专题07 一次函数复习压轴题 3大高频考点（期中真题汇编，河南专用北师大版2024）八年级数学上学期

专题07 一次函数复习压轴题 3大高频考点概览 考点01 一次函数与正比例函数 考点02 与一次函数的图象有关的问题 考点03 一次函数的应用 地 城 考点01 一次函数与正比例函数 1．(24-25八上·河南郑州中牟县·期中)下列函数中，正比例函数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的解析式为判断作答即可． 【详解】解：、是正比例函数，符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 、是一次函数，不符合题意； 故选：． 2．(24-25八上·河南实验中学·期中)下列函数是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的概念：若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数．根据一次函数和正比例函数的概念解答即可． 【详解】解：A、是一次函数，不是正比例函数，故选项符合题意； B、不是一次函数，故选项不符合题意； C、是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； D、不是一次函数，故选项不符合题意． 故选：A． 3．(23-24八上·河南郑州桐柏一中·期中)下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，若两个变量x和y间的关系式可以表示成（k，b为常数，）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量，y为因变量）；一般地，两个变量x，y之间的关系式可以表示成形如（k为常数，且）的函数，那么y就叫做x的正比例函数，再根据定义逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：A．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意； B．不是一次函数，故选项不符合题意； C．是一次函数，但不是正比例函数，故选项符合题意； D．是一次函数，也是正比例函数，故选项不符合题意． 故选：C． 4．(22-23八下·河南部分校·期中)已知函数是正比例函数，则常数k的值为（　　） A．-1 B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的性质，求解即可，形如的函数为正比例函数． 【详解】解：由题意可得：，解得 故选：C 【点睛】此题考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 5．(22-23八下·河南南阳镇平县·期中)若函数为正比例函数，则k的值为（    ） A． B． C． D．不存在 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵函数为正比例函数， ∴， 解得： 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数． 6．(23-24八上·河南郑州郑州枫杨外国语学校·期中)郑州东枫外国语学校八年级数学兴趣小组的同学们，对函数（a，b 是常数，） 的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整． (1)当时，即．当 时，函数化简为；当 时，函数化简为 ． (2)当 时，即． ①该函数自变量 x 和函数值 y 的若干组对应值如下表： x … 0 1 2 n 4 … y … 6 m 2 0 2 4 6 … 其中 ， ． ②在图 1 所示的平面直角坐标系内画出函数|的图象．    (3)请写出函数的一条性质： ． 【答案】(1) (2)①4，3②见解析 (3)函数的图象有最低点，最低点是 【分析】本题考查了一次函数图象和性质， （1）根据绝对值的意义进行化简； （2）①根据一次函数图象上点的特征代入求出m，n的值即可；②根据描点法作图； （3）根据图象解答即可． 【详解】（1）解：， 当时， 函数为：； 故答案为：； （2）解：①当，时， ， 当，时， ， 解得：（舍） 故答案为：4，3； ②把①中的各个点在平面直角坐标系中描出并连接各点， 如图1所示：   ； （3）解：由②中的图象可得：函数的图象有最低点，最低点是． 地 城 考点02 与一次函数的图象有关的问题 7．(24-25八上·河南郑州八校联考·期中)在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点、、、…，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，能根据题意得出点的坐标为是解题的关键．根据题意，依次求出点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：将代入得，， 所以点的坐标为． 因为四边形是正方形， 所以点的坐标为． 同理可得， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 所以点的坐标为， 当时， 点的坐标为． 故选：A． 8．(24-25八上·河南驻马店第二初级中学·期中)若函数是关于的一次函数，且随的增大而减小，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的相关知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据题意一次函数的性质和定义可得：，，求解即可． 【详解】解：∵是关于的一次函数，随的增大而减小， ∴，， 解得：，， ∴， 故答案为：． 9．(22-23八上·河南郑州二中共同体·期末)学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图象，进而研究函数的性质．请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数的图象和性质，并解决问题． (1)①列表填空； … 0 1 … … __ 1 2 ___ 0 … ②在平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质； (3)进一步探究函数图象发现： ①方程有______个解； ②若关于x的方程无解，则a的取值范围是______． 【答案】(1)①0，1 ；②函数图象见解析 (2)①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是；②函数图象关于直线成轴对称；③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大） (3)①2； ② 【分析】（1）①将x的值代入对应的解析式即可求得； ②根据描点法画出函数图象即可； （2）根据函数图象可以写出该函数图象的一条性质 （3）①根据图象即可得出结论； ②根据关于x的方程无解，得出函数的图象与无交点，然后观察图象即可得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴当时，； 当时，； ②函数图象如图， ； （2）解：①函数的最大值是2（或者函数图象最高点的坐标是； ②函数图象关于直线成轴对称； ③当时y的值随着x的增大而减少（或者当时y的值随着x 的增大而增大）； （3）解：①观察图形可知， 方程有2个解； ②关于x的方程无解， 则函数的图象与无交点， 观察图形可知，此时． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标的特征，一次函数的图象和性质．画出函数的图象，利用数形结合法是解题的关键． 10．(23-24八上·河南郑州中原区第十九初级中学·期中)如图，直线与直线相交于点．直线与轴交于点，一动点从点出发，先沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，改为垂直于轴的方向运动，到达直线上的点处后，再沿平行于轴的方向运动，到达直线上的点处后，又改为垂直于轴的方向运动，到达直线的点处后，仍沿平行于轴的方向运动，…，照此规律运动，动点依次经过点，则当动点到达处时，运动的总路径的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行于坐标轴的直线上点的坐标特征、探究规律，正确分析出相关规律是本题解题关键．点，，所在直线与y轴平行，横坐标相同，根据变化的情况分析可得：当动点到达点处时，运动的总路径的长为，据此即可求解． 【详解】解：由直线：可知，， 由平行于坐标轴的两点的坐标特征和直线、对应的函数表达式可知， ，，，，， ，，，，，…， 由此可得，， ∴当动点到达点处时，运动的总路径的长为， ∴当点到达处时，运动的总路径的长为． 故选：B． 11．(23-24八上·河南焦作温县·期中)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题． (1)在平面直角坐标系中，画函数的图象： ①列表：完成表格 0 1 2 3 ②画出的图象； (2)结合所画函数图象，写出两条不同的性质； (3)直接写出函数的图象是由函数的图象怎样得到的? 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)见解析； (3)向下平移1个单位． 【分析】（1）①根据所取的x值和函数解析式求出y的值，完成表格； ②利用描点法画出函数图象； （2）可以从所处象限，增减性，最值等方面来说明性质； （3）根据函数图象的平移规律得出答案． 本题主要考查函数的图象与性质，掌握描点法画出函数图象是关键． 【详解】（1）①填表如下 ： ②如图所示： （2）解：①的图象位于第一、二象限，在第一象限y随x的增大而增大，在第二象限y随x的增大而减小；②函数有最小值，最小值为1； （3）解：函数的图象是由函数的图象向下平移1个单位得到． 12．(23-24八上·河南焦作温县·期中)已知点和点都在直线．上，则与的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】根据一次函数的比例系数的符号以及相应自变量的大小可得所求结果．此题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：直线，， y随x的增大而减小， ， ， 故答案为：或． 13．(23-24八上·河南焦作温县·期中)正比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据和分别判断正比例函数与一次函数图象所在象限，由此即可求解．本题主要考查函数图象，掌握一次函数图象的特点及系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设，则正比例函数的图象过一、三象限，一次函数的图象过一、三、四象限； 设，则正比例函数的图象过二、四象限，一次函数的图象过一、二、四象限； 综上可知A符合题意， 故选：A． 14．(23-24八上·河南焦作温县·期中)下列说法正确的是（    ） A．若将直角三角形的三条边同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三角形不是直角三角形 B．平方根等于本身的数有0，1 C．一次函数的图象一定经过第一、二、四象限 D．和可以合并 【答案】D 【分析】根据相关知识一一判断即可． 【详解】解：A、若将直角三角形的三条边同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三角形是直角三角形，故A选项不符合题意； B、平方根等于本身的数只有0，故B选项不符合题意； C、，直线过第二、四象限；，则直线还过第三象限，即直线经过第二、三、四象限，故C选项不符合题意； D、，，是同类二次根式，可以合并，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理、平方根、二次根式的化简、同类二次根式的定义以及一次函数的图象与性质等知识，熟悉这些知识是关键． 15．(23-24八上·河南郑州桐柏一中·期中)如图，直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，C是y轴上的一个动点，将沿着直线翻折后得到，当点B的对应点落在x轴上时，点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得到，，当点B的对应点落在x轴上时，设，，由直线分别与x轴、y轴交于A，B两点，求出A，B两点的坐标，利用勾股定理求出，进而求出的坐标，在利用勾股定理即可求出点坐标． 【详解】解：根据题意，得，，当点B的对应点落在x轴上时， 设，， 直线分别与x轴、y轴交于A，B两点， 令，，令，， ，， ， ， ，解得：或（舍）， ， ， ，即， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查折叠的性质，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，灵活运用勾股定理及坐标间的距离公式是解题的关键． 16．(23-24八上·河南郑州桐柏一中·期中)已知一次函数，当时，对应的函数值的取值范围是，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．2或4 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的性质及利用待定系数法确定函数解析式，根据一次函数的性质分情况讨论是解本题的关键．分两种情况进行分析：①当时，随的增大而增大；②当时，随的增大而减小，利用待定系数法求解即可得出结果. 【详解】解：①当时，随的增大而增大， ， 当时，，当时，， 代入一次函数， 得：， 解得：， 此时，； ②当时，随的增大而减小， ， 当时，，当时，， 代入一次函数， 得：， 解得：， 此时，， 故选：B． 17．(22-23八下·河南南阳桐柏县·期中)已知函数，    (1)画出的图象，图像分别与，轴交于，两点； (2)若为坐标原点，求的面积； (3)当，的取值范围是_________； (4)在满足条件______时，． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）解出的图象与，轴交于，两点的坐标，过两点作直线即可； （2）利用三角形的面积公式解答即可； （3）根据图象作答即可； （4）根据图象作答即可． 【详解】（1）当时，，当时，， ∴， 作图如下：    （2）； （3）当，随x的增大而减小， 当时，y最大，； 当时，y最小，； ∴的取值范围是， 故答案为：； （4）由图象可知，时，， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作一次函数的图象，一次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握知识点，运用数形结合的思想是解题的关键． 18．(22-23八下·河南南阳方城县·期中)已知直线， (1)请用两点法列表、描点并连线画出该函数的图象； (2)结合所画图象，分别找出满足下列条件的点，并写出它的坐标： ①横坐标是； ②和轴的距离是个单位． 【答案】(1)见解析； (2) ； 和． 【分析】（1）根据画函数图象基本步骤即可； （2）求函数的值和自变量的值即可解答． 【详解】（1）列表： 描点并连线：     ， （2）如图，把代入，得， ∴横坐标是的点的坐标， 由题意可知：，∴， 把代入，得：， ∴， ∴对应点的坐标为：； 把代入，得：， ∴， ∴对应点的坐标为：； 综上可知：和轴的距离是个单位的点的坐标是和． 【点睛】此题考查了一次函数，解题的关键是熟练掌握一次函数图象画法及图象上的点的坐标特征． 地 城 考点03 一次函数的应用 19．(24-25八上·河南平顶山·期末)某旅游纪念品商店销售，两种商品，已知销售一件种商品和两件种商品可获利80元，销售三件种商品和一件种商品可获利90元． (1)求销售一件种商品和一件种商品各获利多少元？ (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进，两种商品共30件，其中种商品数量不少于10件，将其全部销售完可获总利润为元．设购进种商品件． ①求与的函数关系式； ②利用函数图象性质，当购进种商品多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每销售一件种商品获利20元，每销售一件种商品获利30元 (2)①；②当购进种商品10件时，商店可获得最大利润800元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用以及一次函数的应用： （1）设每销售一件种商品获利元，每销售一件种商品获利元，根据“销售一件种商品和两件种商品可获利80元，销售三件种商品和一件种商品可获利90元”列方程组求解即可； （2）①根据“总利润等于两种商品利润和”列出函数关系式即可； ②根据一次函数的性质求出①中函数最大值即可． 【详解】（1）解：设每销售一件种商品获利元，每销售一件种商品获利元， 由题意得：，解得：． 答：每销售一件种商品获利20元，每销售一件种商品获利30元． （2）解：①，即 ②， 随的增大而减小， 由题意知， 当时，最大 （元） 答：当购进种商品10件时，商店可获得最大利润800元． 20．(23-24八下·河南南阳·期中)如图， 直线与x轴、y轴分别交于点 A、B，点 C 是 x轴上的一个动点，将直线 沿直线 翻折，当点 A的对应点 D 恰好落在y轴上时，点 C的横坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，以及勾股定理．熟练掌握折叠的性质，利用勾股定理解三角形，是解题的关键．分两种情况讨论：先求出，两点的坐标，根据折叠，得到，，进而求出的长度，在中，利用勾股定理进行求解，得到的长，即可得解． 【详解】解： ， 当时，；当时，； ，， ，， 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上正半轴点D处，如图，连接， ， ，， 在中，，即：， ， 点在轴的负半轴上， ． 将沿所在直线折叠后，点A恰好落在y轴上负半轴点D处，如图，连接， 同理可得：，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上：或． 故答案为：或． 21．(23-24八上·河南郑州中原区·期中)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，射线于点A，若点P是射线上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以P，Q，A为顶点的三角形与全等，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，勾股定理的应用和全等三角形的性质等知识，分类讨论，确定对应关系是解题关键． 首先求出点A 、B的坐标，则，，当以P，Q，A为顶点的三角形与全等时，有以下两种情况：①当时，先证，当，则，，则，据此可得点P的坐标；②当时，过点P作于D，由于，因此当时，，由勾股定理求出，再由三角形的面积公式求出进而再求出据此可得点P的坐标； 【详解】解：对于直线，当时，，当时，， 点，点， ，， 当以P，Q，A为顶点的三角形与全等时， 则以P，Q，A为顶点的三角形是直角三角形因此有以下两种情况： ①当时，如图所示： ， ， ，， ， 当时，，， 点P的坐标为： ②当时，如图所示： 过点P作于D， ， 当时，， 在中，由勾股定理得：， 由三角形面积公式得， ， 在中，由勾股定理得： ， 点P的坐标为： 综上：点P的坐标为：或 故答案为：或 22．(23-24八上·河南郑州第二十六中学·期中)一次函数是刻画现实世界变量间关系的一个重要模型，其应用比比皆是．如：某弹簧的自然长度为，在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧长度增加，则与之间的关系可表示为，请你在生活中再找一个情境，使得变量和之间的关系满足 ． 【答案】小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离（千米）与离开游乐场的时间（小时）之间的关系可表示为．（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数的应用，设置的情境两个变量之间的关系可用表示即可，理解函数的意义是解题的关键． 【详解】解：小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离（千米）与离开游乐场的时间（小时）之间的关系可表示为， 故答案为：小明家、游乐场、学校依次在一条直线上，游乐场距离学校千米，放学后小明与同学到游乐场玩了一段时间后，以每小时千米的速度快速步行回家，则小明距学校的距离（千米）与离开游乐场的时间（小时）之间的关系可表示为． 23．(23-24八上·河南平顶山郏县·期中)两地相距，甲、乙两人分别开车从地出发前往地，其中甲先出发，且与的函数解析式为，如图是甲，乙行驶路程随行驶时间变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： (1)分别求出与之间的函数解析式； (2)求出点的坐标； (3)在乙的行驶过程中，当为何值时，甲乙相距20千米． 【答案】(1)， (2) (3)在乙的行驶过程中，当为或时，甲乙相距千米 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用： （1）根据甲的图象经过，乙的图象经过，利用待定系数法分别求解即可； （2）联立解析式，解二元一次方程组即可得答案； （3）分乙在甲后面千米和乙在甲前面千米两种情况，根据解析式，列一元一次方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵甲的图象经过， ∴设与之间的函数解析式为， ∵甲的图象经过， ∴， 解得：， ∴与之间的函数解析式为， ∵乙的图象经过， ∴， 解得：， ∴与之间的函数解析式为． （2）解：联立解析式得：， 解得：， ∴点的坐标； （3）解：当乙在甲后面千米时，， 解得：， 当乙在甲前面千米时，， 解得：， ∴当为或时，甲乙相距20千米． 24．(23-24八上·河南驻马店驿城区·期中)某游泳馆推出了两种收费方式． 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元； 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元． 设小亮在一年内来此游泳馆的次数是x，选择方式一的总费用为（元），选择方式二的总费用为（元）． (1)请分别写出，与x之间的函数表达式． (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x为多少时，采用方式一与方式二总花费相同？ 【答案】(1)， (2)20 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件； （1）根据题意列出函数关系式即可；(2)。 （2）根据（1）中的函数关系式列等式即可得到结论； 【详解】（1）根据题意可得：，； （2）令，，， 答：小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x为20时，采用方式一与方式二总花费相同． 25．(23-24八上·河南平顶山汝州·期中)如图1，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数与平面几何的综合，熟练掌握一次函数图像上点的坐标特征以及勾股定理是解题的关键． （1）把代入，即可求解； （2）依据题意得出，，令，则，得到，再根据勾股定理得，从而得到，设，由折叠的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）当时，， 所以点坐标为； （2） ， ，， 当时，，所以， ， 由折叠知，，， ， 设，则，， 在中：， 即， 解得：， 的长为． 26．(23-24八上·河南平顶山汝州·期中)如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点轴上有一点，且，则的面积为 ． 【答案】或/12或4 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，由点、的坐标得出，的长，结合可得出点坐标，进而求出的长，再利用三角形的面积公式求出面积，解题的关键是：（）牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式；（）利用三角形的面积计算公式，求出的面积． 【详解】解：由与轴相交于点，与轴相交于点 当时，， ∴点， ∴ 当时，， ∴， ， ∵， ∴ ∴当在左侧时，， 则的面积为， 当在右侧时，， 则的面积为， 故答案为：或． 27．(23-24八上·河南郑州一中集团校·期中)一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地，乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y（千米）（小时）之间的大致图象．    (1)求B、C两地之间的距离； (2)什么时候乙追上甲； (3)当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间． 【答案】(1)60千米 (2)出发后4.5小时 (3)或3.5或小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式，路程、速度、时间三者之间的关系． （1）根据题意，结合图象列式计算即可； （2）设乙t小时追上甲，根据甲行驶的路程＝乙行驶的路程，列出方程解答便可； （3）利用待定系数法分别求出时甲行驶的距离与x的关系式以及时，乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式，再列方程解答即可． 【详解】（1）乙前面的速度为：（千米/小时）， 乙后来的速度为：（千米/小时）， （千米）， 答：B、C两地之间的距离为60千米； （2）甲的速度为：（千米/小时）， 设乙t小时追上甲， 根据题意得， 解得， 答：出发后4.5小时乙追上甲； （3）当时，两车距离小于40， ①当时， 设甲距离A地的距离y（千米）与出发时间x（小时）之间的关系式为， 代入可得， ， ，解得； ②当时， 由（1）可得，A、B两地之间的距离为：， 设乙与A地距离与出发时间x之间的函数关系式为， 代入和 得， 解得， ， 解方程得（不合题意，舍去）， 解方程得； ③当时， 解方程得． 答：当两车相距40千米时，甲车行驶了或3.5或小时． 28．(23-24八上·河南郑州一中集团校·期中)甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步行从乙地到甲地，两人之间的距离y（单位：米）与小刚步行时间x（单位：分），下列说法错误的是（    ） A．小红跑步的速度为米/分 B．小刚步行的速度为米/分 C． D．小红到达乙地时，小刚离甲地还有米 【答案】C 【分析】由图象可得小红跑步从甲地到乙地a分钟；小刚步行从乙地到甲地用时15分；由此可得小刚的速度；由图象可知，当时间为6分时，两人相遇，可得出两人速度和，由此可得出小红的速度；进而可得出a的值，再结合相遇问题，可判断D选项．此题考查两人之间路程与时间的函数图象应用，仔细观察图象，掌握图象中横坐标的意义与拐点的意义，以及速度、路程与时间关系是解决此题关键． 【详解】解：∵（米/分）， ∴小刚步行的速度为米/分；故B选项正确； ∵（米/分）， ∴（米/分）， ∴小红跑步的速度为米/分，故A选项正确； ∵（分）， ∴，故C选项错误； 小红到达乙地时，小刚离甲地还有（米）；故D选项正确， 故选：C． 29．(23-24八上·河南郑州桐柏一中·期中)从2024年起，郑州市中招体育考试总分将提高至100分．为了适应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条定价30元．现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案． A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折． 已知要购买足球60个，跳绳x条（）． (1)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用和； (2)若，求出x的值； (3)试从函数图象的角度说明何时在哪家网店购买更划算？ 【答案】(1)；； (2)； (3)当时，选择网店更划算；当时， 选择两个网店都划算；当时， 选择网店更划算． 【分析】（1）本题考查的是列函数关系式；分别根据A、B两家网店的优惠方式列函数关系式即可； （2）本题考查的是方程的应用，由再建立一元一次方程求解即可； （3）本题考查的是利用函数图象比较函数值的大小；先画出两个函数的简易图象，再根据图象的上下位置可得答案． 【详解】（1）解：A店购买可列式：； 在网店B购买可列式：； （2）解：当时， ∴， 解得：； （3）如图，由（2）可得：当时，，    由图象可得：当时，， ∴选择网店更划算； 当时，， ∴选择两个网店都划算； 当时，， ∴选择网店更划算． 30．(24-25八上·河南郑州八校联考·期中)【课本再现】 在弹性限度内，弹簧的长度（）是所挂物体质量（）的一次函数．一根弹簧不挂物体时长；当所挂物体的质量为 时，弹簧长 ．求出与之间的关系式．小明同学通过认真审题，写出来下面的解题过程（部分） 解：设，根据题意，得 ，    ① ．    ② (1)何老师针对小明的解答过程提出了下面几个问题： ①你是依据题中的哪句话列出了？ 答：____________________________________； ②方程是根据题中哪句话列出来的？ 答：____________________________________； (2)与之间的关系式为：______．的实际含义是______． (3)求当所挂物体的质量为 时弹簧的长度． 【答案】(1)①弹簧的长度（）是所挂物体质量（）的一次函数；②当所挂物体的质量为 时，弹簧长 (2)，所挂物体质量每增加，弹簧长度增加 (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用； （1）根据题意即可求解； （2）根据题意，解方程组求得的值，即可求解； （3）将代入（2）的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：①弹簧的长度（）是所挂物体质量（）的一次函数；②当所挂物体的质量为 时，弹簧长 （2）解：解：设，根据题意，得 ，    ① ．    ② 解得： ∴， 的实际含义是：所挂物体质量每增加，弹簧长度增加． （3）当时，． ∴当所挂物体的质量为 时弹簧的长度为． 试卷第1页，共3页 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $厨学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题07一次函数复习压轴题 ☆3大高频考点概览 考点01一次函数与正比例函数 考点02与一次函数的图像有关的问题 考点03一次函数的应用 目目 考点01 次函数与正比例函数 1.(24-25八上河南郑州中牟县期中)下列函数中，正比例函数是() A.y=-x B.y=-2x2 C.y=3x-1 D.y=-5x+6 2.(24-25八上·河南实验中学期中)下列函数是一次函数但不是正比例函数的是() A.y=号 B.y=x2 C.y=x D.y=安 3.(23-24八上·河南郑州桐柏一中·期中下列函数中，是一次函数但不是正比例函数的为() A.y=等 B.y= C.y= D.y=(V2-5)x 4.(22-23八下·河南部分校期中)已知函数y=x+k一1是正比例函数，则常数k的值为() A.-1 B.0 C.1 D.±1 5.(22-23八下·河南南阳镇平县·期中)若函数y=kx+k一3为正比例函数，则k的值为() A.-3 B.0 C.3 D.不存在 6.(23-24八上·河南郑州郑州枫杨外国语学校期中)郑州东枫外国语学校八年级数学兴趣小组的同学们，对 函数y=x-b(a,b是常数，a≠0)的性质进行了初步探究，部分过程如下，请你将其补充完整。 (1)当a=1,b=0时，即y=|x.当x≥0时，函数化简为y=x;当x<0时，函数化简为y=_ (2)当a=2,b=1时，即y=2x-1|. ①该函数自变量x和函数值y的若干组对应值如下表： -2 -1 0 1 2 4 1/10 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 6 m 0 6 其中m=-,n=- ②在图1所示的平面直角坐标系内画出函数y=2x-一1的图象. 6 3 -65-4-32-101234563 (3)请写出函数y=2x-1的一条性质：-· 目目 考点02 与一次函数的图象有关的问题 7.(24-25八上河南郑州八校联考期中)在平面直角坐标系中，直线：y=x一1与x轴交于点A1,如图所 示，依次作正方形A1B1C1O,正方形A2B2C2C1,…,正方形，使得点A1、A2A、,在直线1上，点 C1,C2,C3,.,在y轴正半轴上，则点B2024的坐标为() B C B2 C B A A.（2202322023-1) B.(2202322024-1) C.(2202422024) D.(2202322023+1) 8.(24-25八上河南驻马店第二初级中学期中)若函数y=(m一1)42-1是关于x的一次函数，且y随 x的增大而减小，则m=_ 9.(22-23八上·河南郑州二中共同体期末)学习函数的时候我们通过列表、描点和连线的步骤画出函数的图 象，进而研究函数的性质.请根据学习“一次函数”时积累的经验和方法研究函数y=一x+1十2的图象 2/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 和性质，并解决问题。 (1)①列表填空； X -3 -2 -1 0 2 0 y 6 5 3 -65-4-3-2-19 123456 2 3 -6 ②在平面直角坐标系中作出函数y=-|x+1+2的图象； (2)观察函数图象，写出关于这个函数的两条性质： (3)进一步探究函数图象发现： ①方程-x+1+2=0有个解； ②若关于x的方程一x十1+2=a无解，则a的取值范围是. 10.(23-24八上河南郑州中原区第十九初级中学期中)如图，直线1：y=x十1与直线12：y=x+专相交 于点P(-1,0).直线l1与y轴交于点A,一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上 的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直 线2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线1的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，， 照此规律运动，动点C依次经过点B1A1B2A2B3Ag,B2023A2023…,则当动点C到达A2023处时， 运动的总路径的长为() B2 3/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.22023-1B.22024-2 C.22023-2 D.22024-1 11.(23-24八上河南焦作温县·期中)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究了一次函数的性质， 并积累了一些经验和方法，尝试用你积累的经验和方法解决下面问题. Ay 4 -4-3-2-1 01234x -4 (1)在平面直角坐标系中，画函数y=x+1的图象： ①列表：完成表格 -2 -1 0 4 3 -4-3-2-1 234衣 ②画出y=x+1的图象： (2)结合所画函数图象，写出y=+1两条不同的性质； (3)直接写出函数y=x的图象是由函数y=x十1的图象怎样得到的？ 12.(23-24八上河南焦作温县期中)已知点A(m,-2)和点B(n,4)都在直线y=-2x-3.上，则m与 n的大小关系是 13.(23-24八上·河南焦作温县.期中正比例函数y=ax与一次函数y=ax-2a在同一坐标系中的大致图 像可能是() 4/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 14.(23-24八上·河南焦作温县·期中)下列说法正确的是（) A.若将直角三角形的三条边同时扩大一个相同的倍数，那么得到的三角形不是直角三角形 B.平方根等于本身的数有0,1 C.一次函数y=一4x一1的图象一定经过第一、二、四象限 D.27和V停可以合并 15.(23-24八上河南郑州桐柏一中期中)如图，直线y=一V3x+3分别与x轴、y轴交于A,B两点，C 是y轴上的一个动点，将△ABC沿着直线AC翻折后得到△ABC,当点B的对应点B落在x轴上时，点 C的坐标为 3 B 2 ，。 -2-1 1A☒x -2 16.(23-24八上河南郑州桐柏一中期中)己知一次函数y=kx+b,当0≤x≤2时，对应的函数值y的取 值范围是-2≤y≤6，则k+b的值为() A.-2 B.2 C.-2或2 D.2或4 17.(22-23八下·河南南阳桐柏县期中)己知函数y=一2x+3, 5/10 扇学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 3 -2 1 -2-1 1 234 2 (1)画出y=一2x+3的图象，图像分别与x,y轴交于A,B两点； (2)若0为坐标原点，求△0AB的面积； (3)当-1<x≤2，y的取值范围是 (4)在x满足条件时，y<1. 18.(22-23八下·河南南阳方城县期中)已知直线y=-x+3, (1)请用两点法列表、描点并连线画出该函数的图象； (2)结合所画图象，分别找出满足下列条件的点，并写出它的坐标： ①横坐标是-4： ②和x轴的距离是2个单位. X 0 6 3 0 目目 考点03 次函数的应用 19.(2425八上河南平顶山·期末)某旅游纪念品商店销售A,B两种商品，已知销售一件A种商品和两件B种 商品可获利80元，销售三件A种商品和一件B种商品可获利90元. (1)求销售一件A种商品和一件B种商品各获利多少元？ (2)该旅游纪念品商店计划一次性购进A,B两种商品共30件，其中A种商品数量不少于10件，将其全部销 售完可获总利润为w元.设购进A种商品a件. ①求w与a的函数关系式； ②利用函数图象性质，当购进A种商品多少件时，该商店可获利最大，最大利润是多少元？ 20.(23-24八下·河南南阳期中)如图，直线y=一x一3与x轴、y轴分别交于点A、B,点C是x轴 上的一个动点，将直线BA沿直线BC翻折，当点A的对应点D恰好落在y轴上时，点C的横坐标 6/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 为 个y X B 21.(23-24八上河南郑州中原区·期中)如图，直线y=-2x+2与x轴、y轴分别交于A,B两点，射线 AC⊥AB于点A,若点P是射线AC上的一个动点，点Q是x轴上的一个动点，且以P,Q,A为顶点的三 角形与△AOB全等，则点P的坐标为 y外 C 22.(23-24八上·河南郑州第二十六中学·期中)一次函数是刻画现实世界变量间关系的一个重要模型，其应 用比比皆是.如：某弹簧的自然长度为10cm,在弹性限度内，所挂物体的质量x(kg)每增加1kg,弹簧 长度y(cm)增加1cm,则y(cm)与x(kg)之间的关系可表示为y=x+10,请你在生活中再找一个情 境，使得变量x和y之间的关系满足y=x+10 23.(23-24八上河南平顶山郏县·期中)AB两地相距300km,甲、乙两人分别开车从A地出发前往B地， 其中甲先出发ah,且y乙与x的函数解析式为y=kx-k,如图是甲，乙行驶路程ym(km),yz(km)随 行驶时间x(h)变化的图象，请结合图象信息，解答下列问题： Ay/km 300 O 45x (①)分别求出y甲y乙与x之间的函数解析式： 7/10 命学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 (2)求出点C的坐标； (3)在乙的行驶过程中，当x为何值时，甲乙相距20千米， 24.(23-24八上·河南驻马店驿城区·期中)某游泳馆推出了两种收费方式. 方式一：顾客先购买会员卡，每张会员卡200元，仅限本人一年使用，凭卡游泳，每次游泳再付费30元： 方式二：顾客不购买会员卡，每次游泳付费40元， 设小亮在一年内来此游泳馆的次数是x,选择方式一的总费用为V1(元)，选择方式二的总费用为y2（元)· (1)请分别写出V1,y2与x之间的函数表达式. (2)小亮一年内在此游泳馆游泳的次数x为多少时，采用方式一与方式二总花费相同？ 25.(23-24八上河南平顶山汝州期中)如图1，一次函数y=x+3的图象与x轴相交于点A,与y轴相交 于点B,点D是直线AB上的一个动点，CD⊥x轴于点C. B 图1 图2 (1)求点A的坐标； (2)如图2，点P是线段CD上的一个动点，当点D在第一象限，且AO=OC时，将△ACP沿着AP翻折， 当点C的对应点C落在直线AB上时，求CP的长 26.(23-24八上河南平顶山汝州期中)如图，直线y=一2x+4与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,x轴 上有一点P,且OP=20A,则△ABP的面积为一 C 27.(23-24八上河南郑州一中集团校期中)一条笔直的公路上依次有A、B、C三地，甲车从A地驶往C地， 乙车从A地驶往B地，修好后立即以原速的两倍继续前进到达B地；如图是甲、乙两车与A地的距离y(千 米)（小时）之间的大致图象. 8/10 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y(千米) 360- 二 100- 22.84.86x小时) (1)求B、C两地之间的距离； (2)什么时候乙追上甲； (3)当两车相距40千米时，甲车行驶了多长时间. 28.(23-24八上·河南郑州一中集团校期中甲、乙两地之间是一条直路，小红跑步从甲地到乙地，小刚步 行从乙地到甲地，两人之间的距离y(单位：米)与小刚步行时间x(单位：分)，下列说法错误的是() 个y/米 1500 0 6 15x/分 A.小红跑步的速度为150米/分 B.小刚步行的速度为100米/分 C.a=12 D.小红到达乙地时，小刚离甲地还有500米 29.(23-24八上河南郑州桐柏一中期中)从2024年起，郑州市中招体育考试总分将提高至100分.为了适 应新的中考要求，学校准备从网上订购一批足球和跳绳，网络搜索后发现足球每个定价150元，跳绳每条 定价30元.现有A、B两家网店均提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案， A网店：买一个足球送一条跳绳； B网店：足球和跳绳都打九折 己知要购买足球60个，跳绳x条（x>60)· (①)分别求出在A、B两家网店购买所需的费用V4和YB: (2)若y4=yg,求出x的值： (3)试从函数图象的角度说明何时在哪家网店购买更划算？ 30.(2425八上·河南郑州八校联考·期中【课本再现】 在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)是所挂物体质量x(kg)的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5cm 9/10 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 ;当所挂物体的质量为3kg时，弹簧长16cm.求出y与x之间的关系式.小明同学通过认真审题，写出 来下面的解题过程（部分） 解：设y=kx十b,根据题意，得 14.5=b,① 16=3k+b. ② (1)何老师针对小明的解答过程提出了下面几个问题： ①你是依据题中的哪句话列出了y=kx十b? 答： ②方程16=3k+b是根据题中哪句话列出来的？ 答： (2)y与x之间的关系式为： ·k的实际含义是 (3)求当所挂物体的质量为4kg时弹簧的长度 10/10