区间表示为，用数轴表示如图： （3）且用区间表示为，用数轴表示如图: （4）用区间表示为，用数轴表示如图： 【变式10-1】用区间表示下列数集. (1)； (2)； (3)； (4)； (5)或. 【解析】（1）集合为，对应区间为. （2）集合为，对应区间为. （3）集合为，对应区间为. （4）集合为，对应区间为. （5）集合为或，对应区间为. 【变式10-2】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合. 【解析】（1）写成区间即为. （2），解出，写成区间即为. 【变式10-3】用区间表示下列集合： (1)； (2)不等式的所有解组成的集合． 【解析】（1） （2）,所以不等式所有解的集合是 题型十一：函数的图象 【例11】（2025·高一·山东青岛·期中）若函数的定义域，值域，则函数的图像可能是（    ） A．     B．   C．     D．   【答案】B 【解析】选项A，定义域为，与条件不符，故A错误； 选项B，定义域、值域均与条件相符，故B正确； 选项C，不符合函数的定义，在内的任一的值，在内并非只有唯一的值与之对应，故C错误； 选项D，值域与条件不符，故D错误． 故选：B． 【变式11-1】汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解析：由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小． 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓． 故选：A. 【变式11-2】（2025·高三·北京大兴·期中）如图为某无人机飞行时，从某时刻开始15分钟内的速度（单位：米/分钟）与时间（单位：分钟）的关系．若定义“速度差函数”为无人机在时间段内的最大速度与最小速度的差，则的图像为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀加速运动，，“速度差函数”； 当时，无人机做匀减速运动，“速度差函数”，结合选项C满足“速度差函数”解析式， 故选：C. 【变式11-3】（2025·高一·河南省直辖县级单位·开学考试）已知函数和，它们在同一坐标系内的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于恒过点，故排除A、D选项； 又观察B，C选项中的直线斜率为正，即， 所以经过二、四象限，故C不符合要求，B选项符合要求. 故选：B. 1．下列表示是同一个函数的是（    ） A． B． C．， D． 【答案】C 【解析】对于A，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故B错误； 对于C，两个函数的定义域都为，且对应法则也相同，故两个函数为同一函数， 故C正确； 对于D，的定义域为，的定义域为， 故不是同一函数，故D错误； 故选：C. 2．已知A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A，由等边三角形可知，线段的长度先增大再减小，再增大，后减小，故A错误；对于C，由扇形可知，线段长度先增大，再不变，后减小，故C错误：对于D，由圆可知，线段的长度不会呈线性变化，故D错误；对于B，由正方形可知，线段的长度先增大再减小，且一开始线性增大，符合题意，故B正确． 3．已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【解析】由的图象与的对应法则表可知，所以． 4．已知函数，则（    ） A．2 B．0 C．1 D．3 【答案】A 【解析】. 故选：A. 5．（2025·高一·吉林通化·期末）已知，则函数的解析式为（ ） A． B．（） C．（） D．（） 【答案】D 【解析】令，则， ， 所以. 故选：D. 6．（2025·高一·北京·期中）已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，故函数的值域为. 设，若存在，使得成立，即，只需， 即对于，满足成立， 即， 解得. 故选：D 7．已知函数在定义域上是单调函数，若对任意，都有，则（   ） A． B．2025 C．2024 D．2026 【答案】D 【解析】根据题意，令，则，即，又因为函数在定义域内单调，所以，解得，所以，经检验满足题意．因此． 8．在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象不可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【解析】若，则，，A可能； 若，则的图象开口向下，过点，对称轴为， 的图象过点和，且，B可能； 若，则的图象开口向上，对称轴为，与轴有两个交点，过点， 的图象过点和，且，C不可能； 若，则的图象开口向上，与轴没有交点，过点，对称轴为， 的图象过点和，且，D可能． 故选：C. 9．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．的值域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】ABD 【解析】对于A：因为，令，解得， 所以，故A正确； 对于B：因为，所以能够取到所有的正数， 所以，即的值域为，故B正确； 对于C：定义域为， 又， 因为且，所以且， 所以且， 所以的值域为，故C错误； 对于D：因为，当且仅当，即时取等号， 所以，即的值域为，故D正确. 故选：ABD 10．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．函数的定义域为，则函数的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】ACD 【解析】对于A：由的定义域为，则，所以函数的定义域为，故A正确； 对于B：函数的定义域为，函数的定义域为，故B错误； 对于C：由，所以，函数的值域为，故C正确； 对于D：由，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（多选题）如图，某制冷设备厂设计生产一种长方形薄板，长方形的周长为，沿折叠使点B到点位置，交于点P．研究发现当的面积最大时最节能．设，则下列结论正确的是（   ） A．y与x之间的关系是 B．x的取值范围是 C．的面积S与x的关系是 D．最节能时，长方形的面积为 【答案】ACD 【解析】由题意得．因为，所以．因为，所以，所以．由，得，所以．记的面积为S，则，当且仅当时等号成立，S取得最大值，此时长方形的面积为．综上所述，A，C，D均正确． 12．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为的定义域为， 所以不等式恒成立， 所以由二次函数性质可知， 解得，即. 故答案为： 13．若函数，则 . 【答案】/0.25 【解析】由题意. 故答案为：. 14．已知定义在上的函数满足，则 ， ． 【答案】 1 【解析】因为，令，得，所以．令，得①，令，得②，，得，解得． 15．对于任意的实数表示中较小的那个数．若函数，记，则当时，x的值为 ． 【答案】1 【解析】当，即时，；当，即或时，，故画出的图象如图实线部分所示示，由图象易知当时，． 16．（1）已知函数． ①若的定义域为，求实数m的值； ②若的定义域为，求实数m的取值范围． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）已知函数的定义域为，求函数的定义域． 【解析】（1）①由题意得不等式的解集为，所以化简得解得．故实数m的值为． ②由题意得不等式在上恒成立．当时，或，若，则，符合题意；若，则，其定义域不是，不符合题意．当，即且时，则解得或．综上所述，m的取值范围是． （2）因为函数的定义域是，所以，解得，故函数的定义域是． （3）因为函数的定义域为），即，所以，即的定义域为． 17．（2025·高一·福建福州·期中）已知 (1)求出的函数解析式 (2)若是一次函数，，用表示和的最大者，求的解析式 【解析】（1）因为， 所以，，解得，， 则，故的函数解析式为. （2）由题意得是一次函数，设， 因为，所以，， 解得，则，令， 解得，令，解得， 而用表示和的最大者， 故. 18．（2025·高一·四川南充·期末）已知函数，不等式的解集为． (1)若时，的最大值为6，求的解析式； (2)若函数，解关于x的不等式． 【解析】（1）∵不等式的解集为， ∴，且1和3是方程的两根， ∴，，即，， ∴， ∵函数在上单调递减，在上单调递增， ∴时，， ∴，，， 故函数解析式为. （2）由，得，即， 由得：或， ①当时，即，则或， ②当时，即，则或， ③当时，即，则或， 综上，当时，解集为或； 当时，解集为或； 当时，解集为或. 19．（2025·高一·山东济宁·期末）已知函数. (1)解不等式； (2)当，时，若，求的最小值，并求出取最小值时a，b的值. 【解析】（1）不等式可化为， 即：， ①当，即时，解不等式得， ②当，即时，解不等式得， ③当，即时，解不等式得， 综上所述，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为； （2）由（1）和可知， 即：，因为，， 所以， 当且仅当时等号成立， 即当时，取得最小值4. 2 / 2 https://shop.xkw.com/650087 学科网（北京）股份有限公司 $$