第二章 一元二次函数、方程和不等式（思维导图+知识清单+六大易错点总结）-2025-2026学年高一数学秋季讲义（人教A版必修第一册）

第二章 一元二次函数、方程和不等式（思维导图+知识清单+六大易错点总结） 【人教A版】 2.1 等式性质与不等式性质 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识点3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2.2 基本不等式 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点3 一元二次不等式恒成立、有解问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【易错点1 忽略不等式成立的条件】 易错点分析：不等式的计算在遇到乘法或除法运算时，如果忽略不等式成立的条件是比较容易出错的，因此我们需要熟记一些不等式的性质. 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【典例1】（25-26高一上·新疆·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.2】（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练1.3】（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围】 易错点分析：在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围.为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【注】解题思路：一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 【典例2】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）实数满足． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围： (3)求的取值范围． 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·河北·阶段练习）已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【易错点3 忽略基本不等式成立的条件】 易错点分析：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 【典例3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·河南·阶段练习）若，且，则的最小值为（　　） A．60 B．64 C．56 D．28 【跟踪训练3.2】（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·河南许昌·阶段练习）（1）若，求的最大值； （2）已知，求的最大值； （3）设正实数，满足，求的最小值. 【跟踪训练3.4】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【易错点4 多次使用基本不等式时，忽略等号成立条件是否一致】 易错点分析：多次使用基本不等式求最值时，要注意各个基本不等式取等号时的条件是否一致，只有等号成立条件一致时，才能求出最值；如果不能同时取等号，则连续使用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 【典例4】（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.1】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【跟踪训练4.2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【跟踪训练4.3】（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【易错点5 忽略方程、不等式的二次项系数为0】 易错点分析：求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论，同时要注意三个二次的关系的运用. 【典例5】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.1】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 【跟踪训练5.2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若该不等式的解集为或，求实数的值； (2)解该不等式． 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【易错点6 分式不等式等价转化不当】 易错点分析：求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式，此时要注意：转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【典例6】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为（ 　） A．或 B． C．或 D． 【跟踪训练6.2】（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·江苏徐州·阶段练习）解不等式 (1) (2). 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（思维导图+知识清单+六大易错点总结） 【人教A版】 2.1 等式性质与不等式性质 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、 不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识点3 等式性质与不等式性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝. 2．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 3．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 2.2 基本不等式 【知识点1 两个不等式】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 ≤(a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，≠，即只能有a2＋b2>2ab，<. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识点2 基本不等式与最值】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．常见的求最值模型 (1)模型一：，当且仅当时等号成立； (2)模型二：，当且仅当时等号成 立； (3)模型三：，当且仅当时等号成立； (4)模型四：，当且仅当时 等号成立. 3．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数),求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【知识点1 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识点2 二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系】 1．二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 △>0 △=0 △<0 y=ax2+bx+ c (a>0)的图象 ax2+bx+ c=0 (a>0)的根 有两个不相等 的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等 的实数根 没有实数根 ax2+bx+ c>0 (a>0)的解集 或 R ax2+bx+ c<0 (a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点3 一元二次不等式恒成立、有解问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【易错点1 忽略不等式成立的条件】 易错点分析：不等式的计算在遇到乘法或除法运算时，如果忽略不等式成立的条件是比较容易出错的，因此我们需要熟记一些不等式的性质. 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【典例1】（25-26高一上·新疆·期中）设为实数，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用特例判断A的真假，根据不等式的基本性质，判断BCD的真假. 【解答过程】对A：若，则，故A错误； 对B：因为，两边同除以，可得，故B正确； 对C：因为，所以，故C错误； 对D：因为，两边同乘以，得：，故D错误. 故选：B. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据已知及不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【解答过程】由，得，而， 所以，得，故，B错误； 因为，所以，所以，A错误； 由两边同时乘以，且，所以，C错误； 由两边同时乘以，且，得，D正确． 故选：D. 【跟踪训练1.2】（24-25高一上·上海·阶段练习）若，下列不等式：①；②；③；④.成立的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】对于①②③：根据不等式的性质分析判断即可；对于④：由③可知，结合不等式性质分析判断. 【解答过程】对于①：因为，则，所以，故①正确； 对于②：因为，则，所以，故②错误； 对于③：因为，则， 所以，故③正确； 对于④：因为，则，可得， 即，所以，故④正确； 综上所述：成立的有3个. 故选：C. 【跟踪训练1.3】（24-25高一上·北京顺义·期末）已知实数在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据图可得，应用不等式性质及特殊值法逐一分析选项，即可得答案. 【解答过程】对于A：因为，左右乘以，所以， 所以，故A正确； 对于B：由图可得，左右乘以，所以，所以B错误； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为，取，所以，故D错误， 故选：A. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·全国·课前预习）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，那么 D．若，则 【答案】B 【解题思路】应用不等式性质及特殊值法、作差法判断各项的正误. 【解答过程】取，有，A错误； 因为，所以，所以，所以，B正确； 取，显然，C错误； 因为，所以，即，D错误． 故选：B. 【易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围】 易错点分析：在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围.为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【注】解题思路：一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 【典例2】（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令，得到，求得，得到，即可求解. 【解答过程】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】先将用，表示出来，根据已知的与的取值范围，再利用不等式的性质求的取值范围. 【解答过程】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】方法一：利用待定系数法，结合不等式的基本性质可求得的取值范围. 方法二：利用双换元法，结合不等式的性质求得正确答案. 【解答过程】方法一：设，则， 所以解得即 ， 因为则 因此． 方法二：设，则， 所以， 又因为，所以， 因此． 故选：D. 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）实数满足． (1)求实数的取值范围； (2)求的取值范围： (3)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【解题思路】（1）利用不等式的性质即可求解； （2）利用待定系数法可得，进而利用不等式的性质求解； （3）根据即可求解. 【解答过程】（1）由可得，故， 由可得，故， （2）设，故且， 解得， 因此， 故，即， （3）由于， 所以， 由于，故， 进而，因此， 故. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·河北·阶段练习）已知． (1)求x的取值范围； (2)求的取值范围； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）根据不等式的性质即可求得答案； （3）设，解方程组可求得的值，再结合不等式性质，即可求得答案. 【解答过程】（1）由于， 将两不等式相加可得； （2）由，得， 结合，可得， 即； （3）设， 则，解得， 故， 由于，故， 故， 即. 【易错点3 忽略基本不等式成立的条件】 易错点分析：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 【典例3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知实数、，且，则的最小值是（   ） A．4 B．6 C． D．2 【答案】A 【解题思路】应用“1”的代换化目标式为，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【解答过程】由题设， 当且仅当，即时取等号，故的最小值为4. 故选：A. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·河南·阶段练习）若，且，则的最小值为（　　） A．60 B．64 C．56 D．28 【答案】A 【解题思路】利用基本不等式“1”的代换求解. 【解答过程】因， 则， ， 当且仅当时，等号成立， 由解得， 即当 时，的最小值为60． 故选：A. 【跟踪训练3.2】（24-25高一上·上海·期中）设非负实数，满足，则下列说法正确的是（   ） A．的最大值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．的最小值是 【答案】C 【解题思路】对于ABC：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于D：根据题设条件反推即可. 【解答过程】因为非负实数x，y满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故C正确； 对于选项D：因为，为非负实数， 若的最小值是，当且仅当时成立， 但此时不满足，所以不是的最小值，故D错误； 故选：C. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·河南许昌·阶段练习）（1）若，求的最大值； （2）已知，求的最大值； （3）设正实数，满足，求的最小值. 【答案】（1）（2）（3） 【解题思路】（1）根据条件，直接利用基本不等式，即可求解； （2）根据条件得，再利用基本不等式，即可求解； （3）根据条件得，再利用基本不等式，即可求解； 【解答过程】（1）因为，则，所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （2）因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最大值为. （3）因为正实数，满足，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 【跟踪训练3.4】（24-25高一上·河北衡水·阶段练习）已知，，． (1)求的最小值和的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)的最小值为，的最小值为 (2) 【解题思路】（1）依题意可得，利用消元法及基本不等式计算可得； （2）结合（1）可得，再利用基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）因为，，， 所以，所以，解得， 所以，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为； 又，当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. （2）因为，且，所以， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为. 【易错点4 多次使用基本不等式时，忽略等号成立条件是否一致】 易错点分析：多次使用基本不等式求最值时，要注意各个基本不等式取等号时的条件是否一致，只有等号成立条件一致时，才能求出最值；如果不能同时取等号，则连续使用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 【典例4】（2025·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】 因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【跟踪训练4.1】（24-25高二上·湖南·开学考试）已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】C 【解题思路】根据基本不等式求出和的取值范围，求出的最小值. 【解答过程】 因为， 所以，当且仅当时等号成立， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当时等号成立. 故选：C. 【跟踪训练4.2】（24-25高三上·安徽六安·阶段练习）已知正数x，y，z满足，则的最小值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【解题思路】由基本不等式可得，由题意整理可得，即可得. 【解答过程】 由题意可得， 则，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 则，当且仅当时，等号成立， 可得，即， 又因为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值. 故选：C. 【跟踪训练4.3】（24-25高一上·上海·期中）已知正数、、满足，，则的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】根据基本（均值）不等式，先求的最小值，再求的最小值. 【解答过程】 已知：正数、、满足，. 因为 （当且仅当即时取“”）. 所以 （当且仅当时取“”）. 所以（当且仅当时取“”）. 故答案为：. 【跟踪训练4.4】（24-25高一上·全国·课后作业）（1）若，，，都是正数，求证：； （2）若，，都是正数，求证：. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解题思路】（1）对分别应用基本不等式即可证明； （2）对分别应用基本不等式即可证明. 【解答过程】证明  （1）由，，，都是正数，利用基本不等式可知，， 当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 即有，当且仅当，时，等号成立. （2）由，，都是正数，利用基本不等式可知， ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以， 当且仅当时，等号成立. 【易错点5 忽略方程、不等式的二次项系数为0】 易错点分析：求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论，同时要注意三个二次的关系的运用. 【典例5】（24-25高一上·陕西渭南·阶段练习）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 【跟踪训练5.1】（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·期末）不等式的解集不可能是（    ） A． B． C． D．R 【答案】D 【解题思路】根据不等式特点对参数进行分类讨论，当时，不等式为一元一次不等式，直接求解即可；当时，不等式为一元二次不等式，需结合一元二次不等式对应的一元二次方程及二次函数即可求解. 【解答过程】根据题意，当时，原不等式为，解得； 当时，原不等式可化为， 当时，不等式对应的二次函数为，开口向上，对应方程根为和， 又因为当时，，所以不等式的解集为； 当时，不等式对应的二次函数为，开口向下，对应方程根为和， 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为； 当，即，不等式的解集为. 综上所述，不等式的解集不可能是. 故选：D. 【跟踪训练5.2】（24-25高一上·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【解答过程】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知关于的不等式． (1)若该不等式的解集为或，求实数的值； (2)解该不等式． 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据2是方程的根可得，即可代入不等式求解， （2）对分类讨论，即可结合一元二次不等式的性质求解. 【解答过程】（1）由题意知，2是方程的一个根， 所以，解得， 所以，解得或，所以； （2）若，解得，所以该不等式的解集为； 若，当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，，该不等式的解集为； 当，即时，的两个根分别为，，所以该不等式的解集为或； 若时，当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，的两个根分别为，，所以该不等式的解集为． 【跟踪训练5.4】（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）将问题转化为，恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【解答过程】（1）恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意. 当时，有，即，解得， 综上，a的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ； 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【易错点6 分式不等式等价转化不当】 易错点分析：求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式，此时要注意：转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【典例6】（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习）不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据分式不等式的解法，求解即可. 【解答过程】不等式可化为，即，等价于， 解得，则解集为. 故选：B. 【跟踪训练6.1】（24-25高一上·广东江门·阶段练习）不等式的解集为（ 　） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【解题思路】将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【解答过程】由题意得，，则，解得或， 所以不等式的解集为或． 故选：C. 【跟踪训练6.2】（24-25高一上·北京延庆·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】移项通分后转化一元二次不等式即可求解. 【解答过程】原不等式即为即，故， 故， 故选：D. 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·江苏徐州·阶段练习）解不等式 (1) (2). 【答案】(1) (2)或 【解题思路】（1）把不等式变形为求解； （2）通过分类讨论解分式不等式. 【解答过程】（1）不等式变形为， 即，解得. 所以不等式的解集为. （2）不等式，即， 等价于或，解得或. 所以不等式的解集为或. 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·广西柳州·开学考试）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【解题思路】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【解答过程】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为. 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $