3.2.2奇偶性（3知识点+9题型）-2024-2025学年第一学期高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

3.2.2 奇偶性 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数奇偶性的概念 1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2.理解 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)先判断定义域是否关于原点对称，对于∀x∈D，都有－x∈D，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称． (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 3.函数奇偶性的图像对称性的拓展 (1)函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ (2)函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c 知识点2 函数奇偶性的判断方法 1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2.图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3.性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 知识点3 函数奇偶性的应用 1.利用函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2.利用函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3.由函数的奇偶性求函数解析式的步骤 (1)在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； (2)把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； (3)利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 思路方法总结 一、函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 二、函数奇偶性与单调性的综合应用 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响． 三、奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 1、比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 2、抽象不等式问题，解题步骤是： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 典例·举一反三 题型一 奇偶性的判断 例1．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 2．下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 题型二 利用奇偶性求值 例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 跟踪训练 1．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．7 2．设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 3．已知是上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A．-6 B．-7 C．-11 D．-15 题型三 利用奇偶性求参数 例3．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 跟踪训练 1．若函数为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 2．已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 3．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则= . 题型四 利用奇偶性求解析式 例4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)用定义证明在上为增函数. 跟踪训练 1．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 2．设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 3．函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)当时，求函数的解析式. 题型五 利用奇偶性和单调性比较大小 例5．若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 2．已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 题型六 利用奇偶性和单调性解不等式 例6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练 1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 3．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 题型七 利用奇函数和的性质求值 例7．函数在上的最大值和最小值分别为，则 . 跟踪训练 1．已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 3．已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 . 题型八 奇偶性的图像问题 例8．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   跟踪训练 1．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 2．函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 3．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型九 抽象函数的奇偶性 例9．已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 跟踪训练 1．已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 2．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 3．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.2 奇偶性 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 函数奇偶性的概念 1.函数奇偶性的概念 (1)偶函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 2.理解 (1)函数的奇偶性是函数的整体性质． (2)先判断定义域是否关于原点对称，对于∀x∈D，都有－x∈D，即便定义域关于原点对称，还需判断f(－x)与f(x)的关系，若f(－x)＝f(x)，则函数是偶函数，若f(－x)＝－f(x)，则函数是奇函数，若f(－x)≠±f(x)，则函数为非奇非偶函数． (3)偶函数图象关于y轴对称，奇函数图象关于原点对称． (4)若奇函数在原点处有意义，则必有f(0)＝0. (5)若f(－x)＝－f(x)，且f(－x)＝f(x)，则f(x)既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数． 3.函数奇偶性的图像对称性的拓展 (1)函数图象关于直线对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称轴 f(a＋x)＝f(a－x) 直线x＝a f(x)＝f(a－x) 直线x＝ f(a＋x)＝f(b－x) 直线x＝ (2)函数图象关于点对称 y＝f(x)在定义域内恒满足的条件 y＝f(x)的图象的对称中心 f(a－x)＝－f(a＋x) (a,0) f(x)＝－f(a－x) f(a＋x)＝－f(b－x) f(a＋x)＋f(b－x)＝c 知识点2 函数奇偶性的判断方法 1.定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等. 2.图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称． 3.性质法：设，的定义域分别是，，在它们的公共定义域上，一般具有下列结论： 偶 偶 偶 偶 偶 偶 奇 不确定 奇 偶 奇 偶 不确定 奇 偶 奇 奇 奇 偶 奇 知识点3 函数奇偶性的应用 1.利用函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2.利用函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3.由函数的奇偶性求函数解析式的步骤 (1)在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； (2)把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； (3)利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 思路方法总结 一、函数奇偶性的应用 函数奇偶性的定义既是判断函数奇偶性的一种方法，又是在已知函数奇偶性时可以运用的一个性质，要注意函数奇偶性定义的正用和逆用． 1、由函数的奇偶性求参数 若函数解析式中含参数，则根据或，利用待定系数法求参数；若定义域含参数，则根据定义域关于原点对称，利用区间的端点值之和为0求参数． 2、由函数的奇偶性求函数值 由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值． 3、由函数的奇偶性求函数解析式的一般步骤 （1）在哪个区间上求解析是，就设在哪个区间上； （2）把对称转化到已知区间上，代入已知区间的解析式得； （3）利用函数的奇偶性把改写成，从而求出． 二、函数奇偶性与单调性的综合应用 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2、区间和关于原点对称 （1）若为奇函数，且在上有最大值，则在上最小值； （2）若为偶函数，且在上有最大值，则在上最大值． 3、利用函数的奇偶性与单调性比较函数值或自变量的大小，关键是利用奇偶性把自变量转化到函数的同一个单调区间内，然后利用单调性比较． 【注意】由或及函数的单调性列出不等式（组）时，要注意定义域对参数的影响． 三、奇偶性与单调性综合的两种题型及解法 1、比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小． 2、抽象不等式问题，解题步骤是： （1）将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； （2）利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“”，转化为解不等式（组）的问题． 需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“”时，需转化为含符号“”的形式． 典例·举一反三 题型一 奇偶性的判断 例1．下列函数是偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用偶函数的定义，逐项判断即得. 【详解】对于A，的定义域为，，是奇函数，A不是； 对于B，的定义域为，，是偶函数，B是； 对于C，的定义域为，不是偶函数，C不是； 对于D，的定义域为，不是偶函数，D不是. 故选：B 跟踪训练 1．下列说法中错误的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数，是偶函数 D．函数既不是奇函数，也不是偶函数 【答案】C 【分析】根据奇偶函数的定义进行判定即可. 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是奇函数； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则，所以函数是偶函数； 对于C，函数的定义域为，定义域不关于原点对称， 所以函数，既不是奇函数，也不是偶函数； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又，，则且， 因此函数既不是奇函数，也不是偶函数. 所以选项中C的说法不正确， 故选：C. 2．下列函数是奇函数，且在定义域内单调递增是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和单调性逐项判断即可. 【详解】对于A，为偶函数，故A错误； 对于B，设，所以 故在定义域上不是单调递增，故B错误； 对于C，，故函数的单调增区间为和， 所以在定义域上不是单调递增，故C错误； 对于D，，由幂函数的性质可知，函数为奇函数，且在定义域上单调递增，故D正确. 故选：D 3．已知函数，则（    ） A．是偶函数，且在上是增函数 B．是奇函数，且在上是增函数 C．是偶函数，且在上是减函数 D．是奇函数，且在上是减函数 【答案】B 【分析】根据奇函数的定义验证为奇函数，根据增函数加增函数为增函数可判断为增函数. 【详解】的定义域为．．即函数为奇函数． 当时．为增函数，为减函数．故函数在时为增函数． 故选：B 题型二 利用奇偶性求值 例2．已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（    ） A．19 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的性质即可求解. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以. 故选：D. 跟踪训练 1．若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ） A． B． C．5 D．7 【答案】C 【分析】求出时的解析式后，代入可求出结果. 【详解】因为为奇函数，且当时，， 所以当时，， 所以. 故选：C 2．设函数若为奇函数，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数得，再利用为奇函数得，，代入计算即得. 【详解】因是奇函数， 故. 故选：A. 3．已知是上的奇函数，且当时，，若，则（    ） A．-6 B．-7 C．-11 D．-15 【答案】C 【分析】由题意可知，，即可得，计算可得的值，利用奇函数性质计算可得结果. 【详解】因为是上的奇函数，所以，由得； 即，得，所以； . 故选：C. 题型三 利用奇偶性求参数 例3．设是定义在上的偶函数，则的值是 ； ． 【答案】 【分析】根据条件，利用偶函数的性质，即可求解. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，即，得到， 又，得到，所以， 得到，， 故答案为：． 跟踪训练 1．若函数为奇函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】C 【分析】根据奇函数的定义即可求解. 【详解】因为 是奇函数，所以，即. 显然，整理得，即. 该式对任意 恒成立，故，解得. 故选：. 2．已知为奇函数，则（    ） A．1 B．2 C．0 D． 【答案】A 【分析】利用奇函数的性质建立方程，求解参数，再求值即可. 【详解】因为为奇函数，所以， 所以，而，得到， 解得，经验证符合题意， 所以，故A正确. 故选：A 3．已知函数在其定义域内为偶函数，且，则= . 【答案】 【分析】由偶函数的性质和可得，，可求出，计算，求解即可. 【详解】因为的定义域为R，且为偶函数， 所以，即，即.    所以. 又因为，即，所以. 因为， 所= 故答案为：. 题型四 利用奇偶性求解析式 例4．已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的解析式； (2)用定义证明在上为增函数. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）依据奇函数性质得和，由结合条件时求出时的解析式即可得解. （2）根据判断函数单调性的定义法步骤先取值，接着作差并变形判断差值正负即可下结论得解. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，， 又当时， 所以当时，，， 所以当时，， 故. （2）证：设， 则 ， 因为，所以，，，则， 故，所以，即， 所以在上为增函数. 跟踪训练 1．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，．则当时，的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数定义可得答案. 【详解】由题，因时，， 则时，. 故选：D 2．设是定义在上的奇函数，且时，，则 ；当时， ． 【答案】 【分析】根据题意，代入解析式即可求值；利用题目所给条件及奇函数的定义化简求出时，的解析式. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 设，则，所以， 又因为， 所以， 所以， 又因为满足上式， 所以时，. 故答案为： 3．函数是上的奇函数，且当时，函数的解析式为. (1)求的值； (2)用定义证明在上是减函数； (3)当时，求函数的解析式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求，然后结合奇函数定义可求； （2）设，然后利用作差法比较与的大小即可判断； （3）先设时，，根据已知函数式及奇函数定义可求. 【详解】（1）因为时，函数的式为， 所以， 因为为上的奇函数， 所以； （2）证明：设，则， 所以， 因为时，， 则， 所以， 所以在上是减函数； （3）当时，， 则， 所以. 题型五 利用奇偶性和单调性比较大小 例5．若奇函数在上是减函数，则下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数性质可得在上是减函数，结合单调性比较大小. 【详解】因为奇函数在上是减函数，则在上是减函数， 且，所有. 故选：D. 跟踪训练 1．若偶函数在上单调递增，则，，的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶函数的性质，以及单调性直接判断大小即可. 【详解】因为是偶函数，所以，所以， 又在上单调递增，且， 所以，即，即. 故选：D 2．已知是奇函数，且在区间上单调递增，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数图象在轴左右的单调性一致的特征，即可判断函数值大小. 【详解】∵函数为奇函数，且在区间上单调递增， ∴在R上单调递增， ∴． 故选：B. 3．若是偶函数，且对任意∈且，都有，则下列关系式中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数在上的单调性，再比较函数值的大小. 【详解】若，由，可知，， 所以函数在单调递减， 所以， 又因为函数为偶函数，所以， 即. 故选：A 题型六 利用奇偶性和单调性解不等式 例6．定义在上的奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据函数的奇偶性、单调性，判断，在上单调递增，且，再结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得，，在上单调递增，且， 由，得，或， 时，，或， 又，即，或， 故，解得， 时，，或， 又，即， 故，解得，或， 则不等式的解集为：， 故选：D. 跟踪训练 1．已知函数是定义域为的奇函数，当时，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的单调性，结合奇函数的性质可得在上单调递增，即可得求解. 【详解】当时，的对称轴为，故在上单调递增. 函数在处连续，又是定义域为的奇函数，故在上单调递增. 因为，由，可得， 又因为在上单调递增，所以，解得. 故选：D 2．已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是 ． 【答案】或 【分析】结合的奇偶性与增减性，可得函数的对称性与单调性，结合对称性与单调性的性质计算即可得解. 【详解】由函数为偶函数，故，即， 则的图象关于对称，由在上为增函数， 则，即在上为增函数，则在上为减函数， 则对可得，即， 则，化简得，即或. 故答案为：或. 3．已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上是增函数. (3). 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. （2）在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. （3）， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 题型七 利用奇函数和的性质求值 例7．函数在上的最大值和最小值分别为，则 . 【答案】 【分析】依题意可得，令，，判断的奇偶性，即可得到的对称性，从而得解. 【详解】因为， 令，， 定义域关于原点对称，且， 所以为奇函数，函数图象关于对称， 所以关于对称，所以. 故答案为： 跟踪训练 1．已知函数，当时，的最大值为最小值为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，证明是奇函数，则的最大值与最小值互为相反数，可求. 【详解】， 设，， ，则是上的奇函数， 的最大值为，最小值为，则有， 所以. 故选：B 2．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ． 【答案】6 【分析】设，分析可知为奇函数，根据奇函数的对称性分析求解. 【详解】设， 则的定义域为，且连续不断， 由，可知为奇函数， 设在上的最大值为， 由奇函数的对称性可知在上的最小值为， 则函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以. 故答案为：6. 3．已知定义在R上的函数满足对任意的，都有，若在区间[－2017，2017]上的最大值和最小值分别为M，m，则 . 【答案】 【分析】通过赋值，可得到函数是关于对称，利用对称性即可求解. 【详解】令，可得到， 令，可得到，所以， 所以该函数是关于对称， 假设当在处取得最大值，那么会在处取得最小值， 根据函数是关于对称， 所以． 故答案为：. 题型八 奇偶性的图像问题 例8．函数的图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】首先判断函数的奇偶性，即可判断A、B，再根据时函数值的特征排除C. 【详解】函数的定义域为，且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、B； 又当时，故排除C. 故选：D 跟踪训练 1．函数的图像大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的性质及特殊点的函数值的符号进行判断. 【详解】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错； 令，则，故B错； 令，则，故D错. 选项A正确. 故选：A 2．函数的部分图象如图，则的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数图象对称性以及定义域可利用排除法得出结论. 【详解】根据函数图象的对称性可知为偶函数， A选项的定义域为，C选项的定义域为， 它们的定义域都不关于原点对称，所以不可能是偶函数，即可排除AC选项； 又不在函数的定义域内，而D选项定义域包括， 所以排除D选项； 故选：B 3．心形代表浪漫的爱情，人们用它来向所爱之人表达爱意.一心形作为建筑立面造型，呈现出优雅的弧度，心形木屋融入山川，河流，森林，草原，营造出一个精神和自然聚合的空间.图是由此抽象出来的一个“心形”图形，这个图形可看作由两个函数的图象构成，则“心形”在轴上方的图象对应的函数解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据奇偶性和最值排除错误答案即可. 【详解】A选项：，故A错误； B选项：记，则，故为奇函数， 不符合题意，故B错误； C选项：记，则， 故为偶函数， 当时，， 此函数在上单调递增，在上单调递减， 且，故C正确； D选项：记，则， 故既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意，故D错误. 故选：C. 题型九 抽象函数的奇偶性 例9．已知定义在上的函数，满足，且当时，，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则x的取值范围为 【答案】BC 【分析】用赋值法先令求得，再令即可求得判断A；然后令可判断奇偶性判断B；任取，则，由可得单调性判断C；利用奇偶性与单调性解不等式判断D. 【详解】对于A，在中， 令得，因此， 再令得，则，故A错； 对于B，令得， 所以，是偶函数，故B正确； 对于C，设，则，， 所以，在上是增函数， 从而，故C正确； 对于D，是偶函数，则，又在上是增函数，所以，解得且，故D错误. 故选：BC. 跟踪训练 1．已知定义域为的函数，对任意，都有，且，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D． 【答案】BCD 【分析】利用赋值法计算可得，即A错误；令可得满足偶函数定义，即B正确；取可得，可得为奇函数，即C正确；利用奇函数性质可得，可得D正确. 【详解】令，得，又，所以，故A错误； 令得，，所以，故为偶函数，故B正确； 令，得，所以， 又，所以， 而的定义域是全体实数，所以为奇函数，故C正确； 由C可得，也即，所以，所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：在求解抽象函数问题时，经常利用赋值法求出函数值，再根据函数的奇偶性进行周期、对称性等性质的判断. 2．已知函数的定义域为，，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．在上单调递增 【答案】AC 【分析】通过赋值法及特例逐项判断即可. 【详解】由知， 当时， ，即，故A正确； 取，则满足条件， 但，且是在上单调递减，故B，D错误； 当时，，即，故C正确. 故选：AC. 3．已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立. (1)求 (2)判断的奇偶性并证明 (3)证明在上单调递减 【答案】(1) (2)奇函数，证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）令计算可得，再由可得结论； （2）由可得证； （3）由可证． 【详解】（1）由对任意，总有， 令，则，则， 又由，得， 则， （2）令，则， 则有，故，则是奇函数 （3）设任意，， 则， 又，则，则， 则在上单调递减. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$