专题06 勾股定理复习压轴题 4大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版2024）八年级数学上学期

学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题06勾股定理复习压轴题 ☆4大高频烤点概览 考点01折叠问题 考点02最值问题 考点03用勾股定理解三角形 考点04勾股定理的应用 目目 考点01 折叠问题 1.(24-25八上河南郑州桐柏一中·期中)小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图， 在△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=8,沿过点A的直线折叠，使点B落在BC边上的点D处， 再次折叠，使点C与点D重合，折痕交AC于点E,则AE的长度为() B D =C E A.4 B.5 C.6 D.7 2.(24-25八上·河南郑州外国语中学期中)如图，平面直角坐标系中，长方形A0CB的顶点AC分别位于两 坐标轴正半轴，点B的坐标为(4,5)，D为x轴上一动点，连接DB,将△BDC沿BD所在直线翻折得到 △BCD,当点C恰好落在y轴上时，点D的坐标为 C D C x 3.(23-24八上河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期中)如图，在长方形ABCD中， AB=8,BC=15,点E是BC边上一点，连接AE,将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，当△CEF 为直角三角形时，BE的长为_ 1/10 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 4.(24-25八下·河南郑州桐柏一中·期中如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8,BC=12,D是 BC的中点，E是AC边上一动点.将△CDE沿DE折叠得到△CDE,连接AC.当△AEC是直角三角 形时，CE的长为— 5.如图，在长方形ABCD中，AB=10,AD=6,E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在 AB边上的F处，则CE的长为 A FB 6.(24-25八上河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AB=5, BC=4,点D为线段CB上一个动点，连接AD,将△ADB沿直线AD翻折得到△ADE,线段AE交直线 CB于点F,若△DEF为直角三角形，则BD的长是 目目 考点02 最值问题 7.(24-25八上河南平顶山宝丰县期中)如图，在长方形ABCD中，AB=3,BC=4,点E是长方形 ABCD内一点，且BE=BC,点F为BE的中点，连接DECE、CF,则DE+CF的最小值为一 2/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 D F B 8.(24-25八上河南郑州金水区七校联考期中)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12,BC=9, 射线CD与边AB交于点D,E、F分别为AD、BD的中点，设点E、F到射线CD的距离分别为mn,则线段 CD的最小值为，m+n的最大值为一 9.(22-23八上·广东广州天河区华南师范大学附属中学期中)如图，在△ABC中，AB=AC=5,BC=6 ,AD⊥BC于点D,AD=4,E、F分别是线段AB、AD上的动点，则EF十FB的最小值为() B 0 C A.4 B.4.8 C.5.4 D.6 目目 考点03 用勾股定理解三角形 10.(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考期中)问题情境：已知Rt△ABC的周长为56，斜边长 c=25,求△ABC的面积. 解法展示： 设Rt△ABC的两直角边长分别为a,b,则a十b十c=56, :c=25,·a+b=56-25=31,(a+b)2=a2+ (填式子)=961 :在Rt△ABC中，∠C=90o,. (填式子)，.c2+2ab=961,∴.625+2ab=961 :ab=168(第1步)，△ABC的面积=青ab=专×168=84（第2步） 合作探究： (1)填空：填写题月中横线处的内容. 3/10 命学科网 www zxxk com 让教与学更高效 (2)上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是 (填序号)· ①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想 方法迁移： (3)已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长. 11.(23-24八下，河南漯河郾城区·期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90·，AC=6,BC=8,以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC,AB于点M,N,分别以M,N为圆心，大于MN的长为半径画 弧，两弧交于点P,作射线AP交BC于点D,再用尺规作图作出DE⊥AB于点E,则BD的长为 12.(22-23八上河南南阳五校期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,BC=6cm,若 动点P从点A出发以1cm/s的速度沿折线A-C-B-A运动t(t>0)s.当点P运动到恰好到点A和点B的 距离相等的位置时，t的值为_ 13.(23-24八上·河南平顶山汝州期中)如图，点A是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站B或C处乘 车前往，且AB=BC,因道路施工，点C到点A段现暂时封闭，为方便出行，在BC这条路上的D处修建了 一个临时车站，由D处亦可直达A处，若AC=1km,AD=0.8km,CD=0.6km.则路线AB的长为 km. D 14.(23-24八上河南驻马店驿城区第二初级中学·期中)一个三角形的两边长为4和5，要使该三角形为直角 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三角形，则第三条边长为() A.3 B.V41 C.41或3 D.9 15.(21-22八下河南新乡延津县期中)如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE=0.6m, 将他往前推送2,4m（水平距离BC=2.4m)时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=1.2m,求绳索AD的长 度 B 目目 考点04 勾股定理的应用 16.(24-25八上·河南平顶山汝州期中)消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消 防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至 最长，此时消防车的位置A与楼房的距离0A为15米. D B 房 C A 消防车 E 地面 F 图1 图2 (1)求B处与地面的距离， (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方4米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩， 消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？ 17.(24-25八上河南郑州四中集团期中)如图，圆柱形透明容器的底面周长是24cm,高是15cm,在外侧 地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处1cm的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇 充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 cm 5/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 18.(23-24八下·河南洛阳西工区·期中)学校操场边有一根垂直于地面1的旗杆AB,一根无弹力、不能伸缩 的绳子m紧系于旗杆顶端A处（打结处忽略不计）.聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m 紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即BC=1米；如图2，当离开旗杆底端B处5米后，绳子 恰好拉直且绳子末端D处恰好接触地面，即BD=5米.请你跟小陶同学一起算一算旗杆AB的高度是() m B 图1 图2 A.12米 B.10米 C.6米 D.15米 19.(24-25八下·河南信阳平桥区期中)某条高速公路限速100km/h,如图，一辆大巴车在这条道路上沿直 线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s,大巴车到达A处，此 时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m.问题：这辆大巴车超速了吗？ m 端 40--- QB 检测仪 20.(24-25八上河南郑州中牟县期中如图，有一个高为8，底面直径为是的圆柱.在圆柱下底面的点A有 一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，它从点A爬到点B,然后再沿另一面爬回A点，蚂 蚁爬行的最短路程是 6/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 21.(23-24八上河南郑州第二十六中学.期中)问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法.下面利用拼图的方法探究证明勾股定理； 定理表述： (1)请你结合图①中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 勾股定理： 尝试证明： (2)善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选 择其中一种进行证明. y D G E E C a B D A 方法一 方法二 图① 图② 1米 77777 5米 图③ 解决问题： (3)如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米 处，发现此时绳子底端距离打结处约1米.请设法求出旗杆的高度， 22.(22-23八下河南信阳淮滨县期中)台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大， 有极强的破坏力，如图，台风“烟花中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线 AB上的两点A、B的距离分别为AC=300km,BC=400km,又AB=500km,经测量，距离台风中 心260km及以内的地区会受到影响. 7/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A B (1)求∠ACB的度数； (2)海港C受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 23.(23-24八上·河南平顶山汝州期中)一梯子AC长2.5m,如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端到墙的距 离BC长0.7m (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为m,底端到垂直墙面的距离为n,若罗=a,根据经验可知：当 2.7<a<5.6时，梯子最稳定，使用时最安全.若梯子的顶端A下滑了0,4m到A,梯子底端C滑动到C处， 请问此时使用梯子是否安全， 24.(23-24八上·河南焦作温县·期中)如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为3cm,高为8cm,现有 一 根长为15cm的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 25.(23-24八上河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校期中)如图，直四棱柱的底面是边长为8的正方形， 侧棱长为16，点D是BC的中点，蚂蚁从A点沿着表面爬行到D点的最短路程是d,则2的值是() 8/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 D B A.148 B.320 C.400 D.464 26.(22-23八下·河南漯河临颜县期中)如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙A0上，测得A0=8米.若梯 子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度 为」 B D 27.(22-23八下·河南洛阳涧西区期中)学过《勾股定理》后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆AB的高度， 得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长2米（如图1）： ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离CD为2米，到旗杆的距离CE为10米（如图 2. 根据以上信息，求旗杆AB的高度， A A B 图1 图2 28.(22-23八下河南新乡红旗区第一中学期中)《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立 着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退 行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为() 9/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.82+x2=(x-3)2 B.82+(x-3=x2 C.82+x2=(x+3)2 D.x4x+3)2=x2 10/10 专题06 勾股定理复习压轴题 4大高频考点概览 考点01 折叠问题 考点02 最值问题 考点03 用勾股定理解三角形 考点04 勾股定理的应用 地 城 考点01 折叠问题 1．(24-25八上·河南郑州桐柏一中·期中)小明在帮妹妹完成手工作业的时候发现了其中的数学问题，如图，在中，，，，沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，再次折叠，使点与点重合，折痕交于点E，则的长度为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 根据题意可得，，，，可得，继而设，则，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处，， ∴，， ∵折叠纸片，使点C与点D重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，， 则， ∴， 解得， 即， 故选：B． 2．(24-25八上·河南郑州外国语中学·期中)如图，平面直角坐标系中，长方形的顶点 分别位于两坐标轴正半轴，点的坐标为，为轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在轴上时，点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，先由题意求出，再由折叠的性质得到 ，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案． 【详解】解；由题意得，轴，轴， ∵的坐标为， ∴， ∴， 分两种情况： 当点在轴的正半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ②当点在轴的负半轴时，如图所示： 由折叠的性质可得 ， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 3．(23-24八上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期中)如图，在长方形中，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理；分为两种情况，当和时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，当时， 矩形中，， ， 由折叠性质可得： ，， ， ， 、、三点共线， ， 设则，， 在中， ， ， 解得， ； 如图，当时， ， 由折叠性质可得： ，， 四边形为正方形， ， 故答案为：． 4．(24-25八下·河南郑州桐柏一中·期中)如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ． 【答案】3或6/6或3 【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质分别求解即可． 【详解】解：如图，当时， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， 设，则， 在中，则有， 解得：， ∴． 如图，当时，，    ∵， ∴， ∴； 综上所述，满足条件的的值为3或6． 故答案为：3或6． 5．如图，在长方形中，，，为上一点，把沿折叠，使点落在边上的处，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】利用勾股定理得出的长度，再利用折叠的性质，在中求解的长，即可得出的长度． 【详解】解：在矩形中，，，由折叠的性质可得： ， ∴ ， ∴， 设，则：，， 在中，由勾股定理可得： ， 解得： ， ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质和勾股定理等知识点，解题的关键是利用求出的长度． 6．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)如图，中，，，，点为线段上一个动点，连接，将沿直线翻折得到，线段交直线于点．若为直角三角形，则的长是 ． 【答案】1或 【分析】根据题意可分三种情况：当时，当时，利用勾股定理来求解． 【详解】解：当时，过点作，交的延长线于点，如图 ， ， 四边形是矩形， ，。 将沿直线翻折得到， ，． 在中 ． 设， 则，， ， 整理得， 解得，（舍去）， 所以． 当时，此时点与点重合， 将沿直线翻折得到， ，， 设， 则，， ， 整理得， 解得， 即． 当时， 因为在中，， 所以，翻折后，不可能为，此种情况不存在． 综上所述，的长是或． 【点晴】本题考查了翻折的性质，勾股定理，直角三角形的性质，矩形的判定和性质，掌握分类思想是解答关键． 地 城 考点02 最值问题 7．(24-25八上·河南平顶山宝丰县·期中)如图，在长方形中，，，点是长方形内一点，且，点为的中点，连接、、，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，取的中点，连接，，证明，得到，进而得到，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：取的中点，连接，， ∵，为的中点 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵在长方形中，，， ∴， ∴； ∴， ∴的最小值为； 故答案为：． 8．(24-25八上·河南郑州金水区七校联考·期中)如图，在中，，，，射线与边交于点，分别为、的中点，设点到射线的距离分别为，则线段的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查与三角形中线有关的面积的计算，勾股定理的应用，垂线段最短，连接，根据面积关系可以求得，得到，当最小为边上高时，即可求出的最大值，熟练掌握等面积法的应用是解题的关键 ． 【详解】解：如图，连接， 过作垂线，垂足为点，过作垂线，垂足为点，即，， 则，， ∵分别为、的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 设边上的高为，则， ∴， 当最小时，即，此时时，的值最大，最大值为， 故答案为：，． 9．(22-23八上·广东广州天河区华南师范大学附属中学·期中)如图，在中，，，于点D，，E、F分别是线段上的动点，则的最小值为（    ）    A．4 B． C． D．6 【答案】B 【分析】此题主要考了等腰三角形的性质，勾股定理，轴对称﹣最短路线问题等知识点的理解和掌握，能得到是解此题的关键． 作E关于的对称点M，连接交于F，连接，过B作于N，根据三线合一定理求出的长和平分，根据三角形面积公式求出，根据对称性质求出，根据垂线段最短得出，即可得出答案． 【详解】解：作E关于的对称点M，连接交于F，过B作于N，   ， ，平分， 在上， ， ， ， ∵E关于的对称点M， ， ， 根据垂线段最短得出：， 即， 即的最小值是， 故选：B． 地 城 考点03 用勾股定理解三角形 10．(24-25八上·河南郑州枫杨、朗悦慧等九校联考·期中)问题情境：已知的周长为56，斜边长，求的面积． 解法展示： 设的两直角边长分别为a，b，则， ∵，∴，∴______（填式子） ∵在中，，∴______（填式子），∴，∴ ∴（第1步），∴的面积（第2步） 合作探究： （1）填空：填写题目中横线处的内容． （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是______（填序号）． ①整体思想；②数形结合思想；③分类讨论思想． 方法迁移： （3）已知一直角三角形的面积为6，斜边长为5，求这个直角三角形的周长． 【答案】（1）；；（2）①；（3）12 【分析】（1）由完全平方公式和勾股定理求出，即可解决问题； （2）体现整体思想，即可得出结论； （3）由勾股定理和三角形的面积公式列出二元二次方程组，利用整体思想求出，即可解决问题． 本题考查了二元二次方程组的应用、勾股定理、完全平方公式以及三角形的面积公式等知识，本题综合性强，熟练掌握勾股定理和三角形面积公式是解题的关键，属于中考常考题型． 【详解】解：（1）设的两直角边长分别为，， 则， ， ， ， 在中，， ， ， ， （第1步）， 的面积（第2步）， 故答案为：，； （2）上述解题过程中，由第1步到第2步体现出来的数学思想是整体思想， 故答案为：①； （3）设直角三角形的两直角边分别是、，且、均为正数）， 由题意得：， 解得：， ∵斜边长为， 这个直角三角形的周长． 11．(23-24八下·河南漯河郾城区·期中)如图，在中，，，，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D，再用尺规作图作出于点E，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查作图-复杂作图，勾股定理、角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，可得结论． 【详解】解： 由作图可知平分， 设则有 ∴ 故答案为：5． 12．(22-23八上·河南南阳五校·期末)如图，在中，，，，若动点从点出发以/的速度沿折线运动（）．当点运动到恰好到点和点的距离相等的位置时，的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理和与线段有关的动点问题，熟练掌握分类讨论的数学思想是解决问题的关键，根据题意可知，然后分两种情况讨论：当点在上和当点在上，即可求得的值 【详解】∵在中，，，， ∴， ∵点从点出发，以/的速度沿折线运动，设运动时间为， 当点在上，且时， ∵，， ∴， ∴， 解得 ， 当点在上，且时， ∵点从点出发，以/的速度沿折线运动， ∴， ∴， 综上所述：当点运动到恰好到点和点的距离相等的位置时，的值为或， 故答案为：或19. 13．(23-24八上·河南平顶山汝州·期中)如图，点是某景点所在位置，游客可以在游客观光车站或处乘车前往，且，因道路施工，点到点段现暂时封闭，为方便出行，在这条路上的处修建了一个临时车站，由处亦可直达处，若．则路线的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答本题的关键．先根据勾股定理逆定理判断是直角三角形，再根据勾股定理计算求解． 【详解】解：是直角三角形． 理由如下： ，，， ，，， ， 是直角三角形； ， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得， ． 故答案为：． 14．(23-24八上·河南驻马店驿城区第二初级中学·期中)一个三角形的两边长为4和5，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为（　　） A．3 B． C．或3 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，利用分类讨论思想：分长为4和5的两边都是直角边和长是5的边是斜边两种情况进行讨论，根据勾股定理即可求得第三边的长是解决问题的关键． 【详解】解：当长为4和5的两边都是直角边时，斜边长是； 当长是5的边是斜边时，第三边长是， 所以第三边长为或3， 故选：C． 15．(21-22八下·河南新乡延津县·期中)如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度，将他往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，求绳索的长度．    【答案】绳索的长度是 【分析】设秋千的绳索长为，，根据题意可得，利用勾股定理可得，即可作答． 【详解】解：设秋千的绳索长为，则， 那么， 在中，， 故， 即 解得：， 所以绳索AD的长度是． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出、的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 地 城 考点04 勾股定理的应用 16．(24-25八上·河南平顶山汝州·期中)消防车上的云梯示意图如图1所示，云梯最多只能伸长到25米，消防车高4米，如图2，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为15米． (1)求处与地面的距离． (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方4米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是24米； (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）在中，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论； （2）在中，由勾股定理求出的长，利用即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， 米，米， 米 米． 答：处与地面的距离是24米； （2）解：在中， 米，米， 米 米． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为8米． 17．(24-25八上·河南郑州四中集团·期中)如图，圆柱形透明容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是 ． 【答案】20 【分析】本题考查平面展开最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 把圆柱的侧面展开，作点关于的对称点，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作点关于的对称点， 如图所示， 则蜘蛛所走的最短路线长度为． 故答案为：20． 18．(23-24八下·河南洛阳西工区·期中)学校操场边有一根垂直于地面l的旗杆，一根无弹力、不能伸缩的绳子m紧系于旗杆顶端A处(打结处忽略不计)．聪明的小陶同学通过操作、测量发现：如图1，当绳子m紧靠在旗杆上拉紧到底端B后，还多出1米，即 米；如图2，当离开旗杆底端 B 处5米后，绳子恰好拉直且绳子末端D 处恰好接触地面，即 米．请你跟小陶同学一起算一算旗杆的高度是（   ） A．12 米 B．10 米 C．6 米 D．15米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理．设旗杆米，则米，根据勾股定理列方程即可求出旗杆的高度．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】设旗杆米，则米，根据勾股定理可得， ， ， 解得． 故选：A 19．(24-25八下·河南信阳平桥区·期中)某条高速公路限速，如图，一辆大巴车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方的B处，过了，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为．问题：这辆大巴车超速了吗？ 【答案】大巴车超速了 【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，在中，根据勾股定理求出的长，然后再求出大巴车的速度，即可判断出结果． 【详解】解：由题意可知，，， ， 大巴车的速度为， ， 大巴车超速了． 20．(24-25八上·河南郑州中牟县·期中)如图，有一个高为，底面直径为的圆柱．在圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点相对的点处的食物，它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，将圆柱侧面展开，利用勾股定理求解出点A到点B的最短距离即可得到答案． 【详解】解：由题意侧面展开得到下图所示： ∵底面直径为，高为， ∴，， ∴， ∴它从点爬到点，然后再沿另一面爬回点，蚂蚁爬行的最短路程是， 故答案为：． 21．(23-24八上·河南郑州第二十六中学·期中)问题情境： 勾股定理是一个古老的数学定理，有很多种证明方法．下面利用拼图的方法探究证明勾股定理； 定理表述： （1）请你结合图①中的直角三角形，叙述勾股定理（可以选择文字语言或符号语言叙述）； 勾股定理：______． 尝试证明： （2）善于思考的小亮利用若干个全等的直角三角形构造出如图②所示的两种方法证明了勾股定理，请你选择其中一种进行证明． 解决问题： （3）如图③，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米．请设法求出旗杆的高度． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的证明，正确运用勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理得：； （2）证明：方法一：连接，利用梯形面积计算即可．方法二：利用正方形面积计算即可； （3）由题意知：，由勾股定理得，再计算即可． 【详解】解：(1)根据勾股定理得：， 故答案为： （2）证明：方法一：如图②，连接， 梯形面积面积面积， 又梯形面积， ∴， ∴． 方法二： 正方形面积=正方形面积面积， 又正方形面积， ∴． （3）如图③： 由题意知：， ∵， ∴， 解得， 故旗杆的高度为12米． 22．(22-23八下·河南信阳淮滨县·期中)台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)90° (2)受台风影响；理由见解析 (3)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形，； （2）海港受台风影响，理由：过点作于， ∵是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 23．(23-24八上·河南平顶山汝州·期中)一梯子长，如图那样斜靠在一面墙上，梯子底端到墙的距离长． (1)这架梯子的顶端离地面有多高？ (2)设梯子顶端到水平地面的距离为，底端到垂直墙面的距离为，若，根据经验可知：当时，梯子最稳定，使用时最安全．若梯子的顶端下滑了到，梯子底端滑动到处，请问此时使用梯子是否安全． 【答案】(1) (2)所以此时使用梯子不安全． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出的长即可； （2）由题意得：，再由勾股定理得，则，即可得出结论． 【详解】（1）根据勾股定理可得 答：梯子的顶端离地面． （2）由题知 则 此时 因为 所以此时使用梯子不安全． 24．(23-24八上·河南焦作温县·期中)如图是一圆杜玻璃杯，从内部测得底面半径为，高为，现有一根长为的吸管任意放入杯中，则吸管露在杯口外的长度最少是 ． 【答案】 【分析】吸管露出杯口外的长度最少，即在杯内最长，作直角三角形，再利用勾股定理即可解答．本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图所示，是直角三角形， ∵底面半径为，高为， ，， 由勾股定理得：， ∴吸管露在杯口外的长度最少为：， 故答案为：5cm． 25．(23-24八上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·期中)如图，直四棱柱的底面是边长为的正方形，侧棱长为，点是的中点，蚂蚁从点沿着表面爬行到点的最短路程是，则的值是（    ） A．148 B．320 C．400 D．464 【答案】C 【分析】本题主要考查立体几何的展开图，两点之间线段最短，勾股定理，根据蚂蚁要爬行最短路径，则蚂蚁路线为（图示见详解），过点作于，则四棱柱的展开图可知，底面是边长为的正方形，侧棱长为，点是的中点，则直角三角形的两条直角边已知，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示， 蚂蚁从点沿着表面爬行到点，再到点的路程最短，过点作于，将四棱柱展开，蚂蚁爬行的路径如下图所示，即为最短路径， ∵底面是边长为的正方形，侧棱长为，点是的中点，即，， ∴，， 在中， ∴，即， 如图所示，若经过上底面， 则 ∴， 而， 故选：． 26．(22-23八下·河南漯河临颍县·期中)如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，测得米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子的长度为 ．    【答案】10米/10m 【分析】由题意知，，，，，由勾股定理得，，，则，即，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，，，， 由勾股定理得，，， ∴，即， 解得，，（舍去）， 故答案为：10米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 27．(22-23八下·河南洛阳涧西区·期中)学过勾股定理后，某班兴趣小组来到操场上测量旗杆的高度，得到如下信息： 测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长米如图； 当将绳子拉直时，测得此时拉绳子另一端的手到地面的距离为米，到旗杆的距离为米如图． 根据以上信息，求旗杆的高度．    【答案】旗杆的高度为米． 【分析】设，在中根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设米， 则，， ， ， 即：， ， ， ． 答：旗杆的高度为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的相关知识并在直角三角形中正确运用是解题的关键． 28．(22-23八下·河南新乡红旗区第一中学·期中)《九章算术》勾股章有一个问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问：绳索有多长？若设绳索长x尺，根据题意，可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由绳索的长度，可得出木柱的高度，再利用勾股定理，即可得出方程，此题得解． 【详解】解：设绳索长x尺，则木柱高尺， 由题意得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关正确列出方程是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $