精品解析：福建省泉州市永春县福建省永春第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

永春一中初三年级质量检测数学科试卷（2025.9） 命题：学校指定命题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（单选题，共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义，是基础考点，掌握相关知识是解题关键，分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫作分式．根据分式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、是分式，故A符合题意； B、是多项式，是整式不是分式，故B不符合题意； C、分母不含字母，不是分式，故C不符合题意； D、分母不含有字母，不是分式，故D不符合题意， 故选：A． 2. 2024年4月，北京大学团队研发出全球最薄的光学晶体-转角菱方氮化硼光学晶体，其厚度仅为米，能效比传统晶体提升了100至1万倍，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数；据此求解即可． 【详解】解：将数据用科学记数法表示为； 故选：B． 3. 关于x的一次函数的图象一定不经过（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象特点是解题关键． 根据一次函数的斜率和截距的正负，判断其图象经过的象限． 【详解】解：函数中，，截距， 故图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 故选：D． 4. 在中，如果，则的度数是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的对角相等即可得出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，， ， 故选：A． 5. 若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A. 1 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对一元二次方程解，解一元一次方程，将已知根代入方程，解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得：， 因此，m的值为4， 故选：B． 6. 下列图形中不满足既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义．寻找对称中心、对称轴是解题的关键；轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌ 根据轴对称图形和中心对称的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．菱形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D．正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：C． 7. 如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质．熟练掌握菱形对边平行，对角线互相垂直，是解题的关键． 根据菱形对边平行得到，根据，得到． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据反比例函数中，可知反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小，又因为当时，有最大值，最大值为，可以求出，得到反比例函数的解析式为，从而可知当时，有最大值，最大值为，当时，有最小值，最小值为． 【详解】解：反比例函数中， 反比例函数的图象在第一、三象限，并且在每个象限内随的增大而减小， 在第一象限， 当时，有最大值，最大值为， ， 解得：， 反比例函数的解析式为， 在第三象限， 当时，有最大值，最大值， 当时，有最小值，最小值为， 当时，函数有最小值．   故选：B ． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形顶点A，C分别在x轴和y轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 过B作轴于E，轴于F，则是直角，根据正方形的性质得到，，然后可以证明三角形与三角形全等，从而得到，，从而可以得出四边形是正方形，设正方形的边长为m，则，，然后根据即可求解． 【详解】解：过B作轴于E，轴于F， ， 四边形是矩形， ，，， ， 又四边形是正方形， ， ， ，， 四边形是正方形， 设正方形的边长为m，则，， ， 解得， 点的坐标为， ， ， 故选：C． 10. 在平面直角坐标系中，已知以及动点，则当以为顶点的四边形的周长最小时，的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，待定系数法求函数解析式，以及轴对称-最短路线问题，平行四边形的判定和性质． 如图，作点A关于x轴的对称点，过作轴，取，连接， ，只要求的最小时，点D的坐标即可． 【详解】解：如图，作点A关于x轴的对称点，过作轴，取，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴只要求的最小时，点D的坐标即可， ∵点A关于x轴的对称点， ， ∴， ， ∵轴， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴， ∴点B、D、E三点共线时， ， ∵， ∴直线的函数解析式为， 当时，， ∴， 故选：D． 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 【答案】x≥-2且x≠1 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件即可求出结论． 【详解】解：由题意可得 解得x≥-2且x≠1 故答案为：x≥-2且x≠1． 【点睛】此题考查的是求自变量的取值范围，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解决此题的关键． 12. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键． 由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而增大， 又点，都在直线上，且， ． 故答案为：． 13. 如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数k值的几何意义解答即可． 【详解】解：反比例函数的图象经过点A， 矩形的面积为 故答案为： 14. 如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据作图过程可得平分；再根据角平分线的性质和平行四边形的性质可证明，证出，即可得出的长． 【详解】解：根据作图的方法得：平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：2． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定．熟练掌握平行四边形的性质，证出是解决问题的关键． 15. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查方差及平均数的计算公式，掌握方差及平均数的计算公式是解题的关键． 根据方差及平均数计算公式进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 16. “剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分…，以此类推，为了得到9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪_________刀． 【答案】89 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和及一元一次不等式，规律探究，掌握多边形内角和定理，找出剪出多边形的性质是解题的关键． 根据每剪一次，各部分的内角和将共增加的规律，以及剪过之后的各部分内角和最小为，据此列出不等式求解． 【详解】解：根据题意，每剪一次，各部分的内角和将共增加， ∴设一共剪了刀，则可得个多边形，这些多边形的内角和一共为， ∵这个多边形中有9个十三边形，它们的内角和为， ∴其余多边形有（个），它们内角和， ∴， 解得， ∴至少要剪89刀． 故答案为：89． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据化简绝对值，零指数幂和负整数指数幂进行计算即可求解． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，依据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解，最后检验即可． 【详解】解： 去分母得，， 去括号得， 移项、合并同类项得， 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解． 19. 先化简，再从1，2，3中选一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先把括号内的1写成分母是的分式，再把除式中的分子分解因式，把除法化成乘法进行约分，再选择能让分式有意义的数代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 当和3时，分式无意义， 只能为1， 当时，原式． 20. 如图：已知，点B、C、F、E在一条直线上，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质； 先依据“”判定和全等，得，由此得，进而依据“”判定和全等，得，再根据即可得出结论． 【详解】证明：， 和都是直角三角形， 在和中，， ， ， 点B、C、F、E在一条直线上， ， ， 在和中，， ≌， ， 又， 四边形是平行四边形． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： （1）画出一次函数的图象； （2）此函数图象与坐标轴围成三角形的面积是______； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 【答案】（1）见解析 （2）4 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）画出函数图象； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可． 【小问1详解】 解：令，解得，令，则， 一次函数的图象如图： 【小问2详解】 令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； 【小问3详解】 将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得， 平移后的直线与x轴的交点坐标为 22. 已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b． （1）若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值； （2）若a，b分别为矩形的两条对角线的长，求m的值． 【答案】（1）7； （2）6． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系得到，，由菱形的面积等于两条对角线的长的一半建立关于m的方程求得答案即可； （2）利用矩形的两条对角线的长相等，一元二次方程有两个相等的实数根，由建立关于m的方程求得答案即可． 【小问1详解】 解：（1）由一元二次方程根与系数的关系得：， a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5， ， ， 解得：； 【小问2详解】 a，b分别为矩形的两条对角线的长， ，即一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 即， 解方程得：，（不合题意，舍去） m的值为6． 【点睛】此题考查一元二次方程根与系数的关系以及一元二次方程根得判别式，熟练掌握菱形、矩形的性质是解决问题的关键． 23. 近几年，全国旅游呈现出快速复苏的良好势头，据某监测数据显示，今年五一期间泉州旅游同比增长接近，世界文化遗产开元寺是热门的旅游景点之一，吸引了大量游客．西街某商店为迎接即将到来的暑假旅游积极备货，已知该商店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多2元，用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同． （1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？ （2）专卖店将每个甲种纪念品的售价定为15元，每个乙种纪念品的售价定为12元，根据市场调查，商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品共500个，假设这500个纪念品能够全部卖出，求该商店获得销售利润最大的进货方案． 【答案】（1）每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是8元 ． （2）购进100个甲种纪念品，400个乙种纪念品． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出分式方程；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数式． （1）设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是元，根据用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同，列出分式方程，解分式方程即可； （2）设购进m个甲种纪念品，则购进个乙种纪念品，根据商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，求出m的取值范围，再设这500个纪念品全部售出后获得的总利润为w元，利用总利润=每个甲种纪念品的销售利润购进甲种纪念品的数量+每个乙种纪念品的销售利润购进乙种纪念品的数量，列出一次函数式，然后利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 设每个甲种纪念品的进价是x元，则每个乙种纪念品的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个甲种纪念品的进价是10元，每个乙种纪念品的进价是8元； 【小问2详解】 设购进m个甲种纪念品，则购进个乙种纪念品， 由题意得：， 解得：， 设这500个纪念品全部售出后获得的总利润为w元，则， 即， ， 随m的增大而增大， 当时，w取得最大值，此时， 答：该商店获得销售利润最大的进货方案是：购进100个甲种纪念品，400个乙种纪念品． 24. 如图①，现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起，其中，．老师让同学们以“三角形的旋转”为主题，通过小组合作探究，提出问题一展示一集体讨论，解决问题． （1）“希望”小组提出问题： 将图1中的以点为旋转中心，顺时针旋转角度，得到，再将以点为旋转中心，逆时针旋转角度，得到，连接，得到图②，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）“善学”小组提出问题： 将图①中的以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，再将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，连接，，，得到图③．请判断四边形的形状，并说明理由； （3）老师根据“善学”小组的探究提出问题：如图③，若，，请求出四边形的面积． 【答案】（1）平行四边形，理由见解析 （2）正方形，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，，，可证，，可得结论； （2）由旋转的性质可得，，，，利用正方形的方法可得结论； （3）先证是等边三角形，由等腰三角形的性质可得，由平行四边形的性质得到，过作于，过作于，根据勾股定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由旋转可得，，，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形是正方形，理由如下： 由旋转可得，，，， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形； 【小问3详解】 连接， ， ， 由旋转可得，，， ∵四边形是正方形， ，， ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， 过作于， ， ，， ， ， 过作于， ， 四边形的面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，旋转的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 25. 如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、 （1）______；______； （2）求四边形的面积； （3）将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 【答案】（1），12 （2）20 （3）或或 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，则可求出点，点，再根据列式求解即可 （3）根据平移的性质，先设出直线的解析式，表示出，，F的坐标，由两点距离计算公式可得，，的长；再分，为边，、为边和、为边三种情况，根据菱形的四条边相等分别列方程，求解即可． 本题为反比例函数与一次函数的综合题，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、矩形的性质等，有一定的综合性，难度适中． 【小问1详解】 解：将点代入中，得， 解得， 将点代入中，得， 故答案为：，12； 【小问2详解】 解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 点，点， ∴， 轴， ∴； 【小问3详解】 解；设直线的解析式为， 把代入中，得，解得， 直线的解析式：， 由平移的性质可得， 则可设直线的表达式为，直线的解析式为， 设，则点， 将点坐标代入得， 解得， 直线的表达式为：， 在中，当时，， 点， ，，， 当，为边时，， 解得或舍去， 点， 当、为边时，， 解得， 点； 当、为边时，， 解得舍或， 点， 综上，点的坐标为或或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永春一中初三年级质量检测数学科试卷（2025.9） 命题：学校指定命题 考试时间：120分钟 试卷总分：150分 一、选择题（单选题，共10小题，每题4分，共40分） 1. 下列各式中是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 2024年4月，北京大学团队研发出全球最薄的光学晶体-转角菱方氮化硼光学晶体，其厚度仅为米，能效比传统晶体提升了100至1万倍，数据用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 关于x的一次函数的图象一定不经过（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 在中，如果，则度数是( ) A. B. C. D. 5. 若是关于x一元二次方程的一个根，则m的值为（    ） A. 1 B. 4 C. D. 6. 下列图形中不满足既是中心对称图形，又是轴对称图形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正方形 7. 如图，菱形的对角线，交于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知反比例函数，当时，函数的最大值为，则当时，函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最小值 D. 最大值 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点，点，反比例函数的图象经过点B，则k的值为（    ） A. 9 B. 12 C. 16 D. 10. 在平面直角坐标系中，已知以及动点，则当以为顶点的四边形的周长最小时，的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题4分，共24分） 11. 函数中，自变量x的取值范围是__________． 12. 已知点，都在直线上，则，的大小关系是______． 13. 如图，若反比例函数的图象经过点A，则矩形的面积为______． 14. 如图，在中，，以点B的圆心，以任意长为半径作弧，分别交于点P、Q，再分别以P、Q为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M，连接并延长交于点E，则的长为________． 15. 某社团统计成员一周的活动时间情况，列出了方差的计算公式：，则的值是_________． 16. “剪纸”是我国一项传统民间艺术，现有一张正方形纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分：拿出其中一部分，再沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分；又从得到的三部分中拿出其中之一，还是沿一条不过任何顶点的直线将其剪成两部分…，以此类推，为了得到9个十三边形和一些多边形纸片，则至少要剪_________刀． 三、解答题（共9小题，共86分） 17. 计算：． 18. 解方程：． 19. 先化简，再从1，2，3中选一个合适数作为a的值代入求值． 20. 如图：已知，点B、C、F、E在一条直线上，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： （1）画出一次函数的图象； （2）此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 22. 已知关于x的一元二次方程的两个根为a，b． （1）若a，b分别是菱形的两条对角线的长，且菱形的面积为5，求m的值； （2）若a，b分别为矩形两条对角线的长，求m的值． 23. 近几年，全国旅游呈现出快速复苏的良好势头，据某监测数据显示，今年五一期间泉州旅游同比增长接近，世界文化遗产开元寺是热门的旅游景点之一，吸引了大量游客．西街某商店为迎接即将到来的暑假旅游积极备货，已知该商店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多2元，用400元购进甲种纪念品和用320元购进乙种纪念品的数量相同． （1）每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少元？ （2）专卖店将每个甲种纪念品的售价定为15元，每个乙种纪念品的售价定为12元，根据市场调查，商店计划用不超过4200元的资金购进甲、乙两种纪念品共500个，假设这500个纪念品能够全部卖出，求该商店获得销售利润最大的进货方案． 24. 如图①，现有三张形状大小完全相同的三角形纸片叠合到一起，其中，．老师让同学们以“三角形的旋转”为主题，通过小组合作探究，提出问题一展示一集体讨论，解决问题． （1）“希望”小组提出问题： 将图1中的以点为旋转中心，顺时针旋转角度，得到，再将以点为旋转中心，逆时针旋转角度，得到，连接，得到图②，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）“善学”小组提出问题： 将图①中的以点为旋转中心，顺时针旋转，得到，再将以点为旋转中心，逆时针旋转，得到，连接，，，得到图③．请判断四边形的形状，并说明理由； （3）老师根据“善学”小组的探究提出问题：如图③，若，，请求出四边形的面积． 25. 如图1，一次函数的图象与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点，点C是线段上一点，点C的横坐标为3，过点C作y轴的平行线与该反比例函数的图象交于点D，连接、 （1）______；______； （2）求四边形的面积； （3）将沿射线方向平移一定的距离后，得到，在平移过程中，射线与x轴交于点F，点Q是平面内任意一点，当以、、F、Q为顶点的四边形是菱形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $