专题02 二次函数5考点（期中真题汇编，山西专用）九年级数学上学期人教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题02二次函数 ☆5大高频考点概览 考点01二次函数的定义与图像性质 考点02二次函数图像的平移 考点03二次函数与一元二次方程 考点04二次函数的实际应用 考点05二次函数与几何综合 考点01 二次函数的定义与图像性质 1.(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)关于抛物线y=x2-4x+4,下列说法错误的是() A开口向上 B.与y轴交于正半轴 C.对称轴是直线x=2 D.当x>2时，y随x的增大而减小 2.(24-25九上山西吕梁孝义期中)已知点P(-3,y),P(-1,2)和P(1,y3)都在二次函数y=-x2-3x+m的 图象上，那么片，2，之间的大小关系是() A.3<y2<y1B.y3<月<y2 C.y<y3<y2 D.<y2<y3 3.(24-25九山西大同平城区多校期中)抛物线y=-2x2+4x+c上的三点分别为(-1，乃)， 则以，，的大小关系是() A.月<2<3 B.y3<y<y2 C.y<y3<y2 D.y2<y3<y1 4.(24-25九上山西朔州多校期中)当x≤a时，二次函数y=x2-2x+3的最小值为6，则a的值为() A.-1或3 B.-1 C.-1或1 D.1 5.(24-25九上山西朔州多校月考)已知点A(-2,y),B(1,y),C(6,y)都在二次函数y=-4(x-3)2+a的 图像上，则乃，y,的大小关系为() 1/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.yi>y2>y3 B.y2>y>y3 C.y2>y3> D.y3>y2>y 6.(2425九上山西翔州多校期中若(-2x,B2⅓.C3y)是楚物线=x-P+a上的三个点， 则y,2,3的大小关系是() A.<y2<3B.y2<y<y3 C.y2<y3<y D.y<3<y2 7.(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中抛物线y=-5(x-3)2+4的顶点坐标是() A.(3,4 B.-3,-4) C.(3,-4) D.（-3,4) 8.(24-25九上山西大同期中)如图，二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，且a≠0)的图象的对称 轴是直线x=-1,有下列四个结论：①若(-3，y),(2,y2)分别是抛物线上的两个点，则y>》2;② abc>0;③b2-4ac>0;④a-b+c≤xax+b)+c,其中正确的序号是() A.①② B.①②③ C.②③ D.①②③④ 9.(24-25九上·山西吕梁孝义期中)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是 () A.bc<0 B.2a-b=0 C.4a-2b+e>0 D.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根为 2/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 x1=1,x2=3 考点02 二次函数图像的平移 1.(2425九山西大同平城区多校期中)将抛物线y=2x2向上平移3个单位，再向左平移1个单位，得到新 的抛物线的表达式为() A.y=2(x-1)2+3 B.y=2(x+12-3 C.y=2(x-1)2-3 D.y=2(x+1)2+3 2.(24-25九上·山西阳泉郊区多校期中将抛物线y=x2-2x-3先向左平移3个单位长度，再向上平移2个 单位长度，得到的抛物线的函数解析式为() A.y=(x-4)2-2B.y=(x-4)2+2C.y=(x+2)2-2D.y=(x+2)2+2 3.(2425九上山西大同期中)将抛物线y=x2+4x-1先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 后得到的抛物线的解析式是() A.y=(x-1+3 B.y=(x-1)2-3 C.y=(x+5)2-7 D.y=(x+5)2-3 4.(24-25九上山西（大同第一中学集团校南)·期中)将抛物线y=-2x2先向右平移2个单位长度，再向上 平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为」 1 5.(24-25九上·山西吕梁孝义期中已知二次函数y=-二x2-2x+1. 2 (1)请用配方法将这个二次函数化成y=a(x-h)+k的形式； (2)当x为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？ (国抛物线)=分-2x+1可以由抛物线y=方式+1经过怎样的平移得到 2 目目 考点03 二次函数与一元二次方程 1.(24-25九上·山西太原期中)如图，一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为8米， 3/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 如果梯子的顶端下滑1米，底端也水平滑动x米，则x满足方程(x+6)+72=102.在估算一元二次方程 (x+6)+7=10的根时，小欣列表如下： 1.1 1.2 1.3 1.4 (x+6)2+72 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程(x+6)2+72=102的一个根x的范围是() 10m 8m 777777777777 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2<x<1.3 D.1.3<x<1.4 2.(24-25九上山西吕梁孝义·期中)已知抛物线y=x2+x-k与x轴有两个公共点，则实数k的取值范围是() A号 D24 3.(24-25九上·山西阳泉矿区多校期中已知二次函数y=x2-bx-c,其中y与x的部分对应值如下表： 0 0.5 1 1.5 2 y=x2-bx-c -15 -8.75 -2 5.25 13 则一元二次方程x2-bx-c=0的一个近似解x的取值范围是() A.0<x<0.5B.0.5<x<1 C.1<x<1.5 D.1.5<x<2 4.(24-25九上山西阳泉郊区多校期中若函数y=(m-3)x2-4x+2的图象与x轴只有一个交点，则m的值 为() A.3或5 B.3 C.4或5 D.5 5.(24-25九上山西大同期中)如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A(1.66,-0.48), B(1.87,0.4),则方程ax2+bx+c=0的一个根可能是() 4/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2 B(1.87,0.4) 345 -1 A(1.66,-0.48) -2 -3 A.1.62 B.1.87 C.1.75 D.2.13 6.(24-25九上山西运城稷山县期中)已知x2+3x-1=0,依据下表，它的其中一个解的范围是 。 -0.5 0 0.5 x2+3x-1 44。。4 -3 -2.25 0.75 3 7.(24-25九上·山西吕梁孝义期中)已知二次函数y=2x2-5x+1的部分x,y的对应值如下表： 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 -0.68 -0.32 0.08 0.52 1.52 根据表格可知一元二次方程2x2-5x+1=0的一个实数根x所在的范围是 目目 考点04 二次函数的实际应用 1.(2425九上·山西阳泉郊区多校期中)抛物线状沙丘的表现形态为迎风坡凹进，背风坡凸出，两个翼角指 向迎风方向，平面轮廓呈抛物线状如图所示是我国最大沙漠（塔克拉玛干沙漠）某处抛物线状沙丘的示意 图，以抛物线状沙丘最左端端点0为原点建立平面直角坐标系.若顶点A的坐标为15,100)，且点 B(m,-224)在该抛物线上，则m的值为() B 5/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.17 B.35 C.40 D.42 2.(24-25九上·山西运城稷山县期中)下面的物理问题与数学之间有着紧密联系，一个小球以15m/s的初速 度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间(s满足关系：h=-5t2+15t,小球()s时其高度为10m A.1 B.2 C.3 D.1或2 3.(24-25九山西大同平城区多校期中)如图，钉子A位于原点，钉子B位于x轴的正半轴上，与钉子A距 离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子A,B上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（) B -6 4·氵2-83 B.v-8 c.y-8 D,y=82+8 4.(2425九上·山西运城实验中学期中)一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压p (毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系：p=0.01x2+0.05x+107,如果一个女性的收缩压为110毫米 汞柱，那么她的年龄是()岁 A.15 B.20 C.30 D.35 5.(24-25九上山西大同期中)国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街 区卖气球，销售过程中发现每天的销量y(件)和售价x(元/件)之间满足一次函数y=一2x+70的关系， 己知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是元. 6.(24-25九上山西大同第一中学校月考)综合与实践 “道路千万条，安全第一条.”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车 后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新 型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试.数学小组的同学对测试的数 据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离y与刹车后行驶的时间ts之间满足二次函数关系， 函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： 6/13 学科网 www zxxk.com 让教与学更高效 y/m◆ 开始踩刹车 完全停止 63 48 27 刹车距离 0123456 (1)求y关于t的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求汽车刹车4s后，行驶了多远； (3)若汽车司机行驶过程中发现正前方80处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下 是否会撞到抛锚的车？请说明理由. 7.(24-25九上·山西朔州多校期中)综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手.农业大学毕业 的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者.下面是 他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为y轴，水平地面作为x轴，构造平面直 角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线MDN,该抛物线的解析式为y=ax2+bx+3a≠0)，对称轴 为BD,且OB=4. D MO B (1)当AB与BD恰好相等时，求抛物线的解析式. (2)在(1)中的条件下，小宇想在大棚内BN上找一固定点P,并设计一根支撑柱DP,使得DP与AB平行， 请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点P,若能，计算DP的长；若不能，请说明理由. 8.(24-25九上山西阳泉郊区多校·期中)学科实践 任务布置：太阳能路灯无需铺设线缆，不产生电费，省心省事，节省了大量的人力和能源，被广泛用于城 市的主、次干道，小区，停车场等.某数学实践小组对其产生了极大的兴趣 7777777 研究步骤：①该实践小组经过走访，得到某太阳能路灯的部分灯柱0C=4m,灯体AB=0.6m,且与地面成 7/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 1 30°角，灯柄BC是抛物线y=-。+bx+c的一部分，灯体与灯柄的连接点B到灯柱的水平距离为)m,到 9 地面的垂直距离为4m. 21 ②实践小组了解到社区要对该太用能路灯进行加固，需要在灯柄与灯柱之间焊接一根长为m的铁条DE, 问题解决：请根据以上研究步骤与相关数据完成下列任务： (1)该太阳能路灯灯体顶端A到地面的垂直距离为 m (2)以点O为坐标原点，地面所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面 直角坐标系，并求出灯柄BC所在抛物线的函数解析式。 (3)若灯柄上的焊接点D到灯柱的水平距离为1m,求灯柱上的焊接点E到地面的垂直距离. 9.(24-25九上山西吕梁孝义·期中)综合与实践 问题背景： 某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品.图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2 是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面AB所在直线为x轴，上下桥拱最高点E,F所在直线为y轴） 中的截面示意图，下面是他们的设计方案。 设计方案： ①上桥拱AEB和下桥拱CFD均为抛物线型，其中上桥拱AEB在平面直角坐标系中的函数关系表达式为 1 片= x2+20; 80 ②上、下桥拱最高点E,F之间的距离为10： ③桥拱在桥面上的距离AC(BD)的长度为25. C D B 图1 图2 解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： (I)求下桥拱CFD在平面直角坐标系中的函数关系表达式： (2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾MWPQ,并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”.其中点 M,N(点M在点N的左侧)均在直线y=10上，点P,Q在上桥拱AEB上（点P,Q关于y轴对称，且 P,Q均在直线y=10的上方)，若矩形MNPQ的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形MNPQ,并求出点 8/13 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 M,N的坐标， 10.(24-25九上山西大同期中)综合与实践 问题情境：某中学计划在校园内足球场一侧修建一个膜结构看台，该看台的设计形状近似于一个开口向下 的抛物线.为了方便学生观看比赛和表演，看台被设计为多层结构，每层的座位宽度相同，且层与层之间 的高度差也都是固定的。 方案设计：设计图如图1所示，纵截面如图2所示.己知膜结构的最高点（即抛物线的顶点C)距离地面4 米，膜结构与地面的交点A,B间的长度为40米. C A 0 B x 图1 图2 问题解决： 请根据上述数据，完成下列任务： (1)以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，看台中心线OC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，求出该抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围. (2)假设每层看台的高度差为0.6米，学生座位的平均宽度为0.5米，且每层看台都紧密排列座位.问从直线 AB(不包括AB)往上第4层看台大约能坐多少名学生？（忽略不可用做座位的通道的宽度，√10≈3.162）. 11.(24-25九上山西怀仁)项月化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜.山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内 一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习. 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系。 研究步骤： (1)学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； (2)该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； (3)数据分析，得出结论 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克》 92 96 100 104 108 9/13 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 每月销售数量y(千克》 880 840 800 760 720 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： ()根据表中信息可知：该黄花每天的销售数量y(千克)是黄花的销售单价x(元/千克)的函数（选 填“一次”或“二次”)，y与x的函数关系式为 (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ (3)若要使每月销售黄花获得的利润（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润， 12.(24-25九上山西大同·期中)科学研究表明，农作物的产量与其接受的灌溉水量之间存在一定的关系.某 实验站通过对冬小麦的灌水量与产量进行实验分析，发现灌水量和产量之间呈现某种函数关系.即在一定 范围内，随着灌水量的增加，小麦产量也随之上升，但当灌水量超过某一适宜值时，再增加灌水量反而会 导致产量下降，这说明多灌无益，反而有害.为了优化灌溉策略，提高作物产量，研究人员记录了不同灌 溉水量下冬小麦的产量数据，部分数据如下表： 灌溉水量x(厘米/平方米) 14 18 22 26 30 34 小麦产量y(千克平方米) 0.68 0.8 0.84 0.8 0.68 0.48 (灌溉水量，通常指的是单位面积（如平方米）上的一次灌水量，这个量是用水的深度来表示的，单位是 厘米) (1)请你根据表中数据判断灌水量和产量之间的关系近似于一次函数和二次函数中的哪一种？并求出这个函 数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）， (2)请根据上而的函数解析式求出灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量， (3)如果要求每平方米的小麦产量必须大于0.2千克，那么灌溉水量应该在哪个范围内选择？请直接写出结果， 目目 考点05 二次函数与几何综合 1.435九上山西大同期中海图、抛物线y方-多+2与女转交于4、B两点（点A在B的左侧）、 与y轴交于点C、点D是抛物线上一个动点、过点D作x轴的垂线、与直线BC交于点E. 10/13 专题02 二次函数 5大高频考点概览 考点01 二次函数的定义与图像性质 考点02 二次函数图像的平移 考点03 二次函数与一元二次方程 考点04 二次函数的实际应用 考点05 二次函数与几何综合 地 城 考点01 二次函数的定义与图像性质 1．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)关于抛物线，下列说法错误的是（    ） A．开口向上 B．与轴交于正半轴 C．对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图形的性质，根据相关性质一一判断即可； 【详解】解：∵，∴开口向上，故选项A正确，不符合题意； ∵令时，，∴交轴于点，即与轴交于正半轴，故选项B正确，不符合题意； ∵，∴对称轴是直线；故选项C正确，不符合题意； ∵，∴当时，随的增大而增大，故选项D错误，符合题意； 故选：D 2．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，分别求出、和时的函数值即可判断． 【详解】解：∵点，和都在二次函数的图象上， ∴当时，； 当时，； 当时，； ∵ ∴ 故选：B． 3．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)抛物线上的三点分别为，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质．因为抛物线开口向下，故离对称轴距离越远，对应的函数值越小，即可求解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 三个点，，和对称轴的距离分别为：2、0.5、1， 因为抛物线开口向下，故离对称轴距离越远，对应的函数值越小， 故． 故选：C． 4．(24-25九上·山西朔州多校·期中)当时，二次函数的最小值为6，则的值为（    ） A．或3 B． C．或1 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，先求出抛物线的顶点式，可得出顶点坐标，再求出时x的值，然后根据抛物线的增减性判断即可． 【详解】二次函数， ∴抛物线的开口向上，当时，y有最小值2. 当时，， 解得． 当时，函数值y随着x的增大而减小， 当时，二次函数则最小值是6， 所以． 故选：B． 5．(24-25九上·山西朔州多校·月考)已知点，，都在二次函数的图像上， 则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．根据题意可得该抛物线开口向下，对称轴为直线，得到离对称轴越远的点，其值越小，即可求解． 【详解】解：二次函数的解析式为， 对称轴为直线，， 该抛物线开口向下， 离对称轴越远的点，其值越小， 点，，， ，，，即， ， 故选：C． 6．(24-25九上·山西朔州多校·期中)若是抛物线上的三个点，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，且对称轴为直线，根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线，， ∴离对称轴最远，其次为，最近为， ∴， 故选：D． 7．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求抛物线的顶点坐标，熟练掌握抛物线的顶点式是解题关键． 根据抛物线的顶点式即可得． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 故选：A． 8．(24-25九上·山西大同·期中)如图，二次函数（a，b，c为常数，且）的图象的对称轴是直线，有下列四个结论：①若，分别是抛物线上的两个点，则；②；③；④，其中正确的序号是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的图象和性质， 根据抛物线的对称性质得的对称点为，再根据点与对称轴的距离的大小便可判断①；根据抛物线的对称轴得，再根可据抛物线与轴交点位置得，进而便可判断②；根据抛物线与轴的交点个数，便可判断③；根据抛物线的顶点坐标与二次函数的性质，便可判断④． 【详解】解：根据图象可知，抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下，，分别是抛物线上的两个点， 而，，， ∴，故①正确； 抛物线的开口向下， ， ， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ，故②正确； ∵抛物线与轴有两个交点， ∴，故③正确； 时，的最大值是， ， ∴，故④错误； 故选：B． 9．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)抛物线的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．关于的一元二次方程的实数根为， 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴，与轴的交点等知识进行分别判定即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，则， ∴，故B选项错误，不符合题意； ∵二次函数图象与轴交于负半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为，二次函数图象与轴的一个交点为， ∴二次函数图象与轴的另一个交点为， ∴当时，，故C选项正确，符合题意； ∴关于的一元二次方程  的实数根为，故D选项错误，不符合题意； 故选：C ． 地 城 考点02 二次函数图像的平移 1．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)将抛物线向上平移3个单位，再向左平移1个单位，得到新的抛物线的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移．根据平移法则“左加右减，上加下减”即可得出答案． 【详解】解：将抛物线先向上平移3个单位，再向左平移1个单位得到的抛物线解析式为， 故选：D． 2．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)将抛物线先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了次函数图象与几何变换，根据根据二次函数平移法则“左加右减，上加下减”法则解答即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为：． 故选：C． 3．(24-25九上·山西大同·期中)将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的抛物线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的顶点式，抛物线的平移，先将化为顶点式，再结合左加右减，上加下减可得答案． 【详解】解：∵， 将先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得，即． 故选：B． 4．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)将抛物线先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，则平移后抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，根据二次函数图象的平移规则，左加右减，上加下减，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：； 故答案为：． 5．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)已知二次函数． (1)请用配方法将这个二次函数化成的形式； (2)当为何值时，二次函数有最大值？最大值是多少？ (3)抛物线可以由抛物线经过怎样的平移得到？ 【答案】(1)； (2)当时，二次函数有最大值，最大值是3； (3)向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度． 【分析】本题主要考查二次函数的性质，以及一般式和顶点式的转化、平移的性质， （1）根据配方法即可得到顶点式； （2）根据二次函数的性质即可求得答案； （3）根据顶点式和平移的方法即可求得答案． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 当时，二次函数有最大值，最大值是3； （3）解：抛物线可以由抛物线先向左平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到． 地 城 考点03 二次函数与一元二次方程 1．(24-25九上·山西太原·期中)如图，一个长为米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直高度为米，如果梯子的顶端下滑米，底端也水平滑动米，则满足方程．在估算—元二次方程的根时，小欣列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 98 99.41 100.84 102.29 103.76 由此可估算方程的一个根的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次函数确定一元二次方程的根的取值范围．从表中可以看出当时，，当时，，所以能使成立的一定在范围内． 【详解】解：整理方程 得到：， 令， 由表中数据可知：当时，， 当时，， 当时，即时， 一定有． 故选：B． 2．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)已知抛物线与轴有两个公共点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，把求二次函数（是常数，）与轴的交点坐标问题，转化为解关于的一元二次方程，也考查了二次函数的性质． 令得到一元二次方程，根据一元二次方程根的判别式得到，解不等式即可． 【详解】解：令， ∴， ∵抛物线 与轴有两个公共点， ∴， 即， 解得 故选：C ． 3．(24-25九上·山西阳泉矿区多校·期中)已知二次函数，其中y与x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 … … 13 … 则一元二次方程的一个近似解的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系，估算一元二次方程的近似解，根据表格中x与值的特征，确定出解x的范围即可，弄清表格中的数据是解本题的关键． 【详解】解：根据表格得： 当时，， 当时，， 则关于x的一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：C． 4．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)若函数的图象与轴只有一个交点，则的值为（    ） A．3或5 B．3 C．4或5 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点问题， 根两种情况讨论：当时，直线与x轴有一个交点；当时，满足，抛物线与x轴有一个交点． 【详解】解：当时， 解得，直线与x轴有一个交点； 当时，满足，抛物线与x轴有一个交点， 即， 解得． 所以m的值为3或5． 故选：A． 5．(24-25九上·山西大同·期中)如图是二次函数的图象，图象上有两点分别为，，则方程的一个根可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，根据题意得方程的一个解，进而即可求解． 【详解】解：∵二次函数图象上有两点分别为，， ∴方程的一个解， ∴方程的解可能为：， 故选：C． 6．(24-25九上·山西运城稷山县·期中)已知，依据下表，它的其中一个解的范围是 ． x …… 0 0.5 1 …… …… 0.75 3 …… 【答案】 【分析】本本题考查了图象法求一元二次方程的近似根，根据图表信息确定出代数式的值为0的x的取值范围是解题的关键．观察表格可以发现的值和0.75最接近0，再看对应的x的值即可得． 【详解】解：当时，； 当时，， 当在的范围内取某一值时，， 方程的一个解的范围是为． 故答案为． 7．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)已知二次函数的部分，的对应值如下表： 根据表格可知一元二次方程的一个实数根所在的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．根据函数与x轴交点的纵坐标为零求解即可． 【详解】解：∵时，；时，； ∴一元二次方程的一个实数根所在的范围是， 故答案为：． 地 城 考点04 二次函数的实际应用 1．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)抛物线状沙丘的表现形态为迎风坡凹进，背风坡凸出，两个翼角指向迎风方向，平面轮廓呈抛物线状如图所示是我国最大沙漠（塔克拉玛干沙漠）某处抛物线状沙丘的示意图，以抛物线状沙丘最左端端点为原点建立平面直角坐标系．若顶点的坐标为，且点在该抛物线上，则的值为（    ） A．17 B．35 C．40 D．42 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握顶点式的图象和性质是解题的关键．根据顶点式求出函数解析式，将点代入即可．进行计算即可． 【详解】解：由题意可得：设二次函数解析式为， 将代入， 求出， 故二次函数解析式为：， 将代入， 得， 解得， 故选D． 2．(24-25九上·山西运城稷山县·期中)下面的物理问题与数学之间有着紧密联系，一个小球以15的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度与时间满足关系：，小球（   ）时其高度为10． A．1 B．2 C．3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，先把代入，再用因式分解法求解即可． 【详解】解：根据题意得 解得 故选：D． 3．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)如图，钉子位于原点，钉子位于轴的正半轴上，与钉子距离为3个单位长度，将一根绳子系在钉子上，自由下垂，近似抛物线，则该抛物线表达式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用．根据题意得，得到抛物线的轴对称为直线，设该抛物线表达式为，把代入得到，于是得到结论． 【详解】解：根据题意得， ∴抛物线的轴对称为直线， 设该抛物线表达式为， 把代入得， 解得， ∴该抛物线表达式为， 即该抛物线表达式为， 故选：A． 4．(24-25九上·山西运城实验中学·期中)一个人的血压与其年龄及性别有关，对女性来说，正常的收缩压（毫米汞柱）与年龄（岁）大致满足关系：．如果一个女性的收缩压为110毫米汞柱，那么她的年龄是（    ）岁 A．15 B．20 C．30 D．35 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的基本应用，直接把代入函数，解出即可得解． 【详解】解：当时，． 解得，（舍）， 故这个女性的年龄为15岁， 故选：A． 5．(24-25九上·山西大同·期中)国庆期间，大同古城热闹非凡，各大景区游人如织，大学生小云在东南邑街区卖气球，销售过程中发现每天的销量y（件）和售价x（元/件）之间满足一次函数的关系，已知一个气球的成本是5元，若不计其他成本，则小云每天获得的最大利润是 元． 【答案】450 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．设小云每天获得的利润是w元，结合总利润等于每个气球的利润乘以销售数量建立二次函数关系式，再利用二次函数的性质可得答案． 【详解】解：设小云每天获得的利润是w元， 由题意得，， ∵， ∴当时，w最大为元， 故答案为：450． 6．(24-25九上·山西大同第一中学校·月考)综合与实践 “道路千万条，安全第一条．”刹车系统是车辆安全行驶的重要保障，由于惯性的作用，行驶中的汽车在刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离，已知某汽车研发中心设计研发了一款新型汽车，模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶，对它的刹车性能进行测试．数学小组的同学对测试的数据进行了收集、整理，发现开始刹车后行驶的距离与刹车后行驶的时间之间满足二次函数关系，函数图象如图所示，请根据以上信息，回答下列问题： (1)求关于的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围） (2)求汽车刹车后，行驶了多远； (3)若汽车司机行驶过程中发现正前方处停有一辆抛锚的车后，立刻刹车，问：该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？请说明理由． 【答案】(1) (2)汽车刹车后，行驶了 (3)不会，见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的应用等知识点， （1）利用待定系数法即可求出y关于t的函数解析式； （2）将代入（1）中求出的解析式，即可求出行驶了多长距离； （3）求出（1）中函数的最大值，与比较，即可解决问题； 熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可知二次函数的图象过原点，所以可设关于的函数解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴关于的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， ∴汽车刹车后，行驶了； （3）解：∵， ∴当时，汽车停下，此时该汽车行驶的距离为， ∵， ∴该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 7．(24-25九上·山西朔州多校·期中)综合与实践 实施乡村振兴战略，是党的十九大作出的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个大棚构建纵切面示意图，他将大棚左侧的一根立柱作为轴，水平地面作为轴，构造平面直角坐标系，使整个大棚设计图样类似于抛物线，该抛物线的解析式为，对称轴为，且． (1)当与恰好相等时，求抛物线的解析式． (2)在（1）中的条件下，小宇想在大棚内上找一固定点，并设计一根支撑柱，使得与平行，请通过计算判断能不能找到符合条件的固定点．若能，计算的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)在大棚内上找不到符合条件的固定点，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理求出，由对称轴得到，由，即当时，，得到，即可得到函数解析式； （2）求出直线的解析式为，再求出直线的解析式为．令，解得；令，解得（负值不合题意，已舍去），即可进行判断得到结论． 【详解】（1）解：， ， ，即， ． ，即当时，， ， 抛物线的解析式为． （2）设直线的解析式为． 把点代入得到， ， 解得 直线的解析式为． ∵， 设直线的解析式为． 点在直线上， ， 直线的解析式为． 令，解得； 令，解得（负值不合题意，已舍去） ， 故在大棚内上找不到符合条件的固定点． 【点睛】此题考查二次函数的图象和性质、勾股定理、一次函数的图象和性质、解一元二次方程等知识，数形结合是解题的关键． 8．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)学科实践 任务布置：太阳能路灯无需铺设线缆，不产生电费，省心省事，节省了大量的人力和能源，被广泛用于城市的主、次干道，小区，停车场等．某数学实践小组对其产生了极大的兴趣． 研究步骤：①该实践小组经过走访，得到某太阳能路灯的部分灯柱，灯体，且与地面成角，灯柄是抛物线的一部分，灯体与灯柄的连接点到灯柱的水平距离为，到地面的垂直距离为． ②实践小组了解到社区要对该太阳能路灯进行加固，需要在灯柄与灯柱之间焊接一根长为的铁条． 问题解决：请根据以上研究步骤与相关数据完成下列任务： (1)该太阳能路灯灯体顶端到地面的垂直距离为______m． (2)以点为坐标原点，地面所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，请在图中画出平面直角坐标系，并求出灯柄所在抛物线的函数解析式． (3)若灯柄上的焊接点到灯柱的水平距离为，求灯柱上的焊接点到地面的垂直距离． 【答案】(1) (2)见解析， (3)灯柱上的焊接点到地面的垂直距离为或 【分析】本题考查了二次函数与几何的综合，三角函数，待定系数法求二次函数的解析式，坐标与图形，勾股定理等知识，能够把实际问题转化为数学问题是解题的关键． （1）如图，过点A作，过点B作垂直，二者相交于点F，求出即可求出到地面的垂直距离； （2）建立直角坐标系，利用待定系数法将两点的坐标代入抛物线的解析式即可求出结果； （3）设，由题意，D在抛物线上， ，求了点的纵坐标，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点A作，过点B作垂直，二者相交于点F，则垂直， ∵AB与地面成角， ， ∵， ∵点F到地面的垂直距离为， ∴点A到地面的垂直距离为， 故答案为：； （2）建立平面直角坐标系，如图所示，由题意，将两点代入抛物线，得， ， 灯柄BC所在抛物线的解析式为， （3）由题意，D在抛物线上， ， ， ，设， ， ， 解得， 灯柱上焊接点E到地面的垂直距离为或． 9．(24-25九上·山西吕梁孝义·期中)综合与实践 问题背景： 某校科技协会组织桥梁模型制作比赛，向全校同学征集作品．图1是某“实践小组”制作的桥梁模型，图2是该模型简化后在平面直角坐标系（以桥面所在直线为轴，上下桥拱最高点，所在直线为轴）中的截面示意图，下面是他们的设计方案． 设计方案： ①上桥拱和下桥拱均为抛物线型，其中上桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； ②上、下桥拱最高点，之间的距离为10； ③桥拱在桥面上的距离的长度为25． 解决问题：请根据上述设计方案解决下面问题： (1)求下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式； (2)“实践小组”欲在上、下桥拱之间设计一个矩形牌匾，并在牌匾上将该桥命名为“智慧桥”．其中点，（点在点的左侧）均在直线上，点，在上桥拱上（点P，Q关于轴对称，且P，Q均在直线的上方），若矩形的周长为57.5，请你在图2中画出该矩形，并求出点，的坐标． 【答案】(1) (2)见解析，点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查二次函数的应用．得到二次函数中几个关键点的坐标并选择合适的函数解析式代入计算是解决本题的关键． （1）由得A、B、E的坐标，从而得出点F、点C、点D的坐标，设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为，再运用待定系数法求解即可； （2）先画出图形，设点的坐标为，得点的坐标为．点的坐标为，可得，，由矩形的周长为57.5可得方程，解方程求出m的值可得结论． 【详解】（1）解：由题意，得，． ，， ． 当时，， 解方程，得，， ，， ， 又， ， ，． 设下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为， 由图象经过点，可得，解方程，得． 下桥拱在平面直角坐标系中的函数关系表达式为； （2）解：矩形如图所示． ，（点在点的左侧）均在直线上， 设点的坐标为，则点的坐标为． 由矩形，得轴， 点的坐标为， ，， 由矩形的周长为57.5，得， 解得：，（不合题意，舍去）， 点的坐标为，点的坐标为． 10．(24-25九上·山西大同·期中)综合与实践 问题情境：某中学计划在校园内足球场一侧修建一个膜结构看台，该看台的设计形状近似于一个开口向下的抛物线．为了方便学生观看比赛和表演，看台被设计为多层结构，每层的座位宽度相同，且层与层之间的高度差也都是固定的． 方案设计：设计图如图1所示，纵截面如图2所示．已知膜结构的最高点（即抛物线的顶点C）距离地面4米，膜结构与地面的交点间的长度为40米． 问题解决： 请根据上述数据，完成下列任务： (1)以的中点O为原点，所在直线为x轴，看台中心线所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，求出该抛物线的解析式，并直接写出自变量的取值范围． (2)假设每层看台的高度差为米，学生座位的平均宽度为米，且每层看台都紧密排列座位．问从直线（不包括）往上第4层看台大约能坐多少名学生？（忽略不可用做座位的通道的宽度，）． 【答案】(1) (2)从直线（不包括）往上第4层看台大约能坐名学生． 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，理解题意是关键． （1）由题意设抛物线为，把，代入计算即可得到答案； （2）由不包含层，第四层的高度为米，第五层的高度为米，把代入，再解方程，进一步解答即可． 【详解】（1）解：由题意设抛物线为， ∵，， ∴， 解得：， ∴抛物线为：； （2）解：∵每层看台的高度差为米， ∴从直线（不包括）往上第4层看台的高度必须满足， ∵， ∴， 解得：，， ∴， ∴从直线（不包括）往上第4层看台大约能坐名学生． 11．(24-25九上·山西怀仁·)项目化学习 项目主题：大同黄花的最优销售单价 项目背景：黄花，学名萱草，俗称金针菜．山西大同黄花因其营养价值极高，在全国独树一帜，可称“国内一绝”某校学习小组以探究“大同黄花的最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究大同黄花销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤： （1）学习小组到某农副特产专卖店了解到大同特级黄花干货的成本为80元/千克； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对黄花的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 收集数据： 黄花销售单价x（元/千克） … 92 96 100 104 108 … 每月销售数量y（千克） … 880 840 800 760 720 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： (1)根据表中信息可知：该黄花每天的销售数量y（千克）是黄花的销售单价x（元/千克）的______函数（选填“一次”或“二次”），y与x的函数关系式为______． (2)现计划在月销售成本不超过40000元的情况下，使得月销售利润达到24000元，销售单价应定为多少？ (3)若要使每月销售黄花获得的利润w（元）最大，请通过计算说明黄花的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】(1)一次， (2)销售单价应定为140元 (3)黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为25000元 【分析】本题二次函数的综合问题，求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的最值问题． （1）根据数据变化特点可知是一次函数，再通过待定系数法将数值代入求出关系式即可； （2）利用（1）中销售量求得利润函数，解一元二次方程，结合月销售成本排除不合理的单价即可； （3）利用（2）中利润的二次函数关系式，配方得到顶点式，再利用二次函数的性质讨论得出最值． 【详解】（1）解：观察表格可知黄花每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为，将点代入，得 ， 解得， 一次函数关系式为． 故答案为：一次函数，解析式为； （2）解：根据题意知，月销售利润为：， ∵月销售利润达到24000元， ∴，解得， 当时，销售成本为，不符合题意舍去； 当时，销售成本为，符合题意； 故销售单价应定为140元； （3）解：根据题意，得， ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 答：当黄花的单价为130元/千克，最大利润为25000元． 12．(24-25九上·山西大同·期中)科学研究表明，农作物的产量与其接受的灌溉水量之间存在一定的关系．某实验站通过对冬小麦的灌水量与产量进行实验分析，发现灌水量和产量之间呈现某种函数关系．即在一定范围内，随着灌水量的增加，小麦产量也随之上升，但当灌水量超过某一适宜值时，再增加灌水量反而会导致产量下降，这说明多灌无益，反而有害．为了优化灌溉策略，提高作物产量，研究人员记录了不同灌溉水量下冬小麦的产量数据，部分数据如下表： 灌溉水量x（厘米/平方米） … 14 18 22 26 30 34 … 小麦产量y（千克平方米） … … （灌溉水量，通常指的是单位面积（如平方米）上的一次灌水量，这个量是用水的深度来表示的，单位是厘米） (1)请你根据表中数据判断灌水量和产量之间的关系近似于一次函数和二次函数中的哪一种？并求出这个函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）， (2)请根据上而的函数解析式求出灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量． (3)如果要求每平方米的小麦产量必须大于千克，那么灌溉水量应该在哪个范围内选择？请直接写出结果． 【答案】(1)函数是二次函数， (2)灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量为千克平方米； (3)灌溉水量范围为 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用； （1）由与在函数图象上，可得是的二次函数，求解抛物线的顶点坐标为，设抛物线为，再进一步求解即可； （2）把代入，再计算即可得到答案； （3）把代入，再解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由与在函数图象上， ∴是的二次函数， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， 设抛物线为， 把代入可得：， ∴， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：当时， ， ∴灌溉水量为16厘米/平方米时的小麦产量为千克平方米； （3）解：当时， ∴， 解得：，， ∴每平方米的小麦产量必须大于千克，那么灌溉水量范围为． 地 城 考点05 二次函数与几何综合 1．(24-25九上·山西大同·期中)如图、抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C、点D是抛物线上一个动点、过点D作x轴的垂线、与直线交于点E． (1)求A、B、C三点的坐标、并直接写出直线的函数表达式． (2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，求线段长的最大值及此时点D的坐标． 【答案】(1)，，，直线的解析式为：； (2)线段长的最大值为，； 【分析】本题考查的是二次函数图像的性质和其与坐标轴的交点，二次函数的性质． （1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式； （2）设点D的横坐标为m，则坐标为，则E点的坐标为，设的长度为d，构建二次函数即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， ∴令，则， 解得：，， ∴，； 令，则， ∴点坐标为， 设直线的解析式为：，则有， ，  解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则坐标为， ∴点的坐标为， 设的长度为， ∵点是直线下方抛物线上一点， 则， 整理得，， ∵， ∴当时， ∴点的坐标为． 2．(24-25九上·山西（大同第一中学集团校南）·期中)如图，抛物线经过坐标原点，且与轴相交于点． (1)求点的坐标； (2)直接写出当时的取值范围； (3)若点在抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了求抛物线与轴的交点坐标，图象法解一元二次不等式，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键． （1）令，则，解一元二次方程，即可求出抛物线与轴的交点坐标； （2）由函数图象及其与轴的交点坐标即可直接得出答案； （3）根据求出点到轴的距离等于7，再分两种情况求解，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：令，则，解得，． 点的坐标为． （2）解：由函数图象及其与轴的交点坐标可知： 当时，； （3）解：点的坐标为，． 设点到轴的距离为．， ，解得． 分两种情况： ①当点在轴上方时，，解得． 点的坐标为． ②当点在轴下方时，，解得，． 点的坐标为或． 综上所述，点的坐标为或或． 3．(24-25九上·山西吕梁汾阳多校·期中)综合与探究 如图，平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点．已知，点是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点．设点的横坐标为．    (1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标． (2)点P运动到什么位置时，的面积最大，求出此时点坐标和的最大面积． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为； (2)，面积的最大值为． 【分析】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识，注意掌握数形结合思想的应用． （1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标； （2）作轴于点，连接，设点的坐标为，根据列式，再利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴抛物线的函数表达式为， 令，则， ∴点C的坐标为，， ∴对称轴为直线， ∴点D的坐标为； （2）解：作轴于点，连接，设点P的坐标为，    ∵点C的坐标为，点D的坐标为， ∴，，， ∴ ， ∵， ∴当时，面积的最大值为． 此时 即此时点P的坐标为． 4．(24-25九上·山西阳泉郊区多校·期中)如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，过点作轴交抛物线于点，连接． (1)求的面积 (2)将沿直线翻折，点落在平面内的点处，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】主要考查抛物线与坐标轴的交点，三角形面积的计算，图形的翻折，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意得出点的坐标为，进而得出，根据三角形面积公式计算即可； （2）根据题意求出点的坐标为，得到，进而得出，可得，进而得到将翻折点落在线段上，即，得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，， ， 轴， 点和点的纵坐标相同， ， 解得：或， ， ， ； （2）解：令， ， 解得或， ， ， ， 轴， ， 将沿直线翻折，点落上的点处， ， ， ． 5．(24-25九·山西大同平城区多校·期中)如图，中，．动点分别从两点同时出发，点沿边以的速度运动到点停止，点沿边匀速运动到点停止．点同时停止运动．设运动时间为．根据题意，完成下列解答． (1)点的速度为______． (2)设之间的距离为，则与满足______（选填“正比例”“一次”“二次”）函数关系． (3)连接，设的面积为，请用含的代数式表示，并求出的最大值． 【答案】(1) (2)一次 (3)，6 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的综合应用，涉及动点问题、三角形面积等知识，解题的关键是用含的代数式表示的长度． （1）根据点同时停止运动，得到运动时间一样，再根据路程、速度、时间的关系求解即可； （2）由题意得，，则，即，即可确定函数关系； （3）根据三角形面积公式得到关于的函数解析式，再配方求最值即可． 【详解】（1）解：由题意得，点从运动到点用时 ∴点的速度为， 故答案为：； （2）解：由题意得，，则， ∴， ∴与满足一次函数关系， 故答案为：一次； （3）解：由题意得，， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值为． 6．(24-25九上·山西怀仁·)如图，已知二次函数的图象经过点． (1)求a的值及图象的顶点坐标； (2)点在该二次函数的图象上 ①当时，求n的值： ②若点Q到x轴的距离小于3，请根据图象直接写出m的取值范围． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2) 【分析】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． （1）把点代入求解，然后化成顶点式即可求解； （2）①把代入（1）中解析式求解n即可； ②点Q到x轴的距离小于3，利用抛物线对称性质求解即可． 【详解】（1）解：把点代入中， 即 解得：， ∴， ∴顶点坐标为； （2）解：①当时，， ②点Q到x轴的距离小于3，且，顶点坐标为， ∴与点P关于对称轴直线对称的点的横坐标为：0， 则m的取值范围为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $