第07讲 复合应用题（知识梳理+例题讲解+考点练习）-五年级奥数培优讲义

第07讲 复合应用题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握复合应用题的解题步骤，学会审题、分析数量关系、列式计算和验算。 2.熟练运用常见数量关系（如和差倍、行程、年龄问题等）解决多步运算的实际问题。 3.提高逻辑推理能力，能通过画图、假设、逆推等方法分析复杂条件。 4.培养一题多解思维，灵活运用不同方法解决同一类问题。 5.规避常见错误，如忽略隐藏条件、计算失误等，提升解题准确率。 知识梳理 知识点一、解题的基本步骤与策略 1.审题： 仔细读题，找出已知条件和所求问题。圈点关键词句，明确题意。 2.分析数量关系： （1）找中间问题： 复合应用题往往需要先解决一个或多个“中间问题”，才能最终解决所求问题。 （2）画线段图/示意图： 这是解决复合应用题最直观、有效的方法，能帮助理清各数量之间的关系（尤其适用于和差倍、行程、年龄问题等）。 （3）列表法： 对于条件较多、关系复杂的题目，可以通过列表来整理信息。 3.确定解题方法： 根据分析的数量关系，选择合适的运算方法，确定先算什么，再算什么，最后算什么。 4.列式计算： 分步列式或综合算式（根据题目要求和自身能力），确保计算准确。 5.验算与作答： 检查计算是否正确，结果是否符合题意，最后写出完整的答语。 知识点二、常见考点类型及解题关键 1.一般复合应用题 （1）核心考点： 掌握加减乘除四则运算的意义，能熟练运用基本数量关系（如：部分量与总量、单价数量总价、速度时间路程、工效时间工作总量等）解决多步问题。 （2）解题关键： 从问题入手（分析法）或从条件入手（综合法），找出隐藏的中间问题。 （3）例题特征： 题目中没有明显的“和差倍”等标志性词语，但需要几步运算才能解决。 2.归一问题与归总问题 （1）归一问题： ①核心考点：先求出单一量（一份数），再以单一量为标准，求出所要求的数量。 ②解题关键：“照这样计算”是归一问题的标志。 （2）归总问题： ①核心考点：先求出总数量（总数），再根据总数量和其他条件求出所要求的数量。 ②解题关键：先求“总量”是关键。 3.和差问题的拓展 （1）核心考点： 已知几个数的和与差，求各数。 （2）解题关键： ①基本公式：(和 + 差) ÷ 2 = 较大数；(和 - 差) ÷ 2 = 较小数。 ②对于三个量的和差，可以先转化为两个量的和差问题。画线段图帮助理解。 4.和倍问题与差倍问题的拓展 （1）核心考点： 已知几个数的和（或差）以及它们之间的倍数关系，求各数。 （2）解题关键： ①和倍公式： 和 ÷ (倍数 + 1) = 较小数（1倍数）；较小数 × 倍数 = 较大数（几倍数）。 ②差倍公式： 差 ÷ (倍数 - 1) = 较小数（1倍数）；较小数 × 倍数 = 较大数（几倍数）。 ③找准“1倍数”，画线段图是解决此类问题的法宝。可能涉及“几倍多几”或“几倍少几”的情况，需先调整和或差。 5.年龄问题 （1）核心考点： 两个人的年龄差不变；两个人的年龄同时增加或减少相同的岁数。 （2）解题关键： 抓住“年龄差不变”这一核心，结合和倍、差倍或和差问题的方法求解。 6.行程问题 （1）核心考点： 理解速度、时间、路程三者之间的关系（速度×时间=路程）。 （2）相遇问题： ①特征：两人（或物体）从两地出发，相向而行。 ②等量关系：总路程 = 速度和 × 相遇时间；速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间；相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和。 （3）追及问题： ①特征：两人（或物体）同向而行，一快一慢，快的追慢的。 ②等量关系：追及路程（路程差）= 速度差 × 追及时间；速度差 = 追及路程 ÷ 追及时间；追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差。 （4）解题关键： 分析清楚运动方向（相向、同向、相背），找出路程和（相遇）或路程差（追及）。 7.还原问题（逆推问题） （1）核心考点： 已知一个数经过若干次运算后的结果，求原来的数。 （2）解题关键： 从最后的结果出发，按运算顺序倒推回去，进行逆运算（加变减，减变加，乘变除，除变乘）。可以借助流程图或线段图帮助分析。 知识点三、解题思想与方法 1.画图法（线段图、示意图）： 重中之重，务必掌握。 2.假设法： 行程等问题常用。 3.替换法/消元法： 当题目中有两个或多个未知量时，通过替换或消去一个未知量来求解。 4.倒推法（还原法）： 还原问题的专用方法。 5.转化法： 将复杂问题转化为简单问题，或将新知识转化为旧知识。 6.综合法与分析法： 综合法从条件推向问题，分析法从问题追溯条件。 例题讲解 一、一般复合应用题 【例题1】某食堂第一次运进大米5袋，面粉3袋，共重1350千克，第二次运进大米3袋，面粉5袋，共重850千克。问：一袋大米和一袋面粉共重多少千克？ 【例题2】亮亮买了一批纸，订了一本练习册后还剩下 30 张纸，计划 30 天用完，25 天后，用完了练习册又 10张纸，这本练习册是多少张纸？ 二、归一问题与归总问题 【例题1】每年“小雪”节气前后，温州三烊湿地的果农们开始采摘瓯柑。48箱瓯柑共重864千克，照这样计算，16箱瓯柑共重多少千克？ 【例题2】某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？ 【例题3】王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？ 三、和差问题的拓展 【例题1】小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？ 【例题2】张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？ 四、和倍问题与差倍问题的拓展 【例题1】花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？ 【例题2】李爷爷家养的鸭比鹅多只，鸭的只数是鹅的倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 【例题3】有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍。若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍。甲船原载货物多少吨？ 五、年龄问题 【例题1】妈妈和芳芳今年的年龄之和是41岁，年龄之差是25岁，妈妈和芳芳今年各多少岁？ 【例题2】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？ 六、行程问题 【例题1】两辆汽车从相距392千米的两地同时开出，相向而行。甲车每小时行56千米，乙车每小时行42千米，经过几小时两车相遇？ 【例题2】老师带领学生从学校出发到A地去春游，队伍每分钟行60米，5分钟后，老师发现手机忘带，马上叫小刚返回去拿，小刚每分钟跑100米，到学校拿到手机后马上去追老师和同学们。学校与A地相距3000米，小刚能在老师和同学们到达A地之前追上吗？ 七、还原问题（逆推问题） 【例题1】有一根电线，第一次用去2米，又用去余下的一半；第二次用去2米，又用去余下的一半，还剩下12米。这根电线原来有多少米长？ 【例题2】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？ 考点练习 一、一般复合应用题 1．一次竞赛，其中五年级和六年级共 20 人获奖，在获奖者中有16人不是五年级的，有12人不是六年级的，该校有多少人获奖？ 2．4筐苹果和5筐香蕉共重348千克，同样的6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，每筐苹果和每筐香蕉各重多少千克？ 3．王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫画书共需150元，故事书和漫画书的单价各是多少元？ 4．小明从商店买了5块橡皮和4把小刀，共付7.6元，小红买了同样的2块橡皮和3把小刀共付4.3元。问：一块橡皮和一把小刀各是多少元？ 二、归一问题与归总问题 1．如果3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同的零件满要多长时间？ 2．花果山上桃树多，5只小猴分200棵。现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？ 3．家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成。实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？ 4．水果市场的王阿姨第一天卖了3筐苹果和5筐鸭梨，共138千克；第二天卖了9筐同样的苹果和4筐同样的鸭梨，共216千克。每筐苹果和鸭梨各有多少千克？ 5．某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？ 三、和差问题的拓展 1．甲乙丙三个数的和是100，甲比乙大4，乙比丙大6，这三个数各是多少？ 2．师傅和徒弟每小时加工的零件数保持不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？ 3．有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵。全园栽的苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？ 4．明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币各有多少枚？ 5．四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？ 6．兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？ 四、和倍问题与差倍问题的拓展 1．粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加 60 吨，面粉减少 45 吨，则大米和面粉一样多；如果再购进面粉 35 吨．面粉刚好是大米的 3 倍。原有大米和面粉各多少吨？ 2．某小学有学生975人．全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人．问全校有男、女生各多少人？ 3．玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，三种小汽车各多少辆？ 4．甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？ 5．两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？ 6．红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人。如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同。如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同。请问：甲班原来有多少人？ 7．甲、乙各有若干本书，若甲给乙本，则二人的书相等，若乙给甲本则甲的本数是乙的倍，甲、乙各有书多少本？ 8．实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？ 9．学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多箱，白粉笔的箱数比彩色笔的倍少箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 10．盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？ 五、年龄问题 1．小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁。三人的年龄各是几岁？ 2．今年小玲6岁，她父亲34岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？ 3．兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？ 4．欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 六、行程问题 1．两辆卡车为农场送化肥，第一辆卡车以每小时30千米的速度由仓库开往农场，第二辆卡车晚开12分钟，以每小时40千米的速度由开往农场，结果两车同时到达农场。到农场的路程有多远？ 2．甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从A镇去B镇，丙从B镇去A镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2分钟与甲相遇。A、B两镇相距多少千米？ 3．两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少千米？ 4．一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？ 5．A，B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直往返地飞下去，燕子飞了多少千米后，两车才能相遇？ 6．某校开展行军活动，以每小时20千米的平均速度前进，在行军中，排尾的通讯员以每小时25千米的速度追赶排头，当赶上排头后又立即返回，当通讯员回去到排尾时，队伍前进了3千米，则通讯员从排头返回排尾走了多少千米？ 7．甲乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出，8小时两船还相距22千米。乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？ 8．卡尔步行上学，每分钟行70米。离家12分钟后，爸爸发现卡尔的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追卡尔。当爸爸追上卡尔时他们离家多远？ 9．B处的兔子和A处的狗相距56米，兔子从B处逃跑，狗同时从A处跳出追兔子，狗一跳前进2米，狗跳3次时间与兔子跳4次时间相同，兔子跳出112米到达C处，狗追上兔子，问兔子一跳前进多少米？ 10．摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？ 七、还原问题（逆推问题） 1．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？ 2．解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？ 3．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数相等。他们原来各有多少本？ 4．第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个，下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？ 5．某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？ 6．一班、二班、三班各有不同数目的图书。如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍。这时，三个班的图书数目都是48本。求三个班原来各有图书多少本？ 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 复合应用题 （知识梳理+例题讲解+考点练习） 【学习目标】 1.掌握复合应用题的解题步骤，学会审题、分析数量关系、列式计算和验算。 2.熟练运用常见数量关系（如和差倍、行程、年龄问题等）解决多步运算的实际问题。 3.提高逻辑推理能力，能通过画图、假设、逆推等方法分析复杂条件。 4.培养一题多解思维，灵活运用不同方法解决同一类问题。 5.规避常见错误，如忽略隐藏条件、计算失误等，提升解题准确率。 知识梳理 知识点一、解题的基本步骤与策略 1.审题： 仔细读题，找出已知条件和所求问题。圈点关键词句，明确题意。 2.分析数量关系： （1）找中间问题： 复合应用题往往需要先解决一个或多个“中间问题”，才能最终解决所求问题。 （2）画线段图/示意图： 这是解决复合应用题最直观、有效的方法，能帮助理清各数量之间的关系（尤其适用于和差倍、行程、年龄问题等）。 （3）列表法： 对于条件较多、关系复杂的题目，可以通过列表来整理信息。 3.确定解题方法： 根据分析的数量关系，选择合适的运算方法，确定先算什么，再算什么，最后算什么。 4.列式计算： 分步列式或综合算式（根据题目要求和自身能力），确保计算准确。 5.验算与作答： 检查计算是否正确，结果是否符合题意，最后写出完整的答语。 知识点二、常见考点类型及解题关键 1.一般复合应用题 （1）核心考点： 掌握加减乘除四则运算的意义，能熟练运用基本数量关系（如：部分量与总量、单价数量总价、速度时间路程、工效时间工作总量等）解决多步问题。 （2）解题关键： 从问题入手（分析法）或从条件入手（综合法），找出隐藏的中间问题。 （3）例题特征： 题目中没有明显的“和差倍”等标志性词语，但需要几步运算才能解决。 2.归一问题与归总问题 （1）归一问题： ①核心考点：先求出单一量（一份数），再以单一量为标准，求出所要求的数量。 ②解题关键：“照这样计算”是归一问题的标志。 （2）归总问题： ①核心考点：先求出总数量（总数），再根据总数量和其他条件求出所要求的数量。 ②解题关键：先求“总量”是关键。 3.和差问题的拓展 （1）核心考点： 已知几个数的和与差，求各数。 （2）解题关键： ①基本公式：(和 + 差) ÷ 2 = 较大数；(和 - 差) ÷ 2 = 较小数。 ②对于三个量的和差，可以先转化为两个量的和差问题。画线段图帮助理解。 4.和倍问题与差倍问题的拓展 （1）核心考点： 已知几个数的和（或差）以及它们之间的倍数关系，求各数。 （2）解题关键： ①和倍公式： 和 ÷ (倍数 + 1) = 较小数（1倍数）；较小数 × 倍数 = 较大数（几倍数）。 ②差倍公式： 差 ÷ (倍数 - 1) = 较小数（1倍数）；较小数 × 倍数 = 较大数（几倍数）。 ③找准“1倍数”，画线段图是解决此类问题的法宝。可能涉及“几倍多几”或“几倍少几”的情况，需先调整和或差。 5.年龄问题 （1）核心考点： 两个人的年龄差不变；两个人的年龄同时增加或减少相同的岁数。 （2）解题关键： 抓住“年龄差不变”这一核心，结合和倍、差倍或和差问题的方法求解。 6.行程问题 （1）核心考点： 理解速度、时间、路程三者之间的关系（速度×时间=路程）。 （2）相遇问题： ①特征：两人（或物体）从两地出发，相向而行。 ②等量关系：总路程 = 速度和 × 相遇时间；速度和 = 总路程 ÷ 相遇时间；相遇时间 = 总路程 ÷ 速度和。 （3）追及问题： ①特征：两人（或物体）同向而行，一快一慢，快的追慢的。 ②等量关系：追及路程（路程差）= 速度差 × 追及时间；速度差 = 追及路程 ÷ 追及时间；追及时间 = 追及路程 ÷ 速度差。 （4）解题关键： 分析清楚运动方向（相向、同向、相背），找出路程和（相遇）或路程差（追及）。 7.还原问题（逆推问题） （1）核心考点： 已知一个数经过若干次运算后的结果，求原来的数。 （2）解题关键： 从最后的结果出发，按运算顺序倒推回去，进行逆运算（加变减，减变加，乘变除，除变乘）。可以借助流程图或线段图帮助分析。 知识点三、解题思想与方法 1.画图法（线段图、示意图）： 重中之重，务必掌握。 2.假设法： 行程等问题常用。 3.替换法/消元法： 当题目中有两个或多个未知量时，通过替换或消去一个未知量来求解。 4.倒推法（还原法）： 还原问题的专用方法。 5.转化法： 将复杂问题转化为简单问题，或将新知识转化为旧知识。 6.综合法与分析法： 综合法从条件推向问题，分析法从问题追溯条件。 例题讲解 一、一般复合应用题 【例题1】某食堂第一次运进大米5袋，面粉3袋，共重1350千克，第二次运进大米3袋，面粉5袋，共重850千克。问：一袋大米和一袋面粉共重多少千克？ 【答案】275千克 【分析】大米5袋和面粉3袋共重1350千克，，大米3袋和面粉5袋共重850千克，因此将这两个条件求和，即可以求出大米8袋和面粉8袋共重多少千克；再将这个总质量除以8即可求出一袋大米和一袋面粉共重多少千克。 【详解】（1350＋850）÷（5＋3） ＝2200÷8 ＝275（千克） 答：袋大米和一袋面粉共重275千克。 【例题2】亮亮买了一批纸，订了一本练习册后还剩下 30 张纸，计划 30 天用完，25 天后，用完了练习册又 10张纸，这本练习册是多少张纸？ 【答案】90张 【详解】（30-10）÷5×30-30 =20÷5×30-30 =120-30 =90（张） 答：这本练习册是90张纸。 二、归一问题与归总问题 【例题1】每年“小雪”节气前后，温州三烊湿地的果农们开始采摘瓯柑。48箱瓯柑共重864千克，照这样计算，16箱瓯柑共重多少千克？ 【答案】288千克 【分析】根据48箱瓯柑共重864千克除法864除以48求出一箱的质量，照这样计算就是每箱的重量不变，即再用每箱的重量乘16即可求出16箱共重多少千克。 【详解】 （千克） 答：16箱瓯柑共重288千克。 【例题2】某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？ 【答案】160吨 【分析】“增加4辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即10辆汽车的运输量。先求出一辆汽车每天的运输量，再计算10辆汽车的运输量。 【详解】（96÷6）×（6＋4） ＝16×10 ＝160（吨） 答：每天可运水泥160吨。 【例题3】王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？ 【答案】1728千克 【分析】以1头奶牛1天产的牛奶为单一量，先求出1头奶牛1天产牛奶的千克数，再根据乘法的意义求出8头奶牛12天可产牛奶的千克数。 【详解】（630÷7÷5）×8×12 ＝18×8×12 ＝1728（千克） 答：照这样计算，8头奶牛12天可产牛奶1728千克。 三、和差问题的拓展 【例题1】小华和小敏共有铅笔25支，如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，小华和小敏原来各有多支铅笔？ 【答案】14支；11支 【分析】如果小华用去4支，小敏用去3支，那么小华还比小敏多2支，这就说明原来小华的铅笔比小敏的铅笔多3支。 【详解】根据题意画线段示意图如下： （25＋3）÷2 ＝28÷2 ＝14（支） （支） 答：小华原来有14支铅笔，小敏原来有11支铅笔。 【例题2】张亮用60元买了科技书、故事书和美术书各一本。科技书比故事书贵12元，科技书和故事书一共比美术书贵40元。科技书、故事书和美术书的单价各是多少元？ 【答案】科技书31元，故事书19元，美术书10元 【分析】根据题意可知，三本书总共是60元，科技书和故事书一共比美术书贵40元，所以60减去40等于美术书价钱的2倍，再除以2即等于美术书的单价，60减去美术书的价钱等于科技书和故事书的价钱和，又知科技书和故事书的价钱差为12元，根据和差公式即求出科技书和故事书的价钱，据此即可解答。 【详解】美术书： （60－40）÷2 ＝20÷2 ＝10（元） 60－10＝50（元） 故事书： （50－12）÷2 ＝38÷2 ＝19（元） 科技书：50－19＝31（元） 答：科技书的单价为31元，故事书的单价为19元，美术书的单价是10元。 四、和倍问题与差倍问题的拓展 【例题1】花店有百合、玫瑰、郁金香共104枝，其中百合是玫瑰的2倍少20枝，玫瑰是郁金香的3倍多8枝。问三种花各有多少枝？ 【答案】郁金香10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝 【分析】根据题意，如果把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝，百合有6份少20－8×2＝4（枝）；再根据三种花一共有104枝，算出郁金香的数量，进而得出其他两种花的数量。 【详解】把郁金香的数量看作1份，则玫瑰有3份多8枝； 2×3＝6，2×8＝16，20－16＝4（枝），则百合是郁金香的6倍少4枝； 郁金香：（104－8＋4）÷（1＋3＋6） ＝100÷10 ＝10（枝） 玫瑰：3×10＋8 ＝30＋8 ＝38（枝） 百合：6×10－4 ＝60－4 ＝56（枝） 答：郁金香有10枝，玫瑰有38枝，百合有56枝。 【例题2】李爷爷家养的鸭比鹅多只，鸭的只数是鹅的倍，你知道李爷爷家养的鸭和鹅各有多少只吗？ 【答案】只；只 【分析】根据题意，画线段示意图如下，与只相对应的是（3－1）倍，这样就可以求出一倍数也就是鹅的只数，求出了鹅的只数，鸭的只数就容易求出来了。鸭与鹅只数的倍数差是：（倍），鹅有：（只），鸭有：（只）。 【详解】 18÷（3－1） ＝18÷2 ＝9（只） 9×3＝27（只） 答：李爷爷家养的鸭有27只，养鹅有9只。 【例题3】有甲、乙两艘货船，甲船所载货物是乙船的3倍。若甲船增加货物1200吨，乙船增加货物900吨，则甲船所载货物是乙船的2倍。甲船原载货物多少吨？ 【答案】吨 【分析】甲船所载货物是乙船所载货物的3倍，乙船增加900吨，甲船就应增加：900×3＝2700（吨），实际少增加：2700－1200＝1500（吨）。少增加的重量等于乙船现有货物的：3－2＝1（倍），所以甲船原载货物：（1500－900）×3＝1800（吨）。 【详解】（900×3－1200）÷（3－2） ＝（2700－1200）÷1 ＝1500（吨） （1500－900）×3 ＝600×3 ＝1800（吨） 答：甲船原载货物1800吨。 五、年龄问题 【例题1】妈妈和芳芳今年的年龄之和是41岁，年龄之差是25岁，妈妈和芳芳今年各多少岁？ 【答案】妈妈33岁；芳芳8岁 【分析】年龄之和与年龄之差相加就等于2份妈妈的年龄，年龄之和与年龄之差相减就等于2份芳芳的年龄，由此可以求出妈妈和芳芳今年各多少岁。 【详解】妈妈：（41＋25）÷2 ＝66÷2 ＝33（岁） 芳芳：（41－25）÷2 ＝16÷2 ＝8（岁） 答：妈妈和芳芳今年各33岁；8岁。 【例题2】爸爸今年38岁，佳佳今年2岁，问：几年后，父亲的年龄是佳佳的5倍？ 【答案】年 【分析】父女年龄差是：（岁），这个数量是不会变化的；当父亲的年龄恰好是女儿年龄的5倍时，父亲仍比女儿大36岁，这36岁是父亲比女儿多的（5－1）倍所对应的年龄。据此解题即可。 【详解】（38－2）÷（5－1） ＝36÷4 ＝9（岁） 9－2＝7（岁） 答：7年后，父亲的年龄是佳佳的5倍。 六、行程问题 【例题1】两辆汽车从相距392千米的两地同时开出，相向而行。甲车每小时行56千米，乙车每小时行42千米，经过几小时两车相遇？ 【答案】4小时 【分析】根据相遇问题中，路程÷速度和＝相遇时间，据此代入数值进行计算即可。 【详解】392÷（56＋42） ＝392÷98 ＝4（小时） 答：经过4小时两车相遇。 【例题2】老师带领学生从学校出发到A地去春游，队伍每分钟行60米，5分钟后，老师发现手机忘带，马上叫小刚返回去拿，小刚每分钟跑100米，到学校拿到手机后马上去追老师和同学们。学校与A地相距3000米，小刚能在老师和同学们到达A地之前追上吗？ 【答案】小刚能在老师和同学们到达A地之前追上 【分析】本题是个追及问题，关键是分析出路程差就能迎刃而解了。我们可以通过画线段图辅助理解，其实路程差就是小刚回学校时，队伍离学校的距离。求出路程差，我们就容易求出追及时间。小刚从学校出发后到追上老师和学生的行走路程就是老师和学生行走的总路程，根据路程＝速度×时间，得出的路程大于等于3000米，那就说明小刚追不上，小于3000米说明小刚能追上。 【详解】小刚返回学校用时： 60×5÷100＝3（分钟） 小刚追上队伍用时：（5＋3）×60÷（100－60）＝12（分钟） 此时，小刚离学校距离：12×100＝1200（米） 1200米＜3000米 答：小刚能在老师和同学们到达A地之前追上。 七、还原问题（逆推问题） 【例题1】有一根电线，第一次用去2米，又用去余下的一半；第二次用去2米，又用去余下的一半，还剩下12米。这根电线原来有多少米长？ 【答案】54米 【分析】本题可以用逆推还原的方法来解决。根据第二次用去2米，又用去余下的一半还剩下12米可知，这里的余下的一半即等于剩下的12米，因此可以知道第二次用之前的长度为：12×2＋2＝26（米）。再继续根据第一次用去2米又用去余下的一半，此时这里的余下的一半等于26米，因此同理即可得到这根电线原来的长度。 【详解】第二次用之前：12×2＋2 ＝24＋2 ＝26（米） 原来的长度：26×2＋2 ＝52＋2 ＝54（米） 答：这根电线原来有54米。 【例题2】有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去两份和另一枚，将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，再拿去两份和另一枚，最后将剩下的棋子再三等份后还是剩下一枚，问原来至少有多少枚棋子？ 【答案】枚 【分析】根据“最后将剩下的棋子三等份还是剩一枚”，可知解题的关键是确定在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是几枚棋子？再根据提问“原来至少有多少枚棋子”可知在“最后将剩下的棋子三等份”后，每一份是一枚棋子。据此采用倒推法，再结合列表法一一列举进行分析推理。 【详解】列表倒推如下： 一份 一份 一份 剩余 最后棋子数（枚） 1 1 1 1 前次棋子数（枚） 4 4 4 1 再前次棋子数（枚） 13 13 13 1 原来至少有棋子数（枚） 40 [（1×3＋1）×3＋1]×3＋1 ＝[4×3＋1]×3＋1 ＝13×3＋1 ＝39＋1 ＝40（枚） 答：原来至少有40枚棋子。 考点练习 一、一般复合应用题 1．一次竞赛，其中五年级和六年级共 20 人获奖，在获奖者中有16人不是五年级的，有12人不是六年级的，该校有多少人获奖？ 【答案】24人 【详解】有16人不是五年级的,则六年级和其它年级的共有16人； 12人不是六年级的,则五年级和其它年级的共有12人； 即六年级比五年级多4人． 六年级：（20+4）÷2=12（人） 五年级：（20-4）÷2=8（人） 共有人数:16+8=24（人） 2．4筐苹果和5筐香蕉共重348千克，同样的6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，每筐苹果和每筐香蕉各重多少千克？ 【答案】苹果37千克；香蕉40千克 【分析】根据题意可知，买4筐苹果和5筐香蕉共重348千克，则买4×3＝12（筐）苹果和5×3＝15（筐）香蕉共重348×3＝1044（千克）；买6筐苹果和7筐香蕉共重502千克，则买6×2＝12（筐）苹果和7×2＝14（筐）香蕉共重502×2＝1004（千克）；1044减去1004等于15－14＝1（筐）香蕉的重量；348减去5筐香蕉的重量等于4筐苹果的重量，再除以4，即等于一筐苹果的重量，据此即可解答。 【详解】348×3－502×2 ＝1044－1004 ＝40（千克） （348－40×5）÷4 ＝（348－200）÷4 ＝148÷4 ＝37（千克） 答：每筐苹果重37千克，每筐香蕉重40千克。 3．王老师去买书，买4本故事书和8本漫画书共需136元，买同样的3本故事书和10本漫画书共需150元，故事书和漫画书的单价各是多少元？ 【答案】故事书10元；漫画书12元 【分析】根据题意可知，买4本故事书和8本漫画书共需136元，则买4×3＝12（本）故事书和8×3＝24（本）漫画书需要136×3＝408（元）；买3本故事书和10本漫画书共需150元，则买3×4＝12（本）故事书和10×4＝40（本）漫画书需要150×4＝600（元）；600减去408等于40－24＝16（本）漫画书的钱，再除以16，即等于漫画书的单价；150减去10本漫画书的价钱等于3本故事书的价钱，再除以3，即等于故事书的单价，据此即可解答。 【详解】（150×4－136×3）÷（10×4－8×3） ＝（600－408）÷16 ＝192÷16 ＝12（元） （150－12×10）÷3 ＝30÷3 ＝10（元） 答：故事书的单价是10元，漫画书的单价是12元。 4．小明从商店买了5块橡皮和4把小刀，共付7.6元，小红买了同样的2块橡皮和3把小刀共付4.3元。问：一块橡皮和一把小刀各是多少元？ 【答案】一块橡皮0.8元；一把小刀0.9元 【分析】买了5块橡皮和4把小刀共付7.6元，因此可以求出10块橡皮和8把小刀一共的钱数；2块橡皮和3把小刀共付4.3元，因此可以求出10块橡皮和15把小刀一共的钱数；再将这两个钱数作差，即为7把小刀的价格，除以7即可求出一把小刀的价格。小刀的价格求出来后即可继续求出橡皮擦的价格。 【详解】10块橡皮和8把小刀：7.6×2＝15.2（元） 10块橡皮和15把小刀：4.3×5＝21.5（元） 小刀：（21.5－15.2）÷（15－8） ＝6.3÷7 ＝0.9（元） 橡皮擦：（7.6－4×0.9）÷5 ＝（7.6－3.6）÷5 ＝4÷5 ＝0.8（元） 答：一块橡皮0.8元，一把小刀0.9元。 二、归一问题与归总问题 1．如果3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同的零件满要多长时间？ 【答案】5小时 【分析】根据题意，1台数控机床l小时加工（960÷3÷4）个同样的零件，即80个；l台加工400个零件需要：400÷80＝5（小时）。 【详解】960÷3÷4＝80（个） 400÷80＝5（小时） 答：1台数控机床加工400个相同的零件满要5小时。 2．花果山上桃树多，5只小猴分200棵。现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？ 【答案】2490棵 【分析】先利用除法求出每只小猴可以分的桃树数量，再乘60只小猴求出60只小猴需要分的桃树数量，最后加上余下的90棵桃树，求出桃树一共有几棵即可。 【详解】200÷5＝40（棵） 40×60＝2400（棵） 2400＋90＝2490（棵） 答：桃树一共有2490棵。 3．家具厂生产一批桌椅，原计划每天生产30套，12天完成。实际只用原来时间的一半就完成了任务，那么实际每天比计划多生产多少套？ 【答案】30套 【分析】用30×12求出这批桌椅的总套数，再除以实际的天数即可求出实际每天生产多少套，再用实际每天生产的套数减去计划的套数即可。 【详解】（套）； （天）； （套）； （套）； 答：实际每天比计划多生产30套。 4．水果市场的王阿姨第一天卖了3筐苹果和5筐鸭梨，共138千克；第二天卖了9筐同样的苹果和4筐同样的鸭梨，共216千克。每筐苹果和鸭梨各有多少千克？ 【答案】16千克；18千克 【分析】根据题意，得出数量关系式，第一天：3苹果 ＋ 5鸭梨 ＝ 138千克；第二天：9苹果 ＋ 4鸭梨 ＝ 216千克。可以将第一天卖的水果看成一个整体，买这样的3份，这样苹果卖了9筐，梨卖了15筐，一共是414千克，即9苹果 ＋ 15鸭梨 ＝ 414千克。对比后发现相同筐数的苹果下，相差11筐梨，就是相差198千克。得出每一筐梨是18千克。再根据第一天卖的水果，先得出5筐梨的重量，再用总重量减去5筐梨的重量得出3筐苹果的重量，最后除以3即可。 【详解】138×3＝414（千克） （414－216）÷（15－4） ＝198÷11 ＝18（千克） （138－5×18）÷3 ＝48÷3 ＝16（千克） 答：每筐苹果有16千克，每筐鸭梨有18千克。 5．某工厂一个车间，原计划20人4天做1280个零件，刚要开始生产，又增加了新任务，在工作效率相同的情况下，需要15个人7天才能全部完成，问增加了多少个零件？ 【答案】400个 【分析】要求增加了多少个零件，只需先求出每人每天生产多少个零件，然后求出15个人7天生产的零件数，最后用它减去1280个零件就可得出所要求的问题。 【详解】（1）每人每天生产的零件数1280÷20÷4＝16（个） （2）15人7天生产的零件数16×15×7＝1680（个） （3）增加的零件数1680－1280＝400（个） 综合算式（1280÷20÷4）×15×7－1280 ＝16×15×7－1280 ＝1680－1280 ＝400（个） 答：增加了400个零件。 三、和差问题的拓展 1．甲乙丙三个数的和是100，甲比乙大4，乙比丙大6，这三个数各是多少？ 【答案】甲是38；乙是34；丙是28 【分析】甲比乙大4，乙比丙大6，即可以知道甲比丙大：4＋6＝10。甲乙丙三个数的和是100，用100将甲比丙大的10减掉，乙比丙大的6减掉，然后除以3即可求出丙是多少。由此节课解决。 【详解】丙：（100－4－6－6）÷3 ＝84÷3 ＝28 乙：28＋6＝34 甲：34＋4＝38 答：甲是38，乙是34，丙是28。 2．师傅和徒弟每小时加工的零件数保持不变，师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量，而两人合作10小时一共可以加工120个零件，师徒两人每小时各加工零件多少个？ 【答案】8个；4个 【分析】根据师傅2小时加工的零件数是徒弟4小时加工的数量得出师傅每小时价格的零件是徒弟的2倍。两个人合作10个小时加工了120个，用除法得出两个人合作每小时加工的零件为12个。即徒弟每小时做1份的零件，师傅做2份零件，合作3份的零件是12个，每一份零件是4个，则徒弟每小时加工的零件是4个，师傅每小时做的零件数＝徒弟每小时的零件数×2即可。 【详解】120÷10＝12（个） 12÷（2＋1） ＝12÷3 ＝4（个） 4×2＝8（个） 答：师傅每小时加工8个零件，徒弟每小时加工4个零件。 3．有一块长120米、宽105米的果园地，栽苹果树和梨树。每126平方米栽8棵。全园栽的苹果树比梨树多160棵。两种果树各有多少棵？ 【答案】480棵；320棵 【分析】果园地的长120米、宽105米，根据“长方形面积＝长×宽”求出这块果园的面积。每126平方米栽8棵树，因此可以用果园的面积除以126，然后再乘8，即可求出一共可以种多少棵树。全园栽的苹果树比梨树多160棵，最后再用和差问题的公式“较小数＝（和－差）÷2、较大数＝（和＋差）÷2”求出两种果树各有多少棵。 【详解】一共：120×105÷126×8 ＝12600÷126×8 ＝100×8 ＝800（棵） 苹果树：（800＋160）÷2 ＝960÷2 ＝480（棵） 梨树：（800－160）÷2 ＝640÷2 ＝320（棵） 答：苹果树有480棵，梨树有320棵。 4．明明的储蓄罐里有1元、5角硬币共67枚，其中1元硬币比5角硬币多7元。两种硬币各有多少枚？ 【答案】1元硬币27枚；5角硬币40枚 【分析】本题考查和差问题，1元、5角硬币共67枚，可设1元硬币有x枚，则5角硬币有（67－x）枚。1元硬币共有：1×x＝x元；5角硬币共有：（67－x）×0.5（元）。根据等量关系：1元硬币的钱数－5角硬币的钱数＝7，列式解答即可。 【详解】解：设1元硬币有x枚，则5角硬币有（67－x）枚。 x－（67－x）×0.5＝7 x－67×0.5＋x×0.51 1.5x－33.5＝7 1.5x＝7＋33.5 1.5x＝40.5 x＝27 67－x＝67－27＝40 答：1元硬币27枚；5角硬币40枚。 5．四（1）班投票选举班长，小明得到的选票比小华多14张，小华得到的选票比小玲多8张。如果这3人共得选票54张，那么他们各得选票多少张？ 【答案】小玲8张；小华16张；小明30张 【分析】小玲得到选票最少，我们以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下；观察线段图，把小玲获票张数看作1份，把小华获票 张数去掉8张，把小明获票张数去掉（8＋14）张，都凑成1份，总张数减少为：54－8－（8＋14）＝24（张）。所以小玲获票张数为：24÷3＝8（张）；小华获票张数为：8＋8＝16（张）；小明获票张数为：16＋14＝30（张）。 【详解】以小玲得到选票张数为标准，画出线段图如下： 54－8－（8＋14）＝24（张） 24÷3＝8（张） 8＋8＝16（张） 16＋14＝30（张） 答：小玲获票张数为8张；小华获票张数为16张；小明获票张数为30张。 6．兔妈妈拔了29个萝卜分给了小白兔和小黑兔，因为分的萝卜不一样多，兔妈妈让小白兔给了小黑兔5个，这时再来数发现小黑兔比小白兔多出1个萝卜，你知道原来小白兔和小黑兔各分到了多少个萝卜吗？ 【答案】19个；10个 【分析】小白兔给了小黑兔5个后，小黑兔又比小白兔多出1个萝卜，可以得出小白兔原来的萝卜比小黑兔多：（个）。这时就可以根据和差问题问题来解决了。 【详解】[29＋（5×2－1）]÷2 ＝[29＋（10－1）]÷2 ＝[29＋9]÷2 ＝38÷2 ＝19（个） 29－19＝10（个） 答：小白兔19个，小黑兔10个. 四、和倍问题与差倍问题的拓展 1．粮站购进大米和面粉各若干，如果大米增加 60 吨，面粉减少 45 吨，则大米和面粉一样多；如果再购进面粉 35 吨．面粉刚好是大米的 3 倍。原有大米和面粉各多少吨？ 【答案】70吨  175吨 【详解】大米:（60+45+35）÷（3-1）=70（吨） 面粉:70+60+45=175（吨） 答：原来有大米70吨，面粉175吨。 2．某小学有学生975人．全校男生人数是六年级学生人数的4倍少23人，全校女生人数是六年级学生人数的3倍多11人．问全校有男、女生各多少人？ 【答案】男生541人  女生434人 【详解】解：设六年级学生人数是“1份”，那么男生是4份-23人，女生是3份+11人，全校是7份-（23-11）人． 每份是（975+12）÷7＝141（人） 男生人数：141×4-23＝541（人） 女生人数：975-541＝434（人） 答：有男生541人、女生434人. 3．玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，三种小汽车各多少辆？ 【答案】红汽车有240辆；白汽车有100辆；黄汽车有60辆 【分析】红汽车是黄汽车的4倍，白汽车比黄汽车多40辆，因此可以将黄汽车的数量看成1份，则红汽车的数量为4份，白汽车的数量为1份多40辆。再结合玩具厂生产红、黄、白三种小汽车共400辆，因此用400辆减去40辆，再除以（4＋1＋1）份，即可求出黄汽车的数量，由此即可解决。 【详解】黄汽车：（400－40）÷（4＋1＋1） ＝360÷6 ＝60（辆） 红汽车：60×4＝240（辆） 白汽车：60＋40＝100（辆） 答：红汽车有240辆，白汽车有100辆，黄汽车有60辆。 4．甲桶里有油470千克，乙桶里有油190千克，甲桶的油倒入乙桶多少千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍？ 【答案】30千克 【分析】根据题意可知，甲、乙两桶油总重量：470＋190＝660（千克）；当甲桶油是乙桶油2倍时，乙桶油是：660÷（2＋1）＝220（千克）；由甲桶倒入乙桶中的油：220－190＝30（千克）。由此即可解题。 【详解】（470＋190）÷（2＋1）－190 ＝660÷3－190 ＝220－190 ＝30（千克） 答：甲桶的油倒入乙桶30千克，才能使甲桶油是乙桶油的2倍。 5．两组学生参加义务劳动，甲组学生人数是乙组的3倍，而乙组的学生人数比甲组的3倍少40人，求参加义务劳动的学生共有多少人？ 【答案】20人 【分析】把乙组学生人数看作1份，甲组学生人数是乙组学生人数的3倍，则甲组学生人数的3倍就是乙组人数的（3×3）倍，即9倍。所以，乙组人数为：40÷（9－1）＝5（人）；参加义务劳动的学生共有：5×（1＋3）＝20（人）。 【详解】把乙组学生人数看作1份，画出线段图如下： 40÷（9－1） ＝40÷8 ＝5（人） 5×（1＋3） ＝5×4 ＝20（人） 答：求参加义务劳动的学生共有20人。 6．红旗小学三年级有甲、乙、丙三个班，一共有学生162人。如果从甲班转出2个人到乙班，则甲、乙两班人数相同。如果这时再从丙班转出3个人到乙班，则乙、丙两班人数相同。请问：甲班原来有多少人？ 【答案】人 【分析】由题意，现在的甲班比乙班多：（人），丙班比乙班多：（人），即丙班比甲班还多：（人）。所以甲班人数为：（人）。 【详解】[162－（3×2＋2－4）＋4]÷（1＋1＋1） ＝[162－（6＋2－4）＋4]÷3 ＝[162－4＋4]÷3 ＝162÷3 ＝54（人） 答：甲班原来有54人。 7．甲、乙各有若干本书，若甲给乙本，则二人的书相等，若乙给甲本则甲的本数是乙的倍，甲、乙各有书多少本？ 【答案】本；本 【分析】当甲给乙45本的时候，两人相等，说明原来两人相差45×2＝90本；当乙给甲45本的时候，甲乙两人相差：90＋45×2＝180本，这180本对应着现在乙的（4－1）倍，由此求出现在乙的本数。即，乙给甲本书后剩下的书：（本），乙原有书：（本），甲原有书：（本）。 【详解】（45×2＋45×2）÷（4－1） ＝180÷3 ＝60（本） 60＋45＝105（本） 105＋45×2 ＝105＋90 ＝195（本） 答：甲有书195本，乙有书105本。 8．实验小学一校区人数比实验小学二校区人数少540人，因为第三校区建成，从两个校区各调走200人，这时实验小学二校区人数恰好是实验小学一校区人数的4倍，那么实验小学一校区和实验小学二校区原来各有多少人？ 【答案】380人；920人 【分析】两校区各调走200人之后还是相差540人，对应的倍数是：倍，实验小学一校区调走200人后剩下的人数是：（人），实验小学一校区原有：（人），实验小学二校区为：（人）。 【详解】540÷（4－1）＋200 ＝540÷3＋200 ＝180＋200 ＝380（人） 380＋540＝920（人） 答：实验小学一校区有380人，实验小学二校区原来各有920人。 9．学而思学校买来白粉笔比彩色粉笔多箱，白粉笔的箱数比彩色笔的倍少箱，学而思学校买来白粉笔和彩色粉笔各多少箱？ 【答案】21箱；6箱 【分析】把彩笔看做倍数，（白笔＋）就相当于彩笔的倍，即彩笔比（白笔＋）少倍，注意此时白笔比彩笔多：箱。彩色粉笔的箱数：（箱），白色粉笔的箱数：（箱）。 【详解】（15＋3）÷（4－1） ＝18÷3 ＝6（箱） 6＋15＝21（箱） 答：思学校买来白粉笔和彩色粉笔分别是21箱、6箱。 10．盒子里有红球和白球若干，若每次从里面拿出1个红球和1个白球，那么当拿到没有红球时，还剩下白球50个，若每次拿出1个红球和3个白球，则拿到没有白球时，还剩下50个红球，那么盒子里有红球和白球各多少个？ 【答案】100个；150个 【分析】方法一：第二次拿到没有白球的时候还剩下50个红球，因此如果再增加150个白球，可以使得“每次拿出1个红球和3个白球”两种球都不剩下，这样增加150个白球后，按照第一种取法，白球会剩下（50＋150）个，即200个，这说明白球增加150个后，白球的数量是红球的3倍且白球比红球多200个，转化为差倍问题，所以，红球的数量是[200÷（3－1）]个，即100个，此时白球的数量是（100×3）个，即300个；不过这个数量是白球增加150个之后的结果，所以原来盒子里有白球（300－150）个，即150个，红球100个。 方法二：用下图表示它们的关系： 把红球的数量减去50个看做“1倍量”，可以得到，“2倍量”的数量是（）个。所以红球的数量有[50＋（50＋50）÷2]个，即100个；白球的数量比红球多50个，有（100＋50）个。可以看出作图表示简洁明了得多，也更容易发现隐含的关系。 【详解】方法一：如果增加150个白球，则每次拿出1个红球和3个白球正好可以拿完，即此时白球的个数是红球的3倍。 （50＋150）÷（3－1） ＝200÷2 ＝100（个） 100×3－150 ＝300－150 ＝150（个） 答：红球有个；白球有个。 五、年龄问题 1．小琴、小静、小莲三人年龄和是20岁，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁。三人的年龄各是几岁？ 【答案】7岁；8岁；5岁 【分析】以小静为标准，小琴比小静大1岁，小莲比小静小2岁，把小琴比小静大的1岁，补给小莲，那么小琴现在和小静一样大，而小莲比小静就只小1岁，如果再加上1岁，也和小静一样大。那么现在小静年龄的3倍就应该是（岁）。接下来就可以分别求出三人的年龄。 【详解】画线段示意图如下： （1）小静年龄的3倍是：（岁） （2）小静现在的年龄是：（岁） （3）小琴现在的年龄是：（岁） （4）小莲现在的年龄是：（岁） 答：小静年龄岁，小琴年龄岁，小莲年龄岁。 2．今年小玲6岁，她父亲34岁，当两人年龄和是58岁时，两人年龄各多少岁？ 【答案】43岁；15岁 【分析】题中没有给出小玲和父亲的年龄之差，但是已知两人今年的年龄，那么两人的年龄差是：34－6＝28（岁），不论再过多少年，两人的年龄差是保持不变的，所以当两人年龄和为58岁时，他们的年龄差仍是28岁，根据和差问题就可解此题。 【详解】父亲的年龄： 〔58＋（34－6）〕÷2 ＝〔58＋28〕÷2 ＝86÷2 ＝43（岁） 小玲的年龄： 58－43＝15（岁） 答：当两人年龄和为58岁时，父亲的年龄是43岁，小玲的年龄是15岁。 3．兄弟俩现在年龄和是28岁，3年前哥哥比弟弟大2岁，兄弟俩现在各多少岁？ 【答案】15岁；13岁 【分析】3年前哥哥比弟弟大2岁，现在哥哥仍比弟弟大2岁，他们的年龄差不变。哥哥：（28＋2）÷2＝15（岁）；弟弟：28－15＝13（岁）。 【详解】（28＋2）÷2＝15（岁） 28－15＝13（岁） 答：哥哥现在15岁，弟弟现在13岁。 4．欢欢一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，问欢乐家每人的年龄各是多少岁？ 【答案】欢欢12岁；妈妈36岁；爸爸38岁 【分析】一家三口人今年的年龄和为86岁，妈妈比爸爸小2岁，妈妈的年龄是欢欢年龄的3倍，因此可以把欢欢的年龄看成1份，则妈妈的年龄为3份，爸爸的年龄为3份多2岁。因此可以用86岁先减去2岁，再除以总的份数即可求出欢欢的年龄，继而求出爸爸妈妈各自的年龄。 【详解】欢欢：（86－2）÷（1＋3＋3） ＝84÷7 ＝12（岁） 妈妈：12×3＝36（岁） 爸爸：36＋2＝38（岁） 答：欢欢12岁，妈妈36岁，爸爸38岁。 六、行程问题 1．两辆卡车为农场送化肥，第一辆卡车以每小时30千米的速度由仓库开往农场，第二辆卡车晚开12分钟，以每小时40千米的速度由开往农场，结果两车同时到达农场。到农场的路程有多远？ 【答案】24千米 【分析】第二辆卡车晚开12分钟，在这期间，第一辆卡车已经行驶了30×（12÷60）＝6千米，两辆车最后同时到达农场，说明从第二辆车出发开始，到到达农场，两车的路程差是6千米，速度差是40－30＝10千米/小时，利用路程差÷速度差＝追及时间，可得出第二辆车行驶的时间，再乘第二辆车的速度，即可得到总路程。 【详解】12分钟＝0.2小时 路程差：30×0.2＝6（千米） 速度差：40－30＝10（千米/小时） 追及时间：6÷10＝0.6（小时） 总路程：0.6×40＝24（千米） 答：到农场的路有24千米 2．甲、乙、丙三人，每分钟分别行68米、70.5米、72米。现甲、乙从A镇去B镇，丙从B镇去A镇，三人同时出发，丙和乙相遇后，又过2分钟与甲相遇。A、B两镇相距多少千米？ 【答案】15.96千米 【分析】由题意可以看出，乙、丙两人相遇时，乙比甲多行的路程正好是后来甲、丙2分钟所行的路程和，是（68＋72）×2＝280（米）。而每分钟乙比甲多行70.5—68＝2.5（米）可见，乙、丙相遇时间是280÷2.5＝112（分钟），因此，求东、西两镇间的距离可用速度和乘以相遇时间求出。 【详解】乙丙相遇后，丙与甲的距离： （68＋72）×2＝280（米） 乙丙相遇前，他们花去的时间： 280÷（70.5－68）＝112（分钟） 总路程：112×（70.5＋72）＝15960（米）＝15.96（千米） 答：A、B两镇相距15.96千米。 3．两列火车同时从距离536千米的两地相向而行，4小时相遇，慢车每小时行60千米，快车每小时行多少千米？ 【答案】74千米 【分析】本题可以用方程来解决。设快车每小时行x千米。根据“相遇路程＝相遇时间×速度和”即可列出方程，从而求解。 【详解】解：设快车每小时行x千米。 答：快车每小时行74千米。 4．一辆汽车和一辆自行车从相距172.5千米的甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后两车相遇。已知汽车每小时比自行车多行31.5千米，求汽车、自行车的速度各是多少？ 【答案】44.5千米/小时；13千米/小时 【分析】先利用总路程÷相遇时间＝速度和，从而求出汽车和自行车的速度和，然后利用和差公式，即可分别计算出汽车和自行车的速度。 【详解】汽车和自行车的速度和：172.5÷3＝57.5（千米/小时） 汽车的速度：（57.5＋31.5）÷2＝44.5（千米/小时） 自行车的速度：57.5－44.5＝13（千米/小时） 答：汽车的速度是44.5千米/小时，自行车的速度是13千米/小时。 5．A，B两地相距400千米，甲、乙两车同时从两地相对开出，甲车每小时行38千米，乙车每小时行42千米。一只燕子以每小时50千米的速度和甲车同时出发向乙车飞去，遇到乙车又折回向甲车飞去。这样一直往返地飞下去，燕子飞了多少千米后，两车才能相遇？ 【答案】250千米 【分析】要求燕子飞了多少千米，就要知道燕子飞行所用的时间和燕子的速度，燕子的速度是每小时50千米，关键的问题是求出燕子飞行所用的时间，燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间，甲、乙两车的相遇时间是400÷（38＋42）＝5（小时），求燕子飞了多少千米，列式为50×5，计算即可。 【详解】燕子飞行的时间就是甲乙两车的相遇时间，即： 400÷（38＋42）＝5（小时） 燕子飞行的距离：50×5＝250（千米） 答：燕子飞了250千米后两车才能相遇。 6．某校开展行军活动，以每小时20千米的平均速度前进，在行军中，排尾的通讯员以每小时25千米的速度追赶排头，当赶上排头后又立即返回，当通讯员回去到排尾时，队伍前进了3千米，则通讯员从排头返回排尾走了多少千米？ 【答案】3.375千米 【分析】从排尾到排头是追赶，速度差为5千米，从排头到排尾是相遇，速度和为45千米，根据路程一定，速度和时间成反比，所以从排尾追赶到排头，所占用的时间是45÷（5＋45），即队伍行进了3×[45÷（5＋45）]＝2.7（千米），所以通讯员行进了：2.7×25÷20，计算即可。 【详解】速度差：25－20＝5（千米/小时） 速度和：25＋20＝45（千米/小时） 从排尾追赶到排头，队伍行进了： 3×[45÷（5＋45）]＝2.7（千米）； 通讯员行进了： 2.7×25÷20＝3.375（千米）。 答：通讯员从排头返回排尾进走了3.375千米。 7．甲乙两艘轮船从相距654千米的两地相对开出，8小时两船还相距22千米。乙船每小时行42千米，甲船每小时行多少千米？ 【答案】37千米 【分析】两地相距654千米，8小时后两船还相距22千米，则这8小时，两只船一共走了654－22＝632千米，那么两只船每小时一共走632÷8＝79千米，其中乙船每小时行42千米，那么甲船每小时就行了79－42＝37千米。 【详解】解：剩余路程：654－22＝632（千米） 甲乙两船速度和：632÷8＝79（千米） 甲船速度：79－42＝37（千米） 答：甲船每小时行37千米。 8．卡尔步行上学，每分钟行70米。离家12分钟后，爸爸发现卡尔的文具盒忘在家中，爸爸带着文具盒，立即骑自行车以每分钟280米的速度去追卡尔。当爸爸追上卡尔时他们离家多远？ 【答案】1120米 【分析】本题是追及问题的基本应用。我们先求出追及时间，追及时间＝追及路程÷速度差，再运用速度×时间就可以得出爸爸行驶的路程，该路程就是题目中所求的答案了。 【详解】爸爸行驶的时间： 70×12÷（280－70）＝4（分钟） 爸爸行驶的路程： 280×4＝1120（米） 答：爸爸追上卡尔时他们离家1120米。 9．B处的兔子和A处的狗相距56米，兔子从B处逃跑，狗同时从A处跳出追兔子，狗一跳前进2米，狗跳3次时间与兔子跳4次时间相同，兔子跳出112米到达C处，狗追上兔子，问兔子一跳前进多少米？ 【答案】1米 【分析】由题干可知：免子跳出的路程为112米，狗追击的路程为56＋112＝168米，由此先求出狗跳的次数，由狗跳3次的时间与免跳4次的时间相同的条件，可得出免子跳的次数，从而即可解决问题， 【详解】根据追及问题可知，兔跳112米时，狗跳的路程：56＋112＝168（米）。 狗一共跳的次数：168÷2＝84（次）。 由狗跳3次的时间与兔跳4次的时间相同的条件可知 兔跳的次数：4×（84÷3）＝112（次） 兔跳一次的距离：112÷112＝1（米）。 答：兔子一跳前进1米。 10．摩托车行驶120千米与汽车行驶180千米所用的时间相同，7小时内摩托车行驶的路程比6小时内汽车行驶的路程少80千米，若摩托车先出发2小时，然后汽车从同一出发点开始追赶，那么汽车出发后几小时内可以追上摩托车？ 【答案】汽车出发后4小时内可以追上摩托车 【分析】首先分析两车的路程比即是速度比，根据路程差除以速度差即可求解。 【详解】依题意可知： 摩托车速度：汽车的速度＝120：180＝2：3 每一份的路程为：80÷（3×6－2×7）＝20（千米） 摩托车7小时的路程为：20×7×2＝280（千米）。 摩托车的速度为：280÷7＝40（千米/时） 汽车6小时的路程为：20×6×3＝360（千米） 汽车的速度是：360÷6＝60（千米/时） 40×2÷（60－40）＝4（小时） 答：那么汽车出发后4小时内可以追上摩托车。 七、还原问题（逆推问题） 1．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？ 【答案】180个 【分析】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。 利用逆推还原法，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班，二班分得余下苹果数的一半是48个，那么余下的苹果就是96个。一班分得总个数的一半少6个是96个，则一班分得总个数的一半是90个，则这批苹果的总个数就是180个。 【详解】40＋8＝48（个） 48×2＝96（个） 96－6＝90（个） 90×2＝180（个） 答：这批苹果共有180个。 2．解放军某部参加抗震救灾，从第一队抽调一半人支援第二队，抽调35人支援第三队，又抽调剩下的一半支援第四队，后来又调进8人，这时第一队还有30人，求第一队原有多少人？ 【答案】158人 【分析】由条件“后来又调进8人”和“这时第一队还有30人”，可知不调进8人有（30－8）人，即22人。由“又抽调剩下的一半支援第四队”后还有22人，可知如果不抽调人去支援第四队，一队有（22×2）人，44人；由“抽调35人支援第三队”后还有44人，可知之前有（44＋35）人，即79人；由“从第一队抽调一半人支援第二队”后还有79人，可知第一队原有（79×2）人。据此列式解答即可。 【详解】[（30－8）×2＋35]×2 ＝[44＋35]×2 ＝79×2 ＝158（人） 答：第一队原有158人。 3．张、王、李、赵四个小朋友共有课外读物200本，为了广泛阅读，张给王13本，王给李18本，李给赵16本，赵给张2本。这时4个人的本数相等。他们原来各有多少本？ 【答案】61本；55本；48本；36本 【分析】用倒推法，求每个人原来各有多少本书，可以从最后结果50本开始，把给出的本数加上，收进的本数减去，就得到各人原有课外读物的本数。 【详解】（1）张原有读物的本数：50＋13－2＝61（本） （2）王原有读物的本数：50＋18－13＝55（本） （3）李原有读物的本数：50＋16－18＝48（本） （4）赵原有读物的本数：50＋2－16＝36（本） 答：张原有读物本，王原有读物本，李原有读物本，赵原有读物本。 4．第24届大冬会吉祥物专卖店购进一批吉祥物“冬冬”。开幕式当天上午卖出一半多30个，下午卖出剩下的一半少10个，还剩下200个。商店原来购进多少个？ 【答案】820个 【分析】根据线段图可知，上午卖出后的一半是200个与10个的差即190个；那么全部的一半就是190个的2倍与30个的和，据此求原来购进多少个。 【详解】 （个） 答：原来购进820个。 5．某水果店进一批水果，运进的是原来的水果的一半，原有的蔬菜卖出去一半以后，恰好与现在的水果同样多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？ 【答案】2400千克 【分析】由原有水果880千克出发逐步倒推：运进水果：800÷2＝400（千克），现有水果：800＋400＝1200（千克），原有蔬菜：1200×2＝2400（千克）。 【详解】（800÷2＋800）×2 ＝1200×2 ＝2400（千克） 答：原有的蔬菜是2400千克。 6．一班、二班、三班各有不同数目的图书。如果一班拿出本班的一部分图书分给二班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；然后二班也拿出一部分图书分给一班、三班，使这两个班的图书各增加一倍；接着三班也拿出一部分图书分给一班、二班，使这两个班的图书各增加一倍。这时，三个班的图书数目都是48本。求三个班原来各有图书多少本？ 【答案】本；本；本 【分析】依据题意可知，一班、二班的图书数目各增加一倍才是48本，因此增加前各应有24本，所以一班、二班的图书数目各应减半，还给三班。其余各次，以此类推，把倒推解答的过程列表如下。 【详解】48÷2＝24（本） 48÷2＝24（本） 48＋24＋24＝96（本） 24÷2＝12（本） 96÷2＝48（本） 24＋12＋48＝84（本） 84÷2＝42（本） 48÷2＝24（本） 12＋42＋24＝78（本） 列表解答：（单位：本） 一班 二班 三班 结果 48 48 48 第三次分之前 24 24 96 第二次分之前 12 84 48 第一次分之前 78 42 24 答：三个班原来各有图书本，本，本。 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $