第07讲 行程问题（二）—— 火车过桥、流水行船（知识梳理+例题讲解+考点练习）-六年级奥数培优讲义

第07讲 行程问题（二）—— 火车过桥、流水行船 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解火车过桥问题的核心特点（火车自身长度不可忽略），掌握不同情境下（过桥、过隧道、过静止物体、两列火车相遇/追及）的路程计算方法； 2.掌握流水行船问题中“船速”“水速”“顺水速度”“逆水速度”的概念及相互关系，能推导并灵活运用基本公式； 3.学会用线段图分析复杂行程过程，明确路程、速度、时间的对应关系，提升解决实际问题的能力； 4.渗透“数形结合”“转化”“方程”等数学思想，培养逻辑思维和综合应用能力。 知识梳理 知识点一、火车过桥问题 1. 基本概念 火车过桥（或过隧道、过静止物体）时，行驶的总路程不仅包括桥（隧道、物体）的长度，还需加上火车自身的长度。即：总路程 = 桥长（隧道长/物体长）+ 火车车身长。 2. 核心公式 根据行程问题基本公式“路程 = 速度×时间”，可得： （1）火车过桥总时间 =（桥长 + 火车车身长）÷ 火车速度 （2）火车速度 =（桥长 + 火车车身长）÷ 过桥总时间 （3）桥长（或火车车身长） = 火车速度×过桥总时间 - 火车车身长（或桥长） 3. 典型情况分析 情境 路程计算 示例 火车过静止物体（如电线杆、人） 总路程 = 火车车身长（物体长度忽略不计） 火车长200米，以15米/秒速度过电线杆，需几秒？（路程=200米，时间=200÷15≈13.3秒） 火车过桥/隧道 总路程 = 桥长（隧道长）+ 火车车身长 桥长500米，火车长100米，速度20米/秒，过桥需多久？（路程=500+100=600米，时间=600÷20=30秒） 两列火车相遇（相向而行） 总路程 = 甲车车身长 + 乙车车身长 甲车长150米（速度20米/秒），乙车长200米（速度15米/秒），相向而行，从车头相遇到车尾离开需几秒？（总路程=150+200=350米，速度和=20+15=35米/秒，时间=350÷35=10秒） 两列火车追及（同向而行） 总路程 = 快车车身长 + 慢车车身长 快车长200米（速度30米/秒），慢车长150米（速度20米/秒），同向行驶，快车从追上慢车到完全超过需几秒？（总路程=200+150=350米，速度差=30-20=10米/秒，时间=350÷10=35秒） 4. 解题关键 （1）画图分析：用线段图表示火车行驶过程，明确“车头开始到车尾结束”的总路程； （2）区分“完全通过”与“完全在桥上”：“完全通过”路程=桥长+车身长，“完全在桥上”路程=桥长-车身长（需注意题目关键词）； （3）单位统一：速度、时间、路程的单位需一致（如米/秒、千米/小时需换算）。 知识点二、流水行船问题 1. 基本概念 （1）船速：船在静水中的行驶速度（即自身动力速度，与水速无关）； （2）水速：水流的速度； （3）顺水速度：船顺着水流方向行驶的实际速度（船速+水速）； （4）逆水速度：船逆着水流方向行驶的实际速度（船速-水速）。 2. 核心公式 （1）顺水速度 = 船速 + 水速 （2）逆水速度 = 船速 - 水速 （3）推导公式： ①船速 =（顺水速度 + 逆水速度）÷ 2（消去水速，求静水速度） ②水速 =（顺水速度 - 逆水速度）÷ 2（消去船速，求水流速度） 3. 典型情况分析 情境 公式应用 基本顺水/逆水行程 顺水路程 = 顺水速度×顺水时间；逆水路程 = 逆水速度×逆水时间 往返路程问题（同一段水路） 往返总路程 = 顺水路程 + 逆水路程（通常两段路程相等，均为水路长度） 相遇/追及（流水行船中） 两船相向而行（顺水+逆水）：相遇时间 = 总路程÷（甲顺水速度 + 乙逆水速度）； 两船同向而行（顺水/逆水）：追及时间 = 路程差÷（快船速度 - 慢船速度）（水速对同向速度差无影响，可抵消） 4. 解题关键 （1）明确“速度”类型：看清题目中给出的是“顺水速度”“逆水速度”还是“船速”“水速”，避免混淆； （2）抓不变量：同一段水路中，“水路长度”通常不变，可作为等量关系列方程（如顺水路程=逆水路程）； （3）特殊情况：若题目中未提及水速，默认水速为0（即静水行驶，速度=船速）。 知识点三、解题方法与技巧总结 1.画图法：用线段图标注火车车身长、桥长、行驶方向，或船的行驶路程、水流方向，直观呈现数量关系； 2.公式法：熟记核心公式，灵活变形（如已知桥长、时间、速度，求火车长：火车长=速度×时间-桥长）； 3.方程法：设未知量（如船速、水速、火车长），根据路程相等或时间关系列方程求解（适合复杂问题）； 4.单位换算：注意速度单位（如1米/秒=3.6千米/小时），时间单位（如分钟换算为小时）需统一。 例题讲解 一、火车过桥问题 【例题1】一列火车长200米，以每分钟1200米的速度通过一座长1000米的大桥。从车头进桥到车尾离桥共需要多少分钟？ 【答案】火车通过大桥所行的总路程 = 桥长 + 火车长 = 1000米 + 200米 = 1200米。 速度为每分钟1200米。 时间 = 路程 ÷ 速度 = 1200米 ÷ 1200米/分钟 = 1分钟。 【解析】本题考查火车过桥问题的基本公式。关键在于理解“从车头进桥到车尾离桥”所行驶的路程是桥长与火车车身长度之和。直接运用 时间 = (桥长 + 车长) ÷ 速度 即可求解。 【例题2】一列火车通过396米的大桥需要26秒，通过252米的隧道需要18秒，这列火车车身长是多少米？ 【答案】解：火车的速度为： （米/秒）， 火车的车长为： （米） 【解析】火车的速度=两隧道长度之差÷通过两隧道用的时间之差，火车的长度=火车的速度×通过252米隧道用的时间-252。 【例题3】小明沿着长为 米的桥面步行．当他走到桥头 时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头 ． 秒钟后，小明走到桥尾 ，火车的车尾恰好也到达桥尾 ．已知火车的速度是小明速度的 倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？ 【答案】解： ​​ 小明的速度是： （米/秒），火车的速度是： （米/秒），由图可以看出，火车的长度是火车行驶的路程加上桥长，即火车的长度是： （米），所以火车过桥用了： （秒）． 【解析】由题意，先求出小明和火车的速度，由此可以求出火车的长度=火车行驶的路程+桥长，那么火车过桥用的时间=（车长+桥长）÷火车的速度。 【例题4】346名学生排成2列等长的纵队去博物馆参观，队伍的行进速度为32米/分，前后两人相距1米。现在队伍要通过一座长692米的桥，整个队伍从上桥到下桥共需要多少分钟? 【答案】解：(346÷2 -1)×1 =（173-1）×1 =172×1 =172 (米) (172+692)÷32 =864÷32 =27(分) 答：整个队伍从上桥到下桥共需要27分钟。 【解析】本题是列车过桥问题和植树问题的综合应用，难点是明确行驶的路程应为桥长加队伍的长度，由于队伍是两列等长的纵队，每列有346人除以2，即173人，每两人之间相距1米，根据公式：“队伍的间隔数＝人数-1，路程÷速度=时间”，据此解答。 二、流水行船问题 【例题1】一艘船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。这艘船从乙港返回甲港需要多少小时？ 【答案】从甲港到乙港是顺水航行。 顺水速度 = 静水船速 + 水速 = 15 + 3 = 18 千米/小时。 甲乙两港距离 = 顺水速度 × 顺水时间 = 18 × 8 = 144 千米。 从乙港返回甲港是逆水航行。 逆水速度 = 静水船速 - 水速 = 15 - 3 = 12 千米/小时。 逆水时间 = 甲乙两港距离 ÷ 逆水速度 = 144 ÷ 12 = 12 小时。 【解析】本题是流水行船问题的基础题型。考察学生对顺水速度、逆水速度公式的运用，以及路程、速度、时间三者关系的灵活转换。先求出顺水速度和总路程，再求出逆水速度，最后得到返回时间。 【例题2】甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 【答案】顺水速度 = 路程 ÷ 顺水时间 = 208 ÷ 8 = 26 千米/小时。 逆水速度 = 路程 ÷ 逆水时间 = 208 ÷ 13 = 16 千米/小时。 静水船速 = (顺水速度 + 逆水速度) ÷ 2 = (26 + 16) ÷ 2 = 42 ÷ 2 = 21 千米/小时。 水流速度 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2 = (26 - 16) ÷ 2 = 10 ÷ 2 = 5 千米/小时。 【解析】本题是典型的已知顺水和逆水的路程与时间，求静水船速和水速的问题。直接运用核心提示中推导出的两个公式即可求解。这是流水行船问题中的一个重要应用。 【例题3】甲、乙两船的船速分别为每小时17千米和每小时13千米．两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发 3小时，如果水速是每小时 3千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船？ 【答案】解：（13+3）×3÷（17-13） =48÷4 =12（小时） 答：甲船开出12小时后能追上乙船。 【解析】追及时间=路程差÷速度差，用乙船的速度加水水速，求出乙船的顺水速度，再乘3即可求出甲、乙两船的距离，用这个距离除以两个船的速度差即可求出追上的时间。 【例题4】一艘客船从A港驶往B港顺水下行，每小时船行28千米，到达B港后，又逆水上行回到A港。逆水上行比顺水下行多用2小时。已知水流速度为每小时4千米，求AB两港相距多少千米？（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度） 【答案】解：28-4-4 =24-4 =20（千米） 设AB两港相距x千米。 -=2 7x-5x=280 2x=280 x=280÷2 x=140 答：AB两港相距140千米。 【解析】由于轮船的顺水速度是每小时28千米，水流速度是每小时4千米，所以轮船的逆水速度是 28-4-4=20千米/小时；由于逆水比顺水多行2小时，由此可设两地的距离为x千米，可得方程-=2，求出x即可得出AB两港相距的路程。 考点练习 一、火车过桥问题 1．一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两车间隔8米.问：这个车队共有多少辆车？ 【答案】解：由“路程=时间×速度”可求出车队145秒行的路程为5×145=725（米），故车队长度为725-200=525（米）. 再由植树问题可得车队共有车（525-5）÷（5+8）+1=41（辆）. 【解析】车队的长度=车队的速度×通过大桥用的时间-大桥的长度，所以车队中有车的辆数=（车队的长度-最开始的车的长度）÷（每辆车的长度+两车的间隔）+1，据此代入数据作答即可。 2．一列火车驶过长900米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用1分25秒钟，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒钟，求火车的速度及车身的长度？ 【答案】解：车长+900米=85×车速，车长+1800米=160×车速，列车多行使1800-900=900米 ，需要160-85=75秒，说明列车速度为12米/秒，车身长12×85-900=120米. 【解析】火车的速度=两桥长度之差÷通过两桥用的时间之差，火车的长度=火车的速度×通过900米大桥用的时间-900。 3．某列火车的车头长20m，有6节车厢，每节车厢长25m，通过一座长910m的大桥，从车头上桥到车尾离桥共经过45秒。这列火车平均每秒行驶多少米？ 【答案】解：(25×6+20+910)÷45 =（150+20+910）÷45 =（170+910）÷45 =1080÷45 =24(m) 答：这列火车平均每秒行驶24 m。 【解析】火车通过大桥的总路程为火车自身长度与大桥长度之和，利用总路程除以时间即可求得平均速度。 4．一列动车通过一座长 890 米的铁桥用了 50 秒，紧接着穿过一条 1330 米隧道，用了70 秒。这列动车车身长 多少米？（这里的时间均指动车车头上桥或进隧道口直至车尾离开的时间） 【答案】解：（1330-890）÷（70-50） =440÷20 =22（米/秒） 22×50-890 =1100-890 =210（米） 答：这列动车的车身长210米。 【解析】动车的速度=（隧道的长度-这列动车的长度）÷时间差=22米/秒；这列动车的车身长度=动车的速度×在铁桥上行驶的时间-铁桥的长度。 5．一列火车全长千米，通过一座长千米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用3分，求火车过桥时每分行多少千米。 【答案】解：（+）÷3 =÷3 =（千米/分） 答：火车过桥时每分行千米。 【解析】根据题意可得：火车的长度+大桥的长度=火车从车头上桥到车尾离桥行驶的路程，（火车的长度+大桥的长度）÷时间=火车过桥的速度。 6．一列180米长的火车途经一隧道，看监控记录知火车从进入隧道到完全离开隧道用时43秒，整列火车完全在隧道内的时间为23秒，问：隧道有多长？ 【答案】解：火车的速度：180×2÷（43﹣23） =360÷20 =18（米/秒） 隧道长：18×43﹣180 =774﹣180 =594（米） 答：隧道长594米． 【解析】由“火车从进入隧道到完全离开隧道用时43秒”可知，火车43秒所行的路程是隧道长加车长，再由“整列火车完全在隧道内的时间为23秒”可知，火 车23秒所行的路程是隧道长减车长，由此得出火车行两个车长的路程用了（43﹣23）秒，进而可求得火车的速度，根据“速度×时间=路程”用火车的速度乘 43可求得43秒所行的路程，再减去车长就是隧道的长． 7．一列火车的长度是800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧洞用2分钟；通过第二个隧洞用3分钟；通过这两座隧洞共用6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？ 【答案】解：火车速度：60×1000÷60＝1000（米/分钟） 第一个隧洞长：1000×2－800＝1200（米） 第二个隧洞长：1000×3－800＝2200（米） 两个隧洞相距：1000×6－1200－2200－800＝1800（米） 【解析】先将单位进行换算，即每小时60千米=1000米/分钟，然后分别计算出两个隧洞的长度，所以两个隧洞之间的距离=通过这两座隧洞共用的时间×火车的速度-第一个隧洞的长度-第二个隧洞的长度-火车的长度。 8．一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用80秒钟，桥长150米，火车通过隧道用时30秒，问桥和隧道之间有多少米？ 【答案】解：根据题意，可得 30×15-240 =450-240 =210（米） 80×15=1200（米） 1200-210-150-240=600（米） 答：桥和隧道之间有600米 【解析】隧道长为：（米），火车连续通过隧道和桥所走路程为：（米），1200米包含了隧道，大桥、火车以及隧道和桥之间的距离，所以隧道和桥之间的距离为：（米） 9．一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高 ，结果用了1分36秒.求通过大桥时的速度及车身的长度 . 【答案】解：96×（1+）=120（秒） （864-320）÷（120-52）=8（米/秒） 4×（1+）=5（米/秒） 52×8-320=96（米） 答：通过大桥时的速度是5米/秒，车身的长度是96米。 【解析】1分36秒=96秒，如果通过大桥时速度不变，那么用的时间=96×（1+速度提高几分之几），所以通过隧道时的速度=（大桥的长度-隧道的长度）÷（速度不变时通过大桥用的时间-通过隧道用的时间），所以通过大桥时的速度=通过隧道时的速度×（1+），车身的长度=火车通过隧道用的时间×通过隧道时的速度-隧道的长度。 10．某小学200名学生去参加国庆庆典活动，一共排成4路纵队，已知相邻前后两人之间都相隔1米，队伍的前进速度是6千米/时，那么学生队伍通过一座长101米的桥需要几分钟？ 【答案】解：6千米/时=100米/分 ［（200÷4-1） ×1+101］÷100 =（49+101）÷100 =150÷100 =1.5（分钟） 答：学生队伍通过一座长101米的桥需要1.5分钟。 【解析】200人排成4路纵队，每路纵队200÷4=50（人），每个纵队的队长=间隔长×间隔数=1×（50-1）=49（米），从排头上桥到排尾离开桥，实际总长=桥长+队伍全长=101+49=150（米），再据时间=路程-速度解答即可。 11．某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过288米的隧道用了20秒，这列火车与另一列长128米、速度为22米/秒的火车错车而过，需要多少秒？ 【答案】解：（342-288）÷（23-20） =54÷3 =18（米/秒） 18×23-342 =414-342 =72（米） （72＋128）÷（18＋22） =200÷40 =5（秒） 答：需要5秒。 【解析】需要的时间=（这列火车的车长＋某火车的车长）÷速度和；其中，某列火车的速度=两条隧道 的长度差÷所用的时间差，某列火车的长度=某列火车的速度×通过时用的时间23秒-所行驶的路程。 12．列车通过250米长的隧道用时25秒，通过210米长的隧道用时23秒. 又知列车前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车车身长320米，速度为每秒行驶15米，则列车与货车从相遇到离开需要多长时间? 【答案】解：列车的速度是每秒： （250－210）÷（25－23） ＝40÷2 =20（米） 列车的长度是： 20×25-250 ＝500-250 =250（米） 列车与货车从相遇到离开需要时间： （250＋320）÷（20－15） ＝570÷5 ＝114（秒） 答：列车与货车从相遇到离开需要114秒。 【解析】先求出列车的速度是每秒多少米，再求出列车的长度是多少米，最后求出列车与货车从相遇到离开需要多少时间。 13．已知某一铁路桥长2000米，现有一列火车从桥上通过，小亮和小芳从不同的角度进行了观察：小亮：火车从开始上桥到完全通过共用1分钟，小芳：整个火车完全在桥上的时间为40秒钟，请根据以上信息，求出火车的长度和火车的速度。 【答案】解：设火车的长度为x米 1分钟=60秒 解得：x=400 火车速度为：=40（米/秒） 答：火车的长度是400米，火车的速度是40米/秒。 【解析】本题考查列车过桥问题。解题关键是弄清题意，合适的等量关系，列出方程，弄清桥长、车长以及整列火车过桥通过的路程，整列火车在桥上通过的路程之间的关系。 14．某列车通过342 米的隧道用了23 秒，接着通过288 米的隧道用了20秒，问：这列火车与另一列长128 米、速度为22 米/秒的列车错车而过需要几秒？ 【答案】解：设第一列火车的速度是x米/秒，第一列火车车身长是y米。 由题意可列出方程为：23x=y+342 20x=y+288 解得：x=18 y=72 所以第一列火车的速度是18米/秒，第一列火车车身长是72米。 设第一列火车和第二列火车错车而过需要a秒，则有 18a＋22a＝72＋128 解得：a＝5 答：第一列火车和第二列火车错车而过需要5秒。 【解析】根据题意可知，第一列火车23秒行驶的路程＝342米＋第一列火车车身长，20秒行驶的路程＝288米＋第一列火车车身长，可以设第一列火车的速度是x米/秒，第一列火车车身长是y米，根据以上等量关系可列出方程求得x和y的值；错车而过的意思是两列火车的车头相遇到两列火车的车尾相离的过程，这个过程两列火车行驶的总路程为两列火车车身长的和，根据这个过程列出方程求解即可。 二、流水行船问题 1．某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 【答案】解：从甲地到乙地的顺水速度为 （千米/时），甲、乙两地路程为 （千米），从乙地到甲地的逆水速度为 （千米/时），返回所需要的时间为 （小时）． 【解析】从甲地到乙地的顺水速度=船速+水速，那么甲、乙两地的距离=从甲地到乙地的顺水速度×从上游甲地开往下游乙地共花去的时间，从乙地到甲地的逆水速度=船速-水速，那么从乙地返回甲地需要的时间=甲、乙两地的距离÷从乙地到甲地的逆水速度。 2．光明号渔船顺水而下行200千米要10小时，逆水而上行120千米也要10小时．那么，在静水中航行320千米需要多少小时？ 【答案】解：顺水速度： （千米/时），逆水速度： （千米/时），静水速度： （千米/时），该船在静水中航行320千米需要 （小时）． 【解析】（顺水速度+逆水速度）÷2=船速，那么在静水中航行320千米需要的时间=320÷船速，据此作答即可。 3．乙两港相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆水航行比顺水航行多花了5小时，现在有一艘机帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？ 【答案】解：轮船逆水航行的时间为 （小时），顺水航行的时间为 （小时），轮船逆流速度为 （千米/时），顺流速度为 （千米/时），水速为 （千米/时），所以机帆船往返两港需要的时间为 （小时） 【解析】轮船顺流航行需要的时间=（轮船往返两港需要的时间-逆流航行比顺流航行多用的时间）÷2，轮船逆流航行需要的时间=（轮船往返两港需要的时间+逆流航行比顺流航行多用的时间）÷2，所以（顺水速度+逆水速度）÷2=轮船船速，（顺水速度-逆水速度）÷2=水速，所以这艘机帆船往返一次所需要的时间=两港之间的距离÷这艘机帆船顺流速度+两港之间的距离÷这艘机帆船逆流速度。 4．甲、乙两艘小船，静水中甲船每小时行驶2.2千米，乙船每小时行驶1.4千米，现在甲、乙两艘小船于同一时刻相向出发，甲船从下游上行，乙船从相距18千米的上游下行，两船于途中相遇后，又经过4小时，甲船到达乙船的出发地。水流速度为每小时多少千米？ 【答案】解：18÷(2.2+1.4) =18÷3.6 =5(小时) 2.2-18÷(4+5) =2.2-2 =0.2(千米/时) 答：水流速度为每小时0.2千米。 【解析】甲船的实际速度为甲船的静水速度-水流速度，乙船的实际速度为乙船的静水速度＋水流速度，所以相遇前甲、乙两船的实际速度之和等于静水中两船的速度之和，所以从出发到相遇所用的时间为18÷(2.2+1.4)=5(小时)，因此甲船逆水而行行驶18千米需要4+5=9(小时)，则水流速度为2.2-18÷(4+5)=0.2(千米/时)。 5．商场的自动扶梯均速由下往上运行，两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，从扶梯的一端到达另一端，男孩走了15秒，女孩走了30秒。已知在电梯静止时，男孩每秒走4米，女孩每秒走3米。该自动扶梯长多少米？ 【答案】解：设男孩的逆行前进速度为（4-x）米/秒，女孩的逆行前进速度为（3-x）米/秒。 15×（4-x）=30×（3-x） 60-15x=90-30x 30x-15x=90-60 15x=30 x=30÷15 x=2 15×（4-2）=30（米） 答：该自动扶梯长30米。 【解析】根据题意，两人所走的路程相等，他们都是逆着自动扶梯行驶的方向行走，设自动扶梯的速度为x米/秒，那么男孩的逆行前进速度为（4-x）米/秒，女孩的逆行前进速度为（3-x）米/秒，根据路程=速度×时间，列出方程求出扶梯的速度，再用一人的逆行前进速度乘行走时间，求出扶梯的长度即可，据此解答。 6．甲船在静水中的船速是10千米／时，乙船在静水中的船速是 千米／时．两船同时从 港出发逆流而上，水流速度是 千米／时，乙船到 港后立即返回．从出发到两船相遇用了 小时，问： ， 两港相距多少千米？ 【答案】解：乙船逆水速度：20-4=16（千米/小时），甲船逆水速度：10-4=6（千米/小时）， 两船逆水速度比：16：6=8：3， 所以乙船到B港时甲船行了，乙船顺水速度与甲船逆水速度比：（20+4）：6=4：1， 两船相遇时，乙船行了：（1-）×=， 甲船2小时共行了：1-=， 两港距离：6×2÷=24（千米）。 答：A、B两港相距24千米。 【解析】逆水速度=静水速-水速，顺水速度=静水速+水速。这样先确定两船的逆水速度比，就可以确定乙船到B港时甲船行了全程的几分之几。然后确定乙船顺水速度与甲船逆水速度的比，这样就可以确定两船相遇时甲船行驶了全长的几分之几，然后计算两港之间的距离。 7．甲、乙两船分别在一条河的 、 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行．相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达 地，乙到达 地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 千米．如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔 小时 分，则河水的流速为多少？ 【答案】解：1小时20分=小时， 从第一次相遇到各自到达A、B两地所用的时间：（小时）， 水流速度：1÷÷4=（千米/小时） 答：河水的流速为千米/小时。 【解析】第一次相遇时两船航程相等，所以两船速度相等，即 ，得 ；第一次相遇后两船继续前行，速度仍然相等，所以会同时到达 、 两地，且所用时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，所行的路程也相等；从两船开始返航到第二次相遇，甲、乙两船又共行驶了 、 单程，由于两船的速度和不变，所以所用的时间与从出发到第一次相遇所用时间相同，故与从第一次相遇到各自到达 、 两地所用的时间也相同，所用的时间为： （小时）①；返回时两船速度差为： ②，故 ，得 （千米/时）。 8．一条轮船顺流而下，每时行7.8千米，水流速度为1.8千米／时。现在有甲、乙两条同样的轮船，同时从同一地点反向而行，一段时间后两船先后返回。已知甲、乙两船在时候同时返回到出发点。在这时中，有多少分甲、乙两船前进的方向相同？ 【答案】解：根据题意，可得 轮船顺水速度为7.8千米／时， 逆水速度为：7.8-1.8×2＝4.2（千米/时）。 顺水与逆水所行的时间比为 逆水所行时间（时） 顺水所行时间（时） 设甲船逆水而行时，则乙船先顺水行了时后又返回逆水而行， 则两船同向而行的时间为： （时） （分）。 答：有24分甲、乙两船前进的方向相同 【解析】轮船顺水速度为7.8千米／时，逆水速度为7.8-1.8×2＝4.2（千米/时）。顺水与逆水所行的时间比为逆水所行时间（时）顺水所行时间（时）假设甲船逆水而行时，则乙船先顺水行了时后又返回逆水而行，则两船同向而行的时间为（时）（分）。 9．一轮船在水库中从A地向B地前进，4小时行至 处，遇水库排水，速度增加，前行3 小时又行了 ，遇到船坏了，船顺水流行至 B地还需几小时？ 【答案】解：÷4＝ ÷3＝ 1－－ ＝－ ＝ ÷（－） ＝÷（－） ＝÷ ＝×36 ＝12（小时） 答：船顺水流行至B，还需12小时。 【解析】把从A到B的路程看作单位“1”，根据“4小时行至处”，用除以4，求出船原来的速度，即÷4＝；根据“前行3小时又行了”，用除以3，求出船排水后行的速度，即÷3＝；这时剩下的路程是1－－＝，剩下的路程用船顺水流行，用船排水后的速度减去船原来的速度，求出顺水的速度，最后用剩下的路程除以顺水行驶的速度即可。 10．两河流交汇于点 处， 甲河流水速为 ， 乙河流水速为 ， 一船只在静水中的速度为 ，某次该船只，从甲 河流上游A行驶到交汇处M后再沿乙河流逆流面上到点B，总共行驶了69km，原路返回后， 发现往返所用时间相等， 求此次航行往返总时间。 【答案】解：设甲河流的上游A到交汇处M的路程为km，那么交汇处M到乙河流的路程为km。 往返所用时间相等，有： 解得：x=21 所以往返总用时==15h 答： 此次航行往返总用15h。 【解析】本题主要考查了利用时间等量关系建立方程求解的问题。首先设定未知数，将问题转化为数学表达式，然后根据题目条件建立时间等量关系的方程，最后解方程求得未知数的值，进而求得往返总时间。 11． 一架飞机所带的油最多可以用12小时，飞机顺风每小时飞行1500千米，飞回时逆风，每小时飞行1200千米，飞机最多飞出多少千米就应返回？ 【答案】解：设飞机最多飞出x千米就应返回。 ＋＝12 4x＋5x＝12×6000 9x＝12×6000 9x＝72000 x＝72000÷9 x＝8000 答：飞机最多飞出8000千米就应返回。 【解析】题中的等量关系是：顺风飞行的时间＋逆风飞行时间＝最多飞行时间，根据速度×时间＝路程，都是同一架飞机所以往返的路程相同，据此列比例，设飞机最多飞出x千米就应返回，列比例：＋＝12，解比例，即可解答。 12．甲，乙两个港口相距 400 千米，一艘轮船从甲港顺流而下，20 小时可到达乙港，已知顺水船速是逆水船速的 2倍，有一次，这艘船在山甲港驶向乙港途中遇到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到9个小时，轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？ 【答案】解：顺水船速：400÷20=20（千米/时） 逆水船速：20÷2=10（千米/时） 水速：（20﹣10）÷2=5（千米/时） 顺水速度：逆水速度=20：10=2：1，时间比1：2 晚9小时中顺水时间；9÷（2+1）=3（小时） 顺水行驶距离：3×20=60（千米） 逆水行驶时间：9-3=6（小时） 逆水行驶距离：6×10=60（千米） 多行驶距离：60×2=120（千米） 答：这次航行比正常情况多行驶了120千米。 【解析】先求出顺水船速：400÷20=20千米/时，进而求出逆水船速：20÷2=10千米/时，速度比2：1，突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到9个小时，根据速度比，这9小时顺水3小时，逆水6小时，出这次航行比正常情况多行驶的是顺水3小时逆水6小时的航程和。 13．某船从A地到B地顺水航行，船速是每小时15千米，这条船到达B地后立即逆水返回A地，船速是每小时10千米，结果比从A地到B地的时间多用了2小时，这条船往返AB两地共用了几小时？ 【答案】解：设这条船从A地到B地用x小时。 15x=10（x+2） 15x=10x+20 15x-10x=20 5x=20 x=4 则B到A需要4+2=6（小时） 4+6=10（小时） 答：这条船往返AB两地共用了10小时。 【解析】首先设这条船从A地到B地用x小时，根据路程=速度×时间，以及往返路程相等，得出等量关系 15x=10（x+2），解得x的值，因为这条船从B地到A地比这条船从A地到B地多用了2小时，所以可以得出这条船从B地到A地用时，这条船从A地到B地用时加上这条船从B地到A地用时即为这条船往返AB两地总用时。 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 行程问题（二）—— 火车过桥、流水行船 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.理解火车过桥问题的核心特点（火车自身长度不可忽略），掌握不同情境下（过桥、过隧道、过静止物体、两列火车相遇/追及）的路程计算方法； 2.掌握流水行船问题中“船速”“水速”“顺水速度”“逆水速度”的概念及相互关系，能推导并灵活运用基本公式； 3.学会用线段图分析复杂行程过程，明确路程、速度、时间的对应关系，提升解决实际问题的能力； 4.渗透“数形结合”“转化”“方程”等数学思想，培养逻辑思维和综合应用能力。 知识梳理 知识点一、火车过桥问题 1. 基本概念 火车过桥（或过隧道、过静止物体）时，行驶的总路程不仅包括桥（隧道、物体）的长度，还需加上火车自身的长度。即：总路程 = 桥长（隧道长/物体长）+ 火车车身长。 2. 核心公式 根据行程问题基本公式“路程 = 速度×时间”，可得： （1）火车过桥总时间 =（桥长 + 火车车身长）÷ 火车速度 （2）火车速度 =（桥长 + 火车车身长）÷ 过桥总时间 （3）桥长（或火车车身长） = 火车速度×过桥总时间 - 火车车身长（或桥长） 3. 典型情况分析 情境 路程计算 示例 火车过静止物体（如电线杆、人） 总路程 = 火车车身长（物体长度忽略不计） 火车长200米，以15米/秒速度过电线杆，需几秒？（路程=200米，时间=200÷15≈13.3秒） 火车过桥/隧道 总路程 = 桥长（隧道长）+ 火车车身长 桥长500米，火车长100米，速度20米/秒，过桥需多久？（路程=500+100=600米，时间=600÷20=30秒） 两列火车相遇（相向而行） 总路程 = 甲车车身长 + 乙车车身长 甲车长150米（速度20米/秒），乙车长200米（速度15米/秒），相向而行，从车头相遇到车尾离开需几秒？（总路程=150+200=350米，速度和=20+15=35米/秒，时间=350÷35=10秒） 两列火车追及（同向而行） 总路程 = 快车车身长 + 慢车车身长 快车长200米（速度30米/秒），慢车长150米（速度20米/秒），同向行驶，快车从追上慢车到完全超过需几秒？（总路程=200+150=350米，速度差=30-20=10米/秒，时间=350÷10=35秒） 4. 解题关键 （1）画图分析：用线段图表示火车行驶过程，明确“车头开始到车尾结束”的总路程； （2）区分“完全通过”与“完全在桥上”：“完全通过”路程=桥长+车身长，“完全在桥上”路程=桥长-车身长（需注意题目关键词）； （3）单位统一：速度、时间、路程的单位需一致（如米/秒、千米/小时需换算）。 知识点二、流水行船问题 1. 基本概念 （1）船速：船在静水中的行驶速度（即自身动力速度，与水速无关）； （2）水速：水流的速度； （3）顺水速度：船顺着水流方向行驶的实际速度（船速+水速）； （4）逆水速度：船逆着水流方向行驶的实际速度（船速-水速）。 2. 核心公式 （1）顺水速度 = 船速 + 水速 （2）逆水速度 = 船速 - 水速 （3）推导公式： ①船速 =（顺水速度 + 逆水速度）÷ 2（消去水速，求静水速度） ②水速 =（顺水速度 - 逆水速度）÷ 2（消去船速，求水流速度） 3. 典型情况分析 情境 公式应用 基本顺水/逆水行程 顺水路程 = 顺水速度×顺水时间；逆水路程 = 逆水速度×逆水时间 往返路程问题（同一段水路） 往返总路程 = 顺水路程 + 逆水路程（通常两段路程相等，均为水路长度） 相遇/追及（流水行船中） 两船相向而行（顺水+逆水）：相遇时间 = 总路程÷（甲顺水速度 + 乙逆水速度）； 两船同向而行（顺水/逆水）：追及时间 = 路程差÷（快船速度 - 慢船速度）（水速对同向速度差无影响，可抵消） 4. 解题关键 （1）明确“速度”类型：看清题目中给出的是“顺水速度”“逆水速度”还是“船速”“水速”，避免混淆； （2）抓不变量：同一段水路中，“水路长度”通常不变，可作为等量关系列方程（如顺水路程=逆水路程）； （3）特殊情况：若题目中未提及水速，默认水速为0（即静水行驶，速度=船速）。 知识点三、解题方法与技巧总结 1.画图法：用线段图标注火车车身长、桥长、行驶方向，或船的行驶路程、水流方向，直观呈现数量关系； 2.公式法：熟记核心公式，灵活变形（如已知桥长、时间、速度，求火车长：火车长=速度×时间-桥长）； 3.方程法：设未知量（如船速、水速、火车长），根据路程相等或时间关系列方程求解（适合复杂问题）； 4.单位换算：注意速度单位（如1米/秒=3.6千米/小时），时间单位（如分钟换算为小时）需统一。 例题讲解 一、火车过桥问题 【例题1】一列火车长200米，以每分钟1200米的速度通过一座长1000米的大桥。从车头进桥到车尾离桥共需要多少分钟？ 【例题2】一列火车通过396米的大桥需要26秒，通过252米的隧道需要18秒，这列火车车身长是多少米？ 【例题3】小明沿着长为 米的桥面步行．当他走到桥头 时，一列迎面驶来的火车车头恰好也到达桥头 ． 秒钟后，小明走到桥尾 ，火车的车尾恰好也到达桥尾 ．已知火车的速度是小明速度的 倍，则火车通过这座桥所用的时间是多少秒？ 【例题4】346名学生排成2列等长的纵队去博物馆参观，队伍的行进速度为32米/分，前后两人相距1米。现在队伍要通过一座长692米的桥，整个队伍从上桥到下桥共需要多少分钟? 二、流水行船问题 【例题1】一艘船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。已知水速为每小时3千米。这艘船从乙港返回甲港需要多少小时？ 【例题2】甲、乙两港间的水路长208千米，一只船从甲港开往乙港，顺水8小时到达，从乙港返回甲港，逆水13小时到达。求船在静水中的速度和水流速度。 【例题3】甲、乙两船的船速分别为每小时17千米和每小时13千米．两船先后从同一港口顺水开出，乙船比甲船早出发 3小时，如果水速是每小时 3千米，问：甲船开出后几小时能追上乙船？ 【例题4】一艘客船从A港驶往B港顺水下行，每小时船行28千米，到达B港后，又逆水上行回到A港。逆水上行比顺水下行多用2小时。已知水流速度为每小时4千米，求AB两港相距多少千米？（提示：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度） 考点练习 一、火车过桥问题 1．一个车队以5米/秒的速度缓缓通过一座长200米的大桥，共用145秒.已知每辆车长5米，两车间隔8米.问：这个车队共有多少辆车？ 2．一列火车驶过长900米的铁路桥，从车头上桥到车尾离桥共用1分25秒钟，紧接着列车又穿过一条长1800米的隧道，从车头进隧道到车尾离开隧道用了2分40秒钟，求火车的速度及车身的长度？ 3．某列火车的车头长20m，有6节车厢，每节车厢长25m，通过一座长910m的大桥，从车头上桥到车尾离桥共经过45秒。这列火车平均每秒行驶多少米？ 4．一列动车通过一座长 890 米的铁桥用了 50 秒，紧接着穿过一条 1330 米隧道，用了70 秒。这列动车车身长 多少米？（这里的时间均指动车车头上桥或进隧道口直至车尾离开的时间） 5．一列火车全长千米，通过一座长千米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共用3分，求火车过桥时每分行多少千米。 6．一列180米长的火车途经一隧道，看监控记录知火车从进入隧道到完全离开隧道用时43秒，整列火车完全在隧道内的时间为23秒，问：隧道有多长？ 7．一列火车的长度是800米，行驶速度为每小时60千米，铁路上有两座隧洞.火车通过第一个隧洞用2分钟；通过第二个隧洞用3分钟；通过这两座隧洞共用6分钟，求两座隧洞之间相距多少米？ 8．一列货车全长240米，每秒行驶15米，全车连续通过一条隧道和一座桥，共用80秒钟，桥长150米，火车通过隧道用时30秒，问桥和隧道之间有多少米？ 9．一列火车通过长320米的隧道，用了52秒，当它通过长864米的大桥时，速度比通过隧道时提高 ，结果用了1分36秒.求通过大桥时的速度及车身的长度 . 10．某小学200名学生去参加国庆庆典活动，一共排成4路纵队，已知相邻前后两人之间都相隔1米，队伍的前进速度是6千米/时，那么学生队伍通过一座长101米的桥需要几分钟？ 11．某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过288米的隧道用了20秒，这列火车与另一列长128米、速度为22米/秒的火车错车而过，需要多少秒？ 12．列车通过250米长的隧道用时25秒，通过210米长的隧道用时23秒. 又知列车前方有一辆与它行驶方向相同的货车，货车车身长320米，速度为每秒行驶15米，则列车与货车从相遇到离开需要多长时间? 13．已知某一铁路桥长2000米，现有一列火车从桥上通过，小亮和小芳从不同的角度进行了观察：小亮：火车从开始上桥到完全通过共用1分钟，小芳：整个火车完全在桥上的时间为40秒钟，请根据以上信息，求出火车的长度和火车的速度。 14．某列车通过342 米的隧道用了23 秒，接着通过288 米的隧道用了20秒，问：这列火车与另一列长128 米、速度为22 米/秒的列车错车而过需要几秒？ 二、流水行船问题 1．某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时，水速每小时3千米，问从乙地返回甲地需要多少时间？ 2．光明号渔船顺水而下行200千米要10小时，逆水而上行120千米也要10小时．那么，在静水中航行320千米需要多少小时？ 3．乙两港相距360千米，一艘轮船往返两港需35小时，逆水航行比顺水航行多花了5小时，现在有一艘机帆船，静水中速度是每小时12千米，这艘机帆船往返两港需要多少小时？ 4．甲、乙两艘小船，静水中甲船每小时行驶2.2千米，乙船每小时行驶1.4千米，现在甲、乙两艘小船于同一时刻相向出发，甲船从下游上行，乙船从相距18千米的上游下行，两船于途中相遇后，又经过4小时，甲船到达乙船的出发地。水流速度为每小时多少千米？ 5．商场的自动扶梯均速由下往上运行，两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，从扶梯的一端到达另一端，男孩走了15秒，女孩走了30秒。已知在电梯静止时，男孩每秒走4米，女孩每秒走3米。该自动扶梯长多少米？ 6．甲船在静水中的船速是10千米／时，乙船在静水中的船速是 千米／时．两船同时从 港出发逆流而上，水流速度是 千米／时，乙船到 港后立即返回．从出发到两船相遇用了 小时，问： ， 两港相距多少千米？ 7．甲、乙两船分别在一条河的 、 两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行．相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达 地，乙到达 地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行 千米．如果从第一次相遇到第二次相遇时间相隔 小时 分，则河水的流速为多少？ 8．一条轮船顺流而下，每时行7.8千米，水流速度为1.8千米／时。现在有甲、乙两条同样的轮船，同时从同一地点反向而行，一段时间后两船先后返回。已知甲、乙两船在时候同时返回到出发点。在这时中，有多少分甲、乙两船前进的方向相同？ 9．一轮船在水库中从A地向B地前进，4小时行至 处，遇水库排水，速度增加，前行3 小时又行了 ，遇到船坏了，船顺水流行至 B地还需几小时？ 10．两河流交汇于点 处， 甲河流水速为 ， 乙河流水速为 ， 一船只在静水中的速度为 ，某次该船只，从甲 河流上游A行驶到交汇处M后再沿乙河流逆流面上到点B，总共行驶了69km，原路返回后， 发现往返所用时间相等， 求此次航行往返总时间。 11． 一架飞机所带的油最多可以用12小时，飞机顺风每小时飞行1500千米，飞回时逆风，每小时飞行1200千米，飞机最多飞出多少千米就应返回？ 12．甲，乙两个港口相距 400 千米，一艘轮船从甲港顺流而下，20 小时可到达乙港，已知顺水船速是逆水船速的 2倍，有一次，这艘船在山甲港驶向乙港途中遇到突发事件，反向航行一段距离后，再掉头驶向乙港，结果晚到9个小时，轮船的这次航行比正常情况多行驶了多少千米？ 13．某船从A地到B地顺水航行，船速是每小时15千米，这条船到达B地后立即逆水返回A地，船速是每小时10千米，结果比从A地到B地的时间多用了2小时，这条船往返AB两地共用了几小时？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $