精品解析：辽宁省抚顺市教师进修学院附属中学2025-2026学年上学期期初摸底考试 八年级数学试卷

数学试题 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 在以下四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，已知，，垂足为E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 不能确定 9. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，根据计算正方形的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 计算______． 12. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 13. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是____________． 14. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 15. 如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，___________度． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图，已知． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点与点关于y轴对称，直接写出__________． （3）格点是以为底边的等腰三角形，并且格点P在第四象限，写出点P的坐标为__________． 18. 为进一步开展“睡眠管理”工作，我校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是：A组： B组： C组： D组； E组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）补全条形统计图；并在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （3）我校九年级有1400名学生，请估计我校九年级睡眠时间不足7小时的学生有多少人？ 19. 如图．在中，是边上一点，，，．求、的度数． 20. 如图，是上的两点，且，，．求证：． 21. 某学校为了满足生物实验课的教学需求，决定购买一批显微镜和搅拌器．经市场调查，购买2台搅拌器和1台显微镜需256元，购买1台搅拌器和3台显微镜需428元． （1）问每台搅拌器和显微镜的售价分别是多少元？ （2）学校准备采购这两种器材共50台，且总费用不超过4284元，那么最多能购买多少台显微镜？ 22. 若，满足，，求的值． 解：因为，， 所以，． 所以由，，得． 根据上面的解题思路，解决下列问题： （1）若，，则的值为 ． （2）①若，则 ； ②若，则 ； （3）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积（写出解答过程）． 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 一、单选题（本题共计10小题，每题3分，共计30分） 1. 在以下四个标志图案中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别，解题的关键在于准确理解轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义，即沿一条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形，对四个选项中的标志图案逐一进行判断，从而确定正确答案． 【详解】解：A ：不是轴对称图形，故选项A不符合题意； B： 不是轴对称图形，故选项B不符合题意； C ：是轴对称图形，故选项C符合题意； D ：不是轴对称图形，故选项D不符合题意． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了关于x轴对称的两个点的坐标特点，掌握“关于x轴对称的两个点的横坐标不变，纵坐标互为相反数”是解题的关键． 【详解】解：点关于x轴的对称点的坐标是， 故选A． 3. 在中，作边上的高，以下选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图，三角形的角平分线、中线、高线，熟记高线的定义是解题的关键．根据三角形高线的定义：过三角形的顶点向对边引垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线解答． 【详解】解：在中，作边上的高，作法正确的是： 故选：C 4. 分别用下列各组的三根细棒来围三角形，能围成三角形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】解：A、∵，∴长为的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意； B、∵，∴长为的三根细棒能围成三角形，故本选项符合题意； C、∵，∴长为的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意； D、∵，∴长为的三根细棒不能围成三角形，故本选项不符合题意； 故选：B． 5. 如图，已知，，垂足为E，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质和三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质得到，求出，根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故选C． 6. 如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A. ∠A=∠D B. AB=DC C. ∠ACB=∠DBC D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意． 故选D． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵，错误， 故A不合题意． ∵，正确， ∴B合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，错误， ∴D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键． 8. 如图，在中，，平分，，，则点到的距离为（　　） A. B. C. D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于，根据比例求出，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得．点到的距离即为长，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：过作于点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点到的距离为 故选：． 9. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 10. 如图，根据计算正方形的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用．结合正方形以及长方形的面积公式，分别用两种方法表示出大正方形的面积，即可得到结论． 【详解】解：从整体计算正方形的面积： 从局部计算正方形的面积： ∴ 故选：A． 二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分） 11. 计算______． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方、幂的乘方的法则进行计算； 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查积的乘方，幂的乘方，积的乘方等于积中各项乘方的积；幂的乘方底数不变，指数相乘，熟练运算法则是解题关键． 12. 若平面直角坐标系中的两点关于x轴对称，则的值是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于x轴对称的点的坐标，熟练掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键． 关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：∵点关于x轴对称， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 14. 在中，，，是边上的中线，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系，根据辅助线的作法，“遇中线加倍延长”作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作出图形，延长到，使，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的范围，再除以 2 即可得解． 【详解】解：如图，延长到，使， ∵是三角形的中线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 15. 如图，等边中，为边上的高，点M、N分别在上，且，连，当最小时，___________度． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形外角的性质，等边三角形的性质等知识．如图1中，过点C作，使得，连接．证明，推出，由，可知B，N，H共线时，值最小，求出此时的度数即可解决问题． 【详解】解：如图1中，过点C作，使得，连接． ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴B，N，H共线时，的值最小， 如图2中，当B，N，H共线时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，， 故答案为：30． 三、解答题 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）按照有理数的运算顺序进行计算，最后进行合并即可； （2）先展开括号内的各项，合并同类项后，再进行除法运算． 【详解】解：（1）原式， ， ； （2）原式， ， ． 【点睛】本题考查了有理数运算、指数运算、括号运算、零次方的意义及四则混合运算的顺序，同时涉及多项式展开、同类项合并及除法运算．解题的关键在于严格按照运算顺序进行计算，特别是处理好括号内的运算、指数运算和零次方的特殊性质，确保每一步骤的准确性．同时，正确应用平方公式和分配律展开括号，合并同类项时注意符号处理，最后进行有理数除法运算，确保每一步骤准确无误． 17. 如图，已知． （1）画出关于x轴对称的图形，并写出各点的坐标：__________；__________；__________． （2）若点与点关于y轴对称，直接写出__________． （3）格点是以为底边的等腰三角形，并且格点P在第四象限，写出点P的坐标为__________． 【答案】（1） 如图，即为所作， ；； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称变换，轴对称的性质，等腰三角形的性质． （1）根据轴对称的性质找到点关于x轴对称的点，再顺次连接，直接写出各点的坐标即可； （2）根据关于y轴对称的特点，求得和的值，再代入求解即可； （3）根据等腰三角形的特点，在第四象限找出格点P即可． 【小问1详解】 解：其中，；；； 故答案为：；；； 【小问2详解】 解：∵点与点关于y轴对称， ∴，， 解得，， ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，格点和格点，都符合题意， 故答案为：或． 18. 为进一步开展“睡眠管理”工作，我校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查．设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是：A组： B组： C组： D组； E组： 根据调查结果绘制成两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）本次共调查了______名学生； （2）补全条形统计图；并在扇形统计图中，求D组所对应的扇形圆心角的度数； （3）我校九年级有1400名学生，请估计我校九年级睡眠时间不足7小时的学生有多少人？ 【答案】（1）100 （2）见解析； （3）估计该校睡眠时间不足7小时的学生有350名 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，样本估计总体，掌握各部分之间的关系是解题的关键． （1）用B组人数除以所占百分比可得被调查人数； （2）先计算A组和E组的人数，再补全条形图；用D组人数除以总人数再乘以可得D组所对应的扇形圆心角的度数； （3）根据样本与总体的关系求解即可． 【小问1详解】 解：本次共调查的人数为名， 故答案为：100； 【小问2详解】 解：E组人数为：（人）， 组人数为：（人） 补全条形统计如下： D组所对应的扇形圆心角的度数为：； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校睡眠时间不足7小时的学生有350名． 19. 如图．在中，是边上一点，，，．求、的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的外角性质，准确识图，根据三角形外角性质得，再根据，得，据此可得的度数；根据三角形内角和定理得，再根据，可得出的度数，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． 【详解】解：是的外角， ． ， ． ， ， ， ． 20. 如图，是上的两点，且，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质，证明即可求证，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 21. 某学校为了满足生物实验课的教学需求，决定购买一批显微镜和搅拌器．经市场调查，购买2台搅拌器和1台显微镜需256元，购买1台搅拌器和3台显微镜需428元． （1）问每台搅拌器和显微镜的售价分别是多少元？ （2）学校准备采购这两种器材共50台，且总费用不超过4284元，那么最多能购买多少台显微镜？ 【答案】（1）每台搅拌器的售价为元，每台显微镜的售价为元． （2）最多能购买17台显微镜. 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程和不等式是解题的关键． （1）通过设每台搅拌器和显微镜的售价，依据题目所给的两种购买组合的价格信息，建立二元一次方程组来求解各自售价． （2）设购买显微镜的数量，从而表示出搅拌器的数量，再根据总费用的限制条件列出一元一次不等式，求解得出显微镜的最大购买数量． 【小问1详解】 解：设每台搅拌器的售价为元，每台显微镜的售价为元． ∵购买台搅拌器和台显微镜需元，购买台搅拌器和台显微镜需元 ∴ 由可得，将其代入中， 得 将代入，得 答：每台搅拌器的售价为元，每台显微镜的售价为元． 【小问2详解】 解：设购买显微镜台，则购买搅拌器台． ∵总费用不超过元 ∴ ， 答：最多能购买17台显微镜. 22. 若，满足，，求的值． 解：因为，， 所以，． 所以由，，得． 根据上面的解题思路，解决下列问题： （1）若，，则的值为 ． （2）①若，则 ； ②若，则 ； （3）如图，是线段上的一点，分别以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分的面积（写出解答过程）． 【答案】（1）7 （2）①53；②124 （3），见解析 【解析】 【分析】本题考查了利用完全平方公式的变式求值，熟练掌握和运用完全平方公式的变式是解决本题的关键． （1）先求出，再由，即可得到 （2）①先求出，则，再由，即可得到；②先求出，则，再由，即可得到； （3）设大正方形，小正方形的边长分别是a，b，根据题意得到，，则，求出，则阴影的面积． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， 故答案为：7； 【小问2详解】 解：①∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：； ②∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为；； 【小问3详解】 解：设大正方形，小正方形的边长分别是a，b， ，， ，， ， ， ∴阴影的面积． 23. （1）提出问题：如图1，在中，，点正好落在直线上，则、的关系为 　　． （2）探究问题：①如图2，在中，，，点正好落在直线上，分别作于点，于点，试探究线段、、之间的数量关系，并说明理由． ②如图3，将①中的条件改为：在中，，、、三点都在上，并且有，其中为任意锐角或钝角．请问①中结论是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）解决问题：如图4，直线经过的直角顶点，的边上有两个动点、，点以的速度从点出发，沿移动到点，点以的速度从点出发，沿移动到点，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点、分别作，，垂足分别为点、，若，，设运动时间为，当以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等时，求此时的值．（直接写出结果） 【答案】（1）； （2）①，理由如下： 直线，直线， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：； ②成立．证明如下： 如图2， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质、等角的余角相等、三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． （1）利用平角的定义即可求解； （2）①先证明出，得出，，即可得出结果； ②证明出，得出，，即可得出结论； （3）由以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等．可知，而，的表示由，的位置决定，故需要对，的位置分当在上，在上时或当在上，在上时，或当到达，在上时，分别讨论． 【详解】解：（1），， ， 故答案为：； （2）①略 ②略 （3）①当在上，在上时，即， ，， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． ， ， ； ②当在上，在上时，即， ，， ， ， ； ③当到达，在上时，即， ，， ， ， ． 综上所述，当或或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $