第08讲 有余数的除法（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第08讲 有余数的除法 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解有余数除法的意义，能区分“能整除”和“不能整除”的情况，明确余数的产生条件。 2.掌握被除数、除数、商、余数之间的基本数量关系，并能灵活运用关系公式（如被除数=除数×商+余数、除数=(被除数-余数)÷商）解决问题。 3.牢记“余数必须比除数小”的核心规则，能运用该规则确定余数、除数的取值范围，进而解决求最大/最小被除数、除数、商等问题。 知识梳理 知识点一、有余数除法的定义 在整数除法中，分为“能整除”（没有余数）和“不能整除”（产生余数）两种情况。当不能整除时，被除数除以除数的结果由“商”和“余数”组成，记作：被除数÷除数=商……余数。 例如：26÷4=6……2（商是6，余数是2）。 知识点二、基本数量关系 1.除法算式：被除数÷除数=商……余数（余数＜除数） 2.被除数=除数×商+余数 3.除数=(被除数-余数)÷商 4.商=(被除数-余数)÷除数 知识点三、核心规则：余数必须比除数小 在有余数的除法中，余数的取值范围是1≤余数＜除数（余数最小为1，最大为除数-1）。该规则是解决各类问题的关键依据。 知识点四、常见题型及解题方法 1. 已知除数和商，求最大/最小被除数 （1）方法：根据“余数＜除数”，余数最大为“除数-1”，最小为1，再用公式“被除数=除数×商+余数”计算。 （2）例：[ ]÷6=8……[ ]，除数=6，商=8。 余数最大=6-1=5，最大被除数=6×8+5=53； 余数最小=1，最小被除数=6×8+1=49。 2. 已知商，求最小被除数 （1）方法：要使被除数最小，需先确定最小除数和最小余数。余数最小为1，除数必须大于余数，故最小除数=余数+1=2，再用公式“被除数=除数×商+余数”计算。 （2）例：[ ]÷[ ]=8……[ ]，商=8。 余数最小=1，除数最小=1+1=2，最小被除数=2×8+1=17。 3. 已知被除数和余数，求除数和商 （1）方法：先用“被除数-余数”得到“除数×商”的积，再结合“除数＞余数”确定除数的取值，进而求出商。 （2）例：28÷[ ]=[ ]……4，被除数=28，余数=4。 除数×商=28-4=24，且除数＞4。24的因数中大于4的有6、8、12、24，对应商为4、3、2、1，故除数和商可能为（6，4）（8，3）（12，2）（24，1）。 4. 商和余数相等时，求被除数 （1）方法：设商=余数=a（a≥1），则除数＞a（除数最小为a+1），被除数=商×除数+余数=a×除数+a=a×(除数+1)。根据除数＞a，可列举不同a对应的被除数。 （2）例：[ ]÷7=[ ]……[ ]（商和余数相等），设商=余数=a（a＜7，a≥1）。 当a=1时，被除数=1×7+1=8；a=2时，被除数=2×7+2=16；……；a=6时，被除数=6×7+6=48。 5. 除数和商相等时，求最小被除数 （1）方法：设除数=商=b，余数已知（记为c），则除数＞余数（b＞c），除数最小为c+1，此时被除数最小=除数×商+余数=b²+c。 （2）例：[ ]÷[ ]=[ ]……4（除数和商相等），余数=4，除数=商=b＞4，最小b=5，最小被除数=5×5+4=29。 6. 已知被除数与除数的倍数关系，求除数 （1）方法：根据题意列出关系式“被除数=除数×倍数+余数”，变形可得“除数=(被除数-余数)÷倍数”。 （2）例：被除数是77，比除数的8倍还多5，即77=除数×8+5，除数=(77-5)÷8=9。 例题讲解 一、已知除数和商，求最大/最小被除数 【例题】[ ]÷5=7……[ ]，求最大被除数和最小被除数。 二、已知商，求最小被除数 【例题】[ ]÷[ ]=5……[ ]，求最小被除数。 三、已知被除数和余数，求除数和商 【例题】35÷[ ]=[ ]……5，求所有可能的除数和商。 四、商和余数相等时，求被除数 【例题】[ ]÷5=[ ]……[ ]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。 五、除数和商相等时，求最小被除数 【例题】[ ]÷[ ]=[ ]……2（除数和商相等），求最小被除数。 六、已知被除数与除数的倍数关系，求除数 【例题】被除数是53，比除数的6倍还多5，求除数。 考点练习 一、已知除数和商，求最大/最小被除数 1.[ ]÷8=6……[ ]，求最大被除数和最小被除数。 2.[ ]÷7=10……[ ]，求最大被除数和最小被除数。 二、已知商，求最小被除数 1.[ ]÷[ ]=4……[ ]，求最小被除数。 2.[ ]÷[ ]=10……[ ]，求最小被除数。 三、已知被除数和余数，求除数和商 1.30÷[ ]=[ ]……3，求所有可能的除数和商。 2.17÷[ ]=[ ]……4，求所有可能的除数和商。 四、商和余数相等时，求被除数 1.[ ]÷3=[ ]……[ ]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。 2.[ ]÷9=[ ]……[ ]（商和余数相等，被除数＜50），写出所有可能的被除数。 五、除数和商相等时，求最小被除数 1.[ ]÷[ ]=[ ]……3（除数和商相等），求最小被除数。 2.[ ]÷[ ]=[ ]……6（除数和商相等），求最小被除数。 六、已知被除数与除数的倍数关系，求除数 1.被除数是80，比除数的9倍还多8，求除数。 2.被除数是40，比除数的5倍还少5，求除数。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 有余数的除法 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解有余数除法的意义，能区分“能整除”和“不能整除”的情况，明确余数的产生条件。 2.掌握被除数、除数、商、余数之间的基本数量关系，并能灵活运用关系公式（如被除数=除数×商+余数、除数=(被除数-余数)÷商）解决问题。 3.牢记“余数必须比除数小”的核心规则，能运用该规则确定余数、除数的取值范围，进而解决求最大/最小被除数、除数、商等问题。 知识梳理 知识点一、有余数除法的定义 在整数除法中，分为“能整除”（没有余数）和“不能整除”（产生余数）两种情况。当不能整除时，被除数除以除数的结果由“商”和“余数”组成，记作：被除数÷除数=商……余数。 例如：26÷4=6……2（商是6，余数是2）。 知识点二、基本数量关系 1.除法算式：被除数÷除数=商……余数（余数＜除数） 2.被除数=除数×商+余数 3.除数=(被除数-余数)÷商 4.商=(被除数-余数)÷除数 知识点三、核心规则：余数必须比除数小 在有余数的除法中，余数的取值范围是1≤余数＜除数（余数最小为1，最大为除数-1）。该规则是解决各类问题的关键依据。 知识点四、常见题型及解题方法 1. 已知除数和商，求最大/最小被除数 （1）方法：根据“余数＜除数”，余数最大为“除数-1”，最小为1，再用公式“被除数=除数×商+余数”计算。 （2）例：[ ]÷6=8……[ ]，除数=6，商=8。 余数最大=6-1=5，最大被除数=6×8+5=53； 余数最小=1，最小被除数=6×8+1=49。 2. 已知商，求最小被除数 （1）方法：要使被除数最小，需先确定最小除数和最小余数。余数最小为1，除数必须大于余数，故最小除数=余数+1=2，再用公式“被除数=除数×商+余数”计算。 （2）例：[ ]÷[ ]=8……[ ]，商=8。 余数最小=1，除数最小=1+1=2，最小被除数=2×8+1=17。 3. 已知被除数和余数，求除数和商 （1）方法：先用“被除数-余数”得到“除数×商”的积，再结合“除数＞余数”确定除数的取值，进而求出商。 （2）例：28÷[ ]=[ ]……4，被除数=28，余数=4。 除数×商=28-4=24，且除数＞4。24的因数中大于4的有6、8、12、24，对应商为4、3、2、1，故除数和商可能为（6，4）（8，3）（12，2）（24，1）。 4. 商和余数相等时，求被除数 （1）方法：设商=余数=a（a≥1），则除数＞a（除数最小为a+1），被除数=商×除数+余数=a×除数+a=a×(除数+1)。根据除数＞a，可列举不同a对应的被除数。 （2）例：[ ]÷7=[ ]……[ ]（商和余数相等），设商=余数=a（a＜7，a≥1）。 当a=1时，被除数=1×7+1=8；a=2时，被除数=2×7+2=16；……；a=6时，被除数=6×7+6=48。 5. 除数和商相等时，求最小被除数 （1）方法：设除数=商=b，余数已知（记为c），则除数＞余数（b＞c），除数最小为c+1，此时被除数最小=除数×商+余数=b²+c。 （2）例：[ ]÷[ ]=[ ]……4（除数和商相等），余数=4，除数=商=b＞4，最小b=5，最小被除数=5×5+4=29。 6. 已知被除数与除数的倍数关系，求除数 （1）方法：根据题意列出关系式“被除数=除数×倍数+余数”，变形可得“除数=(被除数-余数)÷倍数”。 （2）例：被除数是77，比除数的8倍还多5，即77=除数×8+5，除数=(77-5)÷8=9。 例题讲解 一、已知除数和商，求最大/最小被除数 【例题】[ ]÷5=7……[ ]，求最大被除数和最小被除数。 【答案】最大被除数40，最小被除数36。 【详解】除数=5，商=7。余数最大为除数-1=5-1=4，最大被除数=5×7+4=35+4=40；余数最小为1，最小被除数=5×7+1=35+1=36。 【分析】考查“余数＜除数”的性质及“被除数=除数×商+余数”公式，需准确确定余数的最大和最小值。 二、已知商，求最小被除数 【例题】[ ]÷[ ]=5……[ ]，求最小被除数。 【答案】11。 【详解】要使被除数最小，余数最小为1，除数必须大于余数，故最小除数=1+1=2。被除数=除数×商+余数=2×5+1=10+1=11。 【分析】关键是确定“最小余数=1”和“最小除数=2”，再用公式计算，基础且核心。 三、已知被除数和余数，求除数和商 【例题】35÷[ ]=[ ]……5，求所有可能的除数和商。 【答案】除数和商可能为（6，5）、（10，3）、（15，2）、（30，1）。 【详解】被除数=35，余数=5，除数×商=35-5=30，且除数＞5。30的因数中大于5的有6、10、15、30，对应商=30÷6=5、30÷10=3、30÷15=2、30÷30=1。 【分析】先求“除数×商=被除数-余数”，再筛选“除数＞余数”的因数，是本知识点的核心步骤。 四、商和余数相等时，求被除数 【例题】[ ]÷5=[ ]……[ ]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。 【答案】6、12、18、24。 【详解】设商=余数=a（a≥1，a＜5），则a=1、2、3、4。被除数=a×5+a=6a，对应a=1时6×1=6，a=2时6×2=12，a=3时6×3=18，a=4时6×4=24。 【分析】核心是“商=余数=a”且“a＜除数”，通过“被除数=a×(除数+1)”快速计算。 五、除数和商相等时，求最小被除数 【例题】[ ]÷[ ]=[ ]……2（除数和商相等），求最小被除数。 【答案】11。 【详解】设除数=商=b（b＞2），最小b=2+1=3，被除数=b²+2=3²+2=9+2=11。 【分析】关键是“最小除数=余数+1”，再用“被除数=b²+余数”计算，基础且核心。 六、已知被除数与除数的倍数关系，求除数 【例题】被除数是53，比除数的6倍还多5，求除数。 【答案】8。 【详解】关系式：53=除数×6+5，除数=(53-5)÷6=48÷6=8。 【分析】核心是“被除数=除数×倍数+余数”，变形为“除数=(被除数-余数)÷倍数”。 考点练习 一、已知除数和商，求最大/最小被除数 1.[ ]÷8=6……[ ]，求最大被除数和最小被除数。 【答案】最大55，最小49。 【详解】除数=8，商=6。余数最大=8-1=7，最大被除数=8×6+7=48+7=55；余数最小=1，最小被除数=8×6+1=48+1=49。 【分析】巩固余数与除数的关系，强调余数必须小于除数，计算时注意乘法与加法的准确性。 2.[ ]÷7=10……[ ]，求最大被除数和最小被除数。 【答案】最大76，最小71。 【详解】除数=7，商=10。余数最大=7-1=6，最大被除数=7×10+6=70+6=76；余数最小=1，最小被除数=7×10+1=70+1=71。 【分析】商为两位数（10），数字稍大但计算简单，巩固对公式的熟练运用。 二、已知商，求最小被除数 1.[ ]÷[ ]=4……[ ]，求最小被除数。 【答案】9。 【详解】余数最小=1，除数最小=2，被除数=2×4+1=8+1=9。 【分析】商较小，结果简单，适合基础巩固，确保学生掌握基本步骤。 2.[ ]÷[ ]=10……[ ]，求最小被除数。 【答案】21。 【详解】余数最小=1，除数最小=2，被除数=2×10+1=20+1=21。 【分析】商为10，数字稍大但计算直观，考查公式应用的熟练度。 三、已知被除数和余数，求除数和商 1.30÷[ ]=[ ]……3，求所有可能的除数和商。 【答案】除数和商可能为（9，3）、（27，1）。 【详解】被除数=30，余数=3，除数×商=30-3=27，除数＞3。27的因数中大于3的有9、27（因数3等于余数，需排除），对应商=27÷9=3、27÷27=1。 【分析】强调“除数必须＞余数”，排除等于余数的因数，培养严谨性。 2.17÷[ ]=[ ]……4，求所有可能的除数和商。 【答案】除数和商可能为（13，1）。 【详解】被除数=17，余数=4，除数×商=17-4=13（质数），除数＞4。13的因数仅1和13，故除数=13，商=1。 【分析】积为质数时因数少，考查学生在特殊情况下的应用能力。 四、商和余数相等时，求被除数 1.[ ]÷3=[ ]……[ ]（商和余数相等），写出所有可能的被除数。 【答案】4、8。 【详解】a=1、2（a＜3），被除数=a×3+a=4a，对应4×1=4、4×2=8。 【分析】除数最小（3），a仅1和2，强调“a的最大值=除数-1”。 2.[ ]÷9=[ ]……[ ]（商和余数相等，被除数＜50），写出所有可能的被除数。 【答案】10、20、30、40。 【详解】a=1-8（a＜9），被除数=10a（9+1=10），要求10a＜50，故a=1-4，被除数=10、20、30、40。 【分析】增加“被除数＜50”的限制，考查结合不等式筛选a的能力，提升奥数思维。 五、除数和商相等时，求最小被除数 1.[ ]÷[ ]=[ ]……3（除数和商相等），求最小被除数。 【答案】19。 【详解】b＞3，最小b=4，被除数=4²+3=16+3=19。 【分析】余数=3，最小除数=4，检验对公式的熟练应用。 2.[ ]÷[ ]=[ ]……6（除数和商相等），求最小被除数。 【答案】55。 【详解】b＞6，最小b=7，被除数=7²+6=49+6=55。 【分析】余数较大，平方计算稍复杂，提升计算能力。 六、已知被除数与除数的倍数关系，求除数 1.被除数是80，比除数的9倍还多8，求除数。 【答案】8。 【详解】80=除数×9+8，除数=(80-8)÷9=72÷9=8。 【分析】倍数=9，72÷9=8，考查较大倍数的处理能力。 2.被除数是40，比除数的5倍还少5，求除数。 【答案】9。 【详解】关系式：40=除数×5-5→除数×5=40+5=45→除数=45÷5=9。 【分析】变式“少几”需转化为“被除数+余数=除数×倍数”，提升灵活解题能力，符合奥数思维。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $