精品解析：重庆市南开中学2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷

数学（二） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相反数的意义，即可解答． 【详解】解：的相反数是6， 故选：C． 【点睛】本题考查了相反数，熟练掌握相反数的意义是解题的关键． 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形知识，如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的图形能够完全重合，这样的图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．据此解答即可． 【详解】解：A、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图案不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、选项中的图案是轴对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全市市民观看无人机表演的情况 B. 调查嘉陵江的水质情况 C. 调查全班同学的睡眠情况 D. 调查iPhone手机电池的续航情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查、抽样调查的识别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多．据此选择即可． 【详解】解：A. 调查全市市民观看无人机表演的情况，采用抽样调查； B. 调查嘉陵江的水质情况，采用抽样调查； C.调查全班同学的睡眠情况，采用全面调查； D.调查iPhone手机电池的续航情况，采用抽样调查； 故选：C． 4. 已知二次函数，当时，y的值为（ ） A. B. C. 3 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的值，将代入二次函数解析式计算即可． 【详解】解：将代入函数中： ， 故选：A． 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 根据第①个图案中有6个黑色圆点，第②个图案中有10个黑色圆点，第③个图案中有14个黑色圆点，则可以推出第6个图形中黑色圆点的个数． 【详解】第①个图案中有6个黑色圆点， 第②个图案中有10个黑色圆点， 第③个图案中有14个黑色圆点， 第④个图案中有18个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是26个， 故选：B． 6. 已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，以及二次函数的图象和性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键． 根据反比例函数图象可得，进而分析出二次函数图象的开口方向、对称轴以及与轴交点，确定函数图象即可． 【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限， ， 函数的图象开口向上，对称轴为轴，与轴交于负半轴， 故选：A． 7. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先证明，再根据相似三角形的性质列出比例式，根据正切的定义式求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 8. 霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，根据题意正确列出函数关系式是解题的关键． 根据总利润等于单件利润乘以销量，列出函数关系式即可． 【详解】设降价元，则售价为元， ∵进价为50元， ∴每个利润为元． 又∵每降价1元，多售5个， ∴降价元，多售个，销售量为个． ∵利润= 每个利润销售量 ∴． 故选：A． 9. 如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形，平行线分线段成比例，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 过作交延长线于，过作，过作，根据面积可得，再根据中线得到，接着通过证即可求解． 【详解】解：过作交延长线于，过作，过作， ，， ， 解得， ，， ， ， ，， ， ， 又为中点， ， ， ， 为中位线， ， 绕着点C顺时针旋转， ，， ， 又， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在中，． 故选：D． 10. 已知整式，其中n，为正整数，每个数只能取1，0，-1中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查整式的相关知识，解题的关键是理解含义，进行分类讨论计算． 根据已知条件对三个说法进行分析判断即可． 【详解】当时，整式， 又，所以，即 又每个数只能取1，0，中的一个， , 所以满足条件的整式M有：，即①正确； 当时，根据题意知， 所以符合题意的有：；； ；；； ，；， 故符合题意得整式M共有8种，即②正确； 当时，， 即， 又每个数只能取1，0，中的一个， 所以， 则③正确． 故选：D． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，直线，如果，，那么的度数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，三角形外角的性质，求解的度数是解题的关键． 由平行线的性质可得，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：如图，设交于， ， （两直线平行，同位角相等）， 又， 所以解得． 故答案为：． 12. 一个盒子中装有两个红球，一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次摸出的球颜色不同的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与先后摸出的两个球颜色不相同的情况，再利用概率公式求解即可求得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下， 一共有种等可能结果，两次摸出的球颜色不同的有种， ∴两次摸出的球颜色不同的概率为． 故答案为：． 13. 若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，估算无理数大小，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握估算无理数的方法，先根据特殊角的三角函数值得，再用逼近法估算的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：5． 14. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得到，交于点，交于点，若，，，则______，______． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，解直角三角形，等角对等边，折叠性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 由四边形是矩形，则，，，，证明，，所以，，又，，则，由折叠性质可知，，，，，然后证明，设，则，通过勾股定理得，所以，解得，求出，通过勾股定理求得，然后代入，，分别求得，，再由线段和差即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 15. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数，因为，所以是“和同数”．按照这个规定，最小的“和同数”是_______．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且被整除，则满足条件的正整数的和是_______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式加减的应用，新定义的运算，解题的关键是掌握相关知识．根据“和同数”的定义即可求出最小的“和同数”；由，，结合“和同数”的定义可得，，进而得到，可知能被整除，设（为整数）， 则，结合能被整除，，，即可求解． 【详解】解：要使正整数最小，则，， ， ， ，， ，， 最小的“和同数”是； ，， ， ， 又，即， ， ， ，被除余， ， 即能被整除， 设（为整数）， 整理得， 能被整除，，， 当时，， 当时，，此时，，且能被整除， 能被整除， 或， 当时，， ； 当时，， ； 当时，， 当时，（不符合题意，舍去）； 满足条件的正整数有、， 则满足条件的正整数的和是， 故答案为：，． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 解不等式组：，并写出所有的整数解． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 整数解为，，． 17. 如图，在中，． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中作图，若，证明：． 证明：垂直平分， ①________，， ，， ，． 在和中， ， ． ③________． 在中，， ， ， 即④________． ． 【答案】（1） 如下图，即为所求作； （2） ；；； 【解析】 【分析】本题考查的是尺规作图—作垂直平分线、线段及全等三角形的判定与性质， （1）按要求先作线段的垂直平分线，再截取线段，连接即可； （2）先证明，再证，得出，即可证明从而得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：垂直平分， ，， ，， ，． 在和中， ， ． ． 在中，， ， ， 即． ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查多项式化简求值，解题的关键是熟悉多项式的混合运算． 根据题意化简得，再计算的值，最后代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 又， 代入得， 所以原式的值为． 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 【答案】（1）93；88.5；30 （2） 九年级学生的知识竞赛成绩更好， 理由：因为均值相同，九年级的方差小于八年级的方差，方差越小成绩越稳定． （3）845 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）根据中位数、方差的意义求解即可; （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多， 所以众数， 由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个， 所以占，则， 根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共5名学生， 又20名学生竞赛成绩得中位数为从小到大排列第10、11位的平均值， 所以中位数， 故答案为：93；88.5；30． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； 九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占， 又九年级有900名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）； （人）． 答：估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有845人． 20. 列方程（组）解下列问题： 近期“渝超”联赛火热进行中，全重庆掀起一股足球热潮．我校为鼓励学生参与足球运动，决定花费10800元购进一批足球．已知学校计划采购120个入门款足球供体育课使用，20个专业款足球供足球队训练，且专业款足球单价是入门款单价的3倍． （1）求入门款足球和专业款足球的单价分别是多少元？ （2）考虑到体育器材的损耗，学校计划再次采购，恰逢供应商降价酬宾，其中入门款足球每个降价a元，专业款足球每个降价3a元．经计算，学校花费5500元购进入门款足球的数量比花费4950元购进专业款足球数量的3倍多10个，求a的值． 【答案】（1）入门款足球单价为60元，专业款足球的单价为180元 （2） 【解析】 【分析】题目主要考查一元一次方程及分式方程的应用，理解题意，列出方程求解是解题关键 （1）设入门款足球单价为x元，专业款足球的单价为元，根据题意列出方程，然后求解即可； （2）根据题意列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 解：设入门款足球单价为x元，专业款足球的单价为元， 由题意可得：， 解得， ∴， 答：入门款足球单价为60元，专业款足球的单价为180元， 【小问2详解】 根据题意得： 解得：， 检验：当时，， ∴． 21. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿着折线方向运动到点停止，速度为每秒个单位长度，同时点以个单位长度每秒的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，过点作交于点，设点运动的时间为秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过） 【答案】（1）， （2） 画图如下： 性质：当时，随着的增大而增大；当时，随着的增大而减小（答案不唯一） （3）或 【解析】 【分析】（）过点作于，可得四边形是矩形，即得，，即可得，分和两种情况，利用三角形面积公式和相似三角形的性质可求出的函数表达式，在利用求出可求出的函数表达式； （）根据函数解析式画出函数图象，再根据图象写出函数的性质即可； （）根据函数图象解答即可； 本题考查了一次函数与反比例函数综合应用，相似三角形的判定和性质，正确求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于，则， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，如图，过点作的延长线于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当或时，． 22. 中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】（1）千米 （2）千米 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； 【小问2详解】 解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点M在第一象限且为对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交于点N，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当时，求点N的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将点M沿射线方向平移，点P为点M的对应点，点Q为抛物线对称轴上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）；的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式即可； （2）先求出直线的解析式为，设，求出，即可列方程求解，求得；将点B向上平移2个单位得到点H，连接，，可证明，即得当点D在的延长线上时， 取最大值，求出最值即可； （3）先证明，再根据三角函数列方程求解，即得，从而可求得答案． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为直线， ， ， 把代入，得， 解得， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则， 解得，， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 设，则， （）， ， ， 解得（舍去），， ， 将点B向上平移2个单位得到点H，连结，， 则，，， 四边形是平行四边形， ， 当点D在的延长线上时， 取最大值，最大值是的长， 此时，即最大值是； 【小问3详解】 解：或．理由如下： 过点M作，交x轴于点S， ，， ， ， ， ， ， ， 延长交x轴于点T， 则轴， ， ， ， ， 解得， 或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何的综合性问题，二次函数与线段的综合性问题，用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，添加辅助线，构造平行四边形是解题的关键． 24. 如图，已知是等边三角形，点为上一点． （1）如图，点为上一点，连接，，交于点．若，求的度数； （2）如图，若点是的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点落在的延长线上，连接，且满足，点是的中点，猜想线段，的数量关系，并证明； （3）如图，，点为上一点，点为的中点，点分别为上的动点，连接，，且满足．当取最小值时，请直接写出的长度． 【答案】（1）； （2） 解：， 证明：如图，在上截取，连接，作，在上截取，连接，， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点三点共线， 由旋转性质可知，，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵在上截取， ∴是中点， ∵点是的中点， ∴； （3）的长为． 【解析】 【分析】（）由是等边三角形，则，，然后证明，所以，再由三角形外角性质即可求解； （）如图，在上截取，连接，作，在上截取，连接，，证明，则有，由是的中点，所以，再证明，故有，，则有点三点共线，由旋转性质可知，，，，得是等边三角形，从而有，，然后通过中位线定理可得； （）过作于点，作，交延长线于点，则，由是等边三角形，则，，得，，则有，证明，所以，，即，，取中点，连接，证明，所以，即有，当，，三点共线时，有最小值，即有最小值，过作于点，则，证明，所以，设，则，，求出的值，最后通过勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过作于点，作，交延长线于点，则， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴， 如图，取中点，连接， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 由， ∴当，，三点共线时，有最小值，即有最小值， 如图，过作于点，则， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴ 又∵， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，直角三角形的性质，旋转的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（二） （全卷共四个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. ﹣6的相反数是（　　） A. ﹣6 B. ﹣ C. 6 D. 2. 下列图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 调查全市市民观看无人机表演的情况 B. 调查嘉陵江的水质情况 C. 调查全班同学的睡眠情况 D. 调查iPhone手机电池的续航情况 4. 已知二次函数，当时，y的值为（ ） A. B. C. 3 D. 11 5. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有6个圆点，第②个图中有10个圆点，第③个图中有14个圆点，…，按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 24 B. 26 C. 28 D. 30 6. 已知反比例函数的图象如图所示，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C都在网格线上，，垂足为D，则（ ） A. B. C. D. 8. 霍邱一商场计划销售某种毛绒玩偶，这种毛绒玩偶每个进价为50元．经调查发现，当售价为120元时，平均每天能售出80个；而当售价每降低1元时，平均每天就能多销售5个．设这种毛绒玩偶每个降价x元时，每天获得的利润为y元，则y与x之间的函数表达式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，是边上的中线，将绕着点C顺时针旋转，得到，连接，交于点F．若，，则（ ） A. B. C. 9 D. 10. 已知整式，其中n，为正整数，每个数只能取1，0，-1中的一个，且． 下列说法： ①当时，满足条件的整式M有：； ②当时，满足条件的整式M共有8种； ③若，且当时，；则． 其中正确的个数为（ ）． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 如图，直线，如果，，那么的度数是________． 12. 一个盒子中装有两个红球，一个蓝球，这些球除颜色外都相同，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再随机摸出一个球，则两次摸出的球颜色不同的概率是________． 13. 若n为正整数，且满足，则________． 14. 如图，在矩形中，点在边上，连接，交对角线于点，将沿直线翻折到矩形所在的平面内，得到，交于点，交于点，若，，，则______，______． 15. 我们规定，一个四位正整数，若满足，则称这个四位数为“和同数”．例如：四位数，因为，所以是“和同数”．按照这个规定，最小的“和同数”是_______．一个“和同数”，将其千位数字与百位数字调换位置，十位数字与个位数字调换位置，得到一个新的四位数，记，，若被除余，且被整除，则满足条件的正整数的和是_______． 三、解答题（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 16. 解不等式组：，并写出所有的整数解． 17. 如图，在中，． （1）用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）； （2）根据（1）中作图，若，证明：． 证明：垂直平分， ①________，， ，， ，． 在和中， ， ． ③________． 在中，， ， ， 即④________． ． 四、解答题（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 18. 先化简，再求值： ，其中． 19. 为纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年，某学校组织了以“观阅兵，知强军”主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，85，85，86，89，90，90，93，93，93，95，96，98，99，100，100． 九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：83，85，86，87，88，89． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 八年级 88 a 90 10.3 九年级 88 94 b 9.6 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中的________，________，________； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）若该校八年级有800名，九年级有900名学生参加了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 20. 列方程（组）解下列问题： 近期“渝超”联赛火热进行中，全重庆掀起一股足球热潮．我校为鼓励学生参与足球运动，决定花费10800元购进一批足球．已知学校计划采购120个入门款足球供体育课使用，20个专业款足球供足球队训练，且专业款足球单价是入门款单价的3倍． （1）求入门款足球和专业款足球的单价分别是多少元？ （2）考虑到体育器材的损耗，学校计划再次采购，恰逢供应商降价酬宾，其中入门款足球每个降价a元，专业款足球每个降价3a元．经计算，学校花费5500元购进入门款足球的数量比花费4950元购进专业款足球数量的3倍多10个，求a的值． 21. 如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发，沿着折线方向运动到点停止，速度为每秒个单位长度，同时点以个单位长度每秒的速度从点出发，沿着方向运动到点停止，过点作交于点，设点运动的时间为秒，记的面积为，的周长与的周长之比为． （1）请直接写出与关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数和的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合图象，请直接写出当时，的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差范围不超过） 22. 中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． （1）求的长度；（结果保留根号） （2）小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）点M在第一象限且为对称轴右侧抛物线上一动点，过点M作轴交于点N，点D，E为抛物线对称轴上的动点（点E在点D的下方），且，连接，．当时，求点N的坐标及的最大值； （3）在（2）的条件下，将点M沿射线方向平移，点P为点M的对应点，点Q为抛物线对称轴上的一动点．若，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程． 24. 如图，已知是等边三角形，点为上一点． （1）如图，点为上一点，连接，，交于点．若，求的度数； （2）如图，若点是的中点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点落在的延长线上，连接，且满足，点是的中点，猜想线段，的数量关系，并证明； （3）如图，，点为上一点，点为的中点，点分别为上的动点，连接，，且满足．当取最小值时，请直接写出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $