第08讲 尾数与余数（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第08讲 尾数与余数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解尾数和余数的基本概念。 2.掌握通过分解被除数来确定符合特定余数条件的除数的方法。 3.学会观察并运用规律，快速确定多个数乘积的尾数。 4.能够识别并利用周期性规律，解决循环类问题中的尾数或余数确定。 5.掌握“试除法”这一重要技巧，并能运用它解决较为复杂的余数问题。 6.提高分析问题和解决问题的能力，培养数感和逻辑思维能力。 知识梳理 知识点一、尾数 1.什么是尾数？ （1）尾数通常指一个自然数的最后一位数字（个位数字）。 （2）例如：123 的尾数是 3， 5678 的尾数是 8。 2.如何求一个数的尾数？ （1）对于一个单独的自然数，直接看它的个位数字即可。 （2）对于四则运算结果的尾数，我们通常只需计算参与运算的各个数的尾数，然后进行相应的运算，最后得到的结果的尾数就是整个算式结果的尾数。（注意：除法的尾数比较复杂，通常不直接求，我们主要关注加、减、乘法的尾数） 知识点二、余数 1.什么是余数？ （1）当一个整数不能被另一个整数整除时，会产生余数。即：被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数。 （2）例如：10 ÷ 3 = 3 ... 1，其中 1 就是余数。 2.有余数除法的关系式： （1）被除数 = 除数 × 商 + 余数 （2）余数 < 除数 (这是非常重要的性质！) 3.如何求余数？ （1）通过直接做除法运算，得到商和余数。 （2）例如：计算 57 ÷ 8 的余数。 8 × 7 = 56，57 - 56 = 1，所以余数是 1。 知识点三、分解被除数写出符合条件的除数 1.核心概念： 在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间存在关系： 被除数 = 除数 × 商 + 余数 (其中 余数 < 除数) 2.问题引入： 已知被除数和余数，如何找出所有可能的除数？ 3.方法与步骤： （1）关系式转换： 由 被除数 = 除数 × 商 + 余数 可得 被除数 - 余数 = 除数 × 商。因此，(被除数 - 余数) 是除数的倍数，除数是 (被除数 - 余数) 的因数。 （2）分解差数： 计算 被除数 - 余数 的结果，然后找出这个结果的所有正因数。 （3）筛选除数： 根据 余数 < 除数 的原则，从所有因数中筛选出大于余数的因数，这些因数就是符合条件的除数。 知识点四、确定一个乘积结果的尾数 1.核心概念： 一个数的尾数（个位数字）只与这个数的个位数字有关。因此，多个数相乘的积的尾数，只与这些乘数的个位数字相乘的结果的尾数有关。 2.方法与步骤： （1）提取个位： 取出每个乘数的个位数字。 （2）逐步相乘： 将这些个位数字依次相乘，并只保留每次乘积的个位数字，继续与下一个个位数字相乘。 （3）得到结果： 最终得到的个位数字就是整个乘积的尾数。 3.关键技巧： 注意观察个位数字相乘的规律，特别是当乘数较多或存在重复数字时，可以利用周期性简化计算（这会在第三部分详细介绍）。 知识点五、确定循环类结果的数字或余数 1.核心概念： 某些数字的乘方运算的尾数，或者某些除法运算的余数，会呈现出周期性的重复规律，这种规律称为“循环周期”。 2.常见类型与方法： （1）乘方的尾数循环： ①例如：2¹=2 (尾2), 2²=4 (尾4), 2³=8 (尾8), 2⁴=16 (尾6), 2⁵=32 (尾2), ... 可见2的乘方尾数周期是4（2,4,8,6）。 ②方法：找出该数字乘方尾数的循环周期长度 (n)，用指数除以周期长度，根据余数确定尾数（余数为0则是周期的最后一个数字）。 （2）除法的余数循环（周期问题）： ①例如：一列数按照“1,3,5,7”循环排列，求第2023个数是多少？这里周期是4。 ②又如：3ⁿ ÷ 7 的余数，也会呈现周期性。 ③方法：通过计算前若干项的结果，找出余数的循环周期长度 (n)，用项数或指数除以周期长度，根据余数确定第n项的余数或数字（余数为0则是周期的最后一个）。 知识点六、采用试除法解决余数问题 1.核心概念： 当直接计算或列式有困难时，可以根据题目条件，通过尝试不同的数值代入计算，来找到符合条件的被除数、除数或商。试除法常用于解决“一个数满足多个余数条件”的问题。 2.适用场景： （1）已知除数和余数，求最小的被除数。 （2）已知一个数除以不同除数所得的余数，求这个数。 3.方法与步骤（以“同余问题”或“物不知数”简单类型为例）： （1）列出条件： 明确已知的除数和对应的余数。 （2）逐个尝试： 从满足第一个余数条件的最小数开始（通常是余数本身，或除数+余数），按照一定的顺序（如除数的倍数递增）进行尝试。 （3）验证条件： 将尝试的数代入其他余数条件中进行验证，看是否都满足。 （4）找到答案： 第一个同时满足所有余数条件的数就是所求的最小数（如果题目要求所有数，则可表示为最小数加上所有除数的最小公倍数的倍数）。 例题讲解 一、分解被除数写出符合条件的除数 【例题1】已知被除数是58，余数是3，求所有可能的除数。 【例题2】一个数除以除数，商是两位数，余数是10，被除数是190，求除数的最大值。 二、确定一个乘积结果的尾数 【例题1】求12×23×34×45×56的尾数。 【例题2】求9×99×999×...×999999（共10个乘数）的尾数。 三、确定循环类结果的数字或余数 【例题1】求2²⁰²³的尾数。 【例题2】一列数按“2,5,8,1,4,7”循环排列，求第2023个数是多少？ 【例题3】求除以7的余数。 四、采用试除法解决余数问题 【例题1】一个数除以3余1，除以4余2，除以5余3，求最小数。 【例题2】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？ 考点练习 一、分解被除数写出符合条件的除数 1. 被除数是100，余数是4，那么除数可能的最小值是多少？ 2. 某数除以除数，商是7，余数是5，被除数是89，求除数。 3. 被除数是150，余数是15，那么符合条件的除数有多少个？ 4. 已知被除数比余数大72，余数是8，求所有可能的除数之和。 5. 被除数是N，余数是12，已知N-12的所有因数中大于12的有5个，那么N-12最小是多少？ 6. 被除数是83，余数是r，除数是d，且d-r=5，求所有可能的除数d。 7. 已知被除数是75，余数是除数的一半，求除数。 8. 被除数是1000，余数是28，若除数是两位数，求除数的个数。 二、确定一个乘积结果的尾数 1. 求2×4×6×8×10×12×14的尾数。 2. 求37×49×52×61×73×84的尾数。 3. 求1×3×5×7×9×...×99的尾数。 4. 求25×26×27×...×35的尾数。 5. 求7×77×777×...×777777777（共9个乘数）的尾数。 6. 求123456789×987654321的尾数。 7. 求2023×2024×2025×2026×2027的尾数。 8. 求3×13×23×33×...×93（共10个乘数）的尾数。 三、确定循环类结果的数字或余数 1. 求3¹⁰⁰的尾数。 2. 求7¹²³⁴的尾数。 3. 3÷7的商是循环小数，求小数点后第2023位数字。 4. 求5²⁰²⁴的尾数。 5. 求1+2+3+...+n的和除以5的余数，当n=2025时，余数是多少？ 6. 求2023²⁰²³的尾数。 7．求20132013除以4和8的余数分别是多少？ 8. 求7ⁿ除以5的余数，当n=2023时，余数是多少？ 9．1999323＋3231999的和除以7的余数是多少？ 四、采用试除法解决余数问题 1. 一个数除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小正整数。 2. 一个数除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，求最小数。 3. 一个数除以5余4，除以7余1，求最小数。 4．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5。问：具有这种性质的三位数还有几个？ 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 尾数与余数 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解尾数和余数的基本概念。 2.掌握通过分解被除数来确定符合特定余数条件的除数的方法。 3.学会观察并运用规律，快速确定多个数乘积的尾数。 4.能够识别并利用周期性规律，解决循环类问题中的尾数或余数确定。 5.掌握“试除法”这一重要技巧，并能运用它解决较为复杂的余数问题。 6.提高分析问题和解决问题的能力，培养数感和逻辑思维能力。 知识梳理 知识点一、尾数 1.什么是尾数？ （1）尾数通常指一个自然数的最后一位数字（个位数字）。 （2）例如：123 的尾数是 3， 5678 的尾数是 8。 2.如何求一个数的尾数？ （1）对于一个单独的自然数，直接看它的个位数字即可。 （2）对于四则运算结果的尾数，我们通常只需计算参与运算的各个数的尾数，然后进行相应的运算，最后得到的结果的尾数就是整个算式结果的尾数。（注意：除法的尾数比较复杂，通常不直接求，我们主要关注加、减、乘法的尾数） 知识点二、余数 1.什么是余数？ （1）当一个整数不能被另一个整数整除时，会产生余数。即：被除数 ÷ 除数 = 商 ... 余数。 （2）例如：10 ÷ 3 = 3 ... 1，其中 1 就是余数。 2.有余数除法的关系式： （1）被除数 = 除数 × 商 + 余数 （2）余数 < 除数 (这是非常重要的性质！) 3.如何求余数？ （1）通过直接做除法运算，得到商和余数。 （2）例如：计算 57 ÷ 8 的余数。 8 × 7 = 56，57 - 56 = 1，所以余数是 1。 知识点三、分解被除数写出符合条件的除数 1.核心概念： 在有余数的除法中，被除数、除数、商和余数之间存在关系： 被除数 = 除数 × 商 + 余数 (其中 余数 < 除数) 2.问题引入： 已知被除数和余数，如何找出所有可能的除数？ 3.方法与步骤： （1）关系式转换： 由 被除数 = 除数 × 商 + 余数 可得 被除数 - 余数 = 除数 × 商。因此，(被除数 - 余数) 是除数的倍数，除数是 (被除数 - 余数) 的因数。 （2）分解差数： 计算 被除数 - 余数 的结果，然后找出这个结果的所有正因数。 （3）筛选除数： 根据 余数 < 除数 的原则，从所有因数中筛选出大于余数的因数，这些因数就是符合条件的除数。 知识点四、确定一个乘积结果的尾数 1.核心概念： 一个数的尾数（个位数字）只与这个数的个位数字有关。因此，多个数相乘的积的尾数，只与这些乘数的个位数字相乘的结果的尾数有关。 2.方法与步骤： （1）提取个位： 取出每个乘数的个位数字。 （2）逐步相乘： 将这些个位数字依次相乘，并只保留每次乘积的个位数字，继续与下一个个位数字相乘。 （3）得到结果： 最终得到的个位数字就是整个乘积的尾数。 3.关键技巧： 注意观察个位数字相乘的规律，特别是当乘数较多或存在重复数字时，可以利用周期性简化计算（这会在第三部分详细介绍）。 知识点五、确定循环类结果的数字或余数 1.核心概念： 某些数字的乘方运算的尾数，或者某些除法运算的余数，会呈现出周期性的重复规律，这种规律称为“循环周期”。 2.常见类型与方法： （1）乘方的尾数循环： ①例如：2¹=2 (尾2), 2²=4 (尾4), 2³=8 (尾8), 2⁴=16 (尾6), 2⁵=32 (尾2), ... 可见2的乘方尾数周期是4（2,4,8,6）。 ②方法：找出该数字乘方尾数的循环周期长度 (n)，用指数除以周期长度，根据余数确定尾数（余数为0则是周期的最后一个数字）。 （2）除法的余数循环（周期问题）： ①例如：一列数按照“1,3,5,7”循环排列，求第2023个数是多少？这里周期是4。 ②又如：3ⁿ ÷ 7 的余数，也会呈现周期性。 ③方法：通过计算前若干项的结果，找出余数的循环周期长度 (n)，用项数或指数除以周期长度，根据余数确定第n项的余数或数字（余数为0则是周期的最后一个）。 知识点六、采用试除法解决余数问题 1.核心概念： 当直接计算或列式有困难时，可以根据题目条件，通过尝试不同的数值代入计算，来找到符合条件的被除数、除数或商。试除法常用于解决“一个数满足多个余数条件”的问题。 2.适用场景： （1）已知除数和余数，求最小的被除数。 （2）已知一个数除以不同除数所得的余数，求这个数。 3.方法与步骤（以“同余问题”或“物不知数”简单类型为例）： （1）列出条件： 明确已知的除数和对应的余数。 （2）逐个尝试： 从满足第一个余数条件的最小数开始（通常是余数本身，或除数+余数），按照一定的顺序（如除数的倍数递增）进行尝试。 （3）验证条件： 将尝试的数代入其他余数条件中进行验证，看是否都满足。 （4）找到答案： 第一个同时满足所有余数条件的数就是所求的最小数（如果题目要求所有数，则可表示为最小数加上所有除数的最小公倍数的倍数）。 例题讲解 一、分解被除数写出符合条件的除数 【例题1】已知被除数是58，余数是3，求所有可能的除数。 【答案】5, 11, 55 【分析】核心是利用“除数是（被除数-余数）的因数且大于余数”，需注意因数分解和筛选逻辑。 【详解】①关系式转换：被除数 - 余数 = 58 - 3 = 55，即除数×商 = 55。 ②分解差数：55的正因数为1, 5, 11, 55。 ③筛选除数：余数=3，除数需大于3，故符合条件的除数为5, 11, 55。 【例题2】一个数除以除数，商是两位数，余数是10，被除数是190，求除数的最大值。 【答案】19 【详解】① 被除数 - 余数 = 190 - 10 = 180，除数×商 = 180，除数>10，商是两位数（≥10）。 ② 商=180÷除数，商≥10→除数≤18。 ③ 180的因数中≤18且>10的有12,15,18，对应商15,12,10（均为两位数），最大除数为18？验证：18×10+10=190，正确，但190-10=180，除数×商=180，商是两位数，除数=180/商，商≥10，除数≤18，最大除数18。 【分析】结合商的限制条件（两位数），需通过因数对筛选除数。 二、确定一个乘积结果的尾数 【例题1】求12×23×34×45×56的尾数。 【答案】0 【分析】关键是出现“5×偶数”得0，后续乘积尾数必为0。 【详解】① 提取个位数字：2,3,4,5,6。 ② 逐步相乘保留个位：2×3=6→6；6×4=24→4；4×5=20→0；0×6=0。 【例题2】求9×99×999×...×999999（共10个乘数）的尾数。 【答案】1 【分析】利用周期简化多个相同个位的计算。 【详解】① 个位均为9，周期规律：9¹=9（尾9），9²=81（尾1），9³=9（尾9），周期=2。 ② 10个乘数：10÷2=5组，偶数个周期，尾数1。 三、确定循环类结果的数字或余数 【例题1】求2²⁰²³的尾数。 【答案】8 【分析】核心是掌握2的周期规律，用指数除以周期求余数。 【详解】① 2的乘方尾数周期：2,4,8,6（周期=4）。 ② 指数2023：2023÷4=505余3，周期第3个，尾数8。 【例题2】一列数按“2,5,8,1,4,7”循环排列，求第2023个数是多少？ 【答案】2 【分析】周期数列问题，用项数除以周期求余数。 【详解】① 周期=6（2,5,8,1,4,7）。 ② 2023÷6=337余1，周期第1个数，即2。 【例题3】求除以7的余数。 【答案】2 【分析】先从简单的51÷7，求出余数，接着用52、53、54、……分别去除以7求出余数，然后观察余数的周期规律，即可利用周期求余的方法步骤进行求余。 【详解】÷7余5，÷7余4，÷7余6，÷7余2，÷7余3，÷7余1，÷7余5（余数开始重复，即周期为6）； 100÷6＝16……4 周期中的第4个余数是2，所以除以7余2。 四、采用试除法解决余数问题 【例题1】一个数除以3余1，除以4余2，除以5余3，求最小数。 【答案】58 【分析】利用“差同减差”结论，快速求解（若不用结论，试除法需从除以5余3的数开始验证）。 【详解】① 观察“差同”：3-1=4-2=5-3=2，即这个数+2是3,4,5的公倍数。 ② 最小公倍数[3,4,5]=60，故最小数=60-2=58。 【例题2】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？ 【答案】172 【分析】仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于，所以这个数最小是。 【详解】由“除以3余1，除以5余2”得： 3×2＋1 ＝6＋1 ＝7 5＋2＝7 又：[3，5，11]＝165， 165＋7＝172 答：这个数最小是172。 考点练习 一、分解被除数写出符合条件的除数 1. 被除数是100，余数是4，那么除数可能的最小值是多少？ 【答案】6 【分析】考查“最小除数”的筛选，需先列出所有因数，再取大于余数的最小数。 【详解】① 被除数 - 余数 = 100 - 4 = 96，除数×商 = 96。 ② 96的正因数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 32, 48, 96。 ③ 除数需大于余数4，最小因数为6。 2. 某数除以除数，商是7，余数是5，被除数是89，求除数。 【答案】12 【分析】直接逆用关系式计算，需注意商为已知数时的直接求解。 【详解】① 由被除数 = 除数×商 + 余数，得除数 =（被除数 - 余数）÷商。 ② 代入数据：除数 =（89 - 5）÷7 = 84÷7 = 12。 ③ 验证：12 > 5（余数），符合条件。 3. 被除数是150，余数是15，那么符合条件的除数有多少个？ 【答案】3个 【分析】考查因数个数的计数，需准确分解因数并筛选。 【详解】① 被除数 - 余数 = 150 - 15 = 135，除数×商 = 135。 ② 135的正因数：1, 3, 5, 9, 15, 27, 45, 135。 ③ 除数需大于15，符合条件的因数为27, 45, 135，共3个。 4. 已知被除数比余数大72，余数是8，求所有可能的除数之和。 【答案】171 【分析】结合“被除数-余数=差”的隐含条件，需先确定差，再计算因数和。 【详解】① 被除数 - 余数 = 72，即除数×商 = 72，除数>8。 ② 72的正因数：1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72。 ③ 大于8的因数：9, 12, 18, 24, 36, 72，和为9+12+18+24+36+72=171。 5. 被除数是N，余数是12，已知N-12的所有因数中大于12的有5个，那么N-12最小是多少？ 【答案】182 【分析】考查因数分布规律，需结合因数成对性和最小值要求。 【详解】① 设M=N-12，需M的因数中大于12的有5个，求最小M。 ② 因数成对出现，大于12的因数包含M本身，故需M有5个大于12的因数，即M的因数从小到大排列后，后5个均大于12。 ③ 尝试最小M：182的因数为1, 2, 7, 13, 14, 26, 91, 182，大于12的因数有13,14,26,91,182（共5个），符合条件。 6. 被除数是83，余数是r，除数是d，且d-r=5，求所有可能的除数d。 【答案】8, 11, 22, 44 【分析】通过关系式消去余数，转化为因数问题，需注意余数非负。 【详解】① 由被除数= d×商 + r，且r = d - 5，得83 = d×商 + (d - 5) → d×(商 + 1) = 88。 ② d是88的因数，且d > r = d - 5（恒成立），商 + 1 = 88/d ≥ 2（商≥1）→ d ≤ 44。 ③ 88的因数中d>0且d ≤44的有1,2,4,8,11,22,44，排除d=1,2,4（此时r=d-5为负），故d=8,11,22,44。 7. 已知被除数是75，余数是除数的一半，求除数。 【答案】50 【分析】通过设未知数建立方程，结合因数分解和余数定义求解。 【详解】① 设除数为d，则余数r = d÷2，且r < d（恒成立），d为偶数。 ② 被除数= d×商 + r → 75 = d×商 + d÷2 → d×(商 + 0.5) = 75 → d×(2商 + 1) = 150。 ③ 2商 + 1是奇数，d是150的偶因数，且d > r = d÷2 → d>0。150的奇因数有1,3,5,15,25,75，对应d=150,50,30,10,6,2，验证75 = d×商 + d÷2：d=50时，75=50×1 +25（r=25=50÷2），商=1，符合条件。 8. 被除数是1000，余数是28，若除数是两位数，求除数的个数。 【答案】4个 【分析】结合两位数限制和因数分解，需系统列出因数并筛选。 【详解】① 被除数 - 余数 = 1000 - 28 = 972，除数×商 = 972，除数是两位数（10≤d≤99）且d>28。 ② 分解972=2²×3⁵，两位数因数且>28的有：36（2²×3²）, 54（2×3³）, 81（3⁴）, 108（超两位数，排除），3×3⁴=81，2²×3³=108（超），故符合条件的除数为36,54,81, 还有972÷3=324（超），972÷4=243（超），972÷6=162（超），972÷9=108（超），972÷12=81，972÷18=54，972÷27=36，972÷36=27（商27，除数36），所以共4个。 二、确定一个乘积结果的尾数 1. 求2×4×6×8×10×12×14的尾数。 【答案】0 【分析】含因数10（个位0），尾数直接为0。 【详解】① 提取个位：2,4,6,8,0,2,4。 ② 逐步相乘：2×4=8→8；8×6=48→8；8×8=64→4；4×0=0，后续乘任何数均为0。 2. 求37×49×52×61×73×84的尾数。 【答案】2 【分析】按步骤保留个位，避免中间计算错误。 【详解】① 提取个位：7,9,2,1,3,4。 ② 逐步相乘：7×9=63→3；3×2=6→6；6×1=6→6；6×3=18→8；8×4=32→2。 3. 求1×3×5×7×9×...×99的尾数。 【答案】5 【分析】利用“奇数×5=5”的规律，无需全部计算。 【详解】① 所有乘数均为奇数，且包含个位5的数（如5,15,...95）。 ② 奇数×5=个位5，后续再乘任何奇数仍为5，故尾数5。 4. 求25×26×27×...×35的尾数。 【答案】0 【分析】识别“5+偶数”组合，直接得尾数0。 【详解】① 包含25（个位5）和26（个位6，偶数），5×6=30→个位0，后续乘积尾数0。 5. 求7×77×777×...×777777777（共9个乘数）的尾数。 【答案】7 【分析】先确定周期，用乘数个数除以周期求余数。 【详解】① 个位均为7，周期规律：7¹=7,7²=49(9),7³=3(3),7⁴=1(1),周期=4。 ② 9个乘数：9÷4=2余1，周期第1个，尾数7。 6. 求123456789×987654321的尾数。 【答案】9 【分析】简单两位数相乘，直接计算个位乘积。 【详解】① 提取个位：9×1=9，尾数9。 7. 求2023×2024×2025×2026×2027的尾数。 【答案】0 【分析】快速识别含5和偶数的乘数。 【详解】① 2025个位5，2024个位4（偶数），5×4=20→个位0，后续乘积尾数0。 8. 求3×13×23×33×...×93（共10个乘数）的尾数。 【答案】9 【分析】利用乘方尾数周期，将乘数个数转化为指数。 【详解】① 个位均为3，周期规律：3¹=3,3²=9,3³=7,3⁴=1,周期=4。 ② 10个乘数：10÷4=2余2，周期第2个，尾数9。 三、确定循环类结果的数字或余数 1. 求3¹⁰⁰的尾数。 【答案】1 【分析】余数为0时取周期末位，避免误算为第0个。 【详解】① 3的周期：3,9,7,1（周期=4）。 ② 100÷4=25余0，余数0对应周期最后一个，尾数1。 2. 求7¹²³⁴的尾数。 【答案】9 【分析】准确计算指数除以周期的余数。 【详解】① 7的周期：7,9,3,1（周期=4）。 ② 1234÷4=308余2，周期第2个，尾数9。 3. 3÷7的商是循环小数，求小数点后第2023位数字。 【答案】4 【分析】先确定循环节，再用位数除以周期求余数。 【详解】① 3÷7=0.428571....，循环节“428571”（周期=6）。 ② 2023÷6=337余1，循环节第1位数字4。 4. 求5²⁰²⁴的尾数。 【答案】5 【分析】特殊数字（5,6）的周期为1，可直接判断。 【详解】① 5的任何正整数次幂尾数均为5（周期=1）。 ② 直接得尾数5。 5. 求1+2+3+...+n的和除以5的余数，当n=2025时，余数是多少？ 【答案】0 【分析】通过代数变形直接判断整除性，无需计算具体和。 【详解】① 和公式：n(n+1)÷2=2025×2026÷2=2025×1013。 ② 2025是5的倍数（2025=5×405），故和是5的倍数，余数0。 6. 求2023²⁰²³的尾数。 【答案】7 【分析】只关注底数的个位数字，简化为3的乘方尾数问题。 【详解】① 2023个位为3，3的周期=4（3,9,7,1）。 ② 指数2023÷4=505余3，周期第3个，尾数7。 7．求20132013除以4和8的余数分别是多少？ 【答案】1；5 【分析】一个数除以4的余数等于其末两位数除以4的余数；一个数除以8的余数等于其末三位数除以8的余数。 【详解】20132013的末两位数是13 13÷4＝3……1 所以20132013除以4的余数是1； 20132013的末三位数是013 13÷8＝1……5 所以20132013除以8的余数是5。 8. 求7ⁿ除以5的余数，当n=2023时，余数是多少？ 【答案】3 【分析】先计算前几次余数找周期，再用指数除以周期求余数。 【详解】① 7÷5余2，7²=49÷5余4，7³=343÷5余3，7⁴=2401÷5余1，7⁵=16807÷5余2，周期=4（2,4,3,1）。 ② 2023÷4=505余3，周期第3个余数3。 9．1999323＋3231999的和除以7的余数是多少？ 【答案】3 【分析】因为1999除以7的余数是4，因此1999323除以7的余数是4323除以7的余数，则4323＝（64）107×16＝（7×9＋1）107×16，所以16除以7的余数是2；同理求出3231999除以7的余数；求出然后进一步推断即可。 【详解】因为1999除以7的余数是4，因此1999323除以7的余数是4323除以7的余数， 4323＝（64）107×16＝（7×9＋1）107×16≡16（mod7） 16÷7＝2……2 所以1999323除以7的余数是2 323除以7的余数是1，因此3231999除以7的余数就是11999除以7的余数，也就是1 2＋1＝3，所以1999323＋3231999的和除以7的余数是3 四、采用试除法解决余数问题 1. 一个数除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小正整数。 【答案】23 【分析】从除数较大的条件开始试除，减少尝试次数。 【详解】① 从满足“除以7余2”的数开始：2,9,16,23,30,... ② 验证“除以5余3”：2÷5余2×，9余4×，16余1×，23余3√。 2. 一个数除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，求最小数。 【答案】59 【分析】多个除数的差同问题，利用最小公倍数统一求解。 【详解】① 差同：2-1=3-2=4-3=5-4=1，数+1是2,3,4,5的公倍数，[2,3,4,5]=60，最小数=60-1=59。 3. 一个数除以5余4，除以7余1，求最小数。 【答案】29 【分析】试除时按除数7的倍数递增，快速定位。 【详解】① 试除法：满足除以7余1的数：1,8,15,22,29... ② 验证除以5余4：1→1×，8→3×，15→0×，22→2×，29→4√。 4．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5。问：具有这种性质的三位数还有几个？ 【答案】14个 【分析】这个三位数加上1，就能同时被2、3、4、5、6整除，即这个数同时是2、3、4、5、6的倍数，而2、3、4、5、6的最小公倍数是60，设这个数为60x－1；根据3位数的条件有：100≤60x－1≤999；解得：2≤x≤16；因为这些三位数是60x－1，2≤x≤16，所以这些三位数是119，179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959；故具有这种性质的三位数还有179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959。 【详解】设具有这种性质的三位数还有x个，所以这个三位数是60x－1，可得： 100≤60x－1≤999；解得：2≤x≤16 16－2＝14（个） 答：具有这种性质的三位数还有14个。 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $