专题01 二次函数（9知识&12题型&3易错&5方法）（期中知识清单）九年级数学上学期浙教版

专题01 二次函数（9知识&12题型&3易错&5方法清单） 【清单01】二次函数的定义及一般形式 ◆1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． ◆2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. ◆3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. ◆4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数y＝ax2图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 ★2、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2） 越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 【清单03】二次函数y＝ax2+k图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ◆◆上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 【清单04】二次函数y＝a（x﹣m）2图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2的图象和性质 y＝a(x﹣m)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，0)，抛物线最低点 (m，0)，抛物线最高点 最值 当 x = m 时，y最小值 =0 当x = m时，y最大值 =0 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当m> 0 时，向右平移m 个单位长度得到. 当m< 0 时，向左平移个单位长度得到. ◆◆左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 【清单05】二次函数y＝a（x﹣m）2+k图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣m)2+k a > 0 a < 0 图象 m＞0，k＜0 m＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，k)，抛物线最低点 (m，k)，抛物线最高点 最值 当x=m 时，y最小值=k 当x=m时，y最大值=k 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m 时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设m＞0，k＞0)： ◆◆简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变． 【清单06】二次函数y＝ax2++bx+c图象和性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 【清单07】二次函数y＝ax2++bx+c图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 【清单08】二次函数与一元二次方程的联系 ★1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. ★2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 ★3、二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单09】二次函数的实际应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 【题型一】二次函数的概念 【例1】下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【变式1-3】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【题型二】由二次函数的定义求字母的值 【例2】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【变式2-2】函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 【变式2-3】若是关于的二次函数，则的值为 ． 【题型三】二次函数的性质 【例3】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【变式3-1】已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 【变式3-2】关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【变式3-3】已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如 下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【题型四】二次函数的图象共存问题 【例4】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．  B．  C．  D．   【变式4-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【变式4-2】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【题型五】利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例5】抛物线的图象上有三点， ，，则，，大小 关系（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】若点，，在二次函数的图象上， 且 则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【题型六】利用二次函数的对称性求值 【例6】已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【变式6-1】若抛物线经过和两点，则 ． 【变式6-2】已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 ． 【变式6-3】如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【题型七】待定系数法求二次函数的解析式 【例7】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【变式7-1】已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【变式7-2】某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【变式7-3】已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【题型八】二次函数的平移 【例8】将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 【变式8-2】如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则 ． 【变式8-3】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【题型九】二次函数与一元二次方程 【例9】已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【变式9-1】已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式9-2】如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【变式9-3】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【题型十】二次函数与不等式 【例10】如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【变式10-1】如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【变式10-2】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 【变式10-3】已知抛物线的部分的图象如图所示． (1)求抛物线的函数表达式． (2)画出当时抛物线的图象． (3)利用图象，写出当x为何值时，． 【题型十一】由实际问题列二次函数的解析式 【例11】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【题型十二】二次函数的实际应用 【例12】如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【变式12-1】如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【变式12-2】2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式12-3】在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【题型一】二次函数的多结论问题 【例1】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【变式1-1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式1-2】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ； ； ；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1-3】如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型二】二次函数的性质求最值 【例2】二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【变式2-1】点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【变式2-2】已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【变式2-3】已知二次函数． (1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； (2)若， ①求证：二次函数的图象和轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 【题型三】二次函数与新定义问题 【例3】新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 【变式3-2】定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【变式3-3】已知函数与函数，定义“和函数”． (1)若，则“和函数” ； (2)若“和函数”为，则 ， ； (3)若该“和函数”的顶点在直线上，求． 【题型一】二次函数与一次函数的综合 【例1】 如图，已知二次函数（）与一次函数的图象相交于，两点． (1)求，的值并写出两解析式． (2)求点的坐标 (3)求． 【变式1-1】如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【变式1-2】平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【变式1-3】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型二】二次函数与三角形的存在性问题 【例2】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式2-2】综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的取值范围； (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【题型三】二次函数与其平行四边形的存在性问题 【例3】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-1】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型四】二次函数与特殊平行四边形的存在性问题 【例4】已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 【变式4-1】如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】如图1，抛物线与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点．已知点A坐标为，面积为6． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作直线的垂线，垂足为点E，过点P作轴交于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标： (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型五】二次函数与角度有关的存在性问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-1】二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的解析式； 【变式5-2】如图，直线yx+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线ybx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标； （3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次函数（9知识&12题型&3易错&5方法清单） 【清单01】二次函数的定义及一般形式 ◆1、二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a、b、c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项． ◆2、二次函数的结构特征 （1）等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. （2）a、b、c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． （3）二次项系数不为0. ◆3、二次函数的一般形式 y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 【注意】必须化为一般式，才可确定a、b、c，二次项的系数a≠0，b、c没有条件限制. ◆4、二次函数的取值范围 一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对于实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 【清单02】二次函数y＝ax2图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2的图象和性质 y＝ax2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y 轴（或直线 x＝0） y 轴（或直线 x＝0） 顶点坐标 (0，0)，抛物线最低点 (0，0)，抛物线最高点 最值 当 x = 0 时，y最小值 = 0 当x = 0时，y最大值 = 0 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小 ★2、与抛物线开口大小的关系 （1）相等，抛物线形状相同，抛物线y＝ax2和y＝﹣ax2的联系：开口大小相同，开口方向相反，两条抛物线关于x轴对称，关于原点对称. （2） 越大，抛物线的开口越小，即图象越靠近y轴； 越小，抛物线的开口越大，即图象越远离近y轴. 【清单03】二次函数y＝ax2+k图象和性质 ★1、二次函数y＝ax2+k的图象和性质 y＝ax2+k a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 y轴（或直线 x＝0） y轴（或直线x＝0） 顶点坐标 (0，k)，抛物线最低点 (0，k)，抛物线最高点 最值 当x=0 时，y最小值=k 当x=0时，y最大值=k 增减性 当x＜0时，y随x增大而减小； 当x＞0 时，y随x增大而增大. 当x＞0时，y随x增大而增大； 当x＜0 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝ax2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝ax2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当k ＞ 0 时,向上平移k个单位长度得到. 当k ＜ 0 时,向下平移个单位长度得到. ◆◆上下平移规律:平方项不变，常数项上加下减. 【清单04】二次函数y＝a（x﹣m）2图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2的图象和性质 y＝a(x﹣m)2 a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，0)，抛物线最低点 (m，0)，抛物线最高点 最值 当 x = m 时，y最小值 =0 当x = m时，y最大值 =0 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m 时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 当m> 0 时，向右平移m 个单位长度得到. 当m< 0 时，向左平移个单位长度得到. ◆◆左右平移规律：自变量左加右减，括号外不变. 【清单05】二次函数y＝a（x﹣m）2+k图象和性质 ★1、二次函数y＝a（x﹣m）2+k的图象和性质 y＝a(x﹣m)2+k a > 0 a < 0 图象 m＞0，k＜0 m＜0，k＞0 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x=m 直线x=m 顶点坐标 (m，k)，抛物线最低点 (m，k)，抛物线最高点 最值 当x=m 时，y最小值=k 当x=m时，y最大值=k 增减性 当x＜m时，y随x增大而减小； 当x＞m 时，y随x增大而增大. 当x＞m时，y随x增大而增大； 当x＜m时，y随x增大而减小. ★2、抛物线y＝a（x﹣m）2+k与y＝ax2的关系： 二次函数y＝a(x﹣m)2+k的图象可以由y＝ax2的图象平移得到： 平移规律(设m＞0，k＞0)： ◆◆简记为：上下平移，常数项上加下减；左右平移，自变量左加右减.二次项系数 a 不变． 【清单06】二次函数y＝ax2++bx+c图象和性质 y＝ax2+bx+c a > 0 a < 0 图象 开口方向 开口向上 开口向下 对称轴 直线x= 直线x= 顶点坐标 （，），抛物线最低点 （，），抛物线最高点 最值 当 x = 时，y最小值 = 当x = 时，y最大值 = 增减性 当x＜时，y随x增大而减小； 当x＞ 时，y随x增大而增大. 当x＞时，y随x增大而增大； 当x＜ 时，y随x增大而减小. 【清单07】二次函数y＝ax2++bx+c图象与系数的关系 ①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小． 当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小． ②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置． 当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异） ③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）． 当c＞0时，图象过原点； 当c=0时，与y轴交于正半轴； 当c＜0时，与y轴交于负半轴； ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 【清单08】二次函数与一元二次方程的联系 ★1、二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c＝0的根. ★2、二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． 判别式Δ=b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 的根 两个不相等的实数根x1，x2 两个相等实数根x1=x2＝- 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 有两个公共点 有一个公共点 没有公共点 ★3、二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取 值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【清单09】二次函数的实际应用 1、二次函数的应用包括以下两个方面： (1) 用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题 (即最值问题)； (2) 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解． 2、一般步骤： (1) 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系； (2) 列出函数关系式，并确定自变量的取值范围； (3) 利用二次函数的图象及性质解决实际问题； (4) 检验结果的合理性，是否符合实际意义； (5) 作答. 【题型一】二次函数的概念 【例1】下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数． 根据二次函数的定义，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不是二次函数，不符合题意； B．不是二次函数，不符合题意； C．是二次函数，符合题意； D．不是二次函数，不符合题意． 故选：C． 【变式1-1】下列函数是二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数． 根据二次函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. ，分母有未知数，不是二次函数； B. ，不是整式，不是二次函数； C. ，是一次函数，不是二次函数； D. ，是二次函数； 故选：D． 【变式1-2】下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径R之间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查的是二次函数定义，根据题意列出函数关系式是解题的关键．根据二次函数的定义，分别列出关系式，进行选择即可． 【详解】解：A．关系式为：，故A错误； B．关系式为：，故B错误； C．关系式为：，故C错误； D．关系式为：，故D正确． 故选：D． 【变式1-3】二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．，， B．，， C．，4， D．，，1 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 先将二次函数整理成一般形式，再根据定义解答即可. 【详解】解：∵二次函数， ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为. 故选：B. 【题型二】由二次函数的定义求字母的值 【例2】（24-25九年级上·广西河池·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般式的表示，掌握二次函数的定义是关键． 二次函数的一般式为，由此判定即可． 【详解】解：关于的函数是二次函数， ∴， 解得，， 故选：D ． 【变式2-1】（24-25九年级上·四川凉山·期末）当二次函数的解析式为时，的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，掌握二次函数的二次项系数不等于零是解题的关键． 先根据二次函数的定义列式求解即可． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴且，解得：． 故选C． 【变式2-2】函数是二次函数，则m的值为（    ） A．1或 B．1 C．或3 D．3 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的定义．根据二次函数定义可知最高次项次数为2，且最高次项系数不为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得，解得， 故选：D． 【变式2-3】若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，一般地，形如（    其中a、b、c为常数，且）的函数叫做二次函数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的二次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型三】二次函数的性质 【例3】（24-25九年级上·广西钦州·期中）如图，二次函数的图象与轴交于两点，则下列说法正确的是（   ） A． B．点的坐标为 C．函数的最小值为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，抛物线与轴的交点等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据所给函数图象，可得出的的正负，再结合抛物线的对称性及增减性即可解决问题． 【详解】解：A．根据函数图象可知，函数图象开口向下，故，说法错误，不符合题意； B．图象与轴交于，关于对称，所以，说法正确，符合题意； C．由抛物线的解析式可知对称轴，故当时，取得最大值，说法错误，不符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法错误，不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】关于x的二次函数，下列说法错误的是（   ） A．函数图象的对称轴是直线 B．当时，y的值随x值的增大而增大 C．函数图象一定经过点 D．当时，函数图象与x轴一定有两个交点 【答案】B 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，函数图象的对称轴是直线；若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小；由题意可知函数图象一定经过点，当时，根据，可知函数图象与x轴一定有两个交点，即可得出答案． 【详解】解：函数图象的对称轴是直线， 故A选项正确，不符合题意； 若，则当时，y的值随x值的增大而增大，若，则当时，y的值随x值的增大而减小， 故B选项不正确，符合题意； 将代入，得， ∴函数图象一定经过点， 故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴当时，， ∴此时函数图象与x轴一定有两个交点， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 【变式3-3】已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如 下表： … 0 3 5 … … 24 8 0 3 15 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象不经过第四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图像的对称轴是直线 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A正确；根据二次函数的顶点在第四象限，增减性和对称性即可判断选项B错误、选项C错误；选项D错误． 【详解】解：将点和和代入二次函数 得：， 解得， 则二次函数的解析式为． A、因为，所以函数图象的开口向上，则此项正确，符合题意； B、顶点在第四象限，图象经过第四象限，错误，不符合题意； C、当时随增大而增大，则此项错误，不符合题意； D、图象的对称轴是直线，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 【题型四】二次函数的图象共存问题 【例4】在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．  B．  C．  D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式4-1】二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的综合判断； 分别根据一次函数和二次函数的图象，判断出a，c与0的大小关系，看是否矛盾即可． 【详解】解：A、一次函数的图象与y轴交于负半轴，；二次函数的图象开口向上，，相矛盾，故A错误； B、一次函数的图象过一、二、四象限，，；二次函数的图象开口向上，顶点为，在第四象限，，，故B正确； C、二次函数的对称轴为，在y轴右侧，故C错误； D、一次函数的图象过一、二、三象限，；抛物线的顶点在第四象限，，相矛盾，故D错误； 故选：B． 【变式4-2】在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，解题的关键是根据已知图象判断出a，b，c的符号． 由二次函数与一次函数的图象可得，即可判断二次函数对称轴，开口方向以及与轴交点位置，即可得答案． 【详解】解：由二次函数与一次函数的图象可得， ∴， ∴二次函数对称轴在轴左侧，开口向上，与轴交于负半轴， 故选：D． 【变式4-3】已知一次函数图象如图所示，则二次函数在平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数的图象性质，熟练掌握一次函数图象与系数的关系、二次函数的开口方向、对称轴、与轴交点的判定方法是解题的关键．先根据一次函数图象确定、的符号，再据此分析二次函数的开口方向、对称轴位置和与轴交点情况，从而判断二次函数图象． 【详解】解：从一次函数的图象来看， 图象从左到右上升， ； 图象与轴交点在正半轴，即当时，， ． 对于二次函数： ， 二次函数图象开口向上，排除、选项； 对称轴为， ，， ，即对称轴在轴右侧； 当时，，即二次函数与轴交点在负半轴． 综上，符合条件的是选项． 故选： ． 【题型五】利用二次函数的性质比较函数值的大小 【例5】抛物线的图象上有三点， ，，则，，大小 关系（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的对称性及增减性． 根据函数解析式的特点为顶点式，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数图象的对称性可判断；根据二次函数的性质即可判断． 【详解】解：因为，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，图象关于直线对称， 因为点，，在二次函数的图象上，且， 故， 故选：D． 【变式5-1】若点在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线开口向下且对称轴为直线知离对称轴水平距离越远，函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：抛物线的对称轴为，开口向上， 点的距离为， 点的距离为， 点的距离为， 由于开口向上，距离对称轴越远，y值越大， ∵， ∴． 故选：A． 【变式5-2】抛物线经过三点，，，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性和增减性是解题的关键． 把二次函数化简成顶点式，得到抛物线的对称轴为直线，根据在对称轴两侧时，三点的横坐标离对称轴越近，纵坐标越小，由此判断，，的大小． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 根据开口向上，距离对称轴越远函数值越大， ∵， ∴， 故选：A． 【变式5-3】若点，，在二次函数的图象上， 且 则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，先求出二次函数的对称轴为直线，再结合二次函数的性质可得，当时时，函数有最小值为，且，即，再分情况解不等式即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵点，，在二次函数的图象上，且， ∴，当时时，函数有最小值为，且，即， 当时，，此不等式无解； 当时，，解得，即， 当时，，恒成立， 综上所述，， 故选：D． 【题型六】利用二次函数的对称性求值 【例6】已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 【变式6-1】若抛物线经过和两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用对称轴公式是关键．根据题意，易知对称轴是直线，抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点，根据二次函数图象上对称点的坐标特征进而计算可以得解． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 抛物线经过和两点，两点纵坐标相同，根据抛物线的对称性可知，该两点为对称点， ，解得． 故答案为： ． 【变式6-2】已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设点的坐标为，先求出该抛物线的对称轴为直线，再根据点和点关于直线对称求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵二次函数化成顶点式为， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点和点都在抛物线上，且轴， ∴点和点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式6-3】如图，直线从左至右交抛物线G，L于点M，N，P，Q，且两条抛物线的顶点A，B都在直线上，已知，，，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，由抛物线的对称性找到线段之间的关系来求解的长度是解决本题的关键． 分别求出，和的长度，再根据抛物线的对称性即可求解． 【详解】解：因为，，， 由图可知， ， ， 因为两条抛物线的顶点A，B都在直线上， 根据抛物线的对称性可知． 故选：B． 【题型七】待定系数法求二次函数的解析式 【例7】若抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为（　　） A．y＝x2+4x﹣3 B．y＝﹣x2+4x﹣3 C．y＝﹣x2﹣4x﹣3 D．y＝﹣x2+4x+3 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，将点B（1，0）代入解析式即可求出a的值，从而得到二次函数解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1， 将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得， a＝﹣1， 函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1， 展开得y＝﹣x2+4x﹣3． 故选：B． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，知道二次函数的顶点式是解题的关键． 【变式7-1】已知一抛物线的形状与的形状相同，对称轴为，且与x轴的两交点之间的距离为2，则此抛物线的解析式是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，根据题意确定与x轴的交点坐标，设出抛物线解析式为，根据抛物线的形状与抛物线相同即可确定a的值，从而求出解析式． 【详解】解：∵对称轴是直线，且与x轴的两交点之间的距离为2， ∴由对称性可知，与x轴的交点分别为，， 设抛物线解析式为， ∵抛物线的形状与抛物线相同， ∴， ∴抛物线解析式为， 即抛物线解析式为或． 【变式7-2】某抛物线过点（1，0），（﹣2，0）并且与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5，求此抛物线的解析式． 【分析】设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2），求出抛物线与直线的交点为（3，5），将（3，5）代入抛物线解析式可得a的值． 【详解】解：∵抛物线过点（1，0），（﹣2，0）， ∴设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x+2）， 抛物线与直线y＝2x﹣1的交点的纵坐标为5， ∴5＝2x﹣1， 解得：x＝3， ∴抛物线与直线y＝2x﹣1的交点坐标为（3，5）， 将（3，5）代入抛物线解析式可得a（3﹣1）（3+2）＝5， ∴a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣1）（x+2），即． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法．关键是根据条件确定抛物线解析式的形式，再求其中的待定系数．一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0）；顶点式y＝a（x﹣h）2+k，其中顶点坐标为（h，k）；交点式y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 【变式7-3】已知二次函数经过点、． (1)求二次函数的解析式； (2)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式，并写出顶点坐标和对称轴． 【答案】(1) (2)顶点式，顶点坐标；对称轴为直线 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握待定系数法，正确求出函数解析式． （1）将两点坐标代入解析式，解得的值，求出二次函数的解析式即可； （2）将二次函数的解析式进行配方写成顶点式，得出顶点坐标和对称轴即可． 【详解】（1）解：将、代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∴顶点式为：，顶点坐标为；对称轴为直线． 【题型八】二次函数的平移 【例8】将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减的法则是解题的关键． 根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”逐步求解． 【详解】将抛物线向左平移3个单位所得抛物线解析式为：，即； 再向下平移2个单位为：，即， 故选：A． 【变式8-1】抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函数解析式是解题的关键．根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 【变式8-2】如图，抛物线的顶点为，与轴交于点A．若平移该抛物线，平移后的抛物线的顶点为，此时抛物线与轴交于点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的顶点式的性质、抛物线的平移规律及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是根据顶点式分别求出原抛物线与平移后抛物线与y轴交点A、的坐标，再利用两点间距离公式（y轴上两点距离为纵坐标差的绝对值）计算的长度． 先根据原抛物线顶点式，令求出与y轴交点A的坐标；再根据抛物线平移时二次项系数不变，结合新顶点写出平移后抛物线的顶点式，令求出交点的坐标；最后计算A与纵坐标差的绝对值，得到的长度． 【详解】解：在原抛物线中， 令，则， ∴点A的坐标为． ∵抛物线平移时二次项系数不变，新顶点为， ∴平移后抛物线的解析式为． 令，则， ∴点的坐标为． ∵A、均在y轴上，横坐标均为0， ∴． 故答案为：． 【变式8-3】把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度可得到二次函数的图象 (1)则______，______，______； (2)指出二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标； (3)当时，求二次函数的取值范围． 【答案】(1)，2， (2)函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是 (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据平移规律，可得答案； （2）根据二次函数的性质，可得答案； （3）计算出当和对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题． 【详解】（1）解：把二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到， ∵二次函数与是同一函数， ∴，，， 解得． 故答案为：，2，； （2）解：∵二次函数的解析式为， ∴函数图象开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是； （3）解：∵， ∴的最小值为； ∴时，， ∵时，， ∴当时，． 【题型九】二次函数与一元二次方程 【例9】已知抛物线与坐标轴有三个交点，则k的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根，再判断△即可． 【详解】解：由-1≠0知，抛物线与y轴有一个非原点的交点（0，-1），故抛物线与x轴有两个不同的交点，即方程kx2+2x-1=0有两个不同的实根 ∴△=4+4k＞0即k＞-1， 因为二次项的系数不能为0 ∴k＞-1且， 故选D． 【点睛】本题考查了抛物线与函数的关系，利用一元二次方程的判别式来判断抛物线与坐标轴的交点个数，做题时要认真分析，找到它们的关系． 【变式9-1】已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，二次函数的对称轴为直线，先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， 二次函数与x轴的另一个交点坐标为， 关于x的一元二次方程的解为，， 故选：B． 【变式9-2】如图，二次函数的图象经过点，抛物线的对称轴是直线，则一元二次方程的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的对称性，先根据抛物线的对称性确定抛物线与x轴另一个交点坐标为，然后根据抛物线与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，且抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴另一个交点坐标为， ∴一元二次方程的解为． 故选：A． 【变式9-3】若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（　　） A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k＞﹣1且k≠0 D．k≥﹣1且k≠0 【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点 ∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0 ∴k＞﹣1 ∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数 ∴k≠0 则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0． 故选：C． 【点睛】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断． 【题型十】二次函数与不等式 【例10】如图，一次函数y＝x+a和二次函数y＝x2+bx的图象交于点A（﹣3，0）和点B，则x+a＞x2+bx的解集是（　　） A．x＞1 B．x＞1或x＜﹣3 C．﹣3＜x D．﹣3＜x＜1 【分析】先求得a和b的值，联立求得点B的坐标，然后观察函数图象即可求解． 【详解】解：由题意可得0＝﹣3+a和0＝（﹣3）2﹣3b， 解得a＝3和b＝3， ∴一次函数和二次函数的解析式分别为y＝x+3和y＝x2+3x， 联立得x2+3x＝x+3，解得x＝﹣3或x＝1， 当x＝1时，y＝4， ∴B（1，4）， 观察图象可得，当﹣3＜x＜1时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方， ∴不等式x+a＞x2+bx的解集为﹣3＜x＜1， 故选：D． 【点睛】此题主要考查函数与不等式之间的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【变式10-1】如图，抛物线与直线交于A、B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（    ） A．的解集是 B．的解集是 C．的解集是 D．的解是或 【答案】D 【分析】根据函数图象可知，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或．据此即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，不等式ax2+bx+c>kx+h，即的解集为：x<2或>4；故A、B、C不符合题意； 方程ax2+bx+c=x+h，即的解为或，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数与不等式，方程的联系，利用图象法求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【变式10-2】如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+kx+c≥m的解集是（　　） A．x≤﹣3或x≥1 B．x≤﹣1或x≥3 C．﹣3≤x≤1 D．﹣1≤x≤3 【分析】根据抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，可得直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点A1（3，y1），B1（﹣1，y2）两点，根据图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点， 图象如图所示， 当﹣1≤x≤3时，ax2+c≥﹣kx+m， ∴ax2+kx+c≥m的解集是﹣1≤x≤3， 故选：D． 【点睛】本题考查利用函数图象解一元二次不等式及根据对称性求交点，解题关键是找到y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c交于点． 【变式10-3】已知抛物线的部分的图象如图所示． (1)求抛物线的函数表达式． (2)画出当时抛物线的图象． (3)利用图象，写出当x为何值时，． 【答案】(1) (2)图见解析 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，求函数图象和横轴的交点坐标，利用函数图象求不等式的解集等知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）求出抛物线与横轴的交点坐标和对称轴，然后补全抛物线即可； （3）观察抛物线即可得出结论． 【详解】（1）解：由图象可知抛物线经过点， ∴， 解得， ∴此函数解析式为：； （2）解：当时，， 解得，， 抛物线与x轴的交点坐标为， 对称轴为直线， 图象如下， （3）解：∵抛物线与x轴的交点坐标为， ∴当时，． 【题型十一】由实际问题列二次函数的解析式 【例11】某工厂七月份生产零件50万个，设该厂第三季度平均每月的增长率为，如果第三季度共生产零件万个，那么与满足的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式．设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据第三季度共生产零件y万个，即可列出与之间的函数关系式． 【详解】解：设该厂第三季度平均每月的增长率为x，则八月份生产零件万个，九月份生产零件万个，根据题意得： 与满足的函数关系式是 ． 故选：D 【变式11-1】（24-25九年级上·广东江门·期中）两个正方形的周长之和是，其中一个正方形的边长为．若以两个正方形面积之和为函数，其中一个正方形的边长为自变量，它们的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求二次函数关系式，求出另一个正方形的边长为，再由正方形面积公式计算即可得解，求出另一个正方形的边长为是解此题的关键． 【详解】解：∵其中一个正方形的边长为， ∴其中一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的周长为， ∴另一个正方形的边长为， ∵第一个正方形的面积为，第二个正方形的面积为， ∴面积之和为， 故选：C． 【变式11-2】深高小学部饲养了两只萌萌的羊驼，建筑队在学校一边靠墙处，计划用15米长的铁栅栏围成三个相连的长方形羊驼草料仓库，仓库总面积为y平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作小门，若设米，则y关于x的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，由铁栅栏的全长及的长，可得出平行于墙的一边长为米，再利用长方形的面积公式，即可找出y关于x的函数关系式． 【详解】解：铁栅栏的全长为15米，米， 平行于墙的一边长为米． 根据题意得：． 故选：A． 【变式11-3】如下图所示，在一幅长、宽的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂画，设整个挂画总面积为，金色纸边的宽为，则y与x之间的函数关系式是_________________． 【答案】 【分析】由于整个挂画为长方形，用x分别表示新的长方形的长和宽，然后根据长方形的面积公式即可确定函数关系式． 【详解】解：由题意可得： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是根据题意，找到所求量的等量关系，此题主要利用了长方形的面积公式解题． 【题型十二】二次函数的实际应用 【例12】如图，现有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为9m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃ABCD．设AB的长为x米． （1）若要围成面积为36m2的花圃，则AB的长为多少米？ （2）当AB的长为多少米时，长方形花圃ABCD的面积最大？最大面积为多少？ 【分析】（1）设AB为x米，则BC为（24﹣3x），利用长方体的面积公式列方程，即可求出x即AB的长． （2）根据题意得y＝x（24﹣3x），再配方变为顶点式，根据x的取值范围求得围成的花圃的最大面积． 【详解】解（1）设AB＝x米， 根据题意得：x（24﹣3x）＝36， 解得：x1＝2，x2＝6， 又∵24﹣3x≤9， ∴x≥5， ∴x1＝2舍去， ∴x＝6， 答：AB的长为6米； （2）根据题意得：y＝x（24﹣3x）， ∴y＝﹣3x2+24＝﹣3（x﹣4）2+48， ∵a＝﹣3＜0，且x≥5在对称轴直线x＝4右侧， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝5时，y有最大值，y最大值＝﹣3×（5﹣4）+48＝45， 答：当AB的长为5米时，长方形花圃ABCD的面积最大，最大面积为45平方米． 【点睛】主要考查了二次函数的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，本题的关键是垂直于墙的有三道篱笆． 【变式12-1】如图是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为 (1)如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，请求出抛物线的解析式； (2)如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点M，N到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)这串彩灯的最大长度为米 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意得到用二次函数表示的彩灯的长度是解决本题的难点． （1）设抛物线的解析式为：，得拱顶和点D的坐标，代入所设的解析式，可得a和k的值，即可求得抛物线的解析式； （2）表示出彩灯的长度，根据二次函数的性质得到最大值即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：由题意设，点， ， 彩灯两端的最低点到水面的距离为，秋季水位会下降约， 彩灯的最低点M，N在直线上， 点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，， 答：这串彩灯的最大长度为米． 【变式12-2】2022年卡塔尔世界杯足球赛开战，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系． (1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围； (2)每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？ (3)当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)， (2)70元 (3)当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元 【分析】(1)设，利用待定系数法即可求得一次函数的解析式，再根据销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，即可求得x的取值范围； (2)根据题意即可列出一元二次方程，解方程即可求解； (3)设每天获得的利润为元，根据题意即可求得二次函数，再根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设， 把点，分别代入解析式，得 ， 解得： ∴， 销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍， 自变量的取值范围是：； （2）解：根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵， ∴不合题意，舍去， 答：每个吉祥物“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元； （3）解：设每天获得的利润为元，根据题意得： ∵， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值， ， 答：当吉祥物“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元． 【点睛】本题考查了一次函数及二次函数的应用，一元二次方程的应用，理解题意，正确求得函数解析式及方程是解决本题的关键． 【变式12-3】在矩形中，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)当t为何值时，的长度等于？ (2)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． (3)是否存在t的值，使的面积最大，若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或2时，； (2)存在秒，能够使得五边形的面积等于．理由见解析 (3) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，二次函数的应用，正确的列出方程和二次函数的解析式是解题的关键： （1）表示出的长，根据勾股定理，列出方程进行求解即可； （2）分割法求五边形的面积，列出方程进行求解即可； （3）将的面积转化为二次函数求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴当时，， 解得：或； （2）存在，理由如下： ∵五边形的面积， ∴当五边形的面积等于时，， 解得：或， ∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴当点到达点时，， ∴， ∴当时，五边形的面积等于； （3）存在， ∵， ∵， ∴当时，的面积最大为． 【题型一】二次函数的多结论问题 【例1】（24-25九年级上·全国·期中）如图所示的是二次函数图象的一部分，其对称轴是直线，且过点，下列说法：①；②；③；④若是抛物线上的两点，则．其中说法正确的是（     ） A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．根据抛物线开口向上，可得，再由抛物线对称轴为直线，可得，，②正确．再由，可得，①正确．再根据抛物线的对称性可得抛物线经过，从而得到时，，③错误．再根据二次函数的对称性可得，④错误，即可求解． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线 ， ，则，所以②正确； 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 时，， ， ③错误； 点与点关于对称轴对称， ，所以④错误． 故选：A． 【变式1-1】如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，顶点为，则下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点问题，根据二次函数的对称性求函数值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合图象开口向下，与轴交于正半轴，得，再根据对称轴为直线，则，故得，再得二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为，则，结合二次函数的对称性得出关于直线对称的点为，根据二次函数的图象开口向下，则越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大，即可作答． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵二次函数的图象与x轴交于点，顶点为， ∴对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标为， 则把代入，得， 故②符合题意； ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 则， 故③不符合题意； 当时，， ∴二次函数与轴的交点坐标为 ∵二次函数的对称轴为直线， ∴关于直线对称的点为 ∵二次函数的图象开口向下， ∴越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越大， ∵， 则． 故④符合题意； 故选：B． 【变式1-2】如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ； ； ；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②，将其中一个点转化为关于对称轴的对称点，然后再由抛物线在对称轴一次的x,y的关系，可判断③④，根据二次函数最值即可判断⑤． 【详解】解：根据图象可得，，， 对称轴为， ，即， ，故正确， 根据二次函数的图象与轴交于点， 可得二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，，故正确； 根据二次函数与轴的交点在与之间，可得， 当时，， 即， ，解得，故正确； ，故正确； 当时，达到最大值， 因此对于任意实数，， ∴ 故错误； 综上所述， 正确，正确结论有个， 故选：C． 【变式1-3】如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，对称轴为直线，下列四个结论：①；②；③方程的两根和为1；④若，则，⑤点，在抛物线上，且当时，；其中正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②由根与系数的关系可得出，由代入即可判断③，求出，进一步得到，又根据得到，即可判断④． ⑤当点和关于对称轴对称时，解得m，若点A和点B向左移动时结合对称轴左侧的递减性，以及即可得到m的取值范围． 【详解】解：①函数图象开口方向向上， ； 对称轴在轴右侧， 、异号， ， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ， ，故①错误； ②二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， 时，， ， ， ， ， ∵， ，故②正确； ③设方程的两根为和， ∴， ， ∴，故③错误． ④， ∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得， ， ， ， ， ， ， 故④正确； ⑤点，在抛物线上， 当时，，解得， ∵， ∴，则⑤正确； 故选：C． 【题型二】二次函数的性质求最值 【例2】二次函数的部分图象（）如图所示，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．函数有最大值2，无最小值 B．函数有最大值2，有最小值0 C．函数有最大值2，有最小值 D．函数有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查的是二次函数的最值，能根据x的取值范围利用数形结合求解是解答此题的关键． 直接根据函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，当时，y最大； 当时，y最小． 故选：C． 【变式2-1】点在二次函数（m为常数）的图象上，．当时，二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A． B． C．12 D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．把点代入求出t的值，即可得到，然后根据m的取值范围得到最值求差解题即可． 【详解】解：， ， 解得：或 (舍去)， ， ， ∴抛物线的对称轴为直线：， ， ， 当时，有最大值，， 当时，有最小值， ， ∴函数的最大值与最小值的差为， 故选：D． 【变式2-2】已知二次函数在时最小值为，则b的值为（    ） A．4 B．4或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右侧三种情况讨论，结合最小值条件求解． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数图象的对称轴为直线，开口向上，且顶点坐标为， 当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得： 则， 解得 ，即 ； ∴； 当 即 时，最小值在 处， 则 解得 ，满足 ； 当 即 时，最小值在 处， 则， 解得 ，但 不成立，舍去， 综上，或． 故选：B． 【变式2-3】已知二次函数． (1)若，且二次函数象经过点，求函数顶点坐标； (2)若， ①求证：二次函数的图象和轴有两个交点； ②若，点在该二次函数图象上，当时，的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2)①见解析；②2 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）先利用待定系数法求得函数解析式，再利用性质可得顶点坐标； （2）①利用判别式证明即可； ②先求得，再根据二次函数的性质，分和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵，且二次函数象经过点， ∴，解得， ∴， ∴顶点坐标为； （2）①证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象和轴有两个交点； ②∵点在该二次函数图象上， ∴， ∵， ∴，则， ∵当时，的最小值是， ∴当，即时，当时，n取最小值， ∴， 整理，得， 解得，（不符合题意，舍去）， 当，即时，当时，n有最小值， ∴， 解得，不符合题意，舍去； 综上，b的值为2． 【题型三】二次函数与新定义问题 【例3】新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为二倍点．若二次函数（c为常数）在的图象上存在两个二倍点，则c的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由点的纵坐标是横坐标的2倍可得二倍点在直线上，由可得二倍点所在线段的端点坐标，结合图象，通过求抛物线与线段的交点求解． 【详解】解：由题意可得二倍点所在直线为， 将代入得， 将代入得， 设，，如图， 联立与，得方程， 即 抛物线与直线有两个交点， ， 解得， 当直线和直线与抛物线交点在点A，上方时，抛物线与线段有两个交点， 把代入，得， 把代入得， ， 解得， ． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象与正比例函数图象的交点问题，解题关键掌握函数与方程及不等式的关系，将代数问题转化为图形问题求解． 【变式3-1】定义：我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”．若互异二次函数的对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），则这个互异二次函数的二次项系数是（    ） A． B． C．1 D．﹣1 【答案】B 【分析】根据函数的对称轴和互异二次函数的特点计算即可； 【详解】由题可知：此函数的横坐标与纵坐标互为相反数，且对称轴为直线x＝1且图象经过点（﹣1，0），设此函数为， ∴，解得：， ∴此函数的二次项系数为； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，准确计算是解题的关键． 【变式3-2】定义：如果函数图象上存在横､纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）． (1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值； (2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可； （2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可． 【详解】（1）解：依题意把点代入解析式， 得，化简得：，解得：； （2）解：设点是函数的一个不动点， 则有，化简得，， 关于的方程有实数解， ，解得：． 【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题． 【变式3-3】已知函数与函数，定义“和函数”． (1)若，则“和函数” ； (2)若“和函数”为，则 ， ； (3)若该“和函数”的顶点在直线上，求． 【答案】(1)． (2)，． (3)或． 【分析】（1）将代入函数中得出函数，再利用即可得出结论； （2）的解析式为，又， 利用两者相等即可得出结论； （3）先得出和函数，进而根据顶点在直线上得出，即可得出结论． 【详解】（1）解：当时，， ∵函数，此时和函数， ∴， 故答案为：． （2）解：∵函数与函数，和函数， ∴和函数的解析式为， ∵和函数的解析式为， ∴，， ∴，， 故答案为：，． （3）解：由题意得和函数为 ， ， ∴和函数的顶点为， ∵和函数的顶点在上， ∴， 整理得， 解得，． 故答案为：或． 【点睛】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 【题型一】二次函数与一次函数的综合 【例1】 如图，已知二次函数（）与一次函数的图象相交于，两点． (1)求，的值并写出两解析式． (2)求点的坐标 (3)求． 【答案】(1)，，， (2) (3)3 【分析】本题考查了二次函数与一次函数综合问题，解一元二次方程． （1）根据待定系数法即可求得； （2）解析式联立，解一元二次方程即可求得B的坐标； （3）设直线与y轴的交点为G，则，利用求得的面积． 【详解】（1）解：∵过点， ∴，解得， ∵一次函数的图象过点， ∴， 解得， ∴，； （2）∵二次函数与一次函数的图象相交于，两点， ∴， 解得：（舍去），， ∴， ∴B的坐标为； （3）设直线与y轴的交点为G，则， ∴． 【变式1-1】如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4． （1）求点P的坐标； （2）求二次函数的解析式； （3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由． 【分析】（1）由题意直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，根据待定系数法求出直线AB的解析式，再根据△AOP的面积为4求出点P的纵坐标，然后将它代入直线AB的解析式，求出点P的横坐标，即可得到点P的坐标； （2）把点P的坐标代入y＝ax2，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （3）设将抛物线y＝ax2上下平移后的解析式为y＝ax2+m，把点A坐标代入，求出m的值即可． 【详解】解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b， ∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点， ∴4k+b＝0，b＝4， ∴k＝﹣1，b＝4， ∴y＝﹣x+4， ∵△AOP的面积为4， ∴4×yp＝4， ∴yp＝2， ∴2＝﹣x+4， 解得x＝2， ∴点P的坐标为（2，2）； （2）把点P（2，2）代入y＝ax2， 得2＝a×（2）2， 解得a， 故二次函数的解析式为yx2； （3）能， 设将抛物线yx2上下平移后的解析式为yx2+m， 把点A（4，0）代入，得y42+m， 解得m＝﹣8， 故能将抛物线y＝ax2向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A， 平移后的解析式为：yx2﹣8． 【点睛】此题考查二次函数图象与几何变换，运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，同时也考查了学生的计算能力． 【变式1-2】平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与抛物线y＝x2+bx+4交于过y轴上的点M和点N（n，1）． （1）求n和b的值； （2）A为直线MN下方抛物线上一点，连接AM，AN，求△AMN的面积的最大值； 【分析】（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4求得n，抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）求出b即可； （2）设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，可得S△AMN＝S△AMT+S△ANT，运用二次函数性质即可求出最值． 【详解】解：（1）把N（n，1）代入y＝﹣x+4得：1＝﹣n+4， 解得n＝3， ∴N（3，1）， ∵抛物线y＝x2+bx+4过点N（3，1）， ∴1＝9+3b+4，解得b＝﹣4． （2）由（1）可得抛物线解析式为y＝x2﹣4x+4， ∴M（0，4）， 设A（m，m2﹣4m+4），过点A作AT∥y轴，交直线MN于点T，如图示： 则T（m，﹣m+4）， ∴AT＝﹣m+4﹣（m2﹣4m+4）＝﹣m2+3m， ∴S△AMN＝S△AMT+S△ANT， ∵0， ∴当m时，S△AMN取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握最值求法是解答本题的关键． 【变式1-3】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2，0），且经过点（4，1），如图，直线yx与抛物线交于A、B两点，直线l为y＝﹣1． （1）求抛物线的解析式； （2）在l上是否存在一点P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）由抛物线的顶点坐标为（2，0），可设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2，由抛物线过点（4，1），利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B′的坐标，根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为（2，0）， 设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2． ∵该抛物线经过点（4，1）， ∴1＝4a，解得：a， ∴抛物线的解析式为y（x﹣2）2x2﹣x+1． （2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得： ，解得：，， ∴点A的坐标为（1，），点B的坐标为（4，1）． 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA+PB取得最小值（如图1所示）． ∵点B（4，1），直线l为y＝﹣1， ∴点B′的坐标为（4，﹣3）． 设直线AB′的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 将A（1，）、B′（4，﹣3）代入y＝kx+b，得： ，解得：， ∴直线AB′的解析式为yx， 当y＝﹣1时，有x1， 解得：x， ∴点P的坐标为（，﹣1）． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、轴 对称中的最短路径问题以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数 【题型二】二次函数与三角形的存在性问题 【例2】如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．点P是直线上方抛物线上的一个动点，过点P作轴于点E，交直线于点Q．    (1)求抛物线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，过点P作x轴的平行线交y轴于点M，连接．是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C的坐标，进而求出直线的解析式，设，则，则，由此即可求出答案； （3）先证明，则当为等腰三角形，只存在这一种情况，设，则，则，解方程即可． 【详解】（1）解：把，代入中得：， ∴， ∴抛物线解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把，代入中得， ∴， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵轴，轴， ∴， ∴当为等腰三角形，只存在这一种情况， 设，则， 同理可得， 又∵， ∴， 解得或， ∴存在一点P，当点P的横坐标为时，为等腰三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，等腰三角形的定义等等，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． 【变式2-1】如图，已知抛物线经过点，，其对称轴为直线，为y轴上一点，直线与抛物线交于另一点D．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)试在线段下方的抛物线上求一点E，使得的面积最大，并求出最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得是直角三角形？如果存在，求点F的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)． (2)，的面积S有最大值． (3)存在，点F的坐标为或或或． 【分析】（1）根据点的坐标，运用待定系数法，建立方程组求解； （2）运用待定系数法，确定直线解析式为，联立二次函数解析式，求解得，过点E作轴，交于点G，设，的面积：，根据二次函数性质求得的面积有最大值，． （3）存在．设点，则；；；分情况讨论：①若，②若，③若，根据勾股定理，建立方程求解得点F的坐标． 【详解】（1）解：由题意， ，解得 ∴． （2）解：设直线的解析式为，则 解得 ∴直线解析式为． 联立直线与抛物线解析式，得 ，解得， ∴ 过点E作轴，交于点G， 设，，则 的面积 ∴ ∴当时，，的面积有最大值． 此时，， ∴．      （3）解：存在． 设点，则 ； ； ； ①若，则， ∴，解得， ∴；      ②若，则， ∴，解得， ∴；      ③若，则， ∴， 解得， ∴或    综上，点F的坐标为或或或． 【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，函数图象交点与方程组的联系，勾股定理，二次函数的性质；根据勾股定理建立方程是解题的关键． 【变式2-2】综合与探究：在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，过动点作平行于轴的直线，直线与抛物线相交于点，．    (1)求抛物线的表达式； (2)求的取值范围； (3)直线上是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，2或4． 【分析】（1）把点和点代入，求解即可； （2）将抛物线解析式化成顶点式，求得的最小值为．由直线与抛物线有两个交点，即可得出； （3）分两种情况：①当，时，②如图，当，时，分别 求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴ 解得 ∴抛物线的表达式为． （2）解： ∴的最小值为． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴． （3）解：存在． 当时，． ∴点的坐标为． ①如图，当，时，过点作轴于， ∴． ∵，， ∴．    在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． 延长至使得，此时也是等腰直角三角形． 易得，此时．（不合题意，舍去） ②如图，当，时，过点作轴于，    ∵，，， ∴． ∴． ∴． ∴． 延长，使得，此时也是等腰直角三角形． 同理可得， ．（不合题意，舍去） 综上所述，直线上存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形． 的值为2或4． 【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象性质，二次函数图象与直线交点问题，全等三角形判定与性质，等腰直角 三角形性质，属中考常考试题目，要求学生熟练掌握相关性质并能灵活运用是解题的关键，注意（3）问要分类讨论，以免漏解． 【题型三】二次函数与其平行四边形的存在性问题 【例3】如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点D是抛物线上的一点，当的面积为10时，求点D的坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为： (2)点D的坐标为或 (3)存在满足条件的Q点的坐标为或或 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）设点D的坐标为，利用的面积为10，列出等式求解即可； （3）分情况讨论，当为四边形的对角线时或当为边时，分别求解即可． 【详解】（1）将、代入得， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）设点D的坐标为， 、， ， ∴， 即， ∴或（无解舍去）， 解得：，， ∴点D的坐标为或； （3）抛物线的对称轴为：， 假设存在，设，， ， 分两种情况讨论： 当为四边形的对角线时，，， ∴， 即， 此时点Q的坐标为； ②当为边时，，， ∴，即， 解得：或， 此时点Q的坐标为或． 综上所述，存在满足条件的Q点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查待定系数法求解析式，三角形面积问题，以及二次函数中平行四边形存在问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【变式3-1】如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，连接．    (1)求抛物线的解析式； (2)若点P为线段上的一动点（不与B、C重合），轴，且交抛物线于点M，交x轴于点N，当的面积最大时，求点P的坐标； (3)在（2）的条件下，当的面积最大时，点D是抛物线的对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点E，使得以A、P、D、E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或 【分析】（1）根据题意将，两点的坐标代入即可求出解析式； （2）求出直线的解析式，设点坐标为，则点坐标为，可表示出的长，则的面积，可用表示出来，根据二次函数的性质可求出面积的最大值和点的坐标； （3）分三种不同的情况进行讨论，利用平行四边形的性质及平移规律即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：将代入，得， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将和代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点坐标为，则点坐标为， ， ， 当时，的面积最大， 此时点的坐标为； （3）解：存在， 由（2）得：， ， 对称轴为直线， 当四边形为平行四边形时， 则，， ，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ； 当四边形为平行四边形时， 则，， ， ， ， 将代入，得， ， 存在点使得以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标是或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，用函数的思想求最值，平行四边形的性质等，解题的关键是能够根据题意利用平移规律进行分类讨论求出存在的点的坐标． 【变式3-2】如图1，抛物线与x轴正半轴交于点A，B，与y轴正半轴交于点C，且，点D为抛物线的顶点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P为直线下方该抛物线上任意一点，点E为直线与该抛物线对称轴的交点，求面积的最大值； (3)如图2，将该抛物线沿射线的方向平移个单位后得到新抛物线，新抛物线的顶点为，过（2）问中使得面积为最大时的点P作平行于y轴的直线交新抛物线于点M．在新抛物线的对称轴上是否存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，N点坐标为或 【分析】（1）求出A，B两点的坐标，再由待定系数法即可求出函数表达式； （2）设，先求出直线的解析式为，则与对称轴的交点为，可得，即可得出结论； （3）求出平移以后得抛物线的解析式为，则，设，分；两种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时，，②当为平行四边形的对角线时，． 【详解】（1）令，则， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 将，代入， ∴， 解得， ∴； （2）∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴， ∴， 设，直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， ∴与对称轴的交点为， ∴， ∴当时，面积的最大值为； （3）存在点N，使得以点P，，M，N为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵直线的解析式为， ∴将该抛物线沿射线的方向平移个单位，即抛物线沿x轴正方向平移2个单位，沿y轴负方向平移2个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴， 由（2）知，， ∵轴， ∴， 设， ∵， ∴与一定是平行四边形的一组对边， ①当为平行四边形的对角线时， ∴，即， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时， ∴，即， 解得， ∴； 综上所述：N点坐标为或． 【点睛】本题综合考查二次函数和平行四边形的相关知识，属于压轴题，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的性质，函数图象的平移的性质是解题的关键． 【题型四】二次函数与特殊平行四边形的存在性问题 【例4】已知抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点P是抛物线上位于直线下方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线于点D，交x轴于点E，当取最大值时，求点P的坐标及最大值． (3)在抛物线上是否存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，若存在，请直接写出M、N的坐标，不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)； (3)、 【分析】（1）把点和点代入抛物线，解方程即可得到a、b的值； （2）先用待定系数法求出直线的解析式，再设，则，，然后求出，由函数的性质求出取最大值时t的值，即可求出点P的坐标； （3）假设抛物线上是存在点M，对于平面内任意点N，使得以A、C、M、N为顶点且为一条边的四边形为矩形，过点O作于一点H，可求得的解析式，则可设出过点A且与平行的直线解析式，经计算验证可得过点A的直线与抛物线有交点M，联立方程可求得M的坐标，通过平移即可求得点N的坐标． 【详解】（1）解：把点和点代入抛物线， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由（1）知，点C的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为， 此时点P的坐标为； （3）解：过点O作于一点H，如图所示：   ， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴点H为的中点，即， 则所在的直线方程为， ∵四边形为矩形， ∴过A与直线相垂直的直线函数解析式中的k值与的解析式的k值相同， ∴设所在的直线解析式为， ∵点A在直线上， ∴可求得，即所在的直线解析式为， 联立的直线方程与抛物线的解析式， 得，解得或， 其中为点A的坐标，即， ∵四边形为矩形，且， 根据点A与点C的关系，把点M向下平移4个单位长度，再向左平移4个单位长度，可得到点N的坐标， 即． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数的最值，特殊四边形的交点坐标，坐标平移，用待定系数法确定函数解析式是解本题的关键． 【变式4-1】如图，已知拋物线与轴交于点与轴交于点．    (1)求的值及该抛物线的对称轴； (2)若点在直线上，点是平面内一点．是否存在点，使得以点为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，二次函数对称轴为直线 (2)或 【分析】（1）将点A的坐标代入到二次函数的解析式即可求出c的值，然后将二次函数的解析式化成顶点式的即可确定二次函数对称轴； （2）分AB是正方形的边、AB是正方形的对角线两种情况，通过画图，利用正方形性质即可解答． 【详解】（1）解：把代入二次函数得： ∴，解得：； ∴二次函数的解析式为：， ∴二次函数对称轴为直线． （2）解：存在，理由如下： 令y=0，即，解得或， ∴点B的坐标为， ∵， ∴； ①当是正方形的对角线时，此时，对应的矩形为， ∵是正方形对角线， ∴线段和线段互相垂直平分， ∴点E在抛物线对称轴上，且到x轴的距离为， ∴点E的坐标为； ②当AB是正方形的边时，此时，对应的正方形为，    ∵， ， ∴， ∴， ∵B的坐标为, ∴， ∴点的坐标为； 故点E的坐标为或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查的是二次函数的性质、正方形的性质等知识点，掌握正方形存在性问题需要分类求解是解答本题的关键． 【变式4-2】如图1，抛物线与x轴相交于点A、B（点B在点A左侧），与y轴相交于点．已知点A坐标为，面积为6． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作直线的垂线，垂足为点E，过点P作轴交于点F，求周长的最大值及此时点P的坐标： (3)如图2，将该抛物线向左平移2个单位长度得到新的抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点D，点M为直线上的一点，点N是平面坐标系内一点，是否存在点M，N，使以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，的周长有最大值，为 (3)点M的坐标为：或或或 【分析】（1）根据题意求出点B坐标，再运用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）先判断为等腰直角三角形，得，确定当取最大值时，的周长取最大值，求得直线的解析式为，设，，计算得出，根据二次函数的性质可得结论； （3）先求出平移后抛物线的表达式及及点D的坐标，分3种情况讨论为等腰三角形，求出点M的坐标． 【详解】（1），， ，， ， ， ， ， 设抛物线的解析式为， 把代入得，， （2）， ， 轴， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ∴当取最大值时，的周长取最大值， 设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线的解析式为， 设，， ， 当时，有最大值，为，此时，， ∴当时，的周长有最大值，为 （3）的图象向左平移2个单位， ∴ 联立方程得，， 解得，， ∴， ， 又 设 ∵以点B，D，M，N为顶点的四边形为菱形， ∴为等腰三角形， ，，， ①当时， ，即：， ，， ； ②当时， ，即：， 当时，；当时，， 或， ③当时，， 或（舍去） ∴， 综上，点M的坐标为：或或或 【点睛】此题重点考查二次函数的图象和性质与一次函数、四边形、相似三角形的综合应用，解题的关键是结合图形画出适当的辅助线，找到相等关系列出相应的表达式或方程，求出所求的结果． 【题型五】二次函数与角度有关的存在性问题 【例5】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点C，点在抛物线上，点P是抛物线上一动点． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若平分，求点P的坐标； (3)如图2，连接，，抛物线上是否存在点P，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用角平分线的性质和平行线的性质作轴，交于点Q，交x轴于点E，可证得，求的解析式为，设点P的横坐标为t，则有，，，求出，，由求得t值即可解答； （3）将绕点O顺时针方向旋转，至，可得，，则，求出过点的直线的解析式为，与抛物线联立方程组求得交点；再过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形，作关于的对称点G，点G在上，作直线，则直线与抛物线的交点也满足条件，则，与点D重合，则可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点、在抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：作轴，交于点Q，交x轴于点E，如图1所示： ∵轴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将代入，， ∴的解析式为， 设点P的横坐标为t，则有，，，， ∴，， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴， ∴点P的坐标为； （3）解：存在，或． 当时，，则， ∴，则， 将绕点O顺时针方向旋转，至，如图2所示： 则，， ∴ 由题意知，直线过点， 设直线的解析式为， 将，，代入，得：， 解得：， ∴直线BP的解析式为， 联立， 解得：或， ∴， 此时使； 如图2所示，过C作轴，过B作轴，与交于点F，则四边形为正方形， 作关于的对称点G，则点G在上且， ∴，与点D重合， 作直线，则， ∴直线与抛物线的交点也满足条件， ∵点在抛物线上， ∴． 综上，抛物线上存在点P，使，点P的坐标为或． 【变式5-1】二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D． （1）求二次函数的表达式； （2）如图1，连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的解析式； 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）设BP与y轴交于点E，设OE＝a，则CE＝4﹣a，BE＝4﹣a，运用勾股定理可求得，得出E，再利用待定系数法即可求出答案； 【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0）， ， 解得：， ∴该二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣3x+4； （2）如图，设BP与y轴交于点E， ∵PD∥y轴， ∴∠DPB＝∠OEB， ∵∠DPB＝2∠BCO， ∴∠OEB＝2∠BCO， ∴∠ECB＝∠EBC， ∴BE＝CE， 令x＝0，得y＝4， ∴C（0，4），OC＝4， 设OE＝a，则CE＝4﹣a， ∴BE＝4﹣a， 在Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2＝OE2+OB2， ∴（4﹣a）2＝a2+12， 解得 ， ∴， 设BE所在直线表达式为 y＝kx+e（k≠0）， ∴， 解得：， ∴直线BP的表达式为； 【点评】本题是与二次函数有关的综合题，主要考查了待定系数法，一次函数图象和性质，二次函数图象和性质，勾股定理等，属于中考数学压轴题，综合性强，难度较大，熟练掌握二次函数图象和性质等相关知识是解题关键． 【变式5-2】如图，直线yx+c与x轴交于点B（4，0），与y轴交于点C，抛物线ybx+c经过点B，C，与x轴的另一个交点为A． （1）求抛物线的解析式； （2）点P是直线BC下方抛物线上一动点，求四边形ACPB面积最大时点P的坐标； （3）若M是抛物线上一点，且∠MCB＝∠ABC，请直接写出点M的坐标． 【分析】（1）先求出点C（0，﹣2），利用待定系数法可求解； （2）过点P作PE⊥AB交BC于点E，先求出点A坐标，设点P（a，a2a﹣2），则点E（a，a﹣2），利用面积和差关系可求解； （3）分两种情况讨论，先求出直线BM或BM'的解析式，联立方程组可求解． 【详解】解：（1）直线yx+c与x轴交于点B（4，0）， ∴04+c， ∴c＝﹣2， ∴点C（0，﹣2）， ∵抛物线ybx+c经过点B，C， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：yx﹣2； （2）如图1，过点P作PE⊥AB交BC于点E， ∵抛物线yx﹣2与x轴的交点为A、B， ∴0x﹣2， ∴x1＝4，x2＝﹣1， ∴点A（﹣1，0）， 设点P（a，a2a﹣2），则点E（a，a﹣2）， ∴PEa﹣2﹣（a2a﹣2）a2+2a， ∵四边形ACPB面积（4+1）×2（a2+2a）×4＝﹣（a﹣2）2+9， ∴当a＝2时，四边形ACPB面积有最大值， 此时点P（2，﹣3）； （3）如图2，当点M在BC上方时，设CM交AB于点H， ∵∠MCB＝∠ABC， ∴CH＝BH， ∵CH2＝OC2+OH2， ∴BH2＝4+（4﹣BH）2， ∴BH， ∴OH， ∴点H（，0）， ∵点C（0，﹣2），点H（，0）， ∴直线CH解析式为：yx﹣2， 联立方程组可得， 解得：或， ∴点M（，）， 当点M'在BC下方时， ∵∠M'CB＝∠ABC， ∴M'C∥AB， ∴点M'的纵坐标为﹣2， ∴点M'的坐标为（3，﹣2）； 综上所述：点M（，）或（3，﹣2）． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $