精品解析：河南省信阳市高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三上学期9月测试（二）数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期09月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 3. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 5. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是奇函数，且在上单调递减 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则函数所有零点之和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 8. 定义在上的函数满足，且当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为2 C. D. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 11. 已知各项均为正数的数列满足：，且，是数列的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在坐标原点处的切线与曲线相切，则__________． 13. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 14. 已知抛物线：上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是__________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若函数在区间上的值域为，求的最小值； （2）若，且，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数，求函数的单调区间. 17. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 18. 已知在锐角中，，为边上一点，且平分． （1）求的值； （2）若，求的值． 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期09月测试（二） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定集合，再求两个集合的并集. 【详解】由，所以， 又， 所以. 故选：A 2. 已知，，则（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可. 【详解】因为， 所以，化简得. ①+②得，①-②得. 所以. 故选：C. 3. 已知函数，则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用导数来判断单调性，进而求出最值可得答案. 【详解】因为，所以的定义域为. ， 令，即，得， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 所以时取得最大值，即， 又，即最小值为. 所以的值域为. 故选：C 4. 如图，在等腰中，，点是边上的动点，则（ ） A. 为定值16 B. 为定值32 C. 最大值为32 D. 与的位置有关 【答案】B 【解析】 【分析】取的中点为，结合题意利用向量的数量积的几何意义求解即可. 【详解】如图，取的中点为，连接， 因为为等腰三角形，所以，又， 所以. 所以. 所以为定值32. 故选：. 5. 设函数，则（ ） A. 是偶函数，且在上单调递增 B. 是奇函数，且在上单调递减 C. 是偶函数，且在上单调递增 D. 是奇函数，且在上单调递减 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，判断函数的奇偶性，再根据不同区间去绝对值，化简函数，判断函数的单调性. 【详解】由，解得且， 则函数的定义域为，关于原点对称， 而， 所以函数是奇函数，故A，C错误； 当时，， 则函数在上单调递增，故B错误； 当时，， 则函数在上单调递减，故D正确. 故选：D. 6. 设，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性比较大小即可. 【详解】易知， 所以，， 即. 故选：C 7. 已知函数，则函数所有零点之和为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用导数证明函数的单调性，然后利用零点存在定理说明零点的存在性，最后证明函数为奇函数，根据奇函数图象的对称性即可得出结论. 【详解】由题意知，， 所以在和上单调递增， 又因为，当时，，所以在上必存在唯一的零点， 因为， 所以为奇函数，则在上必存在唯一的零点， 根据奇函数图象的对称性，可知的所有零点之和为. 故选：B 8. 定义在上的函数满足，且当时，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法得到，，，根据，得，从而可得.再由当时，，可求出，从而可求解. 【详解】在中，令，可得, 即， 所以. 又，所以, 所以. 因为，所以， 所以. 因为，当时，， 所以， 所以， 所以. 故选:B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 若为奇函数，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的一个周期为2 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数定义及题干条件，可判断A的正误；根据题干条件，整理分析，可判断B、C的正误，结合选项A、C可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：因为为奇函数，所以， 令，得，所以，故A正确； 选项B、C：因为，所以， 又，即， 所以，即， 所以，即4是的周期， 例如存在函数使得满足题目中条件且最小正周期为4， 但 所以2不是的周期，故B错误，C正确； 由选项A和C知，， 所以，故D正确． 故选：ACD． 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则（ ） A. 当时， B. 在区间上单调递减 C. 当且仅当 D. 轴是曲线的一条切线 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性可判断A选项，再结合导数可判断函数单调性，进而可判断最值与切线情况，即可判断BCD选项. 【详解】 A选项：由已知函数为上的奇函数，且当时，， 所以当时，，则， 所以，A选项正确； B选项：易知函数， 当时，，则， 设，则， 可知当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 则当时，，单调递减，当时，，单调递增， 结合奇函数性质可知，函数在和上单调递减，在和上单调递增，B选项错误； C选项：由函数单调性与奇偶性可知，当时，，当时，， 所以当时，，C选项错误； D选项：由函数单调性与奇偶性可知函数图像如图所示， 可知当时，函数取得极值，此时切线方程为，即为轴，D选项正确； 故选：AD. 11. 已知各项均为正数的数列满足：，且，是数列的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】A.将条件变形，利用求根公式，即可求解； B.根据通项公式求； C.作除法，和1比较大小，即可判断； D.利用通项公式求，再构造函数证明，利用不等式变形，结合等差数列求和，即可证明. 【详解】A.，变形为， 根据求根公式可知，因为， 所以，故A错误； B.，故B正确； C.， ， 所以（）,故C正确； D. 所以 ， 设，， ，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减，所以当时，函数取得最大值0，所以，即，当时，等号成立， 所以，， 所以 ，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若曲线在坐标原点处的切线与曲线相切，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】求出在原点处的切线斜率和切线方程，再根据这条切线也是曲线的切线求出与的切点横坐标，从而可求出切点，将切点代入即可得到m的值． 【详解】∵， ∴曲线在坐标原点处的切线的斜率为， 则切线方程为， 则直线与曲线相切， 设切点的横坐标为， ∵， ∴，则， ∴切点为， 代入，得，解得， 故答案为：2． 13. 某不透明箱子中有7个除颜色外完全相同的小球，其中2个白球，2个红球和3个黄球，若采取不放回的方式每次从箱子中随机取出一个球，当三种颜色的球都被摸到时停止摸球，记此时已摸球的次数为随机变量X，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】分三种情况得到满足题意的排列数，再结合古典概型概率计算公式求解即可. 【详解】情况一：前四次摸球中只有白球和红球，第五次摸到黄球，有种； 情况二：前四次摸球中只有白球和黄球，第五次摸到红球，有种； 情况三：前四次摸球中只有红球和黄球，第五次摸到白球，有种； 所以总共满足题意的有， 而， 故所求为. 故答案为：. 14. 已知抛物线：上一点，点是抛物线上的两动点，且，则点到直线的距离的最大值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题首先可以设出直线的方程，然后将直线的方程与抛物线方程联立，利用以及韦达定理，即可证明出直线过定点，并求出定点坐标，再由当垂直于直线时，点到直线的距离取得最大值，即可得出结果． 【详解】设直线的方程为，，， 联立直线的方程与抛物线方程，则有，即，， 因为直线与抛物线方程有两个交点， 所以，，， 因为， 所以， 即， ， 解得或者， 化简可得或者 因为，所以，， 所以直线的方程为，即，故直线过定点， 当垂直于直线时，点到直线的距离取得最大值， 最大值为，故答案为． 【点睛】本题考查抛物线的相关性质，主要考查抛物线与直线的位置关系，通过抛物线与直线位置关系来确定直线所过定点，考查韦达定理，考查计算能力与推理能力，考查化归与转化思想，是难题． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数． （1）若函数在区间上的值域为，求的最小值； （2）若，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】1）求的最小值即求区间的长度的最小值，先分别求得和时的的值，再结合函数的单调性即可得结果； （2）由题意，得，，从而，再利用在上单调性即可求得结果. 【小问1详解】 当时，，当时，或， 因为在上单调递减，在上单调递增， 因为函数在区间上的值域为， 所以区间中要含有， 所以区间为或， 则其长度分别为和3， 所以区间的最短长度为，即的最小值为． 【小问2详解】 的图象如下： 因为且，所以， 由图可得， 所以． 故， 令，则， 因为当，， 所以在上单调递减， 所以， 所以的取值范围是． 16. 已知函数. （1）若函数为增函数，求实数的取值范围； （2）若函数，求函数的单调区间. 【答案】（1）； （2） 当时，增区间为和，减区间为； 当时，增区间为，无减区间； 当时，增区间为和，减区间为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由题设有恒成立，结合判别式列不等式求参数范围； （2）对函数求导，分类讨论参数，研究导数符号确定对应单调区间即可. 【小问1详解】 因为为增函数，所以在上恒成立， 所以，则，可得. 【小问2详解】 ， 所以， 当时，则增区间为，无减区间； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间为； 当时，令，则或，令，则， 所以增区间为和，减区间； 综上： 当时，增区间为和，减区间为； 当时，增区间为，无减区间； 当时，增区间为和，减区间为. 17. 已知向量，，函数. （1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）若在区间上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间为； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量数量积公式，结合二倍角公式和两角和差公式，将化简为，再利用周期公式求出周期，利用正弦函数的图象和性质求解函数的单调递增区间； （2）首先求出，再利用已知，可求出的取值范围，又在上的值域为，结合正弦函数的图象，建立的不等式，进而求出的取值范围. 【小问1详解】 由向量，，得 ； 函数的最小正周期， 由，得， 所以的单调递增区间为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 当时，， 由在上的值域为， 得，解得，所以实数的取值范围是. 18. 已知在锐角中，，为边上一点，且平分． （1）求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形内角性质及和差角正弦公式化简得，结合已知锐角三角形、正弦边角关系有，最后根据角平分线的性质即可得； （2）由已知及余弦定理得，再由及数量积的运算律求的模长，即可得. 【小问1详解】 由， 所以， 则，在锐角三角形中，则， 由正弦定理知，又平分， 根据角平分线的性质知； 【小问2详解】 由，且，则，可得， 由， 所以， 所以，而，故. 19. 已知． （1）讨论的单调性； （2）若在有两个零点，求的取值范围； （3）若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） 当时，在上递减，当时，在上递减，在上递增． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求导，再对进行分类讨论，利用函数的单调性与导数的关系即可确定的单调性； （2）通过分类讨论结合零点存在性定理即得结论； （3）由题意得在上恒成立，令，通过两次求导结合分类讨论分析的单调性可得结论. 【小问1详解】 ∵，∴， 当时，恒成立，在上递减， 当时，令得，，∴在上递减， 令得，，∴在上递增． 【小问2详解】 由（1）可知时，不合题意； 时，在上递减，在上递增， 若在有两个零点，则定有，解得， 此时，所以在上一定有一个零点， 当时，在上一定有一个零点， 综上：． 【小问3详解】 由，得， 故在上恒成立， 设， 则， 设，则， 当时，单调递增； ∴在上单调递增. 所以在上，，且， 当，即时，在上单调递减， 则，不符合题意，舍去， 当，即时， （i）若，即， ，使得，当时，，在内单调递减， ，不符合题意，舍去， （ii）若，即恒成立， 在上单调递增，则，符合题意， 综上，实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $