专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式14大重点题型（举一反三期中专项训练）高一数学上学期苏教版必修第一册

专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式14大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 用不等式表示不等关系 1．（24-25高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 题型2 由已知条件判断所给不等式是否正确 6．（24-25高一上·湖北武汉·期中）下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 7．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 8．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一上·广东东莞·期中）若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 题型3 作差法、作商法比较代数式的大小 11．（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 12．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 13．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 14．（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 15．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 题型4 由不等式的性质比较数（式）大小 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·辽宁锦州·期中）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 18．（24-25高一上·安徽·期中）已知，，，则下列不等关系成立的是（   ） A． B． C． D． 19．（24-25高一上·四川泸州·期中） ．（填“＞”或“＜”） 20．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，，，则与的大小关系为 . 题型5 利用不等式求取值范围 21．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 22．（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 24．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求的最小值． 25．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围 题型6 由不等式的性质证明不等式 26．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 27．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 28．（25-26高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 29．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 30．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 题型7 一元二次不等式的解法 31．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 32．（24-25高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 34．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 35．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 题型8 解分式、高次、绝对值不等式 36．（24-25高一上·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 37．（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（24-25高一上·海南·期中）不等式 的解集为 ． 39．（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 40．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 43．（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 44．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 45．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知，关于的一元二次不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 题型10 一元二次方程根的分布问题 46．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 47．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 48．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 49．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 50．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 题型11 二次函数的图象分析与判断 51．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   52．（24-25高一上·山西·期中）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高一上·北京·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是 . 54．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 55．（24-25高一上·重庆万州·期中）已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 题型12 一元二次不等式恒成立问题 56．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 57．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 58．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 59．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式； 60．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函数 (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 题型13 一元二次不等式有解问题 61．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 62．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 63．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 64．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 65．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 题型14 一元二次不等式的实际应用 66．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 67．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 68．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    69．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 70．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 不等式的基本性质及一元二次方程、不等式14大重点题型（期中专项训练） 【苏教版】 题型归纳 题型1 用不等式表示不等关系 1．（24-25高一上·云南曲靖·期中）下列说法正确的是（    ） A．某人的月收入元不高于元可表示为“” B．小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“” C．变量不小于可表示为“” D．变量不超过可表示为“” 【答案】C 【解题思路】利用不等式表示不等关系逐个选项判断即可. 【解答过程】对于A，某人的月收入元不高于元可表示为“”，A错； 对于B，小明的身高为，小华的身高为，则小明比小华矮可表示为“”，B错； 对于C，变量不小于可表示为“”，C正确； 对于D，变量不超过可表示为“”，D错. 故选：C. 2．（24-25高一上·福建泉州·期中）体育课是体育教学的基本组织形式，主要使学生掌握体育与保健基础知识，基本技术、技能，实现学生的思想品德教育，提高其运动技术水平．新学期开学之际，某校计划用不超过1500元的资金购买单价分别为120元的篮球和140元的足球．已知该校至少要购买8个篮球，且至少购买2个足球，则不同的选购方式有（    ） A．6种 B．7种 C．8种 D．5种 【答案】D 【解题思路】根据题意列出不等式组，解出符合题意的组合即可. 【解答过程】设购买的篮球个数为，足球个数为，且， 根据题意可得， 解得符合题意的有序实数对可以是， 共5种不同的购买方式. 故选：D. 3．（24-25高一上·山东菏泽·期中）“双节”遇上亚运会，民宿成为潮流趋势．民宿的改造中，窗户面积与地板面积之比越大，采光效果越好．现有一所地板面积为180平方米的民宿需要同时增加窗户和地板的面积，已知地板增加的面积是窗户增加的面积的2倍，且民宿改造后的采光效果不逊于改造前，则改造前的窗户面积最大为 平方米． 【答案】 【解题思路】根据已知条件列不等式，从而求得正确答案. 【解答过程】设改造前的窗户面积为，窗户增加的面积为，， 依题意，即， 所以改造前的窗户面积最大为平方米. 故答案为：. 4．（24-25高一上·全国·课后作业）某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个零件，才能在规定的时间内超额完成任务？列出解决此问题需要构建的不等关系式. 【答案】 【解题思路】设该车工3天后平均每天需加工个零件，由前3天加工的零件个数与后12天加工的零件个数和不小于总个数即得． 【解答过程】设该车工3天后平均每天需加工个零件，加工天共加工个零件， 15天里共加工个零件， 因为在规定的时间内超额完成任务， 则． 故不等关系表示为． 5．（24-25高一上·江苏连云港·期中）火车站有某公司待运的甲种货物，乙种货物.现计划用，两种型号的货厢共50节运送这批货物.已知甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢，甲种货物和乙种货物可装满一节型货厢. (1)据此安排，两种货厢的节数，共有几种方案？ (2)若每节型货厢的运费是万元，每节型货厢的运费是万元，哪种方案的运费较少？ 【答案】(1)答案见详解 (2)安排型货厢30节，型货厢20节时运费最少 【解题思路】（1）根据不等关系列出相应不等式以及方程，解出型货厢的节数，可分为三种方案； （2）根据相应货厢的运费，得出方案三运费较少. 【解答过程】（1）设安排两种货厢分别为节，节， 则可列不等式组， 利用不等式即可解得， ，或，或. 共有三种方案： 方案一，安排型货厢28节，型货厢22节； 方案二，安排型货厢29节，型货厢21节； 方案三，安排型货厢30节，型货厢20节. （2）共有三种方案，运费分别为： 安排两种货厢分别为28节，22节，运费为万元 安排两种货厢分别为29节，21节，运费为万元. 安排两种货厢分别为30节，20节，运费为万元. 易知安排型货厢30节，型货厢20节时，运费最少，为31万元. 题型2 由已知条件判断所给不等式是否正确 6．（24-25高一上·湖北武汉·期中）下列不等式中成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】B 【解题思路】利用特值法和不等式的性质即可一一判断各选项. 【解答过程】对于A，当时，，故A错误； 对于B，若，由不等式的性质可知，故B正确； 对于C，若，取，得，则，故C错误； 对于D,若且，取，得，则，故D错误. 故选：B. 7．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】根据已知条件，结合特殊值法，以及不等式的性质，即可判断各选项. 【解答过程】对于A，取，此时，则有，所以A错误； 对于B，若，说明，则，所以B正确； 对于C，由，有，又因为， 从而，所以C正确； 对于D，若，则，则有，所以D正确. 故选：A． 8．（24-25高一上·陕西渭南·期中）已知实数a，b满足，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由不等式的性质可得选项A 正确，举反例可说明选项B、C、D错误. 【解答过程】由及不等式的性质可知，，选项A正确. 令，满足，此时，且，选项B、C错误. 令，满足，此时，选项D错误. 故选：A. 9．（24-25高一上·广东东莞·期中）若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】举反例排除ABD，利用不等式的性质判断C，从而得解. 【解答过程】因为，且， 对于A，取，满足，但，故A错误； 对于B，取，满足，但，故B错误； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，取，则，故D错误. 故选：C. 10．（24-25高一上·浙江杭州·期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】C 【解题思路】分别举出反例即可判断ABD，从而得到结果，根据不等式性质判断C. 【解答过程】对于A，令，满足， 但是，故A错误； 对于B，令，则，即不成立，故B错误； 对于C，因为，所以， 即，故C正确； 对于D，令，则，满足，但是不成立， 故D错误； 故选：C. 题型3 作差法、作商法比较代数式的大小 11．（24-25高一上·广东·期中）若，则（    ） A． B． C． D．的大小关系无法确定 【答案】B 【解题思路】利用作差法，即可比较大小. 【解答过程】因为，所以. 故选：B. 12．（24-25高一上·广西玉林·期中）小齐、小港两人同时相约两次到同一水果店购买葡萄，小齐每次购买3千克葡萄，小港每次购买50元葡萄，若这两次葡萄的单价不同，则小齐和小港两次购买葡萄的平均价格是（   ） A．一样多 B．小齐低 C．小港低 D．无法比较 【答案】C 【解题思路】设两次葡萄的单价分别为，分别计算出小齐和小港两次购买葡萄的平均价格，作差比较大小，得到答案. 【解答过程】设两次葡萄的单价分别为， 则小齐两次购买葡萄的平均价格是， 小港两次购买葡萄的平均价格是， ， 故，小港两次购买葡萄的平均价格低. 故选：C. 13．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【解题思路】作差计算，根据差值即可比较大小. 【解答过程】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 14．（24-25高一上·新疆喀什·期中）比较下列各题中两个代数式的大小： (1)与； (2)与. 【答案】(1) (2) 【解题思路】利用作差法求解即可. 【解答过程】（1）因为， 所以； （2）因为， 所以. 15．（24-25高一上·贵州六盘水·期中）从下列三组式子中选择一组比较大小： ①设，比较的大小； ②设，比较的大小； ③设，比较的大小. 注：如果选择多组分别解答，按第一个解答计分. 【答案】①； ②； ③； 【解题思路】①利用有理根式可得，再由即可得的大小关系； ②用作差法比较即可； ③用作差法或作商法比较即可. 【解答过程】解： ① ， 因为， 所以， 即； . ② ， . ③ 方法一（作差法） ， 因为，所以， 所以， 所以. .. 方法二（作商法）因为，所以， 所以， 所以. . 题型4 由不等式的性质比较数（式）大小 16．（24-25高一上·广东汕头·期中）若，则下列不等式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据不等式的基本性质逐一判断即可. 【解答过程】对A，由，所以，错误； 对B，由，，所以，正确； 对C，由，所以，错误； 对D，由，所以，错误. 故选：B. 17．（24-25高一上·辽宁锦州·期中）若，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据不等式的性质依次判断各个选项即可. 【解答过程】对于A，当时，，A错误； 对于B，当 且时，，B错误； 对于C，，，又，，C正确； 对于D，当，时，，D错误. 故选：C. 18．（24-25高一上·安徽·期中）已知，，，则下列不等关系成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用不等式的基本性质可判断ABD选项，利用特殊值法可判断C选项. 【解答过程】对于A选项，因为，则， 在不等式的两边同时除以可得，A错； 对于B选项，因为，，，则， 所以，，则， 在不等式的两边同时除以可得， 因为，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，因为，， 取，，，，则，C错； 对于D选项，因为，，所以，，故，D错. 故选：B. 19．（24-25高一上·四川泸州·期中） ．（填“＞”或“＜”） 【答案】＜ 【解题思路】利用不等式的基本性质即可得出结论. 【解答过程】，， ∵且 ∴， 则． 故答案为：＜. 20．（24-25高一上·安徽合肥·阶段练习）已知，，，则与的大小关系为 . 【答案】（或） 【解题思路】根据已知条件，利用不等式的性质进行比较大小即可. 【解答过程】由，， 则， 则， 又， 则. 故答案为：（或）. 题型5 利用不等式求取值范围 21．（24-25高一上·山东临沂·期中）已知，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由题求得，再结合不等式性质即可得解. 【解答过程】设， 所以，解得， 所以，又， 所以. 故选：A. 22．（24-25高一上·河南商丘·期中）若，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将用和表示，然后根据不等式的性质求解范围即可. 【解答过程】因为，又，， 所以，，所以，即的取值范围是. 故选：A. 23．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】利用不等式的性质计算即可. 【解答过程】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 24．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知，． (1)求的取值范围； (2)若，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据不等式的性质直接求解即可； （2）由，结合基本不等式可求得结果. 【解答过程】（1），， ，， ，即的取值范围为. （2），，， （当且仅当，即，时取等号）， 的最小值为. 25．（24-25高一上·重庆·期中）已知 (1)求的取值范围； (2)若将条件变为“”，求的范围 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）利用不等式的性质和齐次化可求的取值范围； （2）利用待定系数法结合不等式的性质可求的范围. 【解答过程】（1）因为，所以，所以； 因为，所以，则，所以 （2）令，所以， 所以，则，所以. 因为，所以， 所以. 题型6 由不等式的性质证明不等式 26．（24-25高一上·贵州贵阳·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解题思路】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【解答过程】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 27．（24-25高一上·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【答案】答案见解析 【解题思路】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【解答过程】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 28．（25-26高一·上海·课堂例题）原有酒精溶液a（单位：g），其中含有酒精b（单位：g），其酒精浓度为.为增加酒精浓度，在原溶液中加入酒精x（单位：g），新溶液的浓度变为.根据这一事实，可提炼出如下关于不等式的命题：若，，则.试加以证明. 【答案】证明见解析 【解题思路】先利用不等式的性质证得，再利用作差法证明即可. 【解答过程】因为，，所以，所以； 又， 因为，，所以，， 所以，即 综上，. 29．（24-25高一上·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【解答过程】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 30．（24-25高一上·黑龙江黑河·阶段练习）已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了． (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由，进而证得，即可得证. 【解答过程】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 由（1）中的结论，可得， 所以①， 又由，同理可得， 则， 由上述结论，可得，所以②， 综合①②，得. 题型7 一元二次不等式的解法 31．（24-25高一上·重庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】由一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】由，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 32．（24-25高一上·四川南充·期中）关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据一元二次不等式的解法即可求解. 【解答过程】因为， 所以， 解得， 所以的解集为. 故选：. 33．（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【解题思路】将不等式分解因式可得答案. 【解答过程】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 34．（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【解答过程】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 35．（24-25高一上·福建南平·期中）设. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）当时，直接利用二次不等式的解法额可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，对实数的取值进行分类讨论，利用二次不等式和一次不等式的解法可得出原不等式的解集. 【解答过程】（1）若，则由， 解得，所以不等式的解集为. （2）不等式， 即， 当时，，解得； 当时，则，解原不等式可得； 当时，，解原不等式可得或； 当时，原不等式即为，即恒成立； 当时，，解原不等式可得或. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 题型8 解分式、高次、绝对值不等式 36．（24-25高一上·河南郑州·期中）不等式的解集为（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】将分式不等式转化为一元二次不等式后可求其解. 【解答过程】即为，故或， 故不等式的解集为或， 故选：A. 37．（24-25高一上·吉林延边·期中）“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】解分式不等式及绝对值不等式，根据解集的关系及充分、必要条件的定义计算即可. 【解答过程】由，解之得或， 记不等式的解对应集合， 由或，解之得或， 记不等式的解对应集合， 显然A是B的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 38．（24-25高一上·海南·期中）不等式 的解集为 ． 【答案】 【解题思路】把分式不等式化为整式不等式再求解． 【解答过程】 ， 故答案为：． 39．（24-25高一上·湖南怀化·期中）求下列不等式的解集： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）利用二次不等式的解法即可得解； （2）利用绝对不等式的解法即可得解； （3）利用分式不等式的解法即可得解. 【解答过程】（1）因为，所以， 解得，故不等式的解集为. （2）因为，所以，解得， 所以的解集为. （3）因为，所以， 等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 40．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）化分式不等式的右边为0，通分转化为一元二次不等式求解. （2）分段去绝对值符号求解不等式. 【解答过程】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或或， 解得；不等式组无解；解得， 所以原不等式的解集为. 题型9 由一元二次不等式的解确定参数 41．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若关于的不等式恰有3个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先化简为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有3个整数解求出实数的取值范围. 【解答过程】不等式可化为， 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得； 当时，原不等式等价于， 其解集为，不满足题意； 当时，原不等式等价于，其解集为， 其解集中恰有3个整数解，所以，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故选：B. 42．（24-25高一上·江苏盐城·期中）关于的不等式的解集为，则下列选项正确的是（ ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】D 【解题思路】利用二次不等式与解集的关系可判断A选项；利用韦达定理可得出、与的等量的关系，可判断C选项；利用二次不等式的解法可判断B选项；利用一次不等式的解法可判断D选项. 【解答过程】对于A选项，因为关于的不等式的解集为，则，A错； 对于B选项，由题意可知，关于的方程的两根分别为、， 由韦达定理可得，可得， 所以，不等式即为，即， 解得或， 因此，不等式的解集为，B错； 对于C选项，，C错； 对于D选项，不等式即为，即，解得， 因此，不等式的解集为，D对. 故选：D. 43．（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解 【解答过程】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 44．（24-25高一上·福建泉州·期中）已知函数，关于不等式的解集为. (1)解关于的不等式； (2)关于的不等式有且仅有7个整数解，求的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）结合不等式的解集，利用三个二次关系列式求得，然后将所求不等式转化为，分类讨论求解二次不等式即可. （2）将所求不等式化简为，结合得不等式的解集为，然后利用解集中有且仅有7个整数解列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为不等式的解集为，且， 所以恒成立，且的两根为1，2. 故，即. 不等式等价于， 整理得， 当时，不等式化为，无解，不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为； 当时，，原不等式的解为，即不等式的解集为. （2）不等式等价于， 整理得， 因为，所以，所以不等式的解集为， 因为不等式有且仅有7个整数解， 所以，解得，故的取值范围为. 45．（24-25高一上·山东聊城·期中）已知，关于的一元二次不等式的解集为. (1)求不等式的解集； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【解题思路】（1）由不等式的解集求出和，再直接解不等式； （2）根据开口方向不同分为，，三类情况，当时，再根据和的大小关系分为 ，，三类情况. 【解答过程】（1）因为关于的一元二次不等式的解集为， 所以关于的一元二次方程的两解为和， 所以，解得. 所以一元二次方程的解为，， 所以不等式的解集为或. （2）由（1）得关于的不等式，即， 因式分解得. ①当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ②当时，原不等式为， 解得或， 所以不等式的解为； ③当时，原不等式为， 解得，即不等式无解； ④当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为； ⑤当时，原不等式为， 解得，即不等式的解为. 综上可得：当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式无解； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 题型10 一元二次方程根的分布问题 46．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【解答过程】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 47．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【解题思路】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【解答过程】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B. 48．（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围. 【解答过程】设方程的两根为， 则, ∴ ∴， 故答案为：. 49．（24-25高一上·上海·期中）已知，关于的方程； (1)若方程有两个正实数根，求实数的取值范围； (2)若方程有两个整数根，且为整数，求的值； 【答案】(1)或 (2)1或3 【解题思路】（1）根据方程有两个正根列出不等式组求解； （2）根据根与系数的关系，结合根及为整数，求出根即可得解. 【解答过程】（1）因为关于的方程有两个正实数根， 所以，即， 解得或. （2）由方程有两个整数根， 所以且，， 由，所以或， 当时，，， 所以或，所以， 当时，，， 所以或，所以， 综上，的值为1或3. 50．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数 (1)若，求的解集； (2)若关于x的方程只有一个根，求a的值； (3)关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或1； (3) 【解题思路】（1），解一元一次不等式，求出解集； （2）分和，结合根的判别式得到不等式，求出a的值； （3）解集为R，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【解答过程】（1）时，，解得， 故的解集为； （2）只有一个根， 若，，解得，只有1个解，满足要求， 若，，解得， 综上，或1； （3），解集为R， 当时，，解得，不合要求， 当时，需满足，无解， 综上，实数a的取值范围为. 题型11 二次函数的图象分析与判断 51．（24-25高一上·福建福州·阶段练习）不等式的解集为，则函数的图象大致为（   ） A．     B．   C．   D．   【答案】B 【解题思路】根据不等式的解集得到，为的两个根，由韦达定理得到，从而根据二次函数的对称轴，开口方向及与轴交点纵坐标的正负得到答案. 【解答过程】由题意得，为的两个根， 故，即， 开口向下，对称轴为，与轴交点纵坐标为 故选：B. 52．（24-25高一上·山西·期中）已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解. 【解答过程】由二次函数的图象可知，函数的图象开口向上，且该函数的图象与轴相切，对称轴为直线， 所以，，且，则，， 不等式即，即，解得， 因此，不等式的解集为. 故选：B. 53．（24-25高一上·北京·期中）若二次函数图象关于对称，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】根据题意可判断二次函数的单调性，再结合对称性可解得的取值范围. 【解答过程】由题意得二次函数的对称轴为， 因为，所以函数在上单调递增， 因此函数开口向下，在上单调递增，在上单调递减； 因为，所以，即，，，解得或， 故答案为：. 54．（24-25高一上·新疆喀什·期中）已知二次函数且满足． (1)求函数的解析式； (2)若函数的定义域为，作出函数图象并求其值域． 【答案】(1)； (2)作图见解析，． 【解题思路】（1）由，列方程求出，可得函数的解析式； （2）由二次函数的图象特征，作出函数图象，根据图象求值域． 【解答过程】（1）二次函数满足， 则有，解得， 所以. （2）函数的定义域为，函数图象如图所示，    由函数图象可知，函数的值域为. 55．（24-25高一上·重庆万州·期中）已知函数. (1)求的图象的顶点坐标； (2)求在上的值域. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）配方，可得二次函数的顶点坐标. （2）考虑函数在端点处的函数值与顶点的纵坐标，可得函数在给定区间上的值域. 【解答过程】（1），则的图象的顶点坐标为. （2）当时，取得最小值，且最小值为0. 因为，所以的最大值为9. 故在上的值域为. 题型12 一元二次不等式恒成立问题 56．（24-25高一上·四川成都·期中）不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对不等式的二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可. 【解答过程】当时，原不等式变为，显然对一切实数都成立； 当时，由，解得， 综上所述，实数k的取值范围是. 故选：C. 57．（24-25高一上·江苏南通·期中）恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】转化问题为对于恒成立，进而由结合基本不等式求解即可. 【解答过程】由，得， 则问题转化为对于恒成立， 又， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：D. 58．（24-25高一上·重庆·期中）当时，关于的不等式恒成立，则实数的值为 . 【答案】或 【解题思路】将不等式分解可得，根据不等式恒成立对的取值分类讨论可得结果. 【解答过程】由已知可得， 易知该不等式对应的三个根为，且恒成立； 由已知时，不等式恒成立， 则需满足（1），解得成立； （2）时，，，解得成立； 综上可得或. 故答案为：或. 59．（24-25高一上·山东济宁·期中）已知函数． (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式； 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）根据含参一元不等式的恒成立，分别讨论，成立的条件，即可得的取值范围； （2）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可. 【解答过程】（1）由，即对一切实数恒成立， 当时，，有，即，不满足题意； 当时，则满足，即，解得． 综上所述，的取值范围为 （2）由． 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 当，所以，所以：或； 当时，，所以：； 当时，，所以，所以：或； 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． 60．（24-25高一上·湖南湘西·期中）已知函数 (1)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围 (2)若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）移项后转化为在上恒成立，利用判别式即可解决； （2）根据对称轴和区间在数轴上的位置关系进行分类讨论，转化为最值问题即可解决. 【解答过程】（1）即为，此不等式在上恒成立， 则，解得； 所以的取值范围是. （2）在上恒成立， 若，函数在先减后增，则，，所以 若，函数在单调递增，则，，所以， 若，函数在单调递减，则，，此时无解， 综上所述，实数的取值范围是. 题型13 一元二次不等式有解问题 61．（24-25高一上·河北石家庄·期中）若存在，使得不等式成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把问题转化成“大于或等于的最小值”，再利用配方法求的最小值即可. 【解答过程】因为， 所以 . 问题“存在，使得不等式成立”转化为“大于或等于的最小值”. 因为，当时取“”. 所以 . 故选：C. 62．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【解答过程】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 63．（24-25高一上·重庆·期中）已知关于的不等式在区间有解，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】分离参数，然后将不等式有解转化为最值问题即可. 【解答过程】法一：原不等式可化为，因为不等式在有解，所以； 令，则； 令，易知在单调递减，在单调递增，，所以. 法二：令，则即可； 由二次函数在闭区间上的最值可知，， 所以或，解得或，所以. 故答案为：. 64．（24-25高一上·广西南宁·阶段练习）已知函数. (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，然后分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可. 【解答过程】（1）由. 得，所以， 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， 因为，所以，所以， 所以：或. 综上可知：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. （2）不等式，即， 所以， 因为恒成立，所以：. 问题转化为：存在，使得成立，所以， 设，令，则， 因为（当且仅当，即时取等号）， 所以，当且仅当时取等号. 所以综上可知：的取值范围为. 65．（24-25高一上·浙江宁波·阶段练习）设函数. (1)若命题：是假命题，求的取值范围； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据命题为真命题，求出实数的取值范围，从而可求出命题为假命题时，实数的取值范围； （2）由题意对于，使有解，分离参数得在上能成立，利用基本不等式求得即可求解的取值范围. 【解答过程】（1）若命题：是真命题，则，不等式成立， 当时，，显然不成立； 当时，函数为二次函数， 若即，则，满足题意； 若即，则，所以， 综上，或. 所以命题：是假命题时，； （2）存在，使得成立， 即对于，使有解， 即在上能成立，所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以. 题型14 一元二次不等式的实际应用 66．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）某花卉店售卖一种多肉植物，若每株多肉植物的售价为30元，则每天可卖出25株；若每株多肉植物的售价每降低1元，则日销售量增加5株．为了使这种多肉植物每天的总销售额不低于1250元，则每株这种多肉植物的最低售价为（   ） A．25元 B．20元 C．10元 D．5元 【答案】C 【解题思路】根据题意，列出不等式，代入计算，即可求解. 【解答过程】设每株多肉植物的售价为元，则每天可以卖株， 由题意可得，即， 解得，所以每株这种多肉植物的最低售价为10元. 故选：C. 67．（24-25高一上·河南驻马店·阶段练习）某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价（单位：元）的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【解答过程】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故选：C. 68．（24-25高一上·湖北襄阳·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元．若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为 m．    【答案】 【解题思路】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可； 【解答过程】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则 ， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 69．（24-25高一上·河南南阳·期中）数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【解题思路】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【解答过程】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 70．（24-25高一上·江苏盐城·期中）某主播在直播平台上销售一款成本为每件24元的商品.经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； (2)若该主播按单价不低于成本价，且不高于50元销售，则销售单价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ (3)若该主播要使销售该商品每天获得的利润不低于1280元，则每天的销售量最少应为多少件？ 【答案】(1) (2)单价定为元时利润最大，最大利润为元 (3) 【解题思路】（1）设出一次函数解析式，利用待定系数法求得正确答案. （2）求得利润的表达式，利用二次函数的性质求得最值以及此时对应的单价. （3）根据已知条件列不等式，根据函数的单调性求得销售量的最小值. 【解答过程】（1）设，由图可知，函数图象过点， 所以，解得，所以， 由解得. 所以每天的销售量与销售单价之间的函数关系式是. （2）若单价不低于成本价24元，且不高于50元销售， 则， 则利润， 其开口向下，对称轴为， 所以当时，利润取得最大值为， 所以当单价为元时，取得最大利润为元. （3）由（2）得利润， 又该商品每天获得的利润不低于1280元， 则，整理得， 即，解得， 销售量是减函数，所以当时，销售量最小， 且最小值为件. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $