第07讲 填数游戏（知识梳理+例题讲解+考点练习）-三年级奥数培优讲义

第07讲 填数游戏 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.经历填数游戏活动，初步提高分析推理能力。 2.在探索、尝试、交流等活动中，体会填数游戏的乐趣，激发学习兴趣。 知识梳理 知识点一、幻方 1.概念：在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等，这样的方格表称为幻方；其中，每行、每列所包含的方格数称为幻方的“阶数”。 2.幻方题分类： （1）限制填入数字：给出需要填入的各个数字，或已填入一个/几个数字。 （2）无限制填入数字：对填入的数字没有特殊要求，填对即可。 3.解题方法： （1）累加法：通过累加若干个“幻和”（每行/列/对角线的和），计算每个位置上数字的重数，从而求出“幻和”及关键位置（如中心格、角格等）的数字。 （2）枚举法：求出“幻和”和关键位置数字后，结合枚举尝试完成填写，过程中需从特殊数字（如最大数、最小数）和特殊位置（如交叉点、端点）入手。 （3）比较法：观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，通过比较它们的共同部分与不同部分，直接填出某些位置的数字。 知识点二、数阵图 1.概念：把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，称为数阵图。 2.分类： （1）封闭型数阵图 （2）辐射型数阵图 （3）复合型数阵图 3.数阵图拓展：在三年级数阵图初步的基础上，继续学习数阵图问题的解题方法。其解题方法与幻方一致，主要包括累加法、枚举法、比较法等（具体方法可参考幻方解题方法）。 例题讲解 一、幻方 【例题1】在如图的空格里填数，使每横行、竖列和对角线上的三个数之和等于18。 【例题2】在图中填上适当的数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数之和都相等，则“？”处应填的数为 。 【例题3】图中的汉字各代表一个数，且每个正方形四个角上的数加起来等于20，则“营”代表 。 二、数阵图 【例题1】把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的里，使每条直线上的和都等于12。 【例题2】把1～7填入下图中，使每条线段上三个○内的数的和相等。 【例题3】把4~9填入下图中，使每条线上三个数的和相等，都是18。 【例题4】将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。 【例题5】将数字1、3、5、7、9、11、13填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。 考点练习 一、幻方 1．在如图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N＝ 。 2．在如图的空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填好一个），使每一横行、竖列及对角线上的三数之和都等于21。 9 3．如图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，那么图中右上格应填什么数？ 2 ？ 9 8 4．把1，3，5，7，11，17这六个数字分别填入图中的方格内，每个方格中只能填一个数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数的和相等。 5．如图，要使每一行、每一列、两条对角线上的三个数的和都是27，、、、、、、应各是多少？ 5 6 6．在下面的4×4方格表中，每行、每列和两条对角线上的4个数之和都相等，那么“希望之星”4个字各代表 。 7．将九个连续自然数填入如图空格图中，制成一个三阶幻方，使其“幻和”为30。 二、数阵图 1．把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈填完整） 2．把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的里，使每条线上三个数的和都相等。 3．下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？ 4．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于10，那么圆圈B中应填的数是多少？ 5．将1～6填入如图的〇中，要求四条直线上的数字之和都等于10。 6．将1～8这八个自然数分别填入如图中的八个〇内，使四边形每条边上的三数之和都相等且尽可能大。 7．把1~8八个数字分别填入图中圆圈内，要求左右两边两个环上五个数的和都等于21，其中数字“2”已经填好。 8．将1~9分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 。 9．将填入如图中的9个小圆圈内，使得每一个大圆及每条直线上三个数之和全部相等。 10．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求在每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，求 A。 11．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 填数游戏 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.经历填数游戏活动，初步提高分析推理能力。 2.在探索、尝试、交流等活动中，体会填数游戏的乐趣，激发学习兴趣。 知识梳理 知识点一、幻方 1.概念：在正方形方格表的每个方格内填入数，使得每行、每列和两条对角线上的各数之和相等，这样的方格表称为幻方；其中，每行、每列所包含的方格数称为幻方的“阶数”。 2.幻方题分类： （1）限制填入数字：给出需要填入的各个数字，或已填入一个/几个数字。 （2）无限制填入数字：对填入的数字没有特殊要求，填对即可。 3.解题方法： （1）累加法：通过累加若干个“幻和”（每行/列/对角线的和），计算每个位置上数字的重数，从而求出“幻和”及关键位置（如中心格、角格等）的数字。 （2）枚举法：求出“幻和”和关键位置数字后，结合枚举尝试完成填写，过程中需从特殊数字（如最大数、最小数）和特殊位置（如交叉点、端点）入手。 （3）比较法：观察数阵图中相关联的“幻和”之间的关系，通过比较它们的共同部分与不同部分，直接填出某些位置的数字。 知识点二、数阵图 1.概念：把一些数字按照一定要求排列成相应的图形，称为数阵图。 2.分类： （1）封闭型数阵图 （2）辐射型数阵图 （3）复合型数阵图 3.数阵图拓展：在三年级数阵图初步的基础上，继续学习数阵图问题的解题方法。其解题方法与幻方一致，主要包括累加法、枚举法、比较法等（具体方法可参考幻方解题方法）。 例题讲解 一、幻方 【例题1】在如图的空格里填数，使每横行、竖列和对角线上的三个数之和等于18。 【答案】 【分析】幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。3×3形式的叫做三阶幻方，其中有中心数也就是幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和（每行、列和对角线上的数字和）÷3。即中间的数6。再根据已知三个数的和以及其中两个数用连减的方式即可得出其他字母代表的数字。 【详解】18÷3＝6 【例题2】在图中填上适当的数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数之和都相等，则“？”处应填的数为 。 【答案】24 【分析】如图，假设第一行第三列的空格里面的数为A，因此对角线的和为：A＋？＋25，第三列的和为：A＋28＋21，根据题目说的每行、每列及两条主对角线上的三个数之和都相等，因此可以得到A＋？＋25＝A＋28＋21。据此即可求出“？”处应填的数为多少。 【详解】如图可知：A＋？＋25＝A＋28＋21，即？＋25＝28＋21， 因此“？”为：28＋21－25 ＝49－25 ＝24 因此“？”处应填的数为24。 【例题3】图中的汉字各代表一个数，且每个正方形四个角上的数加起来等于20，则“营”代表 。 【答案】9 【分析】通过观察，含有三个已知数字的正方形为解题入口。左下角的正方形中，“学”是20连续减去7，5，2的差，接下来，左上角正方形中，“数”是20连续减去8，5，6的差。以此类推，在右上角、右下角、整体三个正方形中，分别得到夏＋令＝7①，令＋营＝13②，夏＋营＝12③。三个式子相加再除以2得到夏＋令＋营＝16④，那么“营”所代表的数字，用第四个式子减去第一个式子即可得到。 【详解】“学”： “数”： 夏＋令＝7① 令＋营＝13② 夏＋营＝12③ （①＋②＋③）÷2： （夏＋令＋令＋营＋夏＋营）÷2 ＝ 得到   夏＋令＋营＝16④ ④－①：（夏＋令＋营）－（夏＋令）＝ 得到   营＝9 故“营”代表9。 二、数阵图 【例题1】把1、2、3、4、5、6、7七个数填入下图中的里，使每条直线上的和都等于12。 【答案】见详解 【分析】 我们可以这样想：七个数的总和是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28，每条直线上的和是12，三条直线上数的总和是12＋12＋12＝36，36－28＝8，由于计算三条直线上三个数的总和时，中间里的数多算了两次，就多出了8，8÷2＝4，所以中间里应该填4。12－4＝8，每条直线上两头的两个里的和为8，除4外，把其余6个数配成对，1＋7＝8，2＋6＝8，3＋5＝8，1和7、2和6、3和5就分别填在每条直线的两端。 【详解】 由分析可得： 【例题2】把1～7填入下图中，使每条线段上三个○内的数的和相等。 【答案】见详解 【分析】1～7的和为28先确定中心数，如果中心数是1，那么3条线段的上的总和就是28＋1＋1＝30，再使每条线段上的和是10即可。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28 令中心数为1，三条线段的总和为：28＋1＋1＝30 每条线段上的和是30÷3＝10 因为10＝1＋2＋7＝1＋3＋6＝1＋4＋5 所以这个图是：    【例题3】把4~9填入下图中，使每条线上三个数的和相等，都是18。 【答案】见详解 【分析】假设三个角上的数是a、b、c，则有：4＋5＋6＋7＋8＋9＋a＋b＋c＝18×3，39＋a＋b＋c＝54，a＋b＋c＝15，4＋5＋6＝15，4＋5＋9＝18，4＋6＋8＝18，5＋6＋7＝1，满足条件；其他4＋5＋7＝16等都大于15，不可以，据此解答。 【详解】由分析可得： 【例题4】将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。 【答案】见解析 【分析】八个〇中填入的是1～8，因此可以先求出这8个数的和，1＋2＋3＋……＋8＝（1＋8）×8÷2＝9×8÷2＝36。小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，因此可以求出小正方形的四个顶点数之和为：36÷（2＋1）＝12。大正方形每条边上的三个数之和都相等，因此可以求出大正方形每条边上的三个数之和为：（36＋12）÷4＝12。因为1＋2＋3＋6＝12，4＋5＋7＋8＝24，因此小正方形的四个顶点数分别为1、2、3、6，大正方形的四个顶点数分别为4、5、7、8，然后进行尝试即可。 【详解】如图： 【例题5】将数字1、3、5、7、9、11、13填入图中的小圆圈内，使得每个圆周上的3个数之和与每条直线上的3个数之和都相等。 【答案】见详解 【分析】将三条直线、两个圆上的数字都加起来，圆上的每个数字都算了2次，而中间的数字算了3次，即1、3、5、7、9、11、13这7个数的和的2倍加上中间小圆圈的数字等于和的5倍。计算可得，这个和为21，中间小圆圈数字是7。据此即可填出其他圆圈的数字。 【详解】设相等的和为A，中间的圆圈的数字是m， 将三条直线、两个圆上的数字都加起来，有： 5A＝2×（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13）＋m 5A＝98＋m 经过尝试可知：A＝21，m＝7； 所以中间小圆圈的数字是7，3个数字之和是21； 即有：1＋13＋7＝3＋11＋7＝5＋9＋7＝1＋9＋11＝5＋13＋3； 故填数如下： 或 考点练习 一、幻方 1．在如图的九个方格里，每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，则N＝ 。 【答案】18 【分析】既然每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，通过第一列的三个数，可以得到幻和是30，然后可以逐个确定其它位置上的数。 【详解】 如图所示： 8 18 4 6 10 14 16 2 12 所以。 2．在如图的空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填好一个），使每一横行、竖列及对角线上的三数之和都等于21。 9 【答案】 如图所示：（答案不唯一） 4 12 5 8 7 6 9 2 10 【分析】每一横行、竖列及对角线上的三数之和都等于21，因此中间数为：21÷3＝7，右上角的数为：21－9－7＝5。另外题目要求填入不大于12的数，也就是小于或等于12的数可填。9在三条直线上，21－9＝12，12＝1＋11＝2＋10＝4＋8＝5＋7，即9与12、3、6不能在一条线上。试填即可。 【详解】如图所示：（答案不唯一） 4 12 5 8 7 6 9 2 10 3．如图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，那么图中右上格应填什么数？ 2 ？ 9 8 【答案】6 【分析】先根据左上角的数为2，右下角的数为8，可以知道中间数为：（2＋8）÷2＝5，因此每行每列的和为：5×3＝15。第二行第一列的数为9，中间数为5，因此可以求出第二行第三列的数。最后再用第三列的和减去其余两个数，即可求出右上格应填什么数。 【详解】中间数：（2＋8）÷2＝5； 每行每列的和：5×3＝15； 第二行第三列的数：15－9－5＝1； 右上格的数：15－1－8＝6 答：右上格应填6。 4．把1，3，5，7，11，17这六个数字分别填入图中的方格内，每个方格中只能填一个数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数的和相等。 【答案】见详解 【分析】将9个数相加的和是81，这9个数填在方框里面，使每行都相等，则每行的和是27。 两条主对角线有15和9两个数，和是27，则对角线上另外一个数（左下角）是3。 从上往下数第三行，有3和13两个数，则最后一个数（右下角）是11。 从左往右数第二列，有13和9两个数，则最后一个数是5。 从左往右数第三列，有15和11两个数，则最后一个数是1。 同理往下分别得出其他的数。 【详解】1＋3＋5＋7＋11＋17＋13＋9＋15＝81 81÷3＝27 27－（15＋9） ＝27－24 ＝3 27－（13＋3） ＝27－16 ＝11 27－（13＋9） ＝27－22 ＝5 27－（15＋11） ＝27－26 ＝1 27－（5＋15） ＝27－20 ＝7 将得出的数填入方框中，如下图： 5．如图，要使每一行、每一列、两条对角线上的三个数的和都是27，、、、、、、应各是多少？ 5 6 【答案】；；；；；； 【分析】幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。3×3形式的叫做三阶幻方，其中有中心数也就是幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和（每行、列和对角线上的数字和）÷3。 中间的数是字母C，即用27÷3即可得出，再根据已知三个数的和以及其中两个数用连减的方式即可得出其他字母代表的数字。 【详解】中心C：27÷3＝9 E：27－5－9＝13 A：27－13－6＝8 B：27－8－5＝14 G：27－9－8＝10 F：27－13－10＝4 D：27－5－10＝12 答：；；；；；； 6．在下面的4×4方格表中，每行、每列和两条对角线上的4个数之和都相等，那么“希望之星”4个字各代表 。 【答案】69、91、86、18 【分析】通过观察可知，每行每列和对角线的4个数的个位数字分别是6、1、9、8，且每行或每列的个位数字不重复出现，同理，每行每列和对角线的4个数的十位数字也分别是6、1、9、8，且每行或每列的十位数字不重复出现；据此可知，从第二行、第二列、第三列可知，“希”和“望”的个位数字分别是9、1，十位数字是分别是6、9，所以“希”和“望”表示69、91；从第三行、第二列、第三列可知，“之”和“星”的个位数字分别是6、8，十位数字分别是8、1，所以“之”和“星”表示86、18。 【详解】根据分析可知，“希望之星”4个字各代表69、91、86、18。 7．将九个连续自然数填入如图空格图中，制成一个三阶幻方，使其“幻和”为30。 【答案】 如图，答案不唯一 13 6 11 8 10 12 9 14 7 【分析】先可以求出中间数为：30÷3＝10，因此这个幻方中最小的数为：10－4＝6，最大的数为：10＋4＝14，接下来按照幻方的填写口诀即可完成。 【详解】如图，答案不唯一 13 6 11 8 10 12 9 14 7 二、数阵图 1．把1~6这6个数填入下面的圆圈中，使得每条直线上3个数的和都相等。（只需把空白圆圈填完整） 【答案】见详解 【分析】每条直线上的3个数的和都相等，且3个数中已经有一个7，则只要把1~6这6个数分成三组，每组的两个数的和相等即可，据此解答。 【详解】因为，所以，，，把每组的两个数填在每条直线的两个空白圈内即可（答案不唯一）。 2．把1、3、5、7、9、11、13这七个数填入下图的里，使每条线上三个数的和都相等。 【答案】见详解 【分析】由图可知，中间的数是重叠数，在三条线中被加了3次，而其他数都加了1次，所填数的和为1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＝49，再加上2个重叠数就是三条线上数的和，而每条线上数的和都相等，所以三条线的和一定是3的倍数，49＋1×2＝51，49＋7×2＝63，49＋13×2＝75，所以中间的数可能是1、7、13，然后去掉中间的数，把余下的两个数分成一组，使每组和相等。 【详解】 或或 3．下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？ 【答案】9 【分析】封闭型数阵图，根据线和相等，先求出B，然后求出线和，再求A和C。 【详解】 C＝ 4．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于10，那么圆圈B中应填的数是多少？ 【答案】1 【分析】封闭型数阵图，线和是10，先求A，再求B，再求C。 【详解】A= B= 5．将1～6填入如图的〇中，要求四条直线上的数字之和都等于10。 【答案】见详解 【分析】观察上图可知，四条直线上的数字和都等于10，由于4＋6＝10，所以最下面直线上的两个数是4和6，还剩下1、3、2、5四个数，只能是6＋1＋3＝10，4＋1＋5＝10，3＋2＋5＝10，据此填写即可解答。 【详解】 6．将1～8这八个自然数分别填入如图中的八个〇内，使四边形每条边上的三数之和都相等且尽可能大。 【答案】见详解 【分析】根据题意可知，每边上的三数之和相等，假设四个角上的数为A、B、C、D，每边上的三数之和等于m，则1＋2＋…＋8＋（A＋B＋C＋D）＝4m，据此求出m的最大值，然后根据m的值填写各边上的数，据此即可解答。 【详解】假设四个角上的数为A、B、C、D，每边上的三数之和等于m。 1＋2＋…＋8＋（A＋B＋C＋D）＝4m 36＋（A＋B＋C＋D）＝4m m＝9＋（A＋B＋C＋D）÷4 5＋6＋7＋8＝26 26÷4＝6……2 3＋6＋7＋8＝24 24÷4＝6 所以m的最大值为9＋6＝15 8＋7＝15，所以8和7不能在一边上，应该放在对角上，6和3也放在对角上。 8＋6＋1＝15 8＋3＋4＝15 7＋6＋2＝15 7＋3＋5＝15 7．把1~8八个数字分别填入图中圆圈内，要求左右两边两个环上五个数的和都等于21，其中数字“2”已经填好。 【答案】见解析 【分析】由题意可知，左右两边两个环上所有数字和为21×2＝42；因为中间两个数字重复计算，所以中间两数之和为21×2－（1＋2＋…＋8）＝6，两数分别为1和5，右环上剩下两数和为21－（1＋2＋5）＝13，只能为6和7，于是左环三个数为3，4，8。其中（3，4，8），（1，5），（6，7）各组中数字可相互交换位置。 【详解】21×2－（1＋2＋…＋8） ＝42－36 ＝6 中间两数分别为1和5，填空如下： （答案不唯一） 8．将1~9分别填入下图中的○中，使得3条线上的4个数的和都相等，这个和最大是 。 【答案】23 【分析】从图中分析可知，中间的三个数加了两次，这3条线上的4个数的和都相等，也就是每条线4个数的和×3＝1到9个数的总和＋中间的三个数。1到9个数的总和是45，那么最大的情况就是这三个数的和最大时候。即这三个数是7、8、9时，和最大为24。则每条线4个数的和＝（1到9个数的总和＋中间的三个数）÷3。 【详解】1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋（7＋8＋9）＝69 69÷3＝23 则这个和最大是23。 9．将填入如图中的9个小圆圈内，使得每一个大圆及每条直线上三个数之和全部相等。 【答案】见详解（答案不唯一） 【分析】观察可得，每条直线上三个数分别是，根据等差数列求和公式即可求出它们的和，这个和除以3即为每一个大圆及每条直线上三个数之和。然后再结合“最大配最小”的原则即可填空。 【详解】（1＋9）×9÷2 ＝10×9÷2 ＝90÷2 ＝45 45÷3＝15 15＝1＋9＋5＝2＋6＋7＝3＋4＋8 （答案不唯一） 10．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求在每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，求 A。 【答案】19 【分析】根据题意，图中含有中心圆圈内的数的所有直线的两边的数之和相等；进而用A表示出其他的数，列式计算即可。 【详解】    根据题意，每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个的平均数， 所以图中含有数c的所有直线的两边的数之和相等，所以 b＝15×2－13 ＝30－13 ＝17 d＋17＝13＋A，因此d＝A－4； 15＋e＝13＋A，因此e＝A－2 2d＝13＋e 2（A－4）＝13＋A－2 解得：A＝19    11．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？ 【答案】 【分析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，由内往外，有重复计算三次的，重复计算两次的，只计算一次的，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中。 【详解】13×4＋（12＋11＋10＋9）×3＋（8＋7＋6＋5）×2＋（4＋3＋2＋1） ＝52＋126＋52＋10 ＝240 答：和最大是多少是240。 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $